4. A. Fonctions à une variable réelle
1.Introduction
a)
b)
c)
d)
e)
Notion de fonction
Notion d’injection
Notion de surjection
Notion de bijection
Bijection et bijection réciproque
5. a) Notion de fonction
Définition
Une fonction est une relation entre deux
ensembles E et F telle que :
Chaque élément de E (ensemble des
antécédents) a au plus une image dans F
(ensemble des images)
7.
E = ensemble de départ, contient ‘n’ éléments :
X1 ; X2 ; X3 ; …. ; Xn ,
Ce sont les antécédents
F = ensemble d’arrivée, contient ‘m’ éléments :
Y1 ; Y2 ; Y3 ; …., Ym
Ce sont les images
Nous avons :
f (x1) = y1 ; f (x2) = y3 ; f (x3) = y2 ;
…….. ;
f (xn) = ym
8. Y1 est
l’image de X1 ; X1 est l’antécédent de Y1
Y3 est l’image de X2 ; X2 est l’antécédent de Y3
……
Ym est
l’image de Xn ; Xn est l’antécédent de Ym
Pour que f soit une fonction,
chaque élément de E doit avoir
au plus une image dans F
14. Remarque Importante
Fonction et Application
Une application est une fonction particulière.
C’est une fonction telle que chaque antécédent
a exactement une image (s’il y a un antécédent
qui n’as pas d’image alors c’est simplement une
fonction et non une application)
18. Exemple 4
IR
x
f
I
IR
x2
f est une application car chaque élément de IR admet
une image et une seule « exactement une image »
19. b) Notion d’injection
« fonction injective »
Définition
f est une fonction de E vers F. f est dite
injective lorsque chaque élément de F a au
plus un antécédent dans E : un antécédent ou
rien
23. Exemple 4
IR
x
IR
f
x2
I
f n’est pas injective car :
par exemple 1 a deux antécédents +1 et -1
.
IR
.
IR
+1
1
0
0
-1
.
.
.
.
.
f
.
.
24. Par contre
IR+
x
g
I
IR
x2
g est injective car :
Si Y est négatif
Si Y est positif
(Y < 0) , alors Y n’a pas d’antécédent
(Y ≥ 0) ,Y a un seul antécédent : Y
25. A retenir
f est une fonction de E vers F. f est injective si
elle vérifie :
∀x ;x ∈E
1 2
:
f (x ) =f (x ) ⇔x = x
1
2
1 2
C’est-à-dire : deux antécédents ont la même
image si et seulement si ils sont égaux
26. Remarque
f est une fonction de E vers F. Si f est
injective alors : Card E ≤ Card F
Card E = nombre des éléments de E
X1
X2
X3
.
.
E=
.
.
.
.
Xn
: Card E = n
28. c) Notion de surjection
« fonction surjective »
Définition
f est une fonction de E vers F. f est dite
sujective lorsque chaque élément de F a au
moins un antécédent dans E : un antécédent
ou plusieurs antécédents
35. d) Notion de bijection
« fonction bijective »
Définition
f est une fonction bijective (ou une bijection)
de E vers F si et seulement f est une
application qui est à la fois injective et
surjective
C’est-à-dire chaque élément de E a une image
et une seule et chaque élément de F a un
antécédent et un seul
50. Remarque
Relation entre
la courbe de f et la courbe de sa réciproque f-1
A retenir : La courbe de f «Cf» et la courbe
de sa fonction réciproque f-1 «Cf-1» sont
symétriques par rapport à la 1ère bissectrice
(la droite d’équation y = x)
52. Exemple
la courbe de ln « logarithme népérien » et la
courbe de sa réciproque exp « exponentielle »
sont symétriques par rapport à la droite y = x
Cexp
Y=x
Cln
53. A. Fonctions à une variable réel
2. Domaine de définition
f
IR
IR
f (x )
xI
admet une image
D = x∈IR x
f
= x∈IR f (x) est définie « on peut
la calculer »
55. Fonctions polynômiales
Exemples :
•
•
•
f (x) = 3x2 + x − 5
;
f (x) = 7x3 − x 2 + x +15
;
f (x) = 7x5 − x 4 + x 2 − 24
;
Pour toutes ces fonctions :∞;+∞[
D = IR =]−
f
57. Fonctions rationnelles
Exemple :
2x +1
f (x ) =
2
2
(x −1)(x +1)
Q(x) = 0 ⇔ (x 2 −1)(x2 +1) = 0 ⇔ x2 −1= 0
x2 +1≠ 0 , ainsi :
Car
Q(x) = 0 ⇔ x 2 =1⇔ x = ±1 ⇒ Df
= IR − ±1
Df =]− ∞;−1[∪]−1;1[∪]1;+∞[
58. Exemples
3. Fonctions racines (nèmes) :
f (x) = n u(x) ; n est un entier naturel non nul
n = 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; ……….
A retenir :
• Si n est pair :
Df = x∈IR u(x) ≥ 0
• Si n est impair :
Df = Du
59. Fonctions racines (nèmes)
Exemples :
• « racine carrée » :
f (x) = 2x +1
On doit avoir :
2x +1≥ 0 ⇔ x ≥ −1/ 2 ⇒ Df =[−1/ 2;+∞[
• « racine cubique » :
3
f (x ) =
2x +1
u(x) = 2x +1 définie quelque soit x donc
Df = Du = IR =]− ∞;+∞[
60. Exemples
4. Fonctions puissances :
f (x) = u(x)α ; α est un
nombre rationnel
α = m/n
m et n sont deux entiers naturels non nuls
On écrit :
f (x) = u(x)m / n =(u(x)m)1/ n
n u(x) m
⇒ f (x ) =
61. Fonctions puissances
Exemples :
1.
f (x) = (2x +1)4 / 5 ici α = 4 / 5
5
On a : f (x) =
(2x +1)
4
; racine impaire,
on regarde alors le domaine de définition de
(2x +1)4
(2x +1)4
:
est une fonction polynômiale définie
D = IR
f
62. Fonctions puissances
Exemples :
f (x) = (2x +1)− 3/ 4
1
On a : f (x) =
2.
