บทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการ

1
บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
บทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการ
เราทราบมาแล้วว่าในระนาบ (plane) เดียวกัน ถ้าเลื่อนรูปเรขาคณิตรูปหนึ่งไปยังอีกรูปหนึ่ง และสามารถทาให้
ทับกันสนิท (coincide) เรียกว่า รูปทั้งสองนั้นเท่ากันทุกประการ (congruent)
ในที่นี้จะกล่าวถึงความเท่ากันทุกประการเป็น 4 กรณี คือ
1. ความเท่ากันทุกประการของส่วนของเส้นตรง
2. ความเท่ากันทุกประการของมุม
3. ความเท่ากันทุกประการของรูปหลายเหลี่ยม
4. ความเท่ากันทุกประการของรูปวงกลม
เราใช้เครื่องหมาย “  ” แสดงความเท่ากันทุกประการ (ของสิ่งสองสิ่งที่ทับกันสนิท)
เครื่องหมาย  แสดงความเป็นสิ่งเดียวกัน
1. ส่วนของเส้นตรงที่เท่ากันทุกประการ
ส่วนของเส้นตรงที่เท่ากันทุกประการ คือ ส่วนของเส้นตรงที่สามารถเลื่อนให้ทับกันได้สนิท
เช่น
“ ส่วนของเส้นตรงที่เท่ากันทุกประการ จะมีความยาวเท่ากัน ”
2. มุมที่เท่ากันทุกประการ
มุมที่เท่ากันทุกประการ คือ มุมที่สามารถเลื่อนให้จุดยอด และแขนของมุมทับกันสนิท
เช่น
A B
ABAB
A B
A
C
B
A
C
B
ABˆC ABˆC

2
3. รูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ
รูปหลายเหลยี่มที่เท่ากันทุกประการ สามารถเลื่อนให้จุดยอดและด้านทับกันได้สนิท
เช่น
4. วงกลมที่เท่ากันทุกประการ
รูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการ ถ้าเลื่อนให้จุดศูนย์กลางทับกันแล้วเส้นรอบวงจะทับกันได้สนิท
เช่น
A
D
B
C
A
D
B
C
ABCD ABCD
O
B
A
O
B
A
วงกลม O  ว ง ก ล ม O 

3
แบบฝึกหัดที่ 1
จงตอบคาถามในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) ถ้าส่วนของเส้นตรงสองเส้นเท่ากันทุกประการ ส่วนของเส้นตรงทั้งสองนั้นมีความยาวเท่ากัน
หรือไม่ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2) ถ้าส่วนของเส้นตรงสองเส้นมีความยาวเท่ากัน ส่วนของเส้นตรงทั้งสองเส้นนั้น เท่ากันทุกประการ
หรือไม่ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3) ถ้ามุมสองมุมเท่ากันทุกประการ มุมทั้งสองนั้นมีขนาดเท่ากัน หรือไม่ …………………………………………………………….
4) ถ้ามุมสองมุมมีขนาดเท่ากัน มุมทั้งสองนั้นเท่ากันทุกประการ หรือไม่ …………………………………………………………….
5) ถ้ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ ด้านที่สมนัยกันเท่ากันทุกประการ หรือไม่ ………………………………….
6) ถ้ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปมีมุมคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ รูปหลายเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
หรือไม่ ………………………………………………….………………………..
7) ถ้ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ ด้านที่สมนัยกันยาวเท่ากัน หรือไม่ ……………………………………………
8) ถ้ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปมีด้านที่สมนัยกันเท่ากันทุกด้าน รูปหลายเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
หรือไม่ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
9) ถ้ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ มุมที่สมนัยกันเท่ากันทุกประการ หรือไม่ ……………………………………
10) ถ้ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ มุมที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน หรือไม่ …………………………………………
11) ถ้าวงกลมสองวงเท่ากันทุกประการ รัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลางมีความยาวเท่ากัน หรือไม่ ………………………………
12) รูปเรขาคณิตที่เท่ากันทุกประการมีพื้นที่เท่ากัน หรือไม่ ………………………………………………………………………………

