1. สรุปสูตร เรื่ องตรี โกณมิติ
วงกลมหนึ่งหน่ วย
1. นิยาม sin y และ cos x ดังนัน
้ tan
y
, , 3 , 5 ,...
x 2 2 2
cot
x
, ,2,3,...
y
sec
1
, , 3 , 5 ,...
x 2 2 2
csc
1
, ,2,3,...
y
2. อัตราส่วนตรี โกณมิติ
a b
sin Ä cos ecA
b a
c b
cos A sec A
b c
a c
tan A cot A
c a
3. ฟั งก์ชนตรี โกณมิติของมุมที่ควรจําได้
ั
ฟั งก์ชน
ั 0
30 o
45 o
60 o
90 o 180 o
6 4 3 2
sin 0
1 1
2 3 1 0
2 2 2 2
cos 1 3 1
2 1
0 1
2 2 2 2
tan 0
1
1 3 _ 0
3
cot _ 3 1
1
0 _
3
sec 1
2
2 2 _ 1
3
cosec _ 2 2
2
1 _
3
2. 4. การหาค่าของฟั งก์ชนตรี โกณของมุมประกอบที่ค่าของฟั งก์ชนไม่เปลี่ยนแปลง
ั ั
ถ้ ากําหนดให้ 0
2
อยู่ ควอดรันต์ 2 อยู่ ควอดรันต์ 3 2 อยู่ ควอดรันต์ 4 อยู่ ควอดรันต์ 4
sin( ) sin sin( ) sin sin(2 ) sin sin() sin
cos( ) cos cos( ) cos cos(2 ) cos cos() cos
tan( ) tan tan( ) tan tan(2 ) tan tan() tan
กรณีที่มมเป็ นองศา ก็เช่นเดียวกัน
ุ
180 o อยู่ ควอดรันต์ 2 180 o อยู่ ควอดรันต์ 3 360 o อยู่ ควอดรันต์ 4 อยู่ ควอดรันต์ 4
sin(180 o ) sin sin(180 o ) sin sin(360 o ) sin sin() sin
cos(180 o ) cos cos(180 o ) cos cos(360 o ) cos cos() cos
tan(180 o ) tan tan(180 o ) tan tan(360 o ) tan tan() tan
ในทํานองเดียวกันถ้ า nI และเป็ นฟั งก์ชนของมุมที่เกินรอบ
ั
sin(2n ) sin sin(2n ) sin
cos(2n ) cos cos(2n ) cos
tan(2n ) tan tan(2n ) tan
หมายเหตุ สูตรเหล่านี ้ใช้ ได้ กบ
ั ทุกขนาดของมุมหรื อจํานวนจริงใด ๆ
การหาค่าของฟั งก์ชนตรี โกณของมุมประกอบที่ค่าของฟั งก์ชนต้ องเปลี่ยนแปลงฟั งก์ชน
ั ั ั
(co-function)
3 3
อยู่ ควอดรันต์ 1 อยู่ ควอดรันต์ 2 อยู่ ควอดรันต์ 3 อยู่ ควอดรันต์ 4
2 2 2 2
3 3
sin( ) cos sin( ) cos sin( ) cos sin( ) cos
2 2 2 2
3 3
cos( ) sin cos( ) sin cos( ) sin cos( ) sin
2 2 2 2
3 3
tan( ) cot tan( ) cot tan( ) cot tan( ) cot
2 2 2 2
กรณีที่มมเป็ นองศา ก็เช่นเดียวกัน
ุ
90 อยู่ ควอดรันต์ 1 90 o อยู่ ควอดรันต์ 2
o
270 o อยูควอดรันต์ 3
่ 270 o อยูควอดรันต์ 4
่
sin(90 o ) cos sin(90 o ) cos sin( 270 o ) cos sin( 270 o ) cos
cos(90 o ) sin cos(90 o ) sin cos(270 o ) sin cos(270 o ) sin
tan(90 o ) cot tan(90 o ) cot tan(270 o ) cot tan(270 o ) cot
5. ค่าสูงสุดและตํ่าสุดของ a sin b cos คือ a 2 b2
3. 6. เอกลักษณ์พื ้นฐานที่ควรทราบ
กําหนดให้ เป็ น มุม , ความยาวส่วนโค้ ง หรื อ จํานวนจริงใด ๆ
sin 2 cos 2 1 sin 1 cos 2 จะเลือก + หรื อ – ต้ องขึ ้นอยูกบ
่ ั
cos 1 sin 2 จะเลือก + หรื อ – ต้ องขึ ้นอยูกบ
่ ั
1 cot 2 cos ec 2 และ 1 tan 2 sec 2
กราฟของฟั งก์ชนตรี โกณมิติ
ั
ฟั งก์ชน
ั กราฟ โดเมน เรนจ์ คาบ
แอมพลิจด
ู
y sin x R [1,1] 2
y cos x R [1,1] 2
2n 1
x x
2
y tan x R
nI
y cot x x x n R
nI
y sec x
2n 1
x x
2 (,1] [1, ) 2
nI
y cos ecx
x x n (,1] [1, ) 2
nI
4. สูตรฟั งก์ชนตรี โกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรื อจํานวนจริง
ั