; racine paire,
4 (2x +1)3
on doit avoir :
(2x +1)3 ≥ 0
et
(2x +1)3 ≠ 0
(2x +1)3 > 0 ⇔ 2x +1> 0 ⇔ x > −1/ 2
Df =]−1/ 2;+∞[
63. Exemples
5. Fonctions logarithmiques :
f (x) = ln(u(x)) ; ln désigne le logarithme népérien
Df = x∈IR u(x) > 0
Exemple :
f (x) =ln(1−x 2)
2
Df = x∈IR 1− x > 0
or
;
1−x 2 =(1−x)(1+ x) , tableau des signes
65. Exemple 2 : f (x) =ln((2x +7)(x −5))
Df = x∈IR (2x + 7)(x −5) > 0
Tableau des signes :
x
2x+7
x-5
Donc :
Produit
-7/2
- 0
+
+
-
0
5
+
0
0
+
+
Df =]− ∞;−7 / 2[∪]5;+∞[
66. Exemples
6. Fonctions exponentielles :
u (x )
f (x ) = e
; alors
Df = Du
« l’exponentielle est toujours définie »
Exemples :
2
f (x) =ex + x +2 ⇒D =IR ;
f
• f (x) =e x ⇒D = IR +
;
f
1/(x −2) ⇒D = IR −2
• f (x ) = e
f
•
67. A. Fonctions à une variable réel
3.Continuité
I⊂ IR
x I
f
IR
f (x )
f est une fonction définie sur un intervalle I de IR
69. 3. Continuité
a)Continuité en un point a :
Définition : f est continue au point a lorsque :
lim f (x) = lim f (x) = f (a)
−
+
x →a
x →a
limite à droite = limite à gauche = image de
a
70. Exemples
1.
x ;si x∈[0;1]
f (x ) =
; continuité en 1
2 − x ;si x∈]1;2]
On a :
et
lim f (x) = lim 2 − x = 1 =1
+
+
x →1
x →1
lim f (x) = lim x = 1 =1
−
−
x →1
x →1
f (1) = 1 =1 ; f est donc continue au point 1
71. 2.
x +1;si x∈[0;1[
f (x) = 2 − x;si x∈]1;2]
f (1) = 3/ 2
On a :
; continuité en 1
lim f (x) = lim 2 − x = 2 −1=1
+
+
x →1
x →1
lim f (x) = lim x +1=1+1= 2
−
−
x →1
x →1
et f (1) = 3/ 2 ;
f est donc discontinue au point 1
72. 3. Continuité
b)Continuité sur un intervalle :
Définition :
f est continue sur l’intervalle I=[a;b] lorsque f
est continue en tout point de l’intervalle ouvert
]a;b[ ; continue à gauche de b et continue à
droite de a.
73. • f est continue à gauche de b lorsque :
lim f (x) =f (b)
−
x →b
• f est continue à droite de a lorsque :
lim f (x) =f (a)
+
x →a
74. Continuité sur un intervalle [a ; b]
à gauche de b
à droite de a
a
x
b
75. Exemples
x ;si x∈[0;1]
1. f (x) =
2 − x ;si x∈]1;2]
;
f est continue sur l’intervalle [0 ; 2] car :
• f est continue en tout point de l’intervalle
]0 ; 2[ (en particulier au point 1),
• f est continue a droite de 0 et à gauche de 2.
76. Exemples
2.
x +1;si x∈[0;1[
f (x) = 2 − x;si x∈]1;2] ;
f (1) = 3/ 2
f n’est pas continue sur l’intervalle [0 ; 2] car
elle discontinue au point 1
78. Propriétés des fonctions continues
Si f et g sont deux fonctions continues sur un
intervalle I alors :
•
•
f +g est continue sur I
αf est continue sur I (α∈IR)
•
f ×g est continue sur I
•
f / g est continue sur I (g ≠ 0 sur I )
79. Conséquences
• Les fonctions polynômiales sont continues
sur IR
• Les fonctions rationnelles ; racines nèmes ;
puissances ; logarithmiques et
exponentielles sont continues sur leurs
domaines de définition
80. bijection et bijection réciproque
I
f
J
f-1
f est une fonction bijective de I vers J. Si f est
continue sur l’ intervalle I alors sa fonction
réciproque f-1 est continue sur l’intervalle J
(car les courbes de f et f-1 sont symétriques par
rapport à la droite d’équation y = x)
81. Remarque
f est continue sur l’ intervalle I
⇔
sa courbe Cf est continue
« ne présente aucune coupure »
Voir TD (Exercice 2)
82. Théorème des Valeurs Intermédiaires
« T.V.I »
T.V.I : Si f est continue sur l’intervalle [a; b]
et
f (a)×f (b) <0 alors f s’annule sur ]a ; b[ ;
C’est-à-dire :
∃c∈ a;b[ tel que : f (c) =0
]
85. Exemple
Montrer que la fonction f (x) = x3 + x −3
s’annule (au moins une fois) sur [0 ; 2]
La fonction f est une fonction polynomiale
donc définie et continue sur IR, en particulier
sur l’intervalle [0 ; 2]. De plus :
f (0) = −3<0 et f (2) =7 >0
Donc d’après le T.V.I : ∃c∈ 0;2[
]
tel que f (c) =0
86. A. Fonctions à une variable réel
4.Dérivabilité
I⊂ IR
x I
f
IR
f (x )
f est une fonction définie sur un intervalle I
I
a
I
x0
I
b
87. a) Dérivabilité en un point x0
Définition
On dit que la fonction f est dérivable en x0 si :
lim
x→x
f (x ) − f (x )
0
x−x
0 existe.
0
Cette limite « quand elle existe » est appelée :
dérivée de f au point x0 et on la note f’(x0)
88. Ainsi
f '(x0) = lim
x→x
f (x) − f (x )
0
x−x
0
0
A retenir :
toutes les formules de dérivation qu’on
utilise sont une conséquence directe de
cette définition.
89. Exemples
1. Pourquoi la dérivée d’une constante est
égale à 0 ?