4
ความสมนัย (correspondence)
ความสมนัย คือ ความอยู่ในลาดับเดียวกัน เช่น  ABC DEF ดังรูป
จากรูป ด้านที่สมนัยกันของ  ABC จะทากับ DEF ดังนี้
AB .......... หรือ AB  ..........
AC .......... หรือ AC  ..........
BC .......... หรือ BC  ..........
และ มุมที่สมนัยกันของ  ABC จะทากับ DEF ดังนี้
1 .......... หรือ m1  ..........
2  .......... หรือ m2  ..........
3  .......... หรือ m3  ..........
สรุป “ ด้านที่สมนัยกัน ” อาจพูดอีกอย่างหนึ่งว่า “ ด้านทอี่ยู่ในลา ดับเดียวกัน ”
“ มุมทสี่มนัยกัน ” อาจพูดอีกอย่างหนึ่งว่า “ มุมทอี่ยู่ในลา ดับเดียวกัน ”
A
B C
1
2 3
D
E F
4
5 6

5
1) จงเขียนผลจากการเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมแต่ละคู่ต่อไปนี้ โดยใช้ลาดับอักษรให้ถูกต้อง
1.
2.
3. 4ภภ3
4.

6
การพิสูจน์ (Proof)
การพิสูจน์ คือ การสรุปความจริงอย่างมีเหตุผลโดยมีหลักฐานยืนยัน
หลักฐาน (premise) ที่นามาอ้างจะต้องเป็นสิ่งที่ทุกคนยอมรับ เช่น ทุกคนยอมรับว่าเส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดๆ
เดียว รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน เป็นต้น ความจริงที่ทุกคนยอมรับเช่นนี้
เรียกว่า สัจพจน์ (postulate)
การคิดหาเหตุผล (reasoning) ที่นามาใช้ จะต้องเป็นกระบวนการที่ทุกคนเห็นได้ชัดโดยปราศจากข้อสงสัย เช่น
เราเห็นได้ชัดว่า ถ้า a  b และ b  c แล้ว จะได้ว่า a  c เป็นต้น กระบวนการที่เห็นได้โดยปราศจากข้อสงสัย
เช่นนี้ เรียกว่า สมบัติ (property) หรือ สิ่งที่เห็นจริงแล้ว (axiom)
สมบัติการเท่ากันทุกประการ
กาหนดรูป A , รูป B และรูป C เป็นรูปเรขาคณิตใดๆ
1. สมบัติสะท้อน รูป A  รูป A
2. สมบัติสมมาตร ถ้ารูป A  รูป B แล้ว รูป B  รูป A
3. สมบัติสะท้อน ถ้ารูป A  รูป B และ รูป B  รูป C แล้ว รูป A  รูป C
สัจพจน์ในวิชาเรขาคณิต
สัจพจน์ คือ ข้อความปกติทั่วไปยอมรับว่าเป็นเช่นนั้นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์
สัจพจน์ที่ 1 ลากเส้นตรงผ่านจุดๆหนึ่งได้เป็นจานวนไม่จากัด (มีจานวนไม่สิ้นสุด)
สัจพจน์ที่ 2 ลากเส้นตรงผ่านจุด 2 จุดได้เพียงเส้นเดียว
สัจพจน์ที่ 3 มุมๆหนึ่งมีเส้นแบ่งครึ่งมุมได้เพียงเส้นเดียว
สัจพจน์ที่ 4 ส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่งมีจุดแบ่งครึ่งเพียงจุดเดียว
สัจพจน์ที่ 5 ส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเท่ากันย่อมทับกันสนิท
สัจพจน์ที่ 6 มุมที่มีขนาดเท่ากันย่อมทับกันสนิท
สัจพจน์ที่ 7 เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดๆเดียว
สัจพจน์ที่ 8 ขนาดของส่วนใหญ่ย่อมแบ่งเป็นส่วนย่อยได้ ผลบวกของส่วนย่อยเท่ากับส่วนใหญ่
สัจพจน์ส่วนย่อยของส่วนใหญ่
(1) ส่วนย่อยของความยาวของส่วนของเส้นตรง
จากรูปขวามือ จะได้ว่า
AD AB BC CD
AB  AD BD
BC  AD ABCD
A B C D

