2. 1.1สมบัติของรู ปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ชีวิติประจาวันของเราเกี่ยวข้องกับเรขาคณิ ตเสมอเราใช้สมบัติของ
รู ปเรขาคณิ ตในงานก่อสร้าง เช่น สมบัติของรู ปสามเหลี่ยมในการประกอบ
โครงของบ้าน หรื อ อาคารให้มีความแข็งแรง ใช้มุมฉากในการตั้งเสาบ้าน
ให้ต้ งฉากกับพื้นดินเพื่อให้บานแข็งแรงและรับน้ าหนักได้ดี สร้างหน้าต่าง
ั ้
และประตูให้เป็ นรู ปสี่ เหลี่ยมมุมฉากเพื่อความสวยงามและมองเห็นได้
กว้างขึ้น หรื อสร้างไม้ค้ าประกอบเป็ นรู ปสามเหลี่ยมมุมฉากค้ าชายหลังคา
บ้านให้แข็งแรงมันคง
่

3. ความพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรู ปสี่ เหลี่ยมมุม
ฉากข้างต้น เป็ นไปตามสมบัติของรู ปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กล่าวว่า
สาหรับรู ปสี่ เหลียมมุมฉากใดๆกาลังสองของ
่
ความยาวของด้ านตรงข้ ามมุมฉาก เท่ ากับผลบวก
ของกาลังสองกาลังของความยาวของด้ าน
ประกอบมุมฉาก
สมบัติขางต้นนี้เรี ยกว่า ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และเชื่อกันว่า นัก
้
คณิ ตศาสตร์ชาวกรี กชื่อ พีทาโกรัส เป้ นผูพิสูจน์ได้เป็ นคนแรก
้

4. 1.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
นักเรี ยนเคยทราบมาแล้วว่า ความยาวของด้านทั้งสามรู ปสี่ เหลี่ยมมุม
ฉากมีความสัมพันธ์กน ดังนี้ กาลังสองของด้านความยาวของด้าน
ั
ประกอบมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกาลังสองของความยาวของด้าน
ประกอบมุมฉาก
ความสัมพันธ์ดงกล่าวเป็ นที่รู้จกรู ้จกกันมากว่า 3000 ปี แล้ว ในชื่อของ
ั ั ั
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่คนในสมัยนั้นสังเกตเห็นความสัมพันธ์น้ ี ในลักษณะ
ที่เป็ นความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรู ปสี่ เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านทั้งสามของรู ป
สามเหลี่ยมมุมฉาก

5. ให้ abc เป็ นรู ปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี acb เป็ นมุมฉาก มี bc =3 หน่วย ac= 4
หน่วย และ ab= 5หน่วยสร้างรู ปสี่ เหลี่ยมจัตุรัส abih รู ปสี่ เหลี่ยมจัตุรัส bced และรู ป
สี่ เหลี่ยมจัตุรัส acgf บนด้าน ab ด้าน bc และด้าน ac ตามลาดับ
จะได้ พื้นที่สี่เหลียมจัตุรัส abih เท่ากับ 5 กาลัง 2 = 25 ตารางหน่วย
พื้นที่ของรู ปสี่ เหลี่ยมจัตุรัส bced เท่ากับ 3กาลัง 2 = 9 ตารางหน่วย
พื้นที่ของรู ปสี่ เหลี่ยมจัตุรัส acgf เท่ากับ 4 กาลัง 2 ช 16 ตารางหน่วย
ซึ่ ง 25 = 9 + 16
ดังนั้น พื้นที่ของรู ปสี่ เหลี่ยมจัตุรัส abih เท่ากับ ผลบวกของพื้นที่ของ
รู ปสี่ เหลี่ยมจัตุรัส bced และพื้นที่ของรู ปสี่ เหลี่ยมจัตุรัสacgf
ตัวอย่างข้างต้นเป็ นการแสดงความสัมพันธ์ตาม ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ที่กล่าวอีกแบบหนึ่ งดังนี้
สาหรับรู ปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่ของรู ปสี่ เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับ
ผลบวกของพื้นที่ของรู ปสี่ เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมาก

6. ในสมัยอียิปต์โบราณ เกษตรกรทีอาศัยอยูรมฝั่งแม่นาไนล์มกประสบปั ญหานาท่วมทีดนจนไม่
่ ่ิ ้ ั ้ ่ ิ
สามารถชี้เขตดินแดนของตนได้ จึงต้องรังวัดใหม่ทุกปี ในสมัยนันเมื่อต้องการรังวัดทีดนให้เป็ นมุมฉาก
้ ่ิ
ชาวบ้านจะใช้เชือกทีมี 13 ปม ระยะห่างระหว่างปมเป็ น 1 หน่วย เท่ากัน มาขึงเป็ นรูปสามเหลี่ยมที่มีดาน
่ ้
ยาวเป็ น 3, 4และ 5 หน่วย ก็จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากทีมีดานตรงข้ามมุมฉากเป็ น 5 หน่วย
่ ้
่
แม้แต่ในปัจจุบนถ้าช่างรังวัดไม่มีเครืองวัดมุมฉาก เขาจะใช้เชือก 13 ปม มาขึงสร้างมุมฉาก วิธี
ั
ดังกล่าวนี้ช้ ให้เห็นว่าช่างรังวัดทราบว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านทังสามเป็ น 3 , 4 และ
ี ้
5 หน่วย จะต้องเป็ นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