On pose :
f (x) =C , soit x0∈IR
I
x0
IR
90. f (x) −f (x )
f '(x0) = lim
x →x
0
x −x
0
0
C −C =0
= lim
x → x x −x
0
Ainsi :
0
∀x0∈IR, f '(x0) =0
Ou encore (en notant x au lieu de x0) :
∀x∈IR,
f '(x) =0
91. Exemples
2. Pourquoi :
(ax2 + bx + c)'= 2ax + b
On pose : f (x) =ax 2 +bx +c , soit
x0∈IR
I
x0
f '(x0) = lim
x →x
0
f (x) −f (x )
x −x
0
0
92. Donc :
= lim
x →x
2
+bx +c) −(ax +bx +c)
0
0
x −x
0
= lim
x →x
(ax
2
a(x
0
2
0
2
−x ) +b(x −x )
0
0
x −x
0
= lim a(x + x0) +b =a(x0 +x0) +b
x →x
0
= 2ax0 +b
93. Ainsi :
∀x ∈IR, f '(x ) =2ax +b
0
0
0
Ou encore (en notant x au lieu de x0) :
∀x∈IR, f '(x) =2ax +b
finalement :
f (x) = ax2 + bx + c ⇒ f '(x) = 2ax + b
95. Donc :
f '(x0) = lim
x →x
0
1− 1
x x0
x −x 0
x 0 −x
= lim
x →x
−(x −x 0 )
0
xx 0
x −x 0
1
= lim
= lim −
xx 0
x → x xx (x −x ) x →x
0
0
0
0
1 ⇒f '(x ) =− 1
=− 2
0
2
x0
x0
96. finalement :
*, f '(x ) =− 1
∀x ∈IR
2
0
0
x
0
Ou encore (en notant x au lieu de x0) :
*, f '(x) =− 1
∀x∈IR
2
x
Les formules qui suivront sont aussi
conséquence
directe
de
la
définition
précédente :
97. b) Mémento du petit dériveur
fonction
ax+b
xα ( α∈Q )
fonction dérivée
a
αxα −1
x
1 /2 x
lnx
1/x
102. Exercice
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
2x
1.f(x) = x 2 −1
2.f(x) = ln(x 2 + x −3)
3.f(x) =
4.f(x) =
x eSinx
5 (x +1)3
(x 2 +1)2/15
5.f(x) =
103. c) Dérivabilité sur un intervalle
Définition
Une fonction f est dérivable sur l’intervalle
[a ; b] si elle est dérivable en tout point
de [a ; b]
104. Exemples
1.
f (x ) = x
définie et continue sur
[0;+∞[
1 définie pour x∈ 0;+∞[
]
f '(x) =
2 x
Donc la fonction f n’est pas dérivable sur
[0;+∞[ car f n’est pas dérivable en 0, mais
dérivable seulement sur l’intervalle ]0;+∞[
105. Exemples
2.
3
f (x ) =
x −1
définie et continue IR
Question :
f est-elle dérivable sur l’intervalle [0 ; 2] ?
3
f (x ) =
1/ 3 ⇒ f '(x) = 1 (x −1)− 2 / 3
x −1 = (x −1)
3
C’est-à-dire :
f '(x) =
1
3
3
(x −1)
2
106. f '(x) =
1
2
3 (x −1)
3
donc f n’est pas dérivable en x = 1, et par
conséquent f n’est pas dérivable sur l’intervalle
[0 ; 2]
107. Remarques
1. f est dérivable en x0
⇒ f est continue en x
2. f est dérivable sur [a ; b]
sur [a ; b]
⇒ f est continue
0
108. Donc « contraposée »
3. f est discontinue en x0
dérivable en x0
⇒ f n’est pas
4. f est discontinue sur [a ; b]
dérivable sur [a ; b]
Contraposée :
p⇒ q
⇒f n’est pas
⇔ non q ⇒ non p
109. la fonction f n’est pas dérivable en x0 car
elle est discontinue en x0
x0
113. Théorème de Rolle
Théorème :
Si f est une fonction continue sur l’intervalle
[a ; b] ; dérivable sur l’intervalle ouvert ]a ;
b[ etf:(a) =f (b)
alors :
∃c∈ a;b[ tel que f '(c) =0
]
117. Réponse
a)
3
f (x) =1−
(x −1)
2
: la racine cubique
« racine impaire » est définie sur IR, donc
Df = IR
• f est la somme d’une fonction constante
3 (x −1) 2
«1» et d’une fonction racine « −
»
donc continue sur son domaine de définition
IR,
en particulier f est continue sur l’intervalle [0 ; 2]
118. Réponse
b)
2 =1−3 1 =0
f (0) =1− (0 −1)
3
2 =1−3 1 =0
f (2) =1− (2 −1)
3
ainsi
f(0) = f(2)
119. Réponse
c) Dérivabilité de f sur l’intervalle ]0 ; 2[
f (x) =1−3
2
(x −1) =1−(x −1)2 / 3
2
⇒f '(x) =−
33 x −1
f n’est pas dérivable en x = 1 « f’(1) n’est
pas définie », donc f n’est pas dérivable
120. Conclusion
On ne peut pas appliquer le Théorème de
3
Rolle à la fonction f (x) =1−
(x −1)
2
sur l’intervalle [0 ; 2] car l’hypothèse de
dérivabilité n’est pas vérifiée !!!
Voir Exercice 5, Série de TD
121. Théorème des accroissements finis
« T.A.F »
Théorème :
Si f est une fonction :
a) continue sur [a ; b]
b) dérivable sur ]a ; b[
alors : ∃c∈ a;b[ tel que :
]
f (b) −f (a) =(b −a)f '(c)
122. 2
ème
version « T.A.F »
Théorème :
Si f est une fonction :
a) continue sur [a ; b]
b) dérivable sur ]a ; b[
alors : ∃c∈ a;b[ tel que :
]
f (b) −f (a) =f '(c)
b −a
123. 3ème version « T.A.F »
… premier développement limité
Théorème :
Si f est une fonction :
a) continue sur [a ; b]
b) dérivable sur ]a ; b[
alors : ∃c∈ a;b[ tel que :
]
f (b) =f (a) +(b −a)f '(c)
124. Remarque : Pourquoi on dit :
accroissements finis ?
Comme
f (b) −f (a) =(b −a)f '(c)
« 1ère version »
Si la dérivée première « f’ » est une fonction
bornée :
f '(x) ≤ M sur l’intervalle considéré,
alors on a :
f (b) −f (a) ≤M(b −a)
125. Ainsi, si l’ordre de grandeur de f’ est fixé,
les accroissements de la fonction f « f(b)f(a) » sont bornés « finis »
126. Interprétation géométrique
∃c∈ a;b[
]
f (b) −f (a) =f '(c)
tel que
b −a
Veut dire : Il y a au moins un point de la courbe
où la tangente est parallèle au segment AB
128. Conséquences
f est une fonction continue et dérivable sur
l’intervalle [a ; b] :
•
Si f’(x)=0 (x∈[a;b] ) alors f est constante
∀
•
≥ (
Si f’(x) 0∀x∈[a;b] ) alors f est
croissante
•
≤
∀x∈[a;b]
Si f’(x) 0 (
décroissante
) alors f est
129. Preuve
a
I
x
I
c
I
y
I
b
I
Soient x et y deux nombres quelconques
de l’intervalle [a ; b] tels que : x≤ y
• Si f’(x)=0 (∀x∈[a;b] ), dans ce cas ; T.A.F :
f (y) −f (x) =(y −x)f '(c) =(y −x)×0 =0
⇒f (y) =f (x) : f est donc constante sur
l’intervalle [a ; b]
130. Preuve
• Si f’(x) ≥0 (∀x∈[a;b] ), dans ce cas ; T.A.F :
f (y) −f (x) =(y −x)f '(c) ≥0
y −xcar0:
≥
f '(c) ≥et ⇒f (y) ≥f (x)
0
f est donc croissante sur l’intervalle [a ; b]
131. Preuve
• Si f’(x) ≤0 (∀x∈[a;b] ), dans ce cas ; T.A.F :
f (y) −f (x) =(y −x)f '(c) ≤0
y −xcar0:
≥
f '(c) ≤et ⇒f (y) ≤f (x)
0
f est donc décroissante sur l’intervalle [a ; b]
132. A. Fonctions à une variable réel
5.Calcul de limites
« Règle de l’HOSPITAL »
Exemple :
lim Sinx =?
x→0 x
Problème : lorsque x →0 :
Sinx →0 et x →0
133. 0 =?
