1. Esercizi di Matematica – classe 4A liceo – 21-1-2011
(docente: L. G. Cancelliere)
Esercizio 1 – Individuare il campo di esistenza della seguente equazione logaritmica e
risolverla, ovvero trovare le possibili soluzioni:
2⋅log 2/3  xlog 2/3 3=log 2/3 5x−2
Individuiamo il campo di esistenza della equazione, considerando che log(x) vale solo
quando x > 0; osservando gli argomenti dei vari logaritmi dovrà essere
contemporaneamente x > 0, 3 > 0 (sempre vero), 5x – 2 > 0:
x0 x0
2
5x−20 x
5
0 2/5 X
Ovviamente si conclude che il sistema di disequazioni è verificato solo per x > (2/5), e
1 A. Veneziani – Analisi esercizi 4A liceo del 21-1-2011

2. questo è anche il campo di esistenza della equazione proposta.
Troviamo ora algebricamente le soluzioni che già nel grafico sono indicate in modo
qualitativo:
2⋅log 2/3  xlog 2/3 3=log2 /3 5x−2
ricordando che k log(x) = log (x)k:
log 2 /3  x 2 log 2 /3 3=log 2/3 5x−2
ricordando che loga(x) - loga(y)= loga(x/y):
log 2 /3  x 2 =log 2 /3 5x−2−log2 /3 3
2
log 2 /3  x =log 2 /3  5x−2
3 
quindi per il teorema che indica che se loga(x) = loga(y) allora x = y, ne consegue che
possiamo dire:
5x−2 3 x 2−5x2=0
x 2= 3 x 2=5x−2
3 e quindi anche:
arriviamo quindi infine ad una equazione di II° grado le cui soluzioni andiamo a calcolare:
=b 2−4⋅a⋅c=25−24=10
quindi le soluzioni esistono e sono reali e distinte (in quanto il calcolo del delta lo indica
come > 0):
−b±  5±  1 5±1 51 6
x 1,2= = = x 1= = =1
2a 6 6 6 6
5−1 4 2
x 2= = =
6 6 3
Queste soluzioni sono ciò che è possibile osservare anche sul grafico, almeno in maniera
qualitativa. Entrambe le soluzioni sono accettabili in quanto entrambe maggiori di 2/5.
Esercizio 2 - Individuare il campo di esistenza della seguente equazione logaritmica e
risolverla, ovvero trovare le possibili soluzioni:
log  x 3−x 2−2x=log  x 2log  x−  2log  x−2
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3. Individuiamo il campo di esistenza della equazione, considerando che tutti gli argomenti
dei logaritmi devono essere maggiori di 0:
Quindi deve valere il seguente sistema di condizioni:
x 3−x 2−2x0 x  x 2− x−20
x 20 x− 2
x− 20 x 2
x−20 x2
Calcoliamo quindi quando vale la condizione della prima disequazione:
x  x 2− x−20 (*)
Studiamo quando i due fattori sono maggiori di 0:
x0
x 2− x−20
La seconda disequazione va risolta a parte:
x 2− x−20
Calcoliamo il delta della relativa equazione di II° grado: x 2− x−2=0
=b 2−4⋅a⋅c=1−4⋅1⋅−2=18=90
esso è positivo e quindi esistono delle soluzioni; calcoliamole:
−b± b 2−4⋅a⋅c 1±  1−4⋅1⋅−2 1± 18 1±3
x 1,2= = = =
2a 2 2 2
13 4 1−3 −2
x 1= = =2 x 2= = =−1
2 2 2 2
Siccome il coefficiente a della equazione di secondo grado è maggiore di 0, allora risulta,
che la disequazione vale per -1 > x > 2.
La curva che rappresenta l'equazione y = x2 – x – 2 è rappresentata qui sotto e come si
può osservare è maggiore di 0 per i valori di x prima ricavati algebricamente (a > 0
significa che la parabola è rivolta verso l'alto).
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4. Il sistema di disequazioni quindi dà luogo al grafico:
- + - +
-1 0 2 X
La disequazione (*) quindi è verificata quando x > 2 o -1 > x > 0.
Il campo di esistenza complessivo quindi risulta:
−1 x0
x2
x− 2
x 2
x2
-1 0 2 X
− 2  2
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5. osservando il grafico diviene evidente che l'unica posizione in cui tutte le disequazioni sono
verificate è per x > 2.
Quindi la condizione di esistenza risulta essere x > 2.
Il grafico di questa funzione infatti risulta:
C'è da notare che essa non è definita nel punto x = 2, pur essendo definita per valori
inferiori di x (fino a x pari a radice di 2) e possiede quindi in quel punto una discontinuità.
Passiamo ora alla risoluzione della equazione logaritmica proposta:
Ricordando che possiamo scrivere, tenuto conto che:
log  x 3−x 2−2x=log  x 2−2log  x−2
e tenendo presente che loga(b) – loga(c) = loga(b/c) allora si può scrivere:
log  x 3−x 2−2x=log  x 2−2⋅ x−2 e q questo punto possiamo applicare
il teorema relativo alla risoluzione di questo tipo di equazioni che dice che risolvere
l'equazione loga(f(x)) = loga(g(x)) è del tutto equivalente a risolvere l'equazione f(x) =
g(x).
A questo punto, per tale teorema, possiamo quindi scrivere:
 x 3− x 2 −2x = x 2−2⋅ x−2 che svolgendo i calcoli risulta:
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6. x 3−x 2−2x= x 3−2x 2−2x4 x 2=4 x 1,2=± 4=±2
Nessuna delle due soluzioni però ricade nel campo di esistenza ( x > 2 ) della funzione
considerata sopra, per cui esse risultano non accettabili. => L'equazione logaritmica data
non ha soluzioni.
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