7
(2) ส่วนย่อยของขนาดของมุม
ตัวอย่างที่ 1 ถ้า AD  9 ซ.ม. AB  3 ซ.ม. และ CD  4 ซ.ม. ดังรูป
จงหาความยาวของ BC
ตัวอย่างที่ 2 ถ้า AB CD  3 ซ.ม. และ AD  8 ซ.ม. ดังรูป
จงหาความยาวของ BC
ตัวอย่างที่ 3 ถ้า ( ) 60 , ( ) 25 o o m AOD  m AOB  และ ( ) 20o m COD  ดังรูป
จงหาขนาดของมุม BOC
ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ O เป็นจุดบน AB ที่ทาให้ ( ) 110o m AOD  และ ( ) 30o m BOC 
จงหาขนาดของมุม COD
จากรูปซ้ายมือ จะได้ว่า
mAOD  m(1) m(2) m(3)
m1  m(AOD) m(2) m(3)
O
D C
B
A
1
3
2
A B C D
A B C D
O
D
C
B
A

8
การพิสูจน์โดยใช้สัจพจน์ และสมบัติการเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 5 กาหนดให้ AB CD ดังรูป จงพิสูจน์ว่า AC  BD
พิสูจน์
ข้อความ เหตุผล
1. AB CD กาหนดให้
2. BC  BC
3. AB BC CD BC
4. AC  BD
ตัวอย่างที่ 6
1. m(CAB)  m(CBA)
2. m(DAB)  m(DBA)
3. m(CAB) m(DAB)  m(CBA) m(DBA)
4. m(CAD)  m(CBD)
5. CAD  CBD
A B C D
A
D
C
B
กาหนดให้ CAB  CBA และ DAB  DBA
จงพิสูจน์ว่า CAD  CBD

9
1. กาหนดให้ AC  BD ดังรูป จงพิสูจน์ว่า AB CD
1. AC  BD
2. BC  BC
3.
4.
2.
A B C D
E D
B C
A
กาหนดให้ AB  AC และ AD  AE
จงพิสูจน์ว่า BD CE

10
3.
4.
E D
B C
A
กาหนดให้ BD CE และ AD  AE
จงพิสูจน์ว่า BA CA
A
D
B C
3 4
1 2
กาหนดให้  ABC และ DBC มี 1 2 และ 3 4
ดังในรูป จงพิสูจน์ว่า ABC  ACB

11
5.
สัจพจน์ เส้นตรงสองเส้นตัดกัน มุมตรงข้ามย่อมเท่ากัน
A
E
D
C
B
ˆ1
ˆ3
ˆ2
กาหนดให้  ABC มี D และ E เป็นจุดบนด้าน BC
ทาให้ mBAE  mCAD และกาหนดมุม 1 , 2 และ
3 ดังรูป จงพิสูจน์ว่า 1 2
2
4
3 1
จากรูป จงพิสูจน์ว่า m1  m3
และ m2  m4

12
สัจพจน์ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันทุกประการด้วยความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1. สัจพจน์ ด้าน – มุม – ด้าน (SAS Postulate)
2. สัจพจน์ มุม – ด้าน – มุม (ASA Postulate)
3. สัจพจน์ มุม – มุม – ด้าน (AAS Postulate)
4. สัจพจน์ ด้าน – ด้าน – ด้าน (SSS Postulate)
1. สัจพจน์ ด้าน – มุม – ด้าน (SAS Postulate)
สามเหลี่ยมสองรูป ซึ่งด้านสองด้านยาวเท่ากัน และมุมระหว่างด้านมีขนาดเท่ากัน สามเหลี่ยมสองรูปนั้น
เท่ากันทุกประการ
ระหว่าง  ABC และ DEF
ถ้า AB  DE , BC  EF และ mB  mE จะได้ว่า  ABCDEF
2. สัจพจน์ มุม – ด้าน – มุม (ASA Postulate)
สามเหลี่ยมสองรูป ซึ่งมุมสองมุมมีขนาดเท่ากัน และด้านระหว่างมุมเท่ามีความยาวเท่ากัน สามเหลี่ยมสอง
รูปนั้นเท่ากันทุกประการ
ถ้า m(B)  m(E) , m(C)  m(F) และ BC  EF จะได้ว่า  ABCDEF
A
B C
D
E F
 