La forme indéterminée
0
Exemples :
1.
2.
3.
x 2 = lim x =;0
lim x
x→0
x→0
x = lim 1 =±∞
lim 2
;
x→0 x
x→0 x
.
lim 5x =5
x→0 x
134. La forme indéterminée
Nous avons une forme indéterminée
lorsqu’on ne peut pas prévoir le résultat
d’avance.
Les formes indéterminées :
0 =? ; ∞=? ; ∞−∞=? ;
0×∞=?
0
∞
135. 0 =?
La forme indéterminée
0
0 =? , on peut
Pour la forme indéterminée
0
utiliser la Règle de l’Hospital :
R-H :
Si
lim f (x) = lim g(x) =0
x→a
x→a
f (x) = lim f '(x)
lim
alors x→
a g(x) x→a g'(x)
144. A. Fonctions à une variable réel
6.Dérivées d’ordre supérieur;
Formule de Taylor
Développements limités
145. Dérivées d’ordre supérieur
La dérivée d’ordre n (on dit aussi : la
dérivée nème) s’obtient en dérivant f n
fois :
f
on
dérive
f’
on
dérive
on
dérive
f’’
on
dérive
on
dérive
f(3)
f(n)
146. Exemples
1. f (x) =ln x
•
f '(x) =1/ x
;
f ''(x) =−1/ x 2
•
•
f (3)(x) =2 / x3
;
; …;
(n)(x) =(−1)n +1(n −1)!/ x n
• f
148. Utilisation de la dérivée
seconde « f’’ »
Convexité & Concavité
f
on
dérive
f’
on
dérive
f’’
149. Convexité
Définition
Une fonction
f est dite convexe sur
l’intervalle [a ; b] lorsque sa courbe C f sur
l’intervalle [a ; b] est au dessus de toutes
ses tangentes
151. Concavité
Définition
Une fonction
f est dite concave sur
l’intervalle [a ; b] lorsque sa courbe C f sur
l’intervalle [a ; b] est au dessous de toutes
ses tangentes
160. Exercice
Étudier la convexité des fonctions suivantes
sur leurs domaines de définition :
1.
f (x) = x
2.
f (x) =1/ x ;
3.
f (x) =3 x ;
4.
f (x) =x3 −3x2 +x −5
;
161. Dérivées d’ordre supérieur
Formule de Taylor
f(b)
f(a)
a
b
Question fondamentale en Analyse :
Connaissant la valeur de f au point a, peut-on
donner une estimation de f(b) ???
162. Exemple « Météo »
24°
21°
Mardi
Dimanche
Connaissant la température enregistrée Mardi,
peut-on prévoir la température de Dimanche
prochain ???
163. Réponse « Taylor »
f(b)
f(a)
a
b
On peut donner une valeur approchée de f(b),
à condition de connaître f(a)…mais aussi :
f’(a) ; f’’(a) ; f(3)(a) ; f(4)(a) ; …. ; f(n)(a) ; …
164. A savoir :
Notre estimation de f(b) est meilleure lorsque :
n est grand
b est proche de a
proches
I
a
I
b
165. Exemple « Météo »
?
22°
21°
Mardi Mercredi
Dimanche
Connaissant la température de Mardi, il est
plus simple de prévoir la température de
Mercredi « proche de Mardi » que celle de
Dimanche « loin de Mardi »
166. La « fameuse » Formule de Taylor
Théorème :
Si f est une fonction dérivable
à l’ordre n+1 alors :
2
(b −a) f ''(a) +
f (b) =f (a) +(b −a)f '(a) +
2!
3
n
(b −a) f (3)(a) +...+ (b −a) f (n)(a) +
3!
n!
n +1
(b −a)
]
f (n +1)(c) avec c∈ a;b[
(n +1)!
I
I
I
a
c
b
167. Développements limités : a=0 et b=x
Théorème :
Si f est une fonction dérivable
à l’ordre n+1 alors :
2
3
x f ''(0) + x f (3)(0) +
f (x) =f (0) + xf '(0) +
...+
avec
n
x
n!
c∈ 0; x[
]
2!
f (n)(0) +
3!
n +1
x
f (n +1)(c)
(n +1)!
c
I
x
I
168. Notation de Young
Formule de Taylor-Young
2
3
x f ''(0) + x f (3)(0) +
f (x) =f (0) + xf '(0) +
2!
3!
n
x f (n)(0) +x nε(x)
...+
n!
x f (n +1)(c)
avec ε(x) =
(n +1)!
169. Remarque
1.
2.
ε(x) →0 lorsque x →0
ε(x) n’est pas une fonction, c’est une
manière symbolique d’écrire : quantité qui
tend vers 0 avec x. Donc :
ε
La différence de deux (x) n’est pas 0
mais un (x) , prendre par exemple x 2
et x3
Le produit de deux (x) est un (x)
ε
ε
ε
170. Quelques
Développements limités importants
1. f (x) =ex
; La formule de Taylor-Young
donne :
2
n
x =e0 + xe0 + x e0 +...+ x e0 +x nε(x)
e
2!
n!
Ainsi :
2
n
x =1+ x + x +...+ x +x nε(x)
(D1) e
2!
n!
171. c’est-à-dire : pour x proche de 0
2
n
x ≈1+ x + x +...+ x
e
2!
n!
Exemple :
0,1 ≈1+0,1+ 0,01+...
e
2
−0,1 ≈1−0,1+ 0,01−...
e
2
172. 1 =(1−x)−1
2. f (x) =
:
1−x
La formule de Taylor-Young donne :
•
f (0) =1 ;
•
f '(x) = −1×(1−x)−2 ×(−1) ⇒f '(0) =1 ;
•
f ''(x) = −2×(1−x)−3×(−1) ⇒f ''(0) =2! ;
•
f (3) ( x) = −6×(1− x)− 4 ×(−1) ⇒ f (3) (0) =3!
;
...f (n)(0) =n!