sin( A B) sin A cos B cos A sin B
sin( A B) sin A cos B cos A sin B
cos(A B) cos A cos B sin A sin B
cos(A B) cos A cos B sin A sin B
tan A tan B
tan( A B)
1 tan A tan B
tan A tan B
tan(A B)
1 tan A tan B
cot A cot B 1
cot(A B)
cot B cot A
cot A cot B 1
cot(A B)
cot B cot A
สูตรฟั งก์ชนตรี โกณมิติของมุม 2 เท่า
ั
A A
sin 2A 2 sin A cos A หรื อ sin A 2 sin cos
2 2
2 A A
cos 2A cos 2 A sin 2 A หรื อ cos A cos sin 2
2 2
2 A
2 cos 2 A 1 หรื อ cos A 2 cos 1
2
A
1 2 sin 2 A หรื อ cos A 1 2 sin 2
2
A
2 tan
2 tan A
tan 2A หรื อ tan A 2
1 tan 2 A 1 tan 2 A
2
cot 2 A 1
cot 2A
2 cot A
2 tan A 2 tan A
เนื่องจาก tan 2A เราสามารถหา sin 2A
1 tan A
2
1 tan 2 A
1 tan 2 A
cos 2A
1 tan 2 A
สูตรฟั งก์ชนตรี โกณมิติของมุม 3 เท่า
ั
sin 3A 3 sin A 4 sin 3 A
cos 3A 4 cos 3 A 3 cos A
3 tan A tan 3 A
tan 3A
1 3 tan 2 A
cot 3 A 3 cot A
cot 3A
3 cot 2 1
สูตรฟั งก์ชนตรี โกณมิติของมุมครึ่ง
ั
1 cos 2A 1 cos 2A
sin 2 A หรื อ sin A
2 2
1 cos 2A 1 cos 2A
cos 2 A หรื อ cos A
2 2
5. 1 cos 2A 1 cos 2A
tan 2 A หรื อ tan A
1 cos 2A 1 cos 2A
ค่าของฟั งก์ชนของมุมบางมุมที่ควรทราบ
ั
3 1 6 2
sin 15 o cos 75 o
2 2 4
3 1 6 2
sin 75 o cos 15 o
2 2 4
3 1
tan 15 o cot 75 o
3 1
3 1
tan 75 o cot 15 o
3 1
5 1
sin 18 o cos 72 o
4
10 2 5
cos 18 o sin 72 o
4
5 1
cos 36 o sin 54 o
4
10 2 5
sin 36 o cos 54 o
4
2 2
sin 22.5 o cos 67.5 o
2
2 2
cos 22.5 o sin 67.5 o
2
สูตรการเปลี่ยนผลคูณของฟั งก์ชนเป็ นผลบวกหรื อผลต่างของฟั งก์ชน
ั ั
2 sin A cos B sin( A B) sin( A B) หรื อ 2 sin cos sin(sum) sin(diff )
2 cos A sin B sin( A B) sin( A B) หรื อ 2 cos sin sin(sum) sin(diff )
2 cos A cos B cos(A B) cos(A B) หรื อ 2 cos cos cos(sum) cos(diff )
2 sin A sin B cos(A B) cos( A B) หรื อ 2 sin sin cos(diff ) cos(sum)
สูตรการเปลี่ยนผลบวกหรื อผลต่างของฟั งก์ชนเป็ นผลคูณของฟั งก์ชน
ั ั
AB AB
sin A sin B 2 sin cos
2 2
AB AB
sin A sin B 2 cos sin
2 2
AB AB
cos A cos B 2 cos cos
2 2
AB BA AB AB
cos A cos B 2 sin sin หรื อ 2 sin sin
2 2 2 2
3 3
sin 20 o sin 40 o sin 80 o หรื อ sin 20 o sin 40 o sin 60 o sin 80 o
8 16
1 1
cos 20 o cos 40 o cos 80 o หรื อ cos 20 o cos 40 o cos 60 o cos 80 o
8 16
6. อินเวอร์ สของฟั งก์ชนตรี โกณมิติ
ั
ฟั งก์ชนตรี โกณมิติ
ั อินเวอร์ สของฟั งก์ชน
ั ฟั งก์ชนอินเวอร์ ส
ั โดเมนของ เรจน์ของ
ฟั งก์ชนอินเวอร์ ส
ั ฟั งก์ชนอินเวอร์ ส
ั
y sin x x sin y y arcsin x หรื อ
2 , 2
[1,1]
y sin 1 x
y cos x x cos y y arccos x หรื อ [1,1]
1
0,
y cos x
y tan x x tan y y arctan x หรื อ
R ,
2 2
y tan 1 x
y arc cot x หรื อ (0, )
y cot x x cot y R
y cot 1 x
y arc sec x หรื อ
y sec x x sec y R (1,1) 0,
2
y sec 1 x
y arc csc x หรื อ
2 , 2 0
y csc x x csc y R (1,1)
y csc 1 x
