programmazione lineare

1. Soluzioni di alcuni esercizi di Ricerca Operativa – classe 4E tur.
Docente: Libero Cancelliere
Esercizio n° 1
L'esercizio si propone di risolvere il problema di R.O. Dato dalla seguente funzione obbiettivo
ed i seguenti vincoli:
z =x−4y5  funzione obbiettivo
x− y ≤2
x y ≤3 vincoli
x6y≥3
x≥0
Si noti intanto come ognuno dei vincoli rappresenti una regione del piano cartesiano x,y. In
particolare considerate le uguaglianze al posto delle disuguaglianze le relative equazioni
rappresentano una serie di rette che si incrociano:
x− y =2
x y =3
x6y =3
x=0
Per disegnare le rette basta individuare due punti su esse, usualmente individuati calcolando
l'intersezione con l'asse delle x e delle y.
Per individuare i punti di intersezione basta porre nella equazione della retta rispettivamente
x = 0 o y = 0, quindi si ha:
x− y =2 x− y =2
y=−2 x=2
x=0 y=0
P x 0,−2 P y 2,0
x y =3 x y =3
y=3 x=3
x=0 y=0
P x 0,3 P y 3,0
x6y=3 x6y=3
y=2 x=3
x=0 y=0
1 A. Veneziani – Svolgimento di alcuni esercizi di R.O.

2. 1
P x 0,  P y 3,0
2
La precedente zona di ammissibilità indicata alla pagina successiva, deriva dalle intersezioni di
vari semipiani, i cui grafici riportati qui sotto:
Le rispettive rette saranno individuate dalla connessione dei punti Px e Py
La retta x = 0 invece coincide di per sé con l'asse y.
Si ha quindi una cosiddetta zona di ammissibilità di questo tipo:
2 A. Veneziani – Svolgimento di alcuni esercizi di R.O.

3. Per trovare i punti di intersezione tra le rette è possibile risolvere di volta in volta i sistemi che
rappresentano appunto l'intersezione, vale a dire (considerato che alcuni di essi sono già
espliciti e quindi non da calcolare a parte):
x− y =2 y=x −2 y=x −2 y=x −2 y=x −2
x y =3 x x−2=3 2x−2=3 2x=5
x y =3
y=x −2 5 1
y= −2 y=
2 2
5 5
x= 5 x=
2 x= 2
2
1 15
x− y =2 x=2 x=
x=2 y x=2 y 7 7
x6y =3 2 y6y=3 1 1
7y=3−2 y= y=
7 7
Infine trovata l'area di ammissibilità e i suoi
vertici, per un teorema sappiamo che (nelle
Max condizioni lineari in cui siamo), i massimi e
minimi del problema si trovano proprio sui
vertici di questa zona.
Quando parliamo di massimi e minimi ci
riferiamo alla coordinata z del piano (espresso
alla funzione obbiettivo) in un certo punto x,y.
La zona in cui studiare tale piano viene
delimitata proprio dalla zona di ammissibilità sul
piano cartesiano x-y, come indicato dalla
sequenza di immagini 3D sopra e a lato,
relative al nostro problema.
3 A. Veneziani – Svolgimento di alcuni esercizi di R.O.

4. Min
Qui sopra riporto dei grafici 3D generati con il software CAS Mathematica che mostrano la
proiezione della zona di ammissibilità sulla funzione obbiettivo (ossia il piano corrispondente ad
essa). Il terzo grafico è parzialmente ruotato per evidenziare i tagli effettuati sul piano
(funzione obbiettivo). [Si noti come il vertice più in basso corrisponda alla proiezione di quello
che nel piano cartesiano è il vertice (0,3), mentre il punto più alto alla proiezione del punto
(15/7, 1/7).
Ora che abbiamo individuato i vertici della zona di ammissibilità, andiamo dunque a calcolare
su ogni vertice il valore della funzione obbiettivo; risulta:
z  x ; y= x −4y5
In (0,3):
z  0,3=0−4⋅35=0−125=−7
In (0,1/2):
1 1
z  0, =0−4⋅ 5=0−25=3
2 2
In (5/2, 1/2):
5 1 5 1 5 5 4 10 −5410 9
z  , = −4 5=− 25=   = =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
In (15/7, 1/7):
15 1 15 1 15 4 35 15−435 46
z , = −4 5= −  = =
7 7 7 7 7 7 7 7 7
quindi il massimo risulta essere presente nel punto Pmax(15/7,1/7), mentre il minimo in
Pmin(0,3)
Esercizio n° 2
L'esercizio si propone di risolvere il problema di R.O. Dato dalla seguente funzione obbiettivo e
i seguenti vincoli:
z  x ; y=5x9y  funzione obbiettivo 
x y −8≤0
x y −2≥0 vincoli
x≥0
y≥0
4 A. Veneziani – Svolgimento di alcuni esercizi di R.O.