•
on obtient ainsi :
173. 1 =1+x + x 2 +x3 +...+ x n + x nε(x)
(D2)
1−x
En remplaçant x par –x on obtient : (D3)
1 =1−x + x 2 −x3 +...+(−1)n x n + x nε(x)
1+ x
En intégrant D3 on obtient : (D4)
ln(1+ x) = x −
x
2
2
+
x
3
3
+...+
(−1)
n
(n +1)!
x n +1 + x n +1ε(x)
174. Application : calcul de limites
Exemple :
1
Calculer lim (1+x) x
x →0
1
1 (x + xε(x))
ln(1+x)
(1+x) x =e x
=e x
1
Développement limité (D4) à l’ordre 1
177. Calcul de limites
« Exercice »
Calculer :
1) x )
1. lim x(e −(1+
;
x
x →+∞
5) x
lim (1+
2.
;
x
x →+∞
178. 1 ) 3x
lim (1+
3.
;
x
x →+∞
(x cos x −sin x)
4. lim
; 2
x →0 e x −1−x − x
2
179. corrigé
1 ) x ) =?
1. lim x(e −(1+
x
x →+∞
1)
x x ln(1+
On a : (1+ 1 ) =e
x
x
Or lorsque
x →+∞
alors
1 →0
x
180. 1 ) = 1 − 1 + 1 ε( 1 )
Or ln(1+
2
2
x x 2x x x
Développement limité (D4) à l’ordre 2 !!
Remarque :
1
C’est
qui joue le rôle de x ici, car
x
1 →0 donc 1 est proche de 0
x
x
181. Ainsi :
1 − 1 + 1 ε( 1 ))
x(
1 )x =e x 2x 2 x 2 x
(1+
x
1 + 1 ε( 1 )
1−
2x x x
=e
1 + 1 ε( 1 )
−
1
2x x x
=e ×e
182. Or pour t proche de 0 ( t→0) on a :
t
e =1+t +tε(t)
Développement limité (D1) à l’ordre 1 !!
Donc : ( t =−1/ 2x )
e
1 + 1 ε( 1 )
−
2x x x
1 + 1 ε( 1 )
=1−
2x x x
183. Par conséquent :
1 ) x =e1 ×(1− 1 + 1 ε( 1 ))
(1+
x
2x x x
e + 1 ε( 1 )
=e −
2x x x
finalement :
1 )x ) = x( e + 1 ε( 1 ))
x(e −(1+
2x x x
x
184. C’est-à-dire :
1 )x ) = e +ε( 1 ))
x(e −(1+
2
x
x
Conclusion
1 )x ) = e
lim x(e −(1+
2
x
x →+∞
Car
1 ) = lim ε(t) =0
lim ε(
x →+∞ x t →0
185. 5) x
2. lim (1+
:
x
x →+∞
5)
x ln(1+
x
5 ) x =e
On a : (1+
x
5) = 5 + 1 ε( 1 )
1
Or : ln( +
x x x x
Développement limité (D4) à l’ordre 1
186. 5 →0 lorsque x →+∞
Car
x
Donc :
5) x =e
(1+
x
5 + 1 ε( 1 ))
x(
x x x
192. (x cos x −sin x) :
4. lim
2
x →0 e x −1−x − x
2
Nous avons besoin des développements
limités de Cos x et Sin x à l’ordre 3, car
le dénominateur montre qu’il faut
ex
développer la fonction
à l’ordre 3
196. Or :
Donc :
Sin0 =0 ;
Sin'0 =Cos0 =1
Sin''0 = −Sin0 =0
Sin(3) 0 = −Cos0 = −1
2
3
x
x ×0 + ×−1+ x3ε(x)
Sinx =0 + x ×1+
2
6
C’est-à-dire :
3
x + x3ε(x)
Sinx = x −
6
197. x cos x −sin x =
Par conséquent :
2
x
x
e −1−x −
2
2 / 2) −(x −x 3 / 6) +x 3ε(x)
x(1−x
3 / 6+x 3ε(x)
x
Nous avons utiliser le D. L. de ex à l’ordre 3
198. 3 / 3+x 3ε(x) −1/ 3+ε(x)
−x
=
=
3 / 6+x 3ε(x) 1/ 6+ε(x)
x
Ainsi :
(x cos x −sin x) =−2
lim
2
x →0 e x −1−x − x
2
200. Exemples introductifs
I. Une entreprise commercialise 3 produits :
A, B et C. Le prix de vente unitaire du
produit A est 12 DH, celui du produit B est
15 DH et celui du produit C est 22 DH.
On vend une quantité x du produit A, une
quantité y du produit B et une quantité z
du produit C. La recette R(x ; y ; z) est
donnée par :
R(x ; y ; z) = 12x + 15y + 22 z
La recette de cet exemple est une fonction
de 3 variables x, y et z
201. Exemples introductifs
II. Une entreprise fabrique 2 produits A et B.
Si x désigne la quantité fabriquée de A et
y celle de B, la recette escomptée lors de
la vente de x articles de A et de y articles
de B est donnée par :
R(x , y) = -3x2 -2y2 +220x +140y
Le coût d’une unité de A (respectivement
de B) qu’on note CA (respectivement CB)
dépend des quantités x et y comme suit :
CA = 2x +y et CB = x +3y
202. Exemples introductifs
a. Exprimer en fonction de x et de y le coût
c(x , y) de fabrication de x unités de A et
de y unités de B.
C(x , y) = x CA + y CB
= x (2x +y) + y (x +3y)
= 2x2 +3y2 +2xy
On obtient une fonction de 2 variables x et y
203. Exemples introductifs
b. Exprimer le bénéfice B(x , y) réalisé lors de
la vente de x articles de A et de y articles de
B.
B(x , y) = R(x , y) – c(x , y)
= (-3x2 -2y2 +220x +140y) – (2x2 +3y2 +2xy)
= -5x2 -5y2 -2xy +220x +140y
le bénéfice est une fonction de 2 variables x et
y
205. Exemples de fonctions à
plusieurs variables
a.
y +yex
f (x, y) =xe
x + y +100
b. f (x, y) =
y x
c.
: 2 variables
: 2 variables
f (x, y) =x3 +y3 −3xy
: 2 variables
206. Exemples de fonctions à
plusieurs variables
d.
f (x, y, z) = xyz −x +5 y +3z : 3 var
e.
f (x, y, z) =ln(x2 + y2 −4z)
f.
f (x, y, z,t) = x3 + y2 −z + t
:3 var
:4 var
207. Remarque
1. Dans le cas de n variables (
peut noter les variables :
n≥5 ), on
x1 , x2 , x3 , … , xn
la fonction f est notée dans ce cas :
f(x1 , x2 , x3 , … , xn)
208. Remarque
2. On s’intéresse dans le cadre de ce cours
aux fonctions de deux variables x et y
(x, y)∈IR×IR →f (x, y)
209. 1.Domaine de définition
D f ⊂ IR× IR
( x, y) I
f
IR
f ( x, y)
Le domaine de définition est
un domaine du plan IR2
(IR2 = IR x IR)
218. Remarque
à réviser :
Équation d’une droite dans le plan IR 2 :
Une droite partage le plan en 3 zones…..