7. ่
ข้อสรุปนี้เป็ นจริงตาม บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสทีกล่าวว่า
สาหรับรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้ากาลังสองของความยาวของด้านด้านหนึ่งเท่ากับผลบวกของ
กาลังสองของความยาวของด้านอีกสองด้าน แล้วรูปสามเหลี่ยมนันเป็ นรูปสามเหลี่ยมมุม
้
ฉาก
บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็ นการนาผลของทฤษฎีพีทาโกรัสมาเป็ นเหตุนาเหตุมาเป็ น
่ ่
ผลซึงอธิบายได้ผลซึงอธิบายได้ดงนี้
ั
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส มีเหตุและผล ดังนี้
เหตุ : มีรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง เป็ นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ผล : กาลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของ
กาลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม
เมื่อนาผลข้างต้นมาเป็ นเหตุ และเหตุมาเป็ นผล ก็จะได้บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ดังกล่าวมาข้างต้น

8. กาหนดให้ abc มี ab = c หน่วย bc = b หน่วย และ c กาลังสอง = a กาลังสอง + b กาลังสอง
การพิสูจน์ abc เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี abc เป็นมุมฉาก
แนวคิดในการพิสจน์ ต้องสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากdef อีกรูปหนึ่งให้ด้านประกอบมุมฉาก ef และ df ยาว a หน่วยและ b หน่วย
ู
ตามลาดับ แล้วแสดงให้เห็น def = abc
พิสูจน์ สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก def ให้ด้านประกอบมุมฉาก ef และ df ยาว a หน่วย และ b หน่วยตามลาดับ และ dfe เป็นมุม
ฉาก
ef = bc =a และ df = ac = b (จากการสร้าง)
จาก def จะได้ de กาลังสอง = a กาลังสอง + b กาลังสอง ( ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
จาก abc จะได้ c กาลังสอง = a กาลังสอง + b กาลังสอง (กาหนดให้ )
ดังนั้น de กาลังสอง = c กาลังสอง ( สมบัติของการเท่ากัน )
นั่นคือ de= c
จะได้ dfe = abc ด.ด.ด
ดังนั้น def = acb = 90 องศา ( มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน)
นั่นคือ abc เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทีมี acb เป็นมุมฉาก
่

9. ตัวอย่าง abc มีดานยาว 21 เซนติเมตร 72 เซนติเมตร และ 75 เซนติเมตร ตามลาดับ abc เป็ นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
้
หรือไม่
วิธีทา ให้ a = 21
B = 72
C = 75
จะได้ a กาลังสอง = 411
B กาลังสอง = 5184
c กาลังสอง = 5625
aกาลังสอง + bกาลังสอง = 411+ 5184 = 5625
ดังนัน c กาลังสอง = a กาลังสอง + b กาลังสอง
้
นันคือ abc เป็ นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
่

10. ข้อที่ a b c A2 B2 C 2 a2+
b2
1 3 4 5
2 2.4 3.2 4
3 2.5 6 6.5
4 6 8 10

11. ข้อที่ a b c a2 b2 c2 A2+
b2
1 3 4 5 9 16 25 25
2 2.4 3.2 4 5.76 10.24 16 16
3 2.5 6 6.5 4.25 30 42.2 42.2
5 5
4 6 8 10 36 64 100 100

12. จงหาจานวนที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. 9,12
วิธีทา c2 =
c2 =
c2 =
C2 =
c=
ตอบ หน่วย

13. จงหาจานวนที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. 9,12
วิธีทา c2 = a2 + b2
c2 = 9กาลัง2 + 12กาลัง2
c2 = 81 + 144
c2 = 225
c2 = 15 * 15
c = 15
ตอบ 15 หน่วย

14. 2. 11 , 16
วิธีทา c2 =
c2 =
c2 =
c2 =
c2 =
c =
ตอบ หน่วย

15. 2. 11 , 16
วิธีทา c2 = a2 + b2
กาลัง2 + 16กาลัง2
c2 = 11
c2 = 121 + 3600
c2 = 3721
c2 = 61 * 16
c = 61
ตอบ 61 หน่วย

