Apresentação da defesa de mestrado 'Relaxação magnética em ligas magnéticas diluídas'

1. Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
Krissia de Zawadzki
Instituto de F´
ısica de S˜o Carlos - Universidade de S˜o Paulo
a
a
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
1 / 31

2. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Sum´rio
a
1
Introdu¸˜o
ca
2
Nuvem Kondo e NMR
3
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
4
Resultados num´ricos
e
5
Conclus˜es
o
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
2 / 31

3. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Um pouco de hist´ria
o
Um pouco de hist´ria
o
1936: M´
ınimo de resistividade 𝜌 a baixas temperaturas
𝜌
𝑚𝑖𝑛
contrariava a teoria de resistividade dos metais
1964: espalhamento anˆmalo residual seria associado a impurezas
o
magn´ticas
e
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
3 / 31

4. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
In´ do problema Kondo
ıcio
In´ do problema Kondo
ıcio
Resistivity
𝜌(𝑇 ) = 𝜌0 +𝑐 𝑚 ln( 𝑇𝜇 )+𝑎𝑇 2 +𝑏𝑇 5
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
4 / 31

5. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
A Nuvem Kondo
A Nuvem Kondo
𝑅
𝑅𝑘
𝐾
∝
1
𝑇 𝐾
Para 𝑇 𝐾 e 𝑣 𝐹 t´
ıpicos
𝜉 𝐾 ∼ 1𝜇m
mesosc´pico? Efeito Kondo
o
em nanoestruturas ?
Diversas abordagens
te´ricas e experimentais em
o
Mat´ria Condensada
e
Medida da nuvem Kondo
Estimativa qualitativa[1]
𝜉 𝐾 = 𝑣 𝐹 /𝑘 𝐵 𝑇 𝐾
[1] BORDA, L. Phys Rev B, 75(4), 2007.
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
5 / 31

6. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
A Nuvem Kondo
A Nuvem Kondo
𝑅
𝑅𝑘
𝐾
∝
1
𝑇 𝐾
Para 𝑇 𝐾 e 𝑣 𝐹 t´
ıpicos
𝜉 𝐾 ∼ 1𝜇m
mesosc´pico? Efeito Kondo
o
em nanoestruturas ?
Diversas abordagens
te´ricas e experimentais em
o
Mat´ria Condensada
e
Medida da nuvem Kondo
Estimativa qualitativa[1]
𝜉 𝐾 = 𝑣 𝐹 /𝑘 𝐵 𝑇 𝐾
[1] BORDA, L. Phys Rev B, 75(4), 2007.
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
5 / 31

7. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
A Nuvem Kondo
A Nuvem Kondo
𝑅
𝑅𝑘
𝐾
∝
1
𝑇 𝐾
Para 𝑇 𝐾 e 𝑣 𝐹 t´
ıpicos
𝜉 𝐾 ∼ 1𝜇m
mesosc´pico? Efeito Kondo
o
em nanoestruturas ?
Diversas abordagens
te´ricas e experimentais em
o
Mat´ria Condensada
e
Medida da nuvem Kondo
Estimativa qualitativa[1]
𝜉 𝐾 = 𝑣 𝐹 /𝑘 𝐵 𝑇 𝐾
[1] BORDA, L. Phys Rev B, 75(4), 2007.
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
5 / 31

8. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
A Nuvem Kondo
A Nuvem Kondo
𝑅
𝑅𝑘
𝐾
∝
1
𝑇 𝐾
Para 𝑇 𝐾 e 𝑣 𝐹 t´
ıpicos
𝜉 𝐾 ∼ 1𝜇m
mesosc´pico? Efeito Kondo
o
em nanoestruturas ?
Diversas abordagens
te´ricas e experimentais em
o
Mat´ria Condensada
e
Medida da nuvem Kondo
Estimativa qualitativa[1]
𝜉 𝐾 = 𝑣 𝐹 /𝑘 𝐵 𝑇 𝐾
[1] BORDA, L. Phys Rev B, 75(4), 2007.
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
5 / 31

9. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Medidas de NMR em ligas met´licas
a
Medidas de NMR em ligas met´licas
a
Trabalhos experimentais
Ligas CuFe a temperaturas 𝑇 𝑇
𝐾
[2]
Polariza¸˜o de Fe na presen¸a de 𝐻
ca
c
ca
induzindo 𝜎(𝑟) nos e− de condu¸˜o ao
redor da impureza de Fe
Resultados an´logos aos de NMR
a
[2] BOYCE, J.B.;SLICHTER, C.P. Phys Rev Lett, 32(2), 1974.
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
6 / 31

10. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Medidas de NMR em ligas met´licas
a
Medidas de NMR em ligas met´licas
a
14
M
12
10
Trabalhos experimentais
8
Ligas CuFe a temperaturas 𝑇 𝑇
6
4
T(K)
50
10
30
15
20 15
10
20
5
25
1
30
3
-2
10 (K-1
)
T+29
Resultados an´logos aos de NMR
a
C
-4
-6
Knight shift
-8
-10
𝜒(𝑟, 𝑇 ) = 𝑓 (𝑟)𝑔(
-12
𝑇
𝑇
𝐾
)
B
-14
-16
[2] BOYCE, J.B.;SLICHTER, C.P. Phys Rev Lett, 32(2), 1974.
Krissia de Zawadzki
[2]
Polariza¸˜o de Fe na presen¸a de 𝐻
ca
c
ca
induzindo 𝜎(𝑟) nos e− de condu¸˜o ao
redor da impureza de Fe
N
2
K0
K
𝐾
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
6 / 31

11. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Trabalhos precedentes
Trabalhos precedentes
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
7 / 31

12. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Proposta
Proposta
𝑅
𝑘
A taxa NMR permite medir 𝑅 𝐾 ?
A geometria afeta a nuvem Kondo ?
+∞
Abordagem inicial: Geometria esf´rica
e
−∞
+∞
−∞
z
Ponta de prova distante da
impureza 𝑅 ≫ 1
Dificuldade an´loga ` experimental
a
a
y
x
+∞
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
8 / 31

13. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Resultados
Resultados
1
=
𝑇1
𝑊 (𝜀, 𝑅) na energia caracter´
ıstica
sin(𝑘 𝐹 𝑅)
𝑘𝐹 𝑅
𝑐
¯𝜀
𝑊 𝐹 (𝜀, 𝑅) =
(︀
𝑘𝑅 = 𝑘 𝐹 𝑅 1 +
𝜀
𝐷
)︀
Componentes de 1/𝑇1
𝑓𝑛
Escalar:
|¯ 𝜀 |2 → (1 − 𝑊 2 )2
𝑐
𝐹
Fun¸˜o espacial
ca
𝑊 (𝜀, 𝑅) =
Krissia de Zawadzki
sin(𝑘𝑅)
𝑘𝑅
Matricial:
|𝑓 𝑛 |2 → 𝑊 2
𝐹
Vetorial:
|¯ 𝜀 𝑓 𝑛 |2 → (1 − 𝑊 𝐹 )𝑊 𝐹
𝑐
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
9 / 31

14. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Resultados
Resultados
(︂
1
𝑇1
𝑊 (𝜀, 𝑅) na energia caracter´
ıstica
)︂
𝑊 𝐹 (𝜀, 𝑅) =
𝑠𝑐𝑎
𝑐
¯𝜀
1
=
𝑇1
sin(𝑘 𝐹 𝑅)
𝑘𝐹 𝑅
(︀
𝑘𝑅 = 𝑘 𝐹 𝑅 1 +
𝜀
𝐷
)︀
Componentes de 1/𝑇1
𝑓𝑛
Escalar:
|¯ 𝜀 |2 → (1 − 𝑊 𝐹 )2
𝑐
Fun¸˜o espacial
ca
𝑊 (𝜀, 𝑅) =
Krissia de Zawadzki
sin(𝑘𝑅)
𝑘𝑅
Matricial:
|𝑓 𝑛 |2 → 𝑊 2
𝐹
Vetorial:
|¯ 𝜀 𝑓 𝑛 |2 → (1 − 𝑊 𝐹 )𝑊 𝐹
𝑐
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
9 / 31

15. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Resultados
Resultados
(︂
1
𝑇1
)︂
(︂
+
𝑠𝑐𝑎
1
𝑇1
𝑊 (𝜀, 𝑅) na energia caracter´
ıstica
)︂
𝑊 𝐹 (𝜀, 𝑅) =
𝑚𝑎𝑡
𝑐
¯𝜀
1
=
𝑇1
sin(𝑘 𝐹 𝑅)
𝑘𝐹 𝑅
(︀
𝑘𝑅 = 𝑘 𝐹 𝑅 1 +
𝜀
𝐷
)︀
Componentes de 1/𝑇1
𝑓𝑛
Escalar:
|¯ 𝜀 |2 → (1 − 𝑊 𝐹 )2
𝑐
Fun¸˜o espacial
ca
𝑊 (𝜀, 𝑅) =
Krissia de Zawadzki
sin(𝑘𝑅)
𝑘𝑅
Matricial:
|𝑓 𝑛 |2 → 𝑊 2
𝐹
Vetorial:
|¯ 𝜀 𝑓 𝑛 |2 → (1 − 𝑊 𝐹 )𝑊 𝐹
𝑐
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
9 / 31

16. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Resultados
Resultados
(︂
1
𝑇1
)︂
(︂
+
𝑠𝑐𝑎
1
𝑇1
)︂
(︂
+
𝑚𝑎𝑡
1
𝑇1
𝑊 (𝜀, 𝑅) na energia caracter´
ıstica
)︂
𝑣𝑒𝑡
𝑐
¯𝜀
1
=
𝑇1
𝑊 𝐹 (𝜀, 𝑅) =
sin(𝑘 𝐹 𝑅)
𝑘𝐹 𝑅
(︀
𝑘𝑅 = 𝑘 𝐹 𝑅 1 +
𝜀
𝐷
)︀
Componentes de 1/𝑇1
𝑓𝑛
Escalar:
|¯ 𝜀 |2 → (1 − 𝑊 𝐹 )2
𝑐
Fun¸˜o espacial
ca
𝑊 (𝜀, 𝑅) =
Krissia de Zawadzki
sin(𝑘𝑅)
𝑘𝑅
Matricial:
|𝑓 𝑛 |2 → 𝑊 2
𝐹
Vetorial:
|¯ 𝜀 𝑓 𝑛 |2 → (1 − 𝑊 𝐹 )𝑊 𝐹
𝑐
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
9 / 31

17. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Taxa de relaxa¸˜o para 𝑘 𝐹 𝑅 ≫ 1
ca
Taxa de relaxa¸˜o para 𝑘 𝐹 𝑅 ≫ 1
ca
1
=
𝑇1
(︂
1
𝑇1
)︂
(︂
+
𝑠𝑐𝑎
1
𝑇1
)︂
(︂
+
𝑣𝑒𝑡
1
𝑇1
)︂
1
sin(𝑘 𝐹 𝑅 + 𝜃)
∝
𝑓 (𝑇 /𝑇 𝐾 )
𝑇1
(𝑘 𝐹 𝑅)2
𝑚𝑎𝑡
3.0 1e1
kF R
π
2.0
1.5
=100.3
kF R
π
=70.3
kF R
π
=50.3
kF R
π
=30.3
kF R
π
=10.3
𝑘 𝐹 𝑅 1
Componentes de 1/𝑇1
(︂ )︂
(︂ )︂
1
1
≫
𝑇1 𝑣𝑒𝑡
𝑇1 𝑚𝑎𝑡
kT
(kF R)2
1
T1
vet
2.5
=200.3
kF R
π
1.0
0.5
0.0 -8
10
10-7
10-6
Krissia de Zawadzki
10-5
kB T
10-4
10-3
10-2
10-1
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
10 / 31

18. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Taxa de relaxa¸˜o para 𝑘 𝐹 𝑅 ≫ 1
ca
Condut^ncia em nanoestruturas
a
V𝑑
1.0
V
0.8
V𝑤
0.6
Gs
G2
Λ =2.25
Λ =3.00
Λ =2.50
0.4
V𝑑
0.2
V𝑤
V𝑤
0.0
𝒢 𝑠𝑖𝑑𝑒 (𝑇 ) = 𝒢2
𝛽𝜋Γ ∑︁
𝒵
𝜙,𝜓 𝑒
Krissia de Zawadzki
|⟨𝜙|𝑓0 |𝜓⟩|2
𝛽𝐸 𝜓
𝛽𝐸 𝜙
+ 𝑒
10-2
10-1
𝒢 𝑠𝑒𝑡 (𝑇 ) = 𝒢2
100
𝛽𝜋Γ ∑︁
𝒵
101
T/TK
𝜙,𝜓 𝑒
102
103
|⟨𝜙|𝑐 𝑑 |𝜓⟩|2
𝛽𝐸 𝜓
𝛽𝐸 𝜙
+ 𝑒
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
11 / 31
104

19. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Desenvolvimentos: Hamiltonianos 𝐻 𝐴 e 𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 , diagonaliza¸˜o NRG e
ca
c´lculo perturbativo de 1/𝑇1
a
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
12 / 31

20. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
O sistema qu^ntico
a
O sistema qu^ntico - I
a
Hamiltoniano de Anderson
𝐻 𝑐𝑜𝑛𝑑
𝐻=
⏞
∑︁
⏟
𝜀k 𝑐† 𝑐k𝜇
k𝜇
k𝜇
𝜀=
𝑣𝐹
𝐷
DoS
(𝑘 − 𝑘 𝐹 )
+𝐷
𝜌=
𝑁
2𝐷
𝑘𝐹
−𝐷
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
13 / 31

21. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
O sistema qu^ntico
a
O sistema qu^ntico - I
a
Hamiltoniano de Anderson
𝐻 𝑐𝑜𝑛𝑑
𝐻=
⏞
∑︁
𝐻𝑑
⏟
⏞
⏟
∑︁
𝜀k 𝑐† 𝑐k𝜇 +
𝜀 𝑑 𝑐†𝑑𝜇 𝑐 𝑑𝜇 + 𝑈 𝑛 𝑑↑ 𝑛 𝑑↓
k𝜇
𝜇
k𝜇
𝜀=
𝑣𝐹
𝐷
DoS
(𝑘 − 𝑘 𝐹 )
+𝐷
𝜌=
𝑁
2𝐷
𝑘𝐹
−𝐷
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
13 / 31

22. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
O sistema qu^ntico
a
O sistema qu^ntico - I
a
Hamiltoniano de Anderson
𝐻 𝑖𝑛𝑡
𝐻 𝑐𝑜𝑛𝑑
𝐻=
⏞
∑︁
k𝜇
𝐻𝑑
⏟
⏞
√︂
⏟
⏞
⏟
∑︁
Γ ∑︁ 𝑖k.d †
†
†
(𝑒
𝑐k𝜇 𝑐 𝑑𝜇 + 𝐻.𝑐.)
𝜀k 𝑐k𝜇 𝑐k𝜇 +
𝜀 𝑑 𝑐 𝑑𝜇 𝑐 𝑑𝜇 + 𝑈 𝑛 𝑑↑ 𝑛 𝑑↓ +
𝜋
𝜇
k𝜇
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
13 / 31

23. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Hamiltonianos de Anderson e NRG
Hamiltoniano de Anderson na base de Lanczos
𝐻
=
𝑁
1
𝒟𝑁
(︃
𝑁 −1
∑︁
𝑡 𝑛 (𝑓 † 𝑓 𝑛+1 + 𝐻.𝑐.) +
𝑛
)︃
2𝑉 (𝑐†𝑑 𝑓0 + 𝐻.𝑐.) + 𝐻 𝑑
...
𝑒−
𝑒−
𝑒−
...
𝑓 𝑛−9
...
𝑓 𝑛−2
𝑓 𝑛−1
𝑓 𝑛+1
𝑓𝑛
6
(Q =0,S =0)
...
𝑓 𝑛+2
𝑓 𝑛+9
(Q =0,S =1/2)
(Q =1,S =1/2)
(Q =1,S =0)
(Q =0,S =1)
5
NRG
𝑛=0
𝑒−
6
√
(Q =1,S =1)
5
3
3
EN
4
EN
4
2
2
1
1
0
0
5
10
Krissia de Zawadzki
15
20
N
25
30
35
0
5
10
15
20
N
25
30
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
35
14 / 31

24. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Base cont´
ınua
Base cont´
ınua
Operadores 𝑐 𝜀 e 𝑑 𝜀
1 ∑︁
𝛿(𝜀 − 𝜀 𝑘 )𝑒 𝑖k.d 𝑐k𝜇
𝑐 𝜀𝜇 = √
𝜌
k
1 ∑︁
𝑑 𝜀𝜇 = √
𝛿(𝜀 − 𝜀 𝑘 )𝑒 𝑖k.R 𝑐k𝜇
𝜌
𝑐𝜀
𝑐
¯𝜀
k
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
15 / 31

25. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Base cont´
ınua
Base cont´
ınua
Operadores 𝑐 𝜀 e 𝑑 𝜀
1 ∑︁
𝛿(𝜀 − 𝜀 𝑘 )𝑒 𝑖k.d 𝑐k𝜇
𝑐 𝜀𝜇 = √
𝜌
k
1 ∑︁
𝑑 𝜀𝜇 = √
𝛿(𝜀 − 𝜀 𝑘 )𝑒 𝑖k.R 𝑐k𝜇
𝜌
{𝑐†𝜀𝜇 , 𝑑 𝜀′ 𝜇′ } =
sin(𝑘| ⃗ ⃗
𝑅− 𝑑|)
𝑘| ⃗ ⃗
𝑅− 𝑑|
𝛿(𝜀 − 𝜀′ )𝛿 𝜇,𝜇′
𝑐𝜀
𝑐
¯𝜀
k
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
15 / 31

26. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Base cont´
ınua
Base cont´
ınua
Operadores 𝑐 𝜀 e 𝑑 𝜀
1 ∑︁
𝛿(𝜀 − 𝜀 𝑘 )𝑒 𝑖k.d 𝑐k𝜇
𝑐 𝜀𝜇 = √
𝜌
k
1 ∑︁
𝑑 𝜀𝜇 = √
𝛿(𝜀 − 𝜀 𝑘 )𝑒 𝑖k.R 𝑐k𝜇
𝜌
{𝑐†𝜀𝜇 , 𝑑 𝜀′ 𝜇′ } =
sin(𝑘| ⃗ ⃗
𝑅− 𝑑|)
𝑘| ⃗ ⃗
𝑅− 𝑑|
𝛿(𝜀 − 𝜀′ )𝛿 𝜇,𝜇′
𝑐
¯𝜀
k
¯ 𝜀𝜇 =
𝑐
√ 1
(𝑑 𝜀𝜇
1−𝑊 2
𝑊 (𝜀, 𝑅) =
sin(𝑘𝑅)
𝑘𝑅
Krissia de Zawadzki
𝑐𝜀
Gram Schmidt
− 𝑊 (𝜀, 𝑅)𝑐 𝜀𝜇 )
(︀
𝑘𝑅 = 𝑘 𝐹 𝑅 1 +
𝜀
𝐷
)︀
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
15 / 31

27. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
A ponta de prova
O sistema qu^ntico - II
a
𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒
Hamiltoniano da ponta de prova
[︁
]︁
= −𝐴 Ψ† ( ⃗ ↓ ( ⃗ − + Ψ† ( ⃗ ↑ ( ⃗ +
𝑅)𝐼
𝑅)𝐼
↑ 𝑅)Ψ
↓ 𝑅)Ψ
Ψ 𝜇( ⃗ =
𝑅)
⃗⃗
𝑒 𝑖 𝑘 𝑅 𝑐 𝑘𝜇
⃗
𝑘
Abordagem te´rica
o
𝑚 𝑠 = +1/2
energia
Taxa de relaxa¸˜o
ca
longitudinal 1/𝑇1 [3]
∑︁
Δ𝐸 = 𝐸↑ − 𝐸↓
𝑚 𝑠 = −1/2
𝐵0 = 0
1
4𝜋 ∑︁
=
𝑃 𝐼 |⟨𝐼|𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 |𝐹 ⟩|2 𝛿(𝐸 𝐼 − 𝐸 𝐹 )
𝑇1
𝐼,𝐹
campo magn´tico
e
⟨𝐼|𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 |𝐹 ⟩
[3] PINTO, J. W. M.; FROTA, H. O. Int Jour Mod Phys, 24(31), 2010.
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
16 / 31

28. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Desenvolvimento anal´
ıtico - coeficientes de NRG
Taxa de relaxa¸˜o na base de Lanczos
ca
𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 = −𝐴 [ Φ† Φ0↓ + 𝜑† 𝜑↓ + (Φ† 𝜑↓ + 𝜑† Φ0↓ ) ] I− + 𝐻.𝑐.
0↑
↑
0↑
↑
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
17 / 31

29. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Desenvolvimento anal´
ıtico - coeficientes de NRG
Taxa de relaxa¸˜o na base de Lanczos
ca
∫︁
𝐷
Φ0𝜇 (𝑅) ≡
𝑑𝜀
√︁
1 − 𝑊 (𝜀, 𝑅)¯ 𝜀𝜇
𝑐
−𝐷
an
al´
ıti
co
𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 = −𝐴 [ Φ† Φ0↓ + 𝜑† 𝜑↓ + (Φ† 𝜑↓ + 𝜑† Φ0↓ ) ] I− + 𝐻.𝑐.
0↑
↑
0↑
↑
Autoestados desacoplados
|Ψ⟩ = |𝜓⟩| ¯
𝜓⟩
Krissia de Zawadzki
𝐸Ψ = 𝐸 𝜓 + ¯ ¯
𝐸𝜓
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
17 / 31

30. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Desenvolvimento anal´
ıtico - coeficientes de NRG
Taxa de relaxa¸˜o na base de Lanczos
ca
∫︁
𝐷
√︁
𝑑𝜀
∫︁
1 − 𝑊 (𝜀, 𝑅)¯ 𝜀𝜇
𝑐
−𝐷
an
al´
ıti
co
𝐷
𝜑 𝜇 (𝑅) ≡
𝑑𝜀 𝑊 (𝜀, 𝑅)𝑐 𝜀𝜇
−𝐷
co
eri
m´
nu
Φ0𝜇 (𝑅) ≡
𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 = −𝐴 [ Φ† Φ0↓ + 𝜑† 𝜑↓ + (Φ† 𝜑↓ + 𝜑† Φ0↓ ) ] I− + 𝐻.𝑐.
0↑
↑
0↑
↑
Autoestados desacoplados
𝜑(𝑅) na Base de Lanczos
∑︁
𝜑 𝜇 (𝑅) ≡
𝛾 𝑛 𝑓 𝑛𝜇
𝑛
Krissia de Zawadzki
|Ψ⟩ = |𝜓⟩| ¯
𝜓⟩
𝐸Ψ = 𝐸 𝜓 + ¯ ¯
𝐸𝜓
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
17 / 31

31. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Desenvolvimento anal´
ıtico - coeficientes de NRG
Taxa de relaxa¸˜o na base de Lanczos
ca
𝐷
∫︁
√︁
𝑑𝜀
∫︁
1 − 𝑊 (𝜀, 𝑅)¯ 𝜀𝜇
𝑐
𝑑𝜀 𝑊 (𝜀, 𝑅)𝑐 𝜀𝜇
−𝐷
an
al´
ıti
co
𝛾 𝑛 (𝑅) =
𝐷
𝜑 𝜇 (𝑅) ≡
co
eri
m´
nu
Φ0𝜇 (𝑅) ≡
−𝐷
𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 = −𝐴 [ Φ† Φ0↓ + 𝜑† 𝜑↓ + (Φ† 𝜑↓ + 𝜑† Φ0↓ ) ] I− + 𝐻.𝑐.
0↑
↑
0↑
↑
(︃
∑︁ ∫︁
𝑊 (𝜀, 𝑅)𝑑𝜀 + (−1)
ℐ 𝑚+
𝑚
𝑛
)︃
∫︁
𝑊 (𝜀, 𝑅)𝑑𝜀
ℐ 𝑚−
𝑢 𝑛𝑚
𝑢0𝑚
Autoestados desacoplados
𝜑(𝑅) na Base de Lanczos
∑︁
𝜑 𝜇 (𝑅) ≡
𝛾 𝑛 𝑓 𝑛𝜇
𝑛
Krissia de Zawadzki
|Ψ⟩ = |𝜓⟩| ¯
𝜓⟩
𝐸Ψ = 𝐸 𝜓 + ¯ ¯
𝐸𝜓
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
17 / 31

32. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝛾 𝑛
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝛾 𝑛
ca
0.04
0.02
NK R
NK R
F
0.02
F
0.01
0.00
0.00
−0.02
−0.01
−0.04
𝑛 caracter´
ıstico
𝒩𝑘
𝐹
𝐹 𝑅
𝑅 = 𝑛𝜋
⌈︃
⌉︃
log(𝑘 𝐹 𝑅)
=
√
log( Λ)
−0.08
γn (R)Λn
𝑘
kF R
π
−0.06
0
5
0.004
10
15
20
−0.02
=103
25
30
−0.03
kF R
π
0
5
10
15
20
=102
25
30
0.005
NK R
F
NK R
0.004
0.002
F
0.003
0.000
0.002
−0.002
0.001
−0.004
0.000
kF R
π
−0.006
−0.008
𝛾 𝑛 (𝑅) =
∑︁
𝑚
Krissia de Zawadzki
(𝒮
0
5
𝑚+ (𝑅)
10
15
20
+ (−1) 𝑛 𝒮
=10
25
kF R
π
−0.001
30
−0.002
n
𝑚− (𝑅))
0
5
10
15
20
𝑢 𝑛𝑚
𝑢0𝑚
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
18 / 31
=1
25
30

33. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝛾 𝑛
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝛾 𝑛
ca
0.08
kF R
π
0.06
0.020
−1 =103
2
kF R
π
0.015
0.010
0.04
−1 =102
2
γ0
0.005
0.02
0.000
0.00
𝑛 caracter´
ıstico
𝒩𝑘
𝐹 𝑅
𝑅 = (𝑛 + 1 )𝜋
2
⌈︃
⌉︃
log(𝑘 𝐹 𝑅)
=
+1
√
log( Λ)
𝐹
NK R
−0.010
F
F
−0.04
γn (R)Λn
𝑘
−0.005
NK R
−0.02
0
5
10
15
0.08
kF R
π
γ0
0.06
20
25
30
−0.015
0
5
10
15
0.3
−1 =10
2
20
kF R
π
0.2
25
30
−1 =1
2
0.1
0.04
0.0
0.02
−0.1
NK R
−0.2
0.00
F
−0.3
−0.02
NK R
γ0
−0.4
F
−0.04
𝛾 𝑛 (𝑅) =
∑︁
𝑚
Krissia de Zawadzki
(𝒮
0
5
𝑚+ (𝑅)
10
15
20
+ (−1) 𝑛 𝒮
25
30
n
𝑚− (𝑅))
−0.5
0
5
10
15
20
𝑢 𝑛𝑚
𝑢0𝑚
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
19 / 31
25
30

34. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Componentes de 1/𝑇1
Componentes de 1/𝑇1
(︂
Krissia de Zawadzki
1
𝑇1
)︂
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
20 / 31

35. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Componentes de 1/𝑇1
Componentes de 1/𝑇1
(︂
1
𝑇1
)︂
𝑐 𝑡 𝑒.
(︂
1
𝑇1
)︂
𝑠𝑐𝑎
⟨ ˜ † Φ0↓ | ˜
𝜙|Φ0↑
𝜓⟩
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
20 / 31

36. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Componentes de 1/𝑇1
Componentes de 1/𝑇1
(︂
1
𝑇1
(𝑘
𝑐 𝑡 𝑒.
)︂
𝐹
1
𝑇1
𝑅)−2
(︂
)︂
𝑠𝑐𝑎
⟨ ˜ † Φ0↓ | ˜
𝜙|Φ0↑
𝜓⟩
(︂
1
𝑇1
)︂
𝑣𝑒𝑡
∑︁
𝑛
𝛾 𝑛 ⟨ ˜ † 𝑓 𝑛↓ + 𝑓 † Φ0↓ )| ˜
𝜙|(Φ0↑
𝜓⟩
𝑛↑
)︀
4𝜋 ∑︁ (︀
1 − 𝑊 2 (𝜀, 𝑅)
𝑍
|𝜙⟩,|𝜓⟩
Krissia de Zawadzki
|
∑︁
𝑛
𝛾 𝑛 (𝑅)⟨𝜙|𝑓 † |𝜓⟩|2
𝑛
𝑒 𝛽𝐸 𝜙 + 𝑒 𝛽𝐸 𝜓
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
20 / 31

37. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Componentes de 1/𝑇1
Componentes de 1/𝑇1
(︂
1
𝑇1
(𝑘𝐹
(𝑘
𝑐 𝑡 𝑒.
)︂
𝑅 ) −4
4𝜋
𝑍
𝐹
1
𝑇1
𝑅)−2
(︂
)︂
𝑠𝑐𝑎
⟨ ˜ † Φ0↓ | ˜
𝜙|Φ0↑
𝜓⟩
(︂
1
𝑇1
(︂
)︂
1
𝑇1
)︂
−𝛽𝐸 ˜
𝜓
⃒2
⃒
⃒
⃒
†
𝜙|𝜑
𝜓⟩
⃒⟨ ˜ ↑ 𝜑↓ | ˜ ⃒
|𝜙⟩,|𝜓⟩
∑︁
𝑚𝑎𝑡
𝑒
𝑛,𝑚
𝛾 𝑛 𝛾 𝑚⟨ ˜ † 𝑓
𝜙|𝑓 𝑛↑
𝑚↓ |
𝑣𝑒𝑡
∑︁
𝑛
𝛾 𝑛 ⟨ ˜ † 𝑓 𝑛↓ + 𝑓 † Φ0↓ )| ˜
𝜙|(Φ0↑
𝜓⟩
𝑛↑
)︀
4𝜋 ∑︁ (︀
1 − 𝑊 2 (𝜀, 𝑅)
𝑍
|𝜙⟩,|𝜓⟩
Krissia de Zawadzki
∑︁
|
∑︁
𝑛
𝛾 𝑛 (𝑅)⟨𝜙|𝑓 † |𝜓⟩|2
𝑛
𝑒 𝛽𝐸 𝜙 + 𝑒 𝛽𝐸 𝜓
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
20 / 31
˜
𝜓⟩

38. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Limites e Taxa de relaxa¸˜o
ca
Limites e Taxa de relaxa¸˜o
ca
(︂
1
𝑇1
)︂
(︂
=
1
𝑇1
)︂
(︂
+
𝑠𝑐𝑎
1
𝑇1
)︂
(︂
+
𝑣𝑒𝑡
1
𝑇1
)︂
𝑚𝑎𝑡
𝑅
1
𝑘𝐹
𝑘𝐹 𝑅
≫
𝑐𝑡𝑒.
∝
≪
1
2
sin(𝑘 𝐹 𝑅) ∑︁ −𝛽𝐸 𝜙
∝
𝑒
|⟨𝜙|𝑓 † 𝑓
𝑛↑
(𝑘 𝐹 𝑅)4
𝑚↓ |𝜓⟩|
𝜙,𝜓
sin(𝑘 𝐹 𝑅) ∑︁ |⟨𝜙||𝑓 𝑛 ||𝜓⟩|2
(𝑘 𝐹 𝑅)2
𝑒 𝛽𝐸 𝜙 + 𝑒 𝛽𝐸 𝜓
Krissia de Zawadzki
𝜙,𝜓
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
21 / 31
2

39. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Par^metros do modelo
a
𝐻=
∑︁
𝜀
†
𝑘 𝑐𝑘
√︂
𝑐𝑘 +
𝑘
𝑘
𝐷=1
𝜀𝑘 =
Γ ∑︁ †
(𝑐 𝑘 𝑐 𝑑 + 𝐻.𝑐.) + 𝜀 𝑑 𝑐†𝑑 𝑐 𝑑 + 𝑈 𝑛 𝑑↑ 𝑛 𝑑↓
𝜋
𝜀 𝑑 = −15.0
Γ=1
𝑈 = 30.0
𝑣𝐹
(𝑘 − 𝑘 𝐹 )
𝐷
ε=0
−D
Λ = 3.0
Krissia de Zawadzki
-D
Λ
D D
- Λ2 - Λ3
𝐸
𝑚𝑖𝑛
... ...
= 1.0𝑒 − 9
D D
Λ3 Λ2
𝐸𝑈
𝑉
D
Λ
= 40.0
+D
¯0 = 0.2
𝛽
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
22 / 31

40. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Resultados num´ricos
e
Resultados num´ricos da contribui¸˜o vetorial (1/𝑇1 ) 𝑣𝑒𝑡 como fun¸˜o da
e
ca
ca
temperatura e da distˆncia 𝑅.
a
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
23 / 31

41. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Taxa de relaxa¸˜o em fun¸˜o da dist^ncia
ca
ca
a
Taxa (1/𝑇1 ) 𝑣𝑒𝑡 - depend^ncia espacial
e
T =10−1
4.5 1e−1
T =10−2
4.5 1e−2
4.0
4.0
3.5
3.5
3.5
3.0
3.0
3.0
2.5
2.0
1.5
1.5
1.0
0.5
50
100
150
0.0
200
0
T =10−4
4.0 1e−4
0.5
50
3.5
100
150
0.0
200
0
T =10−5
3.5 1e−5
3.0
2.5
100
150
200
2
0.0
0
1
50
kF R
π
Krissia de Zawadzki
200
3
0.5
50
150
5
4
1.0
0.5
200
7
1.5
1.5
150
6
2.0
1.0
100
T =10−6
8
2.5
2.0
50
9 1e−7
3.0
T1
vet(kF R)
2
1.0
0.0
0
2.5
2.0
1.0
1.5
0.5
0
4.0
2.0
2.5
1
T =10−3
4.5 1e−3
100
1
−2
150
200
0
0
50
100
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
24 / 31

42. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Taxa de relaxa¸˜o em fun¸˜o da dist^ncia
ca
ca
a
Taxa (1/𝑇1 ) 𝑣𝑒𝑡 - depend^ncia espacial
e
10
10
10
10
0
-1
-2
T =10−6
-3
T =10−4
T =10−5
T =10−3
T =10−2
1
T1
vet(kF R)
2
10
1
10
10
10
10
T =10−1
-4
-5
-6
-7
0
100
200
300
400
500
600
700
kF R
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
24 / 31

43. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
𝑘 𝐹 𝑅 = (𝑛 + 1/2)𝜋
Contribui¸˜o vetorial - 𝑘 𝐹 𝑅 = (𝑛 + 1/2)𝜋
ca
5 1e1
𝑛∈Z
1
−2 =200
1
−2 =100
k R 1
π −2 =70
k R 1
π −2 =50
k R 1
π −2 =30
k R 1
π −2 =10
kF R
π
4
kF R
π
F
vet
F
kT
(kF R)2
1
T1
3
F
F
2
1
0
10-8
10-7
Krissia de Zawadzki
10-6
10-5
kB T
10-4
10-3
10-2
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
10-1
25 / 31

44. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
𝑘 𝐹 𝑅 = 𝑛𝜋
𝑛∈Z
Contribui¸˜o vetorial- 𝑘 𝐹 𝑅 = 𝑛𝜋
ca
3.0 1e−1
kF R
π
vet
1
T1
=30
kF R
π
=10
kT
(kF R)2
=50
kF R
π
1.5
=70
kF R
π
2.0
=100
kF R
π
2.5
=200
kF R
π
1.0
0.5
0.0
10-8
Krissia de Zawadzki
10-7
10-6
10-5
kB T
10-4
10-3
10-2
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
26 / 31

45. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
𝑘 𝐹 𝑅 = 𝑛𝜋 e 𝑘 𝐹 𝑅 = (𝑛 + 1/2)𝜋
Sobreposi¸˜o 𝑘 𝐹 𝑅 = 𝑛𝜋 e 𝑘 𝐹 𝑅 = (𝑛 + 1/2)𝜋
ca
5 1e1
n =200
n =100
4
n =70
n =50
vet
n =30
n =10
kT
(kF R)2
1
T1
3
2
1
0
10-8
10-7
Krissia de Zawadzki
10-6
10-5
kB T
10-4
10-3
10-2
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
10-1
27 / 31

46. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
𝑘 𝐹 qualquer
Contribui¸˜o vetorial- caso geral
ca
3.0 1e1
kF R
π
2.0
1.5
=100.3
kF R
π
=70.3
kF R
π
=50.3
kF R
π
=30.3
kF R
π
=10.3
kT
(kF R)2
1
T1
vet
2.5
=200.3
kF R
π
1.0
0.5
0.0
10-8
Krissia de Zawadzki
10-7
10-6
10-5
kB T
10-4
10-3
10-2
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
10-1
28 / 31

47. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Interpreta¸˜o f´
ca ısica
Interpreta¸˜o f´
ca ısica
(︂
1
𝑇1
)︂
𝑣𝑒𝑡
∝
sin(𝑘 𝐹 𝑅 + 𝜃)
𝑓 (𝑇 /𝑇 𝐾 )
(𝑘 𝐹 𝑅)2
V𝑑
Dois canais: 𝜑 𝑛 (𝑓 𝑛 ) da banda de
condu¸˜o acoplada ` impureza e outro
ca
a
dos orbitais ¯ 𝜀 acoplados ` ponta de
𝑐
a
prova
V
V𝑤
Krissia de Zawadzki
1/𝑇1 ∝ 𝒢 𝑠𝑖𝑑𝑒 (𝑇 /𝑇 𝐾 ) para 𝑘 𝐹 𝑅 ≪ 1
Espalhamento cruzado de el´trons
e
entre os orbitais 𝜑 𝑛 e ¯ 𝜀
𝑐
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
29 / 31

48. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Conclus˜es
o
Taxa de relaxa¸˜o magn´tica longitudinal 1/𝑇1 no modelo de Anderca
e
son de uma impureza pode ser decomposta em trˆs componentes:
e
escalar, vetorial e matricial.
Quando a ponta de prova est´ distante da impureza, 1/𝑇1 ´ escrita
a
e
como o produto de uma fun¸˜o espacial - relacionada a oscila¸˜es de
ca
co
Friedel - por uma fun¸˜o da temperatura.
ca
A dependˆncia em 𝑇 de 1/𝑇1 ´ mapeada na curva universal 𝒢 𝑠𝑖𝑑𝑒 (𝑇 /𝑇 𝐾 )
e
e
da condutˆncia de um dispositivo lateralmente acoplado a um ponto
a
quˆntico.
a
Para 𝑇 ≪ 𝑇 𝐾 o sinal NMR decai a zero sem informa¸˜o sobre 𝑅 𝐾 ,
ca
o que ratifica a dificuldade experimental de medir a nuvem Kondo
atrav´s da taxa de relaxa¸˜o.
e
ca
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
30 / 31

49. Introdu¸˜o
ca
Nuvem Kondo e NMR
Prepara¸˜o anal´
ca
ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1
a
e
Resultados num´ricos
e
Conclus˜es
o
Agradecimentos
Agradecimentos
Instituto de F´
ısica de S˜o Carlos (IFSC)
a
FAPESP (2012/02702-0) pelo apoio financeiro
Banca examinadora
Todos os presentes
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
31 / 31

50. Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
1 / 17

51. NRG
Anal´
ıtico
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial
co
ca
NRG
Discretiza¸˜o da banda de condu¸˜o
ca
ca
ε=0
−D
-D
Λ
D D
- Λ2 - Λ3
... ...
D D
Λ3 Λ2
Intervalos logar´
ıtmicos
I
𝑚±
−𝑚−1
= [𝐷Λ
, 𝐷Λ
−𝑚
]
𝑎
𝑚𝜇
𝑏
𝑚𝜇
(𝑚 = 0, 1, 2, ...)
log: invariante por 𝜀 𝑘 → 𝜀 𝑘 /Λ
linear?: energias caracter´
ısticas
inexistentes
Krissia de Zawadzki
D
Λ
+D
Operadores fermiˆnicos
o
∫︁
𝑚/2
Λ
√︀
=
𝑐 𝜀𝜇 𝑑𝜀,
𝐷(1 − Λ−1 ) ℐ 𝑚+
= √︀
Λ
𝑚/2
∫︁
𝐷(1 − Λ−1 )
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
𝑐 𝜀𝜇 𝑑𝜀,
ℐ
𝑚−
2 / 17

52. NRG
Anal´
ıtico
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial
co
ca
Mudan¸a de base e Transforma¸˜o de Lanczos
c
ca
Mudan¸a de base e Transforma¸˜o de Lanczos
c
ca
Transforma¸˜o de Lanczos
ca
∑︁
𝑓 𝑛𝜇 =
(𝑢 𝑛𝑚 𝑎 𝑚𝜇 + 𝑣 𝑛𝑚 𝑏 𝑚𝜇 )
𝑚
Hamiltoniano de hopping
Impureza acoplada com 𝑓0
)︁
√ (︁
†
𝐻 𝑖𝑛𝑡 = 2𝑉 𝑐†𝑑 𝑓0 + 𝑓0 𝑐 𝑑
𝐻 𝑐𝑜𝑛𝑑 =
∞
∑︁
𝑡 𝑛 (𝑓 † 𝑓 𝑛+1 + 𝑓 † 𝑓 𝑛 )
𝑛
𝑛+1
𝑛=0
𝑒−
𝑒−
...
𝑒−
𝑒−
...
𝑓 𝑛−9
𝑛
𝑡 𝑛 = 𝐷Λ− 2 √
...
𝑓 𝑛−2
𝑓 𝑛−1
𝑓𝑛
𝑓 𝑛+1
1 − Λ−(𝑛+1)
1 + Λ−1
√
1 − Λ−(2𝑛+3) 1 − Λ−(2𝑛+1) log Λ
Krissia de Zawadzki
𝑓 𝑛+2
...
𝑓 𝑛+9
≈ 𝒟𝑛 = 𝐷
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
1 − Λ−1 − 𝑛
Λ 2
log Λ
3 / 17

53. NRG
Anal´
ıtico
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial
co
ca
NRG - Diagonaliza¸˜o iterativa
ca
NRG - Diagonaliza¸˜o iterativa
ca
𝑁 −1
∑︁
1
𝑡𝑟𝑢𝑛𝑐
𝐻 𝑐𝑜𝑛𝑑 =
𝑡 𝑛 (𝑓 † 𝑓 𝑛+1 + 𝑓 † 𝑓 𝑛 )
𝑛
𝑛+1
𝒟𝑁
𝑛=0
truncamento
𝑡
𝑁
𝛾𝑘
𝐵
𝑇
Transforma¸˜o de Renormaliza¸˜o
ca
ca
𝜏 [𝐻
𝑁 −1 ]
√
𝐻
𝑁
=
Λ𝐻
𝑁 −1
+
𝑡
≡ 𝐻
𝑁 −1
𝒟
𝑁
(𝑓
†
𝑁 −1
𝑁
Itera¸˜o 𝑁 = −1
ca
𝑁
𝑓
𝑁
+ 𝐻.𝑐.)
|0⟩
𝑁
Base de estados de 𝐻
|𝑄, 𝑆, 𝑆 𝑧 , 𝑟⟩
Krissia de Zawadzki
=0
𝐴
+
1
Base primitiva
na itera¸˜o 𝑁
ca
𝑐†𝑑↑(↓) |0⟩
𝑐†𝑑↑ 𝑐†𝑑↓ |0⟩
Elementos
de matriz
Diagonaliza¸˜o
ca
⟨𝑞 ′ , 𝑠′ ||𝑓 †𝑁 ||𝑞, 𝑠⟩
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
4 / 17

54. NRG
Anal´
ıtico
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial
co
ca
Elementos de matriz
Elementos de matriz
⟨𝜙||𝑓 † ||𝜓⟩
𝑛
𝑁
= − 𝑡 𝑛+1 ⟨𝜙||𝑓 † ||𝜓⟩ 𝑁 +
𝑛+2
𝑡𝑛
⟨𝜙||𝑐†𝑑 ||𝜓⟩
𝑁
†
0
= − √𝑡2𝑉 ⟨𝜙||𝑓1 ||𝜓⟩ 𝑁 +
1
𝒟𝑁
𝑡𝑛
Δ𝐸 𝑁 ⟨𝜙||𝑓 † ||𝜓⟩
𝑛+1
√𝒟 𝑁
2𝑉
†
Δ𝐸 𝑁 ⟨𝜙||𝑓0 ||𝜓⟩
𝑁
𝑁1
⟨𝜙|
1
1
𝑁
𝑊
⟨𝜙|
𝑜
0
𝑜
0
|𝜓⟩
𝑁
-1
𝐸
-1
|𝜓⟩
0
1
2
0
1
2
1
Krissia de Zawadzki
1
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
5 / 17

55. NRG
Anal´
ıtico
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial
co
ca
Hamiltonianos na base de Lanczos {𝑓 𝑛 }
Hamiltonianos na base cont´
ınua {𝑐 𝜀 , ¯ 𝜀 }
𝑐
Autoestados desacoplados
Hamiltoniano perturbado
∫︁
𝐷
𝐻𝐴=
𝜀𝑐†𝜀𝜇
√︂
𝑐 𝜀𝜇 𝑑𝜀 +
−𝐷
∫︁ ∫︁
𝐷
𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 = −𝐴 [
−𝐷
∫︁ ∫︁
𝐷
+
−𝐷
𝐸Ψ = 𝐸 𝜓 + ¯ ¯
𝐸𝜓
|Ψ⟩ = |𝜓⟩| ¯
𝜓⟩
˜ = 𝐻𝐴+ ¯𝑐
𝐻
𝐻
Γ
𝜋
∫︁
𝐷
𝑑𝜀(𝑐†𝜀 𝑐 𝑑 + 𝑐†𝑑 𝑐 𝜀 ) + 𝐻 𝑑
−𝐷
𝑑𝜀 𝑑𝜀′ 𝒩 𝑅 (𝜀)𝒩 𝑅 (𝜀′ )¯† ¯ 𝜀′ 𝜈 +
𝑐 𝜀𝜇 𝑐
𝑑𝜀 𝑑𝜀′ 𝒩 𝑅 (𝜀)𝑊 (𝜀′ , 𝑅)¯† 𝑐 𝜀′ 𝜈 +
𝑐 𝜀𝜇
∫︁ ∫︁
𝐷
−𝐷
∫︁ ∫︁
𝐷
−𝐷
¯𝑐 =
𝐻
∫︁
𝐷
𝑑𝜀 𝜀 ¯†𝜀𝜇 ¯ 𝜀𝜇
𝑐 𝑐
−𝐷
𝑑𝜀 𝑑𝜀′ 𝑊 (𝜀, 𝑅)𝑊 (𝜀′ , 𝑅)𝑐† 𝑐 𝜀′ 𝜈
𝜀𝜇
𝑑𝜀 𝑑𝜀′ 𝑊 (𝜀, 𝑅)𝒩 𝑅 (𝜀′ )𝑐† ¯ 𝜀′ 𝜈 ] I− + 𝐻.𝑐.
𝜀𝜇 𝑐
𝒩 𝑅 (𝜀) = 1 − 𝑊 (𝜀, 𝑅)
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
6 / 17

56. NRG
Anal´
ıtico
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial
co
ca
Hamiltonianos na base de Lanczos {𝑓 𝑛 }
Hamiltonianos na base de Lanczos {𝑓 𝑛 }
𝐻 𝑐𝑜𝑛𝑑 =
∑︁
E
𝑚± (Λ)
(︁
𝑎†𝑚𝜇 𝑎
𝑚𝜇
− 𝑏†𝑚𝜇 𝑏
)︁
𝑚𝜇
𝐻 𝑖𝑛𝑡 =
𝑚±
1 ∑︁
𝑓0𝜇 = √
2 𝑚
(︃
)︁
(︁
√
†
2𝑉 𝑐†𝑑 𝑓0 + 𝑓0 𝑐 𝑑
1 − Λ−1
𝐷
)︃1/2
−𝑚/2
Λ
(𝑎
𝑚𝜇
∫︁
𝑑𝜀
E
𝑚± (Λ)
= ∫︁
I 𝑚±
I 𝑚±
Krissia de Zawadzki
𝑑𝜀
𝜀
=
±𝐷(1 − Λ−1 ) −𝑚
Λ
log Λ
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
7 / 17
+ 𝑏
𝑚𝜇 )

57. NRG
Anal´
ıtico
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial
co
ca
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Taxa de relaxa¸˜o na base de Lanczos
ca
𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 = − 𝐴 [ Φ† Φ0↓ + 𝜑† 𝜑↓ + (Φ† 𝜑↓ + 𝜑† Φ0↓ ) ] I− + 𝐻.𝑐..
0↑
↑
0↑
↑
𝜑 𝜇 (𝑅) =
∑︁
𝛾 𝑛 𝑓 𝑛𝜇
𝑛
𝜁±
𝑚
𝛾 𝑛 (𝑅) =
∑︁
(𝒮
𝑚
Krissia de Zawadzki
=
𝑚+ (𝑅)
{𝑓 † , 𝜑 𝜇 (𝑅)} = 𝛾 𝑛 =
𝑛𝜈
∑︁
Λ
𝑚/2
{𝑎†𝑚±𝜈 ,
𝜑 𝜇 (𝑅)} = 𝛿 𝜇,𝜈 √︀
+ (−1) 𝑛 𝒮
𝑚− (𝑅))
𝑢 𝑛𝑚 (𝜁 + + (−1) 𝑛 𝜁 − )
𝑚
𝑚
𝑚
𝐷(1 − Λ−1 )
∫︁
𝑑𝜀 𝑊 (𝜀, 𝑅)
ℐ
𝑚±
𝑢 𝑛𝑚
𝑢0𝑚
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
8 / 17

58. NRG
Anal´
ıtico
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial
co
ca
Componentes de 1/𝑇1
Componentes de 1/𝑇1
(︂
1
𝑇1
(𝑘𝐹
(𝑘
𝑐 𝑡 𝑒.
)︂
𝑅 ) −4
𝐹
1
𝑇1
𝑅)−2
(︂
)︂
𝑠𝑐𝑎
⟨ ˜ † Φ0↓ | ˜
𝜙|Φ0↑
𝜓⟩
(︂
1
𝑇1
(︂
)︂
1
𝑇1
)︂
∑︁
𝑚↓ |
𝑣𝑒𝑡
∑︁
𝑛
𝛾 𝑛 ⟨ ˜ † 𝑓 𝑛↓ + 𝑓 † Φ0↓ )| ˜
𝜙|(Φ0↑
𝜓⟩
𝑛↑
)︀
4𝜋 ∑︁ (︀
1 − 𝑊 2 (𝜀, 𝑅)
𝑍
|𝜙⟩,|𝜓⟩
Krissia de Zawadzki
𝑛,𝑚
𝑚𝑎𝑡
𝛾 𝑛 𝛾 𝑚⟨ ˜ † 𝑓
𝜙|𝑓 𝑛↑
|
∑︁
𝑛
𝛾 𝑛 (𝑅)⟨𝜙|𝑓 † |𝜓⟩|2
𝑛
𝑒 𝛽𝐸 𝜙 + 𝑒 𝛽𝐸 𝜓
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
9 / 17
˜
𝜓⟩

59. NRG
Anal´
ıtico
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial
co
ca
Contribui¸˜o vetorial
ca
Contribui¸˜o vetorial
ca
⟨ ˜ †𝜇 (𝑅)Φ0𝜈 (𝑅)| ˜ = ⟨𝜙|𝜑†𝜇 (𝑅)|𝜓⟩⟨ ¯
𝜙|𝜑
𝜓⟩
𝜙|
∫︁
𝐷
𝑑𝜀
−𝐷
√︀
1 − 𝑊 (𝜀)2 ¯ 𝜀𝜈 | ¯
𝑐 𝜓⟩
⟨ ¯ 𝑐 𝜀𝜈 | ¯ = 𝛿(𝐸 ¯ − 𝐸 ¯ − 𝜀),
𝜙|¯ 𝜓⟩
𝜙
𝜓
√︁
⟨ ¯ †𝜇 (𝑅)Φ0𝜈 (𝑅)| ¯ = ⟨𝜙|𝜑†𝜇 (𝑅)|𝜓⟩ 1 − 𝑊 (𝐸 𝜙 − 𝐸 𝜓 ))2
𝜙|𝜑
𝜓⟩
(︂
1
𝑇1
)︂
=
𝑣𝑒𝑡
4𝜋 ∑︁
|⟨𝜙|𝜑†𝜇 (𝑅)|𝜓⟩|2 (1−𝑊 (𝐸 𝜙 −𝐸 𝜓 )2 )𝑒−𝛽(𝐸 𝜙 ) 𝑓 𝐹 𝐷 (𝐸 𝜙 −𝐸 𝜓 )
𝑍
|𝜙⟩,|𝜓⟩
𝑓 𝐹 𝐷 (𝜀) =
Krissia de Zawadzki
1
1 + 𝑒−𝛽𝜀
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
10 / 17

60. NRG
Anal´
ıtico
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial
co
ca
Contribui¸˜o matricial
ca
Contribui¸˜o matricial
ca
(︂
1
𝑇1
)︂
=
𝑚𝑎𝑡
⃒2
4𝜋 ∑︁ −𝛽𝐸 𝜙 ⃒
⃒
⃒
†
𝑒
⃒⟨𝜙|𝜑↑ (𝑅)𝜑↓ (𝑅)|𝜓⟩⃒ 𝛿(𝐸 𝜙 − 𝐸 𝜓 ),
𝑍
|𝜙⟩,|𝜓⟩
⟨ ˜ †𝜇 (𝑅)𝜑 𝜈 (𝑅)| ˜ = ⟨ ¯ ¯
𝜙|𝜑
𝜓⟩
𝜙| 𝜓⟩
∑︁
𝑛,𝑚
𝛾 𝑛 𝛾 𝑚 ⟨𝜙|𝑓 † 𝑓
𝑛𝜇
𝑚𝜈 |𝜓⟩,
(𝐸 𝜙 − 𝐸 𝜓 )⟨𝜙||𝑓 † 𝑓 𝑚 ||𝜓⟩ = 𝑡 𝑛−1 ⟨𝜙||𝑓 † 𝑓 𝑚 ||𝜓⟩ + 𝑡 𝑛 ⟨𝜙||𝑓 † 𝑓 𝑚 ||𝜓⟩
𝑛
𝑛−1
𝑛+1
− 𝑡
†
𝑚−1 ⟨𝜙||𝑓 𝑛
⎛
′
′
⟨𝑞 , 𝑠 ,
𝑠′𝑧 , 𝑟′ |
𝑓†
𝑛↑
𝑓
𝑚↓
|𝑞, 𝑠, 𝑠 𝑧 , 𝑟⟩ = ⎝
𝑓
𝑚−1 ||𝜓⟩
𝑠′
1
2
𝑠+
1
2
𝑠′𝑧
1
2
𝑠𝑧 −
1
2
− 𝑡 𝑚 ⟨𝜙||𝑓 † 𝑓
𝑛
⎞⎛
⎠⎝
𝑚+1 ||𝜓⟩.
𝑠
1
2
𝑠±
1
2
𝑠𝑧
−1
2
𝑠𝑧 +
1
2
× ⟨𝑞 ′ , 𝑠′ , 𝑟′ || 𝑓 † 𝑓 𝑚 ||𝑞, 𝑠, 𝑟⟩.
𝑛
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
11 / 17
⎞
⎠

61. NRG
Anal´
ıtico
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial
co
ca
Contribui¸˜o matricial
ca
Contribui¸˜o matricial
ca
𝑓 †𝑁 𝑓0
𝑓 †𝑁 𝑓1
𝑓 †𝑁 𝑓2
𝑓 †𝑁 𝑓
𝑁 −1
𝑓 †𝑁 𝑓
𝑁
𝑓 †𝑁 −1 𝑓0
𝑓† 𝑓
𝑛+1
𝑓† 𝑓
𝑛
𝑓† 𝑓
𝑛
𝑚−1
𝑚
𝑓† 𝑓
𝑛
𝑚
𝑚+1
𝑛
𝑓† 𝑓
𝑛−1
𝑚
†
𝑓2 𝑓0
†
𝑓1 𝑓0
†
𝑓0 𝑓0
𝑚
Krissia de Zawadzki
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
12 / 17

62. NRG
Anal´
ıtico
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial
co
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
∞
∑︁
𝑢
𝑛𝑚
𝑧
𝑚
1 − Λ−(2𝑛+1)
2Λ 𝑛(𝑛−1)/2
=
𝑚=0
(︂
)︂
1
1 − 𝑧Λ−(𝑛+1/2)
⎧
⎪(𝑛−2)/2 1 − 𝑧Λ2𝑟+1/2
⎪
⎪ ∏︁
⎪
,
⎪
⎨
1 − 𝑧Λ−(2𝑟+1/2)
𝑟=0
× (𝑛−3)/2
⎪
⎪ ∏︁
1 − 𝑧Λ2𝑟+3/2
⎪
⎪
,
⎪
⎩
1 − 𝑧Λ−(2𝑟+3/2)
𝑟=0
Λ =3.0
0.4
0.2
u10,m
𝑈 𝑛 (𝑧) =
√︃
0.0
−0.2
−0.4
0
Krissia de Zawadzki
10
20
m
30
40
50
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
13 / 17
𝑛 par
𝑛´
ımpar

63. NRG
Anal´
ıtico
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial
co
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝑢 𝑛𝑚
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝑢 𝑛𝑚
ca
𝑛 par
𝑢 𝑛𝑚 ∝ Λ
0.6
𝑛´
ımpar
−𝑚/2
n =0
n =2
n =4
n =6
n =8
0.4
0.2
n =10
n =12
n =14
n =16
n =18
𝑢 𝑛𝑚 ∝ Λ−3𝑚/2
n =1
n =3
n =5
n =7
n =9
0.8
0.6
0.4
n =11
n =13
n =15
n =17
n =19
un,m
0.2
0.0
0.0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
0
5
10
15
Krissia de Zawadzki
m
20
25
30
35
−0.8
0
5
10
15
m
20
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
25
30
14 / 17
35

64. NRG
Anal´
ıtico
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial
co
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝛾 𝑛
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝛾 𝑛
ca
0.04
0.02
NK R
NK R
F
0.02
F
0.01
0.00
0.00
−0.02
−0.01
−0.04
𝑛 caracter´
ıstico
𝒩𝑘
𝐹
𝐹 𝑅
𝑅 = 𝑛𝜋
⌈︃
⌉︃
log(𝑘 𝐹 𝑅)
=
√
log( Λ)
−0.08
γn (R)Λn
𝑘
kF R
π
−0.06
0
5
0.004
10
15
20
−0.02
=103
25
30
−0.03
kF R
π
0
5
10
15
20
=102
25
30
0.005
NK R
F
NK R
0.004
0.002
F
0.003
0.000
0.002
−0.002
0.001
−0.004
0.000
kF R
π
−0.006
−0.008
𝛾 𝑛 (𝑅) =
∑︁
𝑚
Krissia de Zawadzki
(𝒮
0
5
𝑚+ (𝑅)
10
15
20
+ (−1) 𝑛 𝒮
=10
25
kF R
π
−0.001
30
−0.002
n
𝑚− (𝑅))
0
5
10
15
20
𝑢 𝑛𝑚
𝑢0𝑚
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
15 / 17
=1
25
30

65. NRG
Anal´
ıtico
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial
co
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝛾 𝑛
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝛾 𝑛
ca
0.08
kF R
π
0.06
0.020
−1 =103
2
kF R
π
0.015
0.010
0.04
−1 =102
2
γ0
0.005
0.02
0.000
0.00
𝑛 caracter´
ıstico
𝒩𝑘
𝐹 𝑅
𝑅 = (𝑛 + 1 )𝜋
2
⌈︃
⌉︃
log(𝑘 𝐹 𝑅)
=
+1
√
log( Λ)
𝐹
NK R
−0.010
F
F
−0.04
γn (R)Λn
𝑘
−0.005
NK R
−0.02
0
5
10
15
0.08
kF R
π
γ0
0.06
20
25
30
−0.015
0
5
10
15
0.3
−1 =10
2
20
kF R
π
0.2
25
30
−1 =1
2
0.1
0.04
0.0
0.02
−0.1
NK R
−0.2
0.00
F
−0.3
−0.02
NK R
γ0
−0.4
F
−0.04
𝛾 𝑛 (𝑅) =
∑︁
𝑚
Krissia de Zawadzki
(𝒮
0
5
𝑚+ (𝑅)
10
15
20
+ (−1) 𝑛 𝒮
25
30
n
𝑚− (𝑅))
−0.5
0
5
10
15
20
𝑢 𝑛𝑚
𝑢0𝑚
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
16 / 17
25
30

66. NRG
Anal´
ıtico
Taxa de relaxa¸˜o
ca
Coeficientes da transforma¸˜o de RG
ca
Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial
co
ca
Considera¸oes sobre a contribui¸˜o matricial
c˜
ca
(︂
1
𝑇1
)︂
=
𝑚𝑎𝑡
(︂
1
𝑇1
⃒2
4𝜋 ∑︁ −𝛽𝐸 𝜙 ⃒
⃒
⃒
†
𝑒
⃒⟨𝜙|𝜑↑ (𝑅)𝜑↓ (𝑅)|𝜓⟩⃒ 𝛿(𝐸 𝜙 − 𝐸 𝜓 −
𝑍
𝜔),
|𝜙⟩,|𝜓⟩
)︂
𝑚𝑎𝑡
4𝜋 ∑︁ −𝛽𝐸 𝜙
⃒
=
𝑒
⃒
𝑍
⃒
|𝜙⟩,|𝜓⟩
Susceptibilidade da impureza
∑︁
𝜒 𝑖𝑚𝑝 ∝
|⟨𝜙|𝑐 𝑑↑ 𝑐 𝑑↓ |𝜓⟩|2
|𝜙⟩|𝜓⟩
Krissia de Zawadzki
(︂
⃒
⃒2
⃒
⃒
†
⃒⟨𝜙|𝜑↑ 𝜑↓ |𝜓⟩⃒
⃒
𝑑(𝐸 𝜙 (𝑧))−𝐸 𝜓 (𝑧) ⃒
⃒
𝑑𝑧
𝜔=𝐸 𝜓 −𝐸
,
𝜙
Susceptibilidade da banda de condu¸˜o
ca
)︂
∑︁
1
∝ 𝜒𝑓𝑛 ∝
|⟨𝜙|𝑓 𝑛↑ 𝑓 𝑚↓ |𝜓⟩|2
𝑇1 𝑚𝑎𝑡
|𝜙⟩|𝜓⟩
Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´
ca
e
e
ıdas
17 / 17