Équation d’un cercle dans le plan IR 2 :
Un cercle partage le plan en 3 zones…..
Voir TD
220. 2.Courbes de niveaux & Sections
a) Courbes de niveaux :
Ce sont des sous ensembles du
domaines de définition D.
Elles correspondent à des coupes
horizontales de la surface z = f(x , y)
projetées sur le domaine de définition
D.
221. a)Courbes de niveaux
Définition
La courbe de niveau k, notée Ck ou Nk,
est l’ensemble des points du domaine de
définition D tels que leur image f(x , y) est
égale à k :
C = (x, y)∈D /f (x, y) = k
k
222. Exemple
•
f (x, y) = y −x2
D =IR
:
2
f
La Courbe de niveau k : On cherche les
couples (x , y) du domaine de définition IR 2
tels que :
f (x, y) = k
223. f (x, y) = k ⇔ y − x2 = k ⇔ y = x2 + k
La Courbe de niveau k est la parabole
d’équation y = x 2 +k :
C0 : (k=0) parabole d’équation
C1 :(k=1)
//
//
C-1 :(k=-1) //
//
y=x2
y =x2 +1
y =x2 −1
224. b) Sections ou « abaques »
Elles correspondent à des coupes
verticales de la surface z = f(x , y)
225. Sections selon x
On fixe x : ( x = k ) et on trace la
courbe z = f(k , y) dans le plan Oyz
z
y
226. Sections selon y
On fixe y : ( y = k ) et on trace la
courbe z = f(x , k) dans le plan Oxz
z
x
227. Exemple
•
f (x, y) =ln(xy)
:
Domaine de définition :
xy > 0 ⇔ x > 0
et
y> 0 ou x < 0 et y< 0
D =]−∞,0[×]−∞,0[∪]0,+∞[×]0,+∞[
f
232. 2
ème
notation
∂ : Se prononce « d rond »
f(x , y)
Selon x
∂f (x, y)
∂x
∂f (x, y)
∂y
233. Règle de base
Les premiers pas…dans le calcul différentiel
Lorsqu’on dérive par rapport à
une variable, l’autre variable
est supposée constante
234. Dérivées partielle première
par rapport à x
'
f x ( x0, y0) = lim
x→ x
0
f ( x, y ) − f ( x , y )
0
x− x
0
0
x est variable et tend vers x0,
alors que y est fixé : y = y0
0
235. Dérivées partielle première
par rapport à y
'
f y ( x0, y0) = lim
y→ y
f ( x , y) − f ( x , y )
0
0
y− y
0
0
x est fixé : x = x0 alors que y est
variable et tend vers y0
0
236. Remarque
Lorsqu’on calcule une dérivée
partielle, on utilise les règles de
dérivation d’une fonction d’une
variable réelle
« car une des deux variable est fixée »
237. Exemples
1. f (x, y) =x2 +xy + y4 +3 :
Selon x
'
f x (x, y) =2x +y
Selon y
'
f y(x, y) =x +4y3
238. Exemples
y +x 2y :
2. f (x, y) =xe
Selon x
Selon y
'
' (x, y) =ey +2xy f y(x, y) =xey +x2
fx
239. Exemples
3. f (x, y) =x3 + y3 −3xy :
Selon x
Selon y
'
'
f x (x, y) =3x2 −3y f y(x, y) =3y2 −3x
242. Une dérivée partielle est une
fonction de deux variables x et y,
on peut alors la dériver à son tour!
243. Schème de dérivation
f(x , y)
x
y
f’x(x,y)
x
f’’xx(x,y)
y
f’’xy(x,y)
f’y(x,y)
x
f’’yx(x,y)
y
f’’yy(x,y)
quatre dérivées partielles secondes
244. Dérivées partielles secondes
ou d’ordre 2
f’’xx
: On dérive f 2 fois par rapport à x
f’’xy
: On dérive f par rapport à x ensuite
f’’yx
f’’yy
par rapport à y « dérivée croisée »
: On dérive f par rapport à y ensuite
par rapport à x « dérivée croisée »
: On dérive f 2 fois par rapport à y
245. Exercice
Calculer les dérivées partielles
premières
et
secondes
des
fonctions suivantes :
1. f (x, y) =3x 2y −xy3 −x −y ;
2. f (x, y) = x ln y + yln x ;
2
2 ;
3. f (x, y) = x + y
246. f (x, y) =3x2y −xy3 −x −y :
1.
y
x
'
f x ( x, y) = 6 xy − y3 −1
y
x
'
f y ( x, y) =3x2 −3xy2 −1
x
y
''
''
f xy ( x, y) = f yx ( x, y) = 6 x −3 y 2
''
f xx ( x, y) = 6 y
Remarque :
''
f yy ( x, y) = −6xy
''
''
f xy = f yx
247. 2. f (x, y) =x ln y + yln x
y
x
'
f x ( x, y) = ln y + y / x
y
x
:
'
f y ( x, y) = x / y +ln x
x
y
''
''
f xy ( x, y) = f yx ( x, y) =1/ x +1/ y
''
f xx ( x, y) = − y / x2
Remarque :
''
f yy ( x, y) = −x / y 2
''
''
f xy = f yx
248. 3. f ( x, y) = x 2 + y 2
:
y
x
' ( x, y) = x / x 2 + y 2 f ' ( x, y) = y / x 2 + y 2
fx
y
y
x
x
y
'' = f '' = −xy / ( x 2 + y 2 )3
f xy
yx
''
f xx = y 2 / ( x 2 + y 2 )3
''
f yy = x2 / ( x 2 + y 2 )3
249. Remarque
a)
Théorème de Schwartz
Si f est une fonction «de classe C2»
alors les dérivées secondes croisées
sont égales : f '' = f ''
xy
yx
Toutes les fonctions économiques
considérées dans ce cours vérifient
le Théorème de Schwartz
250. Remarque
b)
Une fonction de deux variables
admet :
1.
2.
3.
4.
n.