5. Tutti questi vincoli rappresentano come al solito dei semipiani, delimitati da delle linee ( o
meglio rette) che sono definite dalle rispettive uguaglianze, vale a dire:
x y −8=0 x y −2=0 x=0 y=0
Le rette coi loro relativi semipiani sono i seguenti:
E quindi la zona di ammissibilità nel complesso risulta:
5 A. Veneziani – Svolgimento di alcuni esercizi di R.O.

6. Tutti i grafici sopra sono stati ricavati con l'ausilio di Derive. Individuiamo ora, per
permettere il tracciamento delle rette, i punti di intersezione con gli assi x e y:
x y −8=0 x y
0 y−8=0 y=8 8
0
x =0
8 0
x y −8=0
x0−8=0 x=8
y=0
quindi i punti di intersezione con gli assi per la retta x y −8=0 sono Px(8,0) e Py(0,8).
x y −2=0
x y
0 y−2=0 y=2
x =0
0 2
2 0
x y −2=0
x0−2=0 x=2
y=0
quindi i punti di intersezione con gli assi per la retta x y −2=0 sono Px(2,0) e Py(0,2).
Le altre due rette sono proprio l'asse x e l'asse y di equazioni rispettivamente y = 0 e x = 0, e
quindi non necessitano di particolari attenzioni per il tracciamento.
Le due rette x y −8=0 e x y −2=0 tra l'altro non hanno intersezioni, infatti
calcolandole con metodo algebrico ossia con il sistema tra le due
6 A. Veneziani – Svolgimento di alcuni esercizi di R.O.

7. equazioni delle rette si ottiene:
x y −8=0 y=−x8 y=−x8 y=−x8
x y −2=0 x y −2=0 x−x8−2=0 8−2=0
y=−x8 impossibile
6=0
ossia tradotto in termini geometrici le due rette messe a sistema non hanno intersezione (ed
infatti anche nel disegno si nota che “viaggiano” parallele).
I vertici della zona di ammissibilità indicata prima sono quindi proprio le intersezioni con gli
assi delle due rette x y −8=0 e x y −2=0 e quindi risultano:
P1(0,8) P2(8,0) P3(2,0) P4(0,2)
Per un teorema sappiamo che il massimo ed il minimo nella zona di ammissibilità per funzioni
obbiettivo lineari (come quelle qui trattate), cadono sempre nei vertici e quindi nei punti
indicati sopra; verifichiamo su quali dei 4 punti, calcolando il valore della funzione obbiettivo
in ognuno dei quattro:
z  x ; y=5x9y  funzione obbiettivo 
z  0,8=5⋅09⋅8=072=72
z 8,0=5⋅89⋅0=400=40
z  2,0=5⋅29⋅0=100=10
z  0,2=5⋅09⋅2=018=18
Quindi il massimo risulta in (0,8) ed il minimo in (2,0).
7 A. Veneziani – Svolgimento di alcuni esercizi di R.O.

8. Infatti ricavata una proiezione della zona di ammissibilità sul piano descritto dalla
funziona obbiettivo risulta il seguente grafico 3D:
Max
Min
Max
Min
8 A. Veneziani – Svolgimento di alcuni esercizi di R.O.