สูตรความสัมพันธ์ของฟั งก์ชนอินเวอร์ สตรี โกณมิติ
ั
1. arcsin( x ) arcsin x x 1,1
2. arccos( x ) arccos x x 1,1
3. arctan( x ) arctan x xR
4. sin(arcsin x ) x x 1,1 และ
arcsin(sin x ) x x , ดังนัน
้
2 2
sin(arcsin x ) arcsin(sin x ) x 1,1
5. cos(arccos x ) x x 1,1 และ
arccos(cos x ) x x 0, ดังนัน
้
cos(arccos x ) arccos(cos x ) x 1,1
6. tan(arctan x ) x xR และ
arctan(tan x ) x x , ดังนัน
้
2 2
tan(arctan x ) arctan(tan x ) x ,
2 2
7. 7. cot(arc cot x ) x xR และ
arc cot(cot x ) x x (0, ) ดังนัน
้
cot(arc cot x ) arc cot(cot x ) x (0, )
8. sec(arc sec x ) x x R (1,1) และ
arc sec(sec x ) x x 0, ดังนัน
้
2
sec(arc sec x ) arc sec(sec x ) x 0,
2
9. csc(arc csc x ) x x R (1,1) และ
arc csc(csc x ) x x , 0 ดังนัน
้
2 2
sec(arc sec x ) arc sec(sec x ) x R (1,1)
xy
10. arctan x arctan y arctan arctan x arctan y
1 xy 2 2
xy
arctan x arctan y arctan arctan x arctan y
1 xy 2 2
xy
arctan x arctan y arctan arctan x arctan y
1 xy 2
xy
arctan x arctan y arctan arctan x arctan y
1 xy 2
2x
11. 2 arctan x arctan
1 x 2
12. arcsin x arccos 1 x 2
x
arctan
1 x 2
1 x 2
arc cot
x
1
arc sec
1 x 2
1
arc csc
x
13. arcsin x arccos x x 1,1
2
arctan x arc cot x xR
2
arc sec x arc csc x x R 1,1
2
การแก้ สมการตรี โกณมิติ
1. ถ้ าโจทย์กําหนด เอกภพสัมพัทธ์ ต้ องตอบในรูปของเซตจํากัด
2. ถ้ าโจทย์ไม่กําหนด เอกภพสัมพัทธ์ ต้ องตอบในรูปทัวไป และกําหนดให้ เอกภพสัมพัทธ์
่ R ดังนี ้
2.1 ถ้ า sin x sin คําตอบของสมการ คือ x n (1) n
2.2 ถ้ า cos x cos คําตอบของสมการ คือ x 2n
8. 2.3 ถ้ า tan x tan คําตอบของสมการ คือ x n
3. หลักที่ควรคํานึงถึงเกี่ยวกับเรื่ องการแก้ สมการ คือ
3.1 การแปลงทุกค่าของตัวแปรให้ เป็ นฟั งก์ชนเดียวกันและมุมเดียวกัน
ั
3.2 การแยกตัวประกอบ
การแก้ อสมการตรี โกณมิติ
ใช้ หลักเหมือนกับการแก้ สมการในระบบจํานวนจริง โดยมีคาของฟั งก์ชนตรี โกณมิติเป็ นตัวแปรใด ๆ
่ ั
การแก้ รูปสามเหลี่ยม
ใช้ หลักดังนี ้ คือ
1. ถ้ าสามเหลี่ยมดังกล่าวนันเป็ นสามเหลี่ยมมุมฉากใช้
้
1.1 ทฤษฎีบทพีธากอรัส
1.2 อัตราส่วนตรี โกณมิติ
2. ถ้ าสามเหลี่ยมนันเป็ นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ใช้
้
a b c
2.1 กฎของไซน์ คือ
sin A sin B sin C
2.2 กฎของโคไซน์ คือ
b2 c2 a 2
a 2 b 2 c 2 2bc cos A cos A
2bc
a 2 c2 b2
b 2 a 2 c 2 2ac cos B cos B
2ac
a 2 b2 c2
c 2 a 2 b 2 2ab cos C cos C
2ab
2.3 กฎของโปรเจกชัน
a b cos C c cos B
b a cos C c cos A
c a cos B b cos A
1
3. การหาพื ้นที่รูปสามเหลี่ยม ฐาน สูง
2
1
ab sin C
2
1
s(s a )(s b)(s c) โดยที่ s (a b c )
2
4. การหาพื ้นที่ของรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ ง
1
4.1 เมื่อทราบความยาวฐานโค้ ง ฐานโค้ ง รัศมี ตารางหน่วย
2
1
r
2
4..2 เมื่อทราบขนาดของมุมที่จดศูนย์กลาง
ุ o
r 2 ตารางหน่วย
360
r 2
2