2 dérivées partielles d’ordre 1 « premières »
4 dérivées partielles d’ordre 2
8 dérivées partielles d’ordre 3
16 dérivées partielles d’ordre 4 … etc
2n dérivées partielles d’ordre n
251. 4. Quelques définitions
a)
Les fonctions homogènes :
Définition
f est homogène de degré k lorsque :
∀(x, y)∈D
f
et
∀α >0
f (αx,αy) =αk f (x, y)
252. Exemples
1.
f (x, y) =5x2 y −xy2
Soit
:
α > 0 , on a :
f (αx,αy) =5(αx)2(αy) −(αx)(αy)2
⇒ f (αx,αy) =5α3x2 y −α3xy2
=α3(5x2 y − xy2) =α3 f ( x, y)
f est homogène de degré 3
253. 2. f ( x, y) = 2
xy
x −y
Soit
2 :
α > 0 , on a :
f (αx,αy) =
(αx)(αy)
2 2
2 2
α x −α y
=
xy
2
x −y
2
⇒ f (αx,αy) = f ( x, y) =α0 f (x, y)
f est homogène de degré 0
254. 3. f ( x, y) = 5
y
x +y
Soit
5 :
α > 0 , on a :
f (αx,αy) =
αy
5 5
5 5
α x +α y
=α −4
y
5
x +y
⇒ f (αx,αy) =α −4 f (x, y)
f est homogène de degré -4
5
255. 4.
Soit
f (x, y) = xy + x + y +1:
α > 0 , on a :
f (αx,αy) =α 2 xy +αx +αy +1
Si on prend par exemple α = 2 et
x =1, y =1
f (2×1,2×1) = f (2,2) =9
f (1,1) =4⇒ f (2×1,2×1) ≠2× f (1,1)
On obtient :
f n’est pas une fonction homogène
256. Règle Pratique
Pour montrer que f est homogène (ou non
homogène), on peut utiliser :
La définition
ou
Le Théorème d’Euler
257. Théorème d’Euler
f est homogène de degré k
⇔
'
'
xf x(x, y) + yf y (x, y) = k × f (x, y)
258. Exemple
f (x, y) =5x2 y −xy2
x
'
f x ( x, y) =10 xy − y 2
y
'
f y ( x, y) =5x2 −2xy
'
'
On a : xf x ( x, y) + yf y ( x, y) =15x2 y − 3xy2
'
'
⇒ xf x( x, y) + yf y ( x, y) = 3 f ( x, y)
f est homogène de degré 3
260. Exemple
f (x) = x2 + x −2
On a :
x(2x +1)
2
2x + x
e( f , x) =
=
=
2
2
f ( x) x + x −2 x + x −2
xf '( x)
5
Exemple : e( f ,2) =
2
261. 2. Cas d’une fonction de deux variables
f (x , y)
f’x (x , y)
f’y (x , y)
'
xf ( x, y)
e( f , x) = x
f ( x, y)
'
yf ( x, y)
y
e( f , y) =
f ( x, y)
Elasticité partielle
par rapport à x
Elasticité partielle
par rapport à y
262. Exemples
1.
f (x, y) =5x2 y −xy2 :
x
'
f x ( x, y) =10 xy − y 2
'
xf ( x, y) 10x 2 y − xy 2
e( f , x) = x
=
2
2
f ( x, y) 5x y − xy
263. f (x, y) =5x2 y −xy2
y
'
f y ( x, y) =5x2 −2xy
'
yf ( x, y)
2
2
5x y −2xy
y
e( f , y) =
=
2
2
5x y − xy
f ( x, y)
264. Ainsi
f (x, y) =5x2 y −xy2
y
x
2
2
2
2
10x y − xy e( f , y) = 5x y −2xy
e( f , x) =
2
2
2
2
5x y − xy
5x y − xy
Exemple : x = 1 ; y = 1
e( f , x) =9 / 4 et e( f , y) =3/ 4
265. Exemples
2.
f (x, y) = x0,01y0,99 :
x
'
f x ( x, y) = 0,01x−0,99 y0,99
'
xf ( x, y) 0,01x 0,01 y 0,99
e( f , x) = x
=
=0,01
0,01 0,99
x
y
f ( x, y)
266. f (x, y) = x0,01y0,99
y
'
f y ( x, y) = 0,99x0,01y −0,01
'
0,01 0,99
yf ( x, y)
0,99x
y
y
e( f , y) =
=
=0,99
0,01 0,99
x
y
f ( x, y)
271. Définition
La différentielle totale de f au point
(x0 , y0) avec les accroissements dx et dy
est la quantité :
'
'
df ( x , y ) = f x ( x0, y0)×dx + f y ( x0, y0)×dy
0
0
272. Exemple
f (x, y) = x2 y + xy2 = xy(x + y)
Calculer la différentielle totale de f au
point (20,30) avec les accroissements
dx = 1 et dy = -1
273. Réponse
'
'
df (20,30) = f x (20,30)×1+ f y (20,30)×(−1)
Or :
'
'
f,x ( x, y) = 2xy + y2 ⇒ f x (20,30) = 2100
'
'
f y,( x, y) = x2 +2xy ⇒ f y (20,30) =1600
⇒df (20,30) = 2100×1+1600×(−1) =500
275. Réponse
1. Calcul direct :
∆f = f ( x0 +dx, y0 +dy) − f ( x0, y0)
2. Valeur approchée :
∆f ≅ df
(x , y )
0
0
276. Exemple
Soit la fonction U (appelée fonction d’utilité)
donnée par :
U ( x, y) = x1/ 3 y2 / 3
Calculer U(x,y) pour x=8 et y=1
De combien varie la fonction d’utilité U
si x augmente de dx=0,1 et y diminue de
dy=0,01
(Utiliser deux méthodes)
281. Exemple
Le salaire S d’un employé a été
augmenté de 1300 DH
On parle ici de variation du Salaire :
∆S =1300
Le nouveau salaire est :
S '= S +∆S = S +1300
282. Exemple
Le salaire S d’un employé a été
augmenté de 5% : ⇒∆S =5%×S
On parle ici de variation relative du
Salaire :
∆S
S
=5%
Le nouveau salaire est :
S '= S +∆S = S +0,05×S =1,05×S
283. A. Cas d’une fonction
« économique » d’une variable
Variation de f :
On rappelle que :
f '( x0 ) = lim
x→ x
f ( x) − f ( x )
0
x − x0
0
284. Lorsque x → x0 ; f ( x) → f ( x0 ) (f est continue)
On note : df = f ( x) − f ( x0 ) et dx = x − x0
que l’on appelle respectivement différentielle
de f et différentielle de x, on a donc :
df
f '( x) =
dx
ou encore
df = f '( x)×dx
Exemples :
1
dx ;
• f ( x) = x ⇒ df =
2 x
1
1 .