16. 3. 20 , 21
วิธีทา c2 =
C2 =
C2 =
C2 =
C2 =
C=
ตอบ หน่วย

17. 3. 20 , 21
วิธีทา c2 = a2 + b2
C2 = 20กาลัง2 + 21กาลัง 2
C2 = 400 + 441
C2 = 841
C2 = 29 * 29
C = 29
ตอบ 29 หน่วย

18. 4. 0.8,1.5
วิธีทา c2 =
c2 =
C2 =
C2 =
C2 =
C =
ตอบ หน่วย

19. 4. 0.8,1.5
วิธีทา c2 = a2 + b2
c2 = 0.8กาลัง
2 + 1.5 กาลัง2
C2 = 0.64 + 2.25
C2 = 2.89
C2 = 1.7 * 1.7
C = 1.7
ตอบ 1.7 หน่วย

20. 2.1จานวนตรรกยะ
นักเรียนเคยทราบมาแล้วว่าจานวน เช่น 0 , 1 , 5 , -7 , 2 ส่วน 3 ,-3 ส่วน 5 , 11 ส่วน7 และ
31- ส่วน 12 เป็ น จานวนทีสามารถเขียนให้อยูในรูป a ส่วน b เมื่อ a และ b เป็ นจานวนเต็มที่ b
่ ่
มาก 0 ในทางคณิตศาสตร์ เรียกจานวนเหล่านี้วา จานวนตรรกยะ
่
จานวนตรรกยะ คือ จานวนทีเ่ ขียนแทนได้ดวยเศษส่วน a ส่วน b เมื่อ a และ b เป็ นจานวน
้
เต็มที่ b มากกว่า 0

21. 2.2 จานวนอตรรกยะ
่
ถึงแม้วาจานวนเต็ม เศษส่ วน และทศนิยมซ้ า จะมี
็ั
ประโยชน์และสามารถนาไปใช้ได้อย่างกว้างขวาง แต่กยงมีปัญหา
หรื อสถานการณ์บางอย่างที่ไม่สามารถใช้จานวนดังกล่าวแทน
ปริ มาณที่ตองการสื่ อได้
้

22. จงเขียน0.6ให้อยู่ในรูปเศษส่วน
วิธีทา ให้ n = 0.6
ดังนั้น n = 0.666… --- 1
1* 10
จะได้ 10n = 6.666...
หรือ 10n = 6.666...---2
2-1
จะได้10

23. ่
2.3 รากทีสอง
นักเรียนเคยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อทราบ
ความยาวของด้านประกอบรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมาแล้วดังนี้
เมื่อความยาวแต่ละด้านของด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็ น 1
หน่วยอาจหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก โดยการหารด้วยการยกกาลังสอง
บทนิยาม ให้ a แทนจานวนจรงบวกใดๆ หรือศูนย์ รากทีสองของ a คือจานวน
่
จริงทียกกาลังสองแล้วได้ a
่
สาหรับรากทีสองของจานวนจริงลบจะไม่กล่าวถึง เนื่องจากไม่มีจานวนจริงใดทียก
่ ่
กาลังสองแล้วได้จานวนจริงลบ

24. ตัวอย่าง
ตัวอย่าง 7 เป็ นรากทีสองของ 49 เนื่องจาก 7 กาลังสอง = 49
่
-7 เป็ นรากทีสองของ 49 เนื่องจาก ( -7 ) กาลังสอง = 49
่
13 เป็ นรากที่สองของ 169 เนื่องจาก 13 กาลังสอง = 169
-13 เป็ นรากทีสองของ 169 เนื่องจาก (-13 ) กาลังสอง = 169
่
ถ้า a เป็ นจานวนจริงบวก รากที่สองของ a มีสองราก คือ รากที่ สองทีเ่ ป็ นบวกซึงแทน
่
ด้วยสัญลักษณ์ ยกกาลังสอง a และรากที่สองเป็ นลบ ซึงแทนด้วยสัญลักษณ์ – ยกกาลังสอง
่
a
ถ้า a = 0 รากที่สองของ a คือ 0

25. สาหรับจานวนเต็มบวก พิจารณาดังนี้
1. ถ้าสามารถหาจานวนเต็มจานวนหนึ่งที่ยกกาลัง สอง แล้วเท่ากับ
จานวนเต็มบวกที่กาหนดให้ รากที่สองของจานวนนั้นจะเป็ น
จานวน ตรรกยะที่เป็ นจานวนเต็ม
2. ถ้าไม่สามารถหาจานวนเต็มที่ยกกาลังสอง วเท่ากับจานวนเต็มบวก
ที่กาหนดให้รากที่สองของจานวนนั้นจะเป็ นจานวนอตรรกยะ
สาหรับจานวนตรรกยะบวกจานวนอื่นๆ ที่ไม่ใช่จานวนเต็ม พิจารณา
ดังนี้
ถ้าสามารถหาจานวนตรรกยะที่ยกกาลังสอง แล้วเท่ากับจานวนตรรก
ยะบวกที่กาหนดให้รากที่สองของจานวนนั้นจะเป็ นจานวนตรรก
ยะ แต่ถาไม่สามารถหาจานวนตรรกยะที่ยกกาลังสอง แล้วเท่ากับ
้
จานวนตรรกยะบวกที่กาหนดให้ รากที่สองของจานวนนั้นจะ
เป็ นจานวนอตรรกยะ