B C
A
 
E F
D

13
3. สัจพจน์ มุม – มุม – ด้าน (AAS Postulate)
สามเหลี่ยมสองรูป ซึ่งมุมสองมุมมีขนาดเท่ากัน และด้านที่ไม่อยู่ระหว่างมุมเท่า มีความยาวเท่ากัน สามเหลี่ยม
สองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
ถ้า m(A)  m(D) , m(B)  m(E) และ CA  FD จะได้ว่า  ABCDEF
4. สัจพจน์ ด้าน – ด้าน – ด้าน (SSS Postulate)
สามเหลี่ยมสองรูป ซึ่งมีด้านทั้งสามยาวเท่ากันตามลาดับ สามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
ถ้า AB DE , BC  EF และ CA  FD จะได้ว่า  ABCDEF
A
B C
D
E F
A
B C
D
E
F

14
แบบฝึกหัดที่ 4 ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
รูปสามเหลี่ยมแต่ละคู่ต่อไปนี้มีสิ่งที่เท่ากันตามเครื่องหมายแสดงความยาวของด้านและขนาดของมุมที่ กาหนดให้ จงบอกว่ารูปสามเหลี่ยมแต่ละคู่เท่ากันทุกประการตามสัจพจน์ข้อใด
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….

15
……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..

16
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….

17
………………………………………………………………………………………………….
จากรูปจงพิจารณาข้อความในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) AB  DE ............ 2) BC  FE ............
3) CA  DF ............ 4) BA  ED ............
5) BC  EF ............ 6) AC  FD ............
7) ABC  FED ............ 8) ACB  EFD ............
9) mACB  mDFE ............ 10) mBAC  mEDF ............

18
1) ด้านที่สมนัยกันยาวเท่ากัน คือ …………………………………………………………………………………………………………
2) ด้านที่สมนัยกันเท่ากันทุกประการ คือ ……………………………………………………………………………………………….
3) มุมที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน คือ ……………………………………………………………………………………………………..
4) มุมที่สมนัยกันเท่ากันทุกประการ คือ ……………………………………………………………………………………………….
การพิสูจน์ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
1. การพิสูจน์ความเท่ากันทุกประการแบบ ด้าน – มุม – ด้าน (SAS)
ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ AB และ CD ตัดกันที่จุด O ทาให้ OA OB และ OC OD
จงพิสูจน์ว่า OAC และ OBD เท่ากันทุกประการ
กา หนดให้ OAC และ OBD มี OAOB และ OC OD
จะต้องพิสูจน์ว่า OAC  OBD
พิสูจน์ ระหว่าง OAC กับ OBD
1. OAOB
2. AOC BOD
3. OC OD

19
ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้  ABC มี AD ตั้งฉากและแบ่งครึ่ง BC
ที่จุด D จงพิสูจน์ว่า AB  AC
กา หนดให้ AD BC ที่จุด D และ DBDC
จะต้องพิสูจน์ว่า AB  AC
พิสูจน์ ระหว่าง
1. DBDC
2. ADB ADC
3. AD AD
4.  ABD ACD
5. AB AC
6. AB AC
แบบฝึกหัดที่ 5 การพิสูจน์ความเท่ากันทุกประการแบบ ด้าน – มุม – ด้าน

20

21

22
2. การพิสูจน์ความเท่ากันทุกประการแบบ มุม – ด้าน – มุม (ASA)
ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ AB และ CD ตัดกันที่จุด O ทาให้ OA OC และ mOAD  mOCB
จงพิสูจน์ว่า ODAOBC
A
D
C
B

23
3. การพิสูจน์ความเท่ากันทุกประการแบบ มุม – มุม – ด้าน (AAS)
ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ AB และ CD ตัดกันที่จุด O ทาให้ AO CO และ mCBO  mADO
จงพิสูจน์ว่า CBO ADO
แบบฝึกหัดที่ 6 การพิสูจน์ความเท่ากันทุกประการแบบ ด้าน – มุม – ด้าน และ มุม – มุม – ด้าน
1.
A
O
D
C
B

24
2.
3.
ADCB

บทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการ

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (10)

Ähnlich wie บทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการ

Ähnlich wie บทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการ (20)

Mehr von sawed kodnara

Mehr von sawed kodnara (20)

บทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการ