O documento discute a história do número π, desde os primeiros cálculos aproximados feitos por matemáticos egípcios há cerca de 4.000 anos até métodos mais precisos desenvolvidos por Arquimedes e outros. Explica como π representa a razão entre o perímetro e o diâmetro de um círculo e como este número aparece em muitas fórmulas matemáticas e físicas.
2. O "PI" DA QUESTÃO!
Pi é um número irracional, isto é, não pode
ser expresso como a razão entre dois
números inteiros naturais.
3. “História” do Pi
A descoberta deste número magnífico não foi um processo fácil e linear. Muitos foram os
matemáticos que dedicaram parte de suas vidas ao seu cálculo. Cada avanço tinha muitas falhas,
muitos retrocessos, muitos esforços. O cálculo de pi foi levado a cabo durante muitos séculos por
inúmeras razões, quer práticas quer teóricas.
Como se sabe p ( pi ), é o número mais famoso da história universal, o qual recebeu um nome
próprio, um nome grego, pois embora seja um número, não pode ser escrito com um número
finito de algarismos. O p representa a razão entre o perímetro do círculo e seu diâmetro.
O número pi tem uma história fascinante, que começou acerca de 4000 anos atrás. Matemáticos
no Egito antigo descobriram que a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu
diâmetro é a mesma para qualquer circunferência . Eles definiram o que chamamos hoje de pi
como um número "um pouco maior que 3". Inúmeros povos andaram à sua procura mesmo
antes que chegassem a ter consciência matemática.
Portanto, eles tinham uma noção do valor do pi mas ainda estavam a alguns séculos de distância
de um resultado mais exato. Os egípcios chegaram ao valor aproximado de 3,16 há 3500 anos
partindo de um quadrado inscrito em uma circunferência, cujo lado media nove unidades. Eles,
então, dobraram os lados do quadrado para obter um polígono de oito lados e calcularam a
razão entre os perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da circunferência.
4. Método do clássico para o cálculo de π
A primeira tentativa rigorosa de encontrar π deve-se a Arquimedes, um dos
mais conhecidos matemáticos da Antiguidade, que viveu por volta do século
III a.C. na Grécia. Pela construção de polígonos inscritos e circunscritos,
encontrou que pi seria entre um valor entre 223/71 e 23/7, ou seja,
aproximadamente 3,14. Tal método é o chamado método clássico para
cálculo de pi. Partiu de um hexágono regular e calculou os perímetros dos
polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a
um polígono de 96 lados. Com esse perímetro calculado, ele definiu que o
valor de π estaria entre 3,1408 e 3,1428.
5. Formulação matemática do método de Arquimedes
Baseado no método de Arquimedes é possível formular uma
representação matemática para o cálculo de pi, eficiente para
um polígono de qualquer número de lados.
Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida
do lado expressa pela lei dos cossenos:
a2 = b2 + c2 − 2cosα
6. Significado do
A razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro
produz o número PI. É um número que mobilizou e ainda mobiliza
muitos matemáticos. A principal curiosidade, no caso do PI, é a
obtenção de um valor sempre igual e constante, adicionando-se
também um mistério: o de não podermos conhecer a última casa.
Por esse motivo, o PI passou a ser representado pela letra (do
alfabeto grego). Foi uma estratégia para simplificar o registro.
Voltando ao procedimento matemático, que produziu essa
misteriosa constante, poderemos igualar as razões entre os
perímetros dos círculos e os seus respectivos diâmetros. Essa
proporcionalidade permite escrever que o perímetro de uma roda
gigante, dividido pelo seu diâmetro, é igual ao perímetro de uma
moeda dividido pelo diâmetro dessa mesma moeda:
7. Métodos de cálculo
O perímetro de uma moeda com 1,5 cm de diâmetro pode ser calculado
multiplicando-se o diâmetro dessa moeda pela constante . Poderemos registrar como
P = 1,5. cm. E se quisermos conferir esse perímetro, contornando a borda dessa
moeda com uma linha de costura, teremos que calcular esse perímetro considerando
um determinado valor para pi. Nesse caso, podemos multiplicar 1,5 cm por 3,14,
fazendo P = 1,5 x 3,14 - que se aproximará bastante do comprimento da linha. E,
portanto,do perímetro.
Se o raio de uma roda de bicicleta é igual a 20 cm, então qual é o comprimento do
pneu que contorna essa roda? Responderemos pelo perímetro e obteremos um valor
teórico de P = 2 x (20 cm) x = 40 cm ou valor experimental de P = 2 x (20 cm) x
3,14 = 125,6 cm.
8. Valor de π (Pi)
Na Babilônia, o valor do pi era considerado igual a três e hoje podemos
escrevê-lo com muitas casas depois da vírgula, com as reticências
informando que ele não terminou - e não terminará:
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097
4944592307816406286208998628034825342117067982148086513282
3066470938446095505822317253594081284811174502841027019385
2110555964462294895493038196442881097566593344612847564823
3786783165271201909145648566923460348610454326648213393607
2602491412737245870066063155881748815209209628292540917153
6436789259036001133053054882046652138414695194151160943305
7270365759591953092186117381932611793105118548074462379962
7495673518857527248912279381830119491298336733624406566430
8602139494639522473719070217986094370277053921717629317675
2384674818467669405132000568127145263560827785771342757789
6091736371787214684409012249534301465495853710507922796892
5892354201995611212902196086403441815981362977477130996051
8707211349999998372978049951059731732816096318595024459455
3469083026425223082533446850352619311881710100031378387528
8658753320838142061717766914730359825349042875546873115956
2863882353787593751957781857780532171226806613001927876611
1959092164201989380952572010654858632788659361533818279682
3030195203530185296899577362259941389124972177528347913151
5574857242454150695950829533116861727855889075098381754637
4649393192550604009277016711390098488240128583616035637076
6010471018194295559619894676783744944825537977472684710404
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9. Aproximação do pi
Nos livros didáticos, esse número é arredondado para 3,1416 ou
3,14, permitindo cálculos aproximados. No entanto, não
podemos esquecer que nunca poderemos afirmar que o valor
do pi é igual a 3,14. Por isso, é essencial que, no cálculo do
perímetro, a letra grega apareça para evitar erros.
10. Métodos empíricos para cálculo do PI
Método I - Usando a circunferência
Material necessário
Uma tira de papel, uma régua, um objeto cilíndrico, por exemplo, uma lata de Leite
em pó. Método
Rodeie a lata com uma tira de papel faça uma marca no local onde uma extremidade
toca a outra. Estenda a tira de papel sobre uma superfície horizontal e meça o seu
comprimento (perímetro da lata). Meça o diâmetro da lata. Pode-se colocá-la entre
dois objetos e assim medir a distância entre eles. O quociente entre as duas medidas
é o número pi (aproximado, em virtude da inexatidão das medidas).
11. Método II - Usando a área do círculo
Podemos também calcular o PI, usando um método estatístico. Imagine um círculo
inscrito em um quadrado.
Esforce-se e imagine que a figura abaixo é um alvo, destes em que se pratica "tiro ao
alvo". Imagine também que na direção desta figura, serão lançados dardos aleatórios.
A probabilidade de que os dardos atinjam o círculo é de exatamente PI/4.
Estatisticamente, se forem lançados 400 dardos na área delimitada pelo quadrado,
aproximadamente 314 atingirão o círculo (área em azul) e 86 atingirão a área em
vermelho. Conclusão: considerando-se uma circunferência de diâmetro N e um
quadrado com lado N, PI = 4 * (área da circunferência / área do quadrado).
12. Grandezas que dependem de π
Várias relações matemáticas dependem do conhecimento
da constante π, entre elas:
• Perímetro de uma circunferência: C=2.π.r
• Área do círculo : A= π. r²
• Volume de uma esfera: V= 4.π.r³
3
• π também está nas fórmulas gravitacionais e do
eletromagnetismo da física.