26. ่ ้ ู่
การหารากทีสองของจานวนจริงทาได้หลายวิธี สาหรับวิธีคานวณ นักเรียนจะได้เรียนในระดับชันทีสงกว่านี้
่
สาหรับในชันนี้ นักเรียนอาจใช้การแยกตัวประกอบ การประมาณการเปิ ดตารางและการใช้เครืองคานวณ ดังจะกล่าว
้
ต่อไปนี้
่
การหารากทีสองโดยการแยกตัวประกอบ
การหารากทีสองโดยการแยกตัวประกอบเป็ นสิงทีทาได้งาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การหารากทีสองของจานวน
่ ่ ่ ่ ่
่
เต็มบวกทีสามารถแยกตัวประกอบได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
่
ตัวอย่าง จงหารากทีสองของ400
วิธีทา เนื่องจาก 400 = 2 คูณ 2 คูณ 2 คูณ 2 คูณ 2 คูณ 5 คูณ 5
= ( 2 คูณ 2 คูณ 5 ) กาลังสอง
= 20 กาลังสอง
และ 400 = ( -20 ) กาลังสอง
ดังนัน รากที่สองของ 400 คือ 20 และ -20
้
ตอบ 20 และ -20

27. 2.4 รากที่ สาม
นักเรียนทราบมาแล้วว่า การหารากทีสองของศูนย์และจานวนจริงบวกใดๆ คือการหาจานวนจริงที่
่
่
ยกกาลังสองแล้วได้จานนวนจริงนัน ในทานองเดียวกัน การหารากทีสาม ของจานวนจริงใดๆ
้
ก็คอ การหาจานวนจริงทียกกาลังสามาแล้วได้จานวนจริงนันคือสอง จึงได้วาสอง เป็ นรากที่
ื ่ ้ ่
สามของ แปด
บทนิยาม ให้ a แทนจานวนจริงใดๆ รากทีสามของa คือ จานวนจริง ทียกกาลังสามแล้วได้
่ ่
a เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ a ยกกาลังสาม

28. สาหรับ จานวนเต็ม พิจารณาดังนี้
1. ถ้าสามารถหาจานวนเต็มจานวนหนึ่งทียกกาลัง สาม แล้วเท่ากับจานวนเต็มทีกาหนดให้ รากที่
่ ่
สาม ของจานวนนันจะเป็ นจานวนตรรกยะทีเ่ ป็ นจานวนเต็ม
้
2. ถ้าไม่สามารถหาจานวนเต็มทียกกาลังสาม แล้วเท่ากับจานวนเต็มที่กาหนดให้รากทีสามของ
่ ่
จานวนนันจะเป็ นจานวน อตรรกยะ
้
่ ่
สาหรับจานวนตรรกยะอืนๆ ทีไม่ใช่จานวนเต็ม พิจารณาดังนี้
1. ่ ่ ่
ถ้าสามารถหาจานวนตรรกยะทียกกาลังสาม แล้วเท่ากับจานวนตรรกยะทีกาหนดให้รากทีสาม
้ ้ ่
ของจานวนนันจะเป็ นจานวนตรรกยะ แต่ถาไม่สามารถหาจานวนตรรกยะทียกกาลังสามแล้ว
่ ่
เท่ากับจานวนตรรกยะทีกาหนดให้ รากทีสามของจานวนนันจะเป็ นจานวนตรรกยะ
้
เราควรจาไว้
รากทีสามของจานวนจริงใดๆ มีเพียงรากเดียว เช่น รากทีสามของ 8 คือ 2 รากที่สามชอง-8 คือ -2
่ ่
่ ่ ่
ในขณะทีรากทีสามของจานวนจริงบวกใดๆมีสองราก เช่น รากทีสองของ 9 คือ 3 และ -3

29. ่
การหารากทีสามของจานวนจริงใดๆ ทาได้หลายวิธีเช่นเดียวกับการหารากทีสอง่
่
อาจใช้การแยกตัวประกอบ การประมาณ การเปิ ดตาราง และการใช้เครืองคานวณ แต่
เนื่องจากการประมาณเป็ นวิธีทยุงยาก ในทีน้ ีจงจะกล่าวเฉพาะการหารากทีสามโดยการ
่ี ่ ่ ึ ่
่
แยกตัวประกอบการเปิ ดตาราง และการใช้เครืองคานวณ
่
การหารากทีสามโดยการแยกตัวประกอบ
การหารากทีสามของจานวนจริงใดๆ อาจทาได้โดยการแยกตัวประกอบ เพื่อเขียนให้อยูในรูป
่ ่
กาลังสาม แล้วหารากทีสาม ่
่ ่
การหารากทีสามโดยการเปิ ดตารางและการใช้เครืองคานวณ
วิธีหนึ่งในการหารกที่สามของจานวนเต็มทีสะดวกละรวดเร็วคือการเปิ ดตาราง
่

30. ่ ่
ถึงแม้วาการหารากทีสามโดยการเปิ ดตารางจะทาได้โดยสะดวกก็ยงไม่สามารถใช้ได้กบจานวนจริงทุกจานวน
ั ั
่ ่ ่
วิธีหารากทีสามทาได้ง่ายและรวดเร็วกว่าคือการใช้เครืองคานวณหรือเครืองคิดเลขบางรุน
่
ระนาบจริง
นักเรียนเคยทราบมาแล้วว่า ระนาบในระบบพิกดฉากประกอบด้วยเส้นจานวนสองเส้นตัดกันเป็ นมุมฉากบน
ั
ระนาบตัดกัน เรียกเส้นจานวนแนวนอนว่าแกน x และเรียกเรียกเส้นจานวนแนวตังว่าแกน y ทีจริงแล้วแกน x และ
้ ่
แกน y ข้างต้น คือ เส้นจานวนจริงและระนาบในระนาบพิกดฉาก ดังกล่าวก็คอ ระนาบจริง ดังนันจุดต่างๆ บนระนาบ
ั ื ้
จึงแทนด้วยคูอนดับ ( x , y ) ที่ x และ y เป็ นจานวนจริง
่ั
นักเรียนเคยหาตาแหน่งของจุดบนระนาบในระบบพิกดฉากทีมีพิกดทีหนึ่งและพิกดทีสองเป็ นจานวนตรรกยะมาแล้ว
ั ่ ั ่ ั ่
เช่น จุด a ( 2 , 4 ) , b ( 0 , -5 ) , c ( -4 เศษหนึ่งส่วนสอง, 3 ) และ d ( -6 , -2.5 )

31. แบบฝึ กหัด
จานวนต่อไปนี้จานวนใดเป็ นจานวนตรรกยะและจานวนใดเป็ นอตรรกยะ
1. 0
ตอบ
2. 0.842
ตอบ
3. 2.4313113111...
ตอบ
4. 2.137137137...
ตอบ
5. -0.1666676869
ตอบ

32. เฉลย
จานวนต่อไปนี้จานวนใดเป็ นจานวนตรรกยะและจานวนใดเป็ นอตรรกยะ
1. 0
ตอบ เป็ นจานวนตรรกยะ
2. 0.842
ตอบ ไม่เป็ นอตรรกยะ
3. 2.4313113111...
ตอบ เป็ นจานวนตรรกยะ
4. 2.137137137...
ตอบ เป็ นอตรรกยะ
5. -0.1666676869
ตอบ เป็ นอตรรกยะ

33. แบบฝึ กหัด
การหารากที่สอง
1. 196
ตอบ
2. 725
ตอบ
3.1296
ตอบ
4. 115
ตอบ
5. 81
ตอบ

34. เฉลย
การหารากที่สอง
1. 196
ตอบ รากที่สองของ 196 คือ 14 และ -14
2. 725
ตอบ รากที่สองของ 725 คือ 27 และ -27
3.1296
ตอบ รากที่สองของ 1296 คือ 36 และ -36
4. 115
ตอบ เป็ นจานวนอตรรกยะ
5. 81
ตอบ รากที่สองของ 81 คือ 9 และ -9

35. แบบฝึ กหัด
จงหารากที่สองของจานวนต่อไปนี้
1. 2601
ตอบ
2. 3025
ตอบ
3. 4225
ตอบ
4. 4900
ตอบ
5. 400
ตอบ

36. เฉลย
จงหารากที่สองของจานวนต่อไปนี้
1. 2601
ตอบ 51และ -51
2. 3025
ตอบ 55 และ-55
3. 4225
ตอบ 65 และ -65
4. 4900
ตอบ 70 และ -70
5. 400
ตอบ 20และ -20

37. แบบฝึ กหัด
จงหารากที่สามตามจานวนต่อนี้
1. -1
ตอบ
2. 20
ตอบ
3. 116
ตอบ
4. -1728
ตอบ
5. 2
75
ตอบ

38. เฉลย
จงหารากที่สามตามจานวนต่อนี้
1. -1
ตอบ -1
2. 20
ตอบ 20
3. 116
ตอบ 116
4. -1728
ตอบ -12
5. 2
75
ตอบ เป็ นจานวนอตรรกยะ

39. 3.1 ทบทวนการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ความหมายของสมการ
สมการ เป็ นประโยคที่แสดงการเท่ากันของจานวน โดยมีสัญลักษณ์ = บอกการเท่ากัน
สมการอาจมีตวแปรหรื อไม่มีตวแปรก็ได้ เช่น 3x + 2 = 59 เป็ นสมการที่มี x เป็ นตัวแปรและ
ั ั
8 - 11 = -3 เป็ นสมการที่ไม่มีตวแปร
ั
สมการซึ่งมี x เป็ นตัวแปรและมีรูปทัวไปเป็ น ax +b = 0 เมื่อ a, b เป็ นค่า
่
คงตัวและ a = 0 เรี ยกว่า สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ต่อไปนี้เป็ นตัวอย่างของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1. 2x = 0 2. 1 ส่ วน 2 x = + 3 = 0
3. -0.8 y - 1.4 = 0 4. 3x – 5 = 0

40. คาตอบของสมการคือ จานวนที่แทนตัวแปรในสมการแล้วทาให้สมการเป็ นจริ ง
การแก้สมการคือการหาคาตอบของสมการ
คาตอบของสมการเชิงเส้นตัวเดียวจะมีเพียงคาตอบเดียว ดังตัวอย่าง
สมการ 2x -5 = 0 มี 5 ส่ วน 2 เป็ นตอบ
สมการ -4 ส่ วน 5 y = 0 มี 0 เป็ นคาตอบ
สมการ 1 ส่ วน 2x -7 = 0 มี 14 เป็ นคาตอบ
การหาคาตอบของสมการนอกจากจะใช่วธีลองหาจานวนมาแทนค่าตัวแปรใน
ิ
สมการแล้ว
เราสมบัติของการเท่ากันได้แก่ สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด สมบัติการบวกและ
สมบัติการคูณ เพื่อช่วยในการหาคาตอบของสมการอีกวิธีหนึ่ง

41. สมบัติของสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a เมื่อ a และ b แทน
จานวนจริ งใดๆ
สมบัติถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c เมื่อ a, b และ c
แทนจานวนจริ งใดๆ
สมบัติการบวก ถ้า a = b แล้ว a + c = b+ c เมื่อ a , b และ c
แทนจานวนจริ งใดๆ
สมบัติการคูณ ถ้า a = b แล้ว ca = c b เมื่อ a, b และ c แทนจานวน
จริ งใดๆ

42. โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวระยะทาง อัตราเร็ ว และ เวลา เป็ นอีกเรื องหนึ่งที่เรา
สามารถหาคาตอบได้โดยใช้ความรู ้เรื้ องสมการ
ความเกี่ยวข้องระหว่าง ระยะทาง อัตราเร็ ว และ เวลา จะเป็ นดังนี้
ระยะทาง = อัตราความเร็ ว x เวลา
อัตราเร็ วที่กล่าวถึงข้างต้นจะหมายถึง อัตราเร็ ว เฉลี่ย

43. จานวนอะไรเอ่ย มีสามหลัก ผลบวกของแต่ละหลักคือ 18 เลขโดดในหลัก
หน่วยเป็ นสามเท่าของเลขโดดในหลักสิ บและเลขโดดในหลักร้อยเป็ นสองเท่าของ
เลขโดดในหลักสิ บ
วิธีการเล่นเกมทายจานวน
เกมทางคณิ ตศาสตร์ เป็ นเกมลับสมองที่ใช้ความรู ้ทางคณิ ตศาสตร์มาสร้าง เช่น
เกมทายจานวน
ุ่
เกมทายจานวนที่ดีตองมีหลักเกณฑ์ ที่ไม่ยงยากหรื อซับซ้อนมากนัก เพื่อทา
้
็ ้
ให้เกมน่าเล่นแต่กตองยากพอที่ผเู ้ ล่นจะไม่สามารถวิเคราะห์หรื อหาคาตอบได้ทนที
ั
และที่สาคัญคือผูต้ งคาถามสามารถบอกคาตอบได้ทนทีเมื่อการเล่นเสร็ จสิ้ นลง
้ั ั

44. แบบฝึ กหัด
จงแก้สมการของ 3x-4=17
นา....... มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้........................... = .........
.......... = .........
นา.........มาหารทั้งสองข้างของสมการ
.......... = .........
.......... = .........
ตรวจ
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
.............................................................................................................................

45. เฉลย
จงแก้สมการของ 3x-4=17
นา 4 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ 3x-4+4 = 17+4
3x = 21
นา 3 มาหารทั้งสองข้างของสมการ
3x = 21
3x 3
3 = 7
ตรวจ 3x-4 =17
แทนค่า x = 7
จะได้ 3(7)-4 = 17
21-4= 17
17 = 17

46. แบบฝึ กหัด
ผลบวกของจานวนเต็มสองจานวนเป็ น -51 ถ้าจานวนหนึ่งน้อยกว่าอีก
จานวนหนึ่งจานวนสองจานวนนั้น
วิธีทา ให้ x แทนจานวนเต็มจานวนหนึ่ง
จะได้จานวนเต็มอีกจานวนที่นอยกว่า xอยู่ 13 เป็ น x-13
้
เนื่องจากผลบวกขงจานวนเต็มสองจานวนนั้นเป็ น -51
จะได้สมการเป็ น x+(x-13) =
x+x-13 =
(x+x) =
2x-13 =
2x =
X =
ตอบ

47. เฉลย
ผลบวกของจานวนเต็มสองจานวนเป็ น -51 ถ้าจานวนหนึ่งน้อยกว่าอีก
จานวนหนึ่งจานวนสองจานวนนั้น
วิธีทา ให้ x แทนจานวนเต็มจานวนหนึ่ง
จะได้จานวนเต็มอีกจานวนที่นอยกว่า xอยู่ 13 เป็ น x-13
้
เนื่องจากผลบวกขงจานวนเต็มสองจานวนนั้นเป็ น -51
จะได้สมการเป็ น x+(x-13) = -51
x+x-13 = -51
(x+x) = -51
2x-13 = -51
2x = -38
X = -19
ตอบ -19 และ -38

48. แบบฝึ กหัด
จงหาจานวนคู่สามจานวนที่เรี ยงติดกัน ซึ่งมีผลบวกเป็ น 288
วิธีทา ให้ x แทนจานวนเต็มจานวนหนึ่ง
จะได้จานวนเต็มอีกจานวนที่นอยกว่า xอยู่ 13 เป็ น x-13
้
เนื่องจากผลบวกขงจานวนเต็มสองจานวนนั้นเป็ น -51
จะได้สมการเป็ น x+(x 2 )+(x+4) =
x+x 2+x +4 =
(x+x+x)+(2+4) =
3x+6 =
3x =
X =
ตอบ

49. เฉลย
จงหาจานวนคู่สามจานวนที่เรี ยงติดกัน ซึ่งมีผลบวกเป็ น 288
วิธีทา ให้ x แทนจานวนเต็มจานวนหนึ่ง
จะได้จานวนเต็มอีกจานวนที่นอยกว่า xอยู่ 13 เป็ น x-13
้
เนื่องจากผลบวกขงจานวนเต็มสองจานวนนั้นเป็ น -51
จะได้สมการเป็ น x+(x 2 )+(x+4) = 288
x+x 2+x +4 = 288
(x+x+x)+(2+4) = 288
3x+6 = 288
3x = 282
X = 94
ตอบ 94 96 และ98

50. 4.1 เส้นขนานและมุมภายใน
ในสิ่ งแวดล้อมรอบตัวเรามีตวอย่างของสิ่ งที่มีลกษณะของเส้นขนานเช่นรางรถไฟ
ั ั
ราวบันได แนวกระเบื้องปูพ้ืน และเส้นบรรทัดในสมุด
บทนิยาม เส้นตรงสองเส้นที่อยูบนระนาเดียวกัน ขนานกันก็ต่อเมื่อเส้นตรงทั้ง
่
สองเส้นนั้นไม่ตดกัน ั
เราสามารถกล่าวว่าส่ วนของเส้นตรงหรื อรังสี ขนานกันเมื่อส่ วนของเส้นตรงหรื อ
รังสี น้ นเป็ นส่ วนหนึ่งของเส้นตรงที่ขนานกัน
ั
ในการเขียนรู ปเส้นตรง ส่ วนของเส้นตรง หรื อรังสี ที่ขนานกัน อาจใช้ลูกศรที่แสดง
เส้นที่ขนานกันก็ได้

51. ในกรณี ทวไป ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน แล้วระยะห่างของเส้นตรงคูน้ น
ั่ ่ ั
จะเท่ากันเสมอ และในทางกลับกัน ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีระยะห่างระหว่าง
เส้นตรงเท่ากันเสมอ แล้วเส้นตรงคู่น้ นจะขนานกันในทางปฏิบติ เมื่อต้องการ
ั ั
ตรวจสอบว่าเส้นตรงสองเส้นที่กาหนดให้ขนานกันหรื อไม่อาจตรวจสอบ
ระยะห่างระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่วดจากจุดที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองจุด
ั
บนเส้นตรงเส้นหนึ่งก็เพียงพอ

52. 1. ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วขนาดของ
่
มุมภายในที่อยูบนข้างเดียวกันของเส้นตัด รวมกันเท่ากับ
180 องศา
2. ถ้าเส้นตรงคู่หนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทาให้ขาดของมุมภายใน
่
ที่อยูบนเส้นเดี่ยวกันของเส้นตัด รวมกันเท่ากับ 180 องศา
แล้วเส้นตรงคู่น้ นจะขนานกัน
ั
เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่น้ นขนานกัน
ั
ก็ต่อเมื่อขนาดของมุมภายในที่อยูบนข้างเดียวกันของเส้นตัด
่
รวมกันได้ 180 องศา

53. ในการตรวจสอบว่าเส้นตรงคู่ใดขนานกันหรื อไม่นอกจากการใช้บท
นิยามของเส้นขนานโดยตรงและการพิจารณาจากระยะห่ างระหว่าง
เส้นตรงสองเส้นแล้วยังมีวิธีอื่นที่ควรตรวจสอบว่าเส้นตรงสองเส้น
่
ขนานกันหรื อไม่โดยพิจารณาจากขนาดของ มุมภายในที่อยูบนข้าง
เดียวกันของเส้นตัด คาที่นิยมเรี ยกกัน
เส้นตัด
่ ้
มุมภายในที่อยูขางเดียวกันของเส้นตัด
ลูกศร

54. ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัดแล้วมุม
แย้งมีขนานเท่ากัน
ทฤษฎีน้ ีสามารถนาไปอ้างอิงในการตรวจสอบได้
ในการตรวจสอบว่า เส้นตรงสองส้นขนานกันหรื อไม่ นอกจาก
่
จะพิจารณาจากขนาดของมุมภายในที่อยูบนข้างเดียวกันของ
เส้นตัดเส้นตรงทั้งสองแล้ว ยังสามารถพิจารณาจากขนาดของ
มุมแย้งได้
ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทาให้มุมแย้ง
มีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นนขนานกัน
ั่
ทฤษฎีบท เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่
นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน

55. เราสามารถใช้สมบัติของเส้นขนานจากหัวข้อ 4.1 และทฤษฎีบทจาก
หัวข้อ 4.2 มาอ้างอิงในการพิสูจน์เกี่ยวกับขนาดของมุมภายนอกมุม
่
ภายในที่อยูตรงข้ามเดียวกันของเส้นตัดเส้นขนาน
ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด และมุม
่
ภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงข้ามบนด้านเดียวกันของเส้นตัดมี
ขนาดเท่ากัน

56. ในการตรวจสอบว่าเส้นตรงคู่หนึ่งขนานกันหรื อไม่ สามารถพิจารณาจากขนาดของ
่
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดดังบททฤษฎีบท
ต่อไปนี้
ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่ งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งทาให้มุมภายนอก
่
และมุมภายในที่อยูตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด
มีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่น้ นขนานกัน
ั
ทฤษฎีบท เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่น้ นขนาน
ั
กัน
ก็ต่อเมื่อมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงข้ามบนข้างเดียว
่
ของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน

57. ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรู ปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา
ทฤษฎีบท ถ้าด้านใดด้านหนึ่งของรู ปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอก
ที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายใน
ที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น
ทฤษฎีบท ถ้ารู ปสามเหลี่ยมสองรู ปมีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และ
ด้านคู่ที่อยูตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันหนึ่งคู่
่
แล้วรู ปสามเหลี่ยมสองรู ปนั้นเท่ากันทุกประการ

58. แบบฝึ กหัด
กาหนดให้ CD // EF และมี AB เป็ นเส้นตัด จงอิบายว่า ABD มี
ขนาดเท่ากับขนาดมุมใด
วิธีทา เนื่องจาก ..........//.........มี................ เป็ นเส้นตัด
จะได้ ACD เป็ นมุม........................................................
ดังนั้น

59. เฉลย
กาหนดให้ CD // EF และมี AB เป็ นเส้นตัด จงอธิบายว่า ABD มี
ขนาดเท่ากับขนาดมุมใด
วิธีทา เนื่องจาก CD //EF มี AB เป็ นเส้นตัด
จะได้มุม ACD เป็ นมุมภายนอกที่อยูตรงข้ามกับมุม CBF ซึ่งเป็ นมุม
่
ภายในบนข้างเดียวกันของเสนตัดเส้นขนาน
ดังนั้น มุมACD = มุมCBF

60. ค้นหามาจากหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ เล่มที่2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2
ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551
จัดทาหนังสือโดย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
และบางส่วนก็ค้นหามาจาก www.google.com

61. งาน power point
วิชาคณิ ตศาสตร์
เสนอ
อาจารย์กฤษตยช ทองธรรมชาติ
จัดทาโดย
ด.ญ. วนัสนันท์ ชะงอนรัมย์ ม. 2/4 เลขที่ 33
ด.ญ. วิไลวรรณ กรัดกระยาง ม. 2/4 เลขที่ 37
ด.ช. สุ วรรณเพชร สี เหลือง ม. 2/4 เลขที่ 16
ด.ช. จิระศักดิ์ โยธี ม. 2/4 เลขที่ 2
ด.ช. ศราวุธ นราศรี ม. 2/4 เลขที่ 14