• f ( x) = ⇒ df = − dx
2
x
x
285. Notations
dx
: Variation infiniment petite de x
df
: Variation infiniment petite de f
∆x : Variation très petite « faible» de x
∆f
: Variation très petite « faible» de f
286. En pratique
si la variation ∆x que subit x est faible :
la variation subit par la fonction f est faible
et on a :
∆f ≅ f '(x)×∆x
Remarque : dans la formule
nous avons remplacé :
dx par ∆x
et
df
df = f '( x)×dx
par
∆f
287. Exemple
Le coût global de la fabrication d’un
bien en quantité x est donnée par la
formule :
C(x) = 250 − x2
Pour une quantité x=10 (par exemple) :
C(10) = 250 −100 =150
288. Calculons l’écart (de 2 façons différentes)
résultant d’une augmentation ∆x =1
1) Calcul direct :
C(11)=250−112 =250−121=129
donc
∆C = C(11) − C(10) =129 −150 = −21
289. 2) Valeur approchée : en appliquant la
formule :
∆C ≅ C'( x)× ∆x
On obtient :
C'( x) = −2x ⇒ ∆C ≅ (−20)×(1)
∆C ≅ −20
290. A retenir
• Si x subit une faible variation ∆x , une
valeur approchée de la variation ∆f de f
est donnée par la formule :
∆f ≅ f '(x)×∆x
291.
On a :
Variation relative
∆f ≅ f '( x)× ∆x ⇔ f '( x) ≅
∆f
∆x
L’élasticité de f au point x est :
∆f
∆f
x
xf '( x)
∆x ⇒e( f , x) ≅ f
e( f , x) =
≅
∆x
f ( x) f ( x)
x
292. Elasticité de f au point x :
∆f
f
e( f , x) ≅
∆x
x
⇔
∆f ≅ e( f , x)× ∆x
f
x
∆f
représente la variation relative de f
f
∆x représente la variation relative de x
x
293. Exemple
f(x) représente une fonction économique
dépendant de la quantité x d’un bien
distribué.
On suppose connaitre la valeur de f pour
une quantité x=1000 et que l’élasticité en
x=1000 est : e(f,1000) = 5.
294. Exemple
La quantité distribuée à baissé de 2%
(980 unités ont été distribuées au lieu de 1000),
cela entrainera une variation relative de f :
∆f ≅ e( f , x)× ∆x =5×−2% = −10%
f
x
f a baissé d’environ 10%
295. A retenir
• Si x subit une faible variation relative
, une valeur approchée
∆x/ x
de la variation relative de f est
donnée par la f
∆formule :
∆x
f
≅e( f , x)×
x
e( f , x) désigne l’élasticité de f au point x
296. B. Cas d’une fonction
« économique » de deux
variables
Variation de f :
Nous avons vu que :
∆f ≅ df
( x0 , y0 )
C’est-à-dire :
'
'
∆f ≅ f x ( x0, y0 )×dx + f y ( x0, y0 )×dy
297. En pratique : si la variation ∆x que subit
x est faible et la variation ∆y que subit
y est faible : la variation subit par la
fonction f est faible et on a :
'
'
∆f ≅ f x ( x0, y0 )×∆x + f y ( x0, y0 )×∆y
Voir exemple précédent
« paragraphe 4 c) : différentielle totale »
298. A retenir
• Si x subit une faible variation ∆x
et y subit une faible
∆y
variation
, une valeur
approchée de la variation de f est
donnée par la formule :
'
'
∆f ≅ f x ( x0, y0 )×∆x + f y ( x0, y0 )×∆y
299.
Variation relative
'
'
On a : ∆f ≅ f x ( x, y)×∆x + f y ( x, y)×∆y
En divisant par f(x,y) :
' ( x, y)
f
' ( x, y)
f
∆f ≅ x
y
×∆x +
×∆y
f
f ( x, y)
f ( x, y)
300. On fait apparaître les variations
relatives de x et de y :
' ( x, y)
xf
' ( x, y)
yf
∆f ≅ x
∆x + y
∆y
×
×
f
f ( x, y) x
f ( x, y) y
∆f ≅ e( f , x)× ∆x +e( f , y)× ∆y
⇒
f
x
y
301. Variation relative de f
∆f ≅ e( f , x)× ∆x +e( f , y)× ∆y
f
x
y
∆f
représente la variation relative de f
f
∆x et ∆y représentent les variations
y
x
relatives
de x et de y
e( f , x) et e( f , y) représentent les
élasticités
à x et à y
partielles par rapport
302. Exemple
f(x,y)
représente une fonction
économique
dépendant de deux
quantités x et y de deux biens fabriqués.
On suppose connaitre la valeur de f pour
une quantité x=1000 et y=500. Supposons
aussi que les élasticités partielles en x=1000
et y=500 sont : e(f , x) = 5 et e(f , y) = 3
303. Exemple
Suite à un incident technique, la fabrication
des deux biens a légèrement varié : x a
diminué de 4% et y a augmenté de 5%.
Quelle variation cela entrainera sur la fonction
économique f ?
∆f ≅ 5×(−4%) +3×5% = −5%
f
la fonction économique f subira une baisse
d’environ 5%
304. A retenir
• Si x subit une faible variation relative
et y subit une faible
∆x/ x
variation relative
, une valeur
∆y/ y
approchée de la variation relative de f
est donnée par la formule :
∆f ≅ e( f , x)× ∆x +e( f , y)× ∆y
f
x
y
308. Définition
Le Hessien de f au point (x , y)
est la quantité :
''
f xx ( x, y)
H (x, y) =
f
''
f yx (x, y)
''
f xy (x, y)
''
f yy (x, y)
309. Exemple
Soit la fonction
f (x, y) = x2 y − xy3
Calculer le Hessien de f aux points (0;0),
(1;2) et (-2;1)
310. f (x, y) = x2 y − xy3
y
x
'
f x ( x, y) = 2xy − y3
y
x
'
f y ( x, y) = x 2 −3xy 2
x
y
''
''
f xy ( x, y) = f yx ( x, y) = 2x −3 y 2
''
f xx ( x, y) = 2 y
''
f yy ( x, y) = −6xy
311. Donc Le Hessien de f au point (x , y) est
donné par :
H (x, y) =
f
2y
2x −3 y 2
2x −3 y 2
−6xy
312. Ainsi
0
H (0,0) =
f
0
4
H (1,2) =
f
−10
2
H (−2,1) =
f
−7
0
=0 −0 =0
;
0
−10
−12
−7
12
= −48 −100 =;−148
= 24 −49 = −25
;
315. Problème
Soit f(x , y) une fonction de deux variables
définie sur un domaine D
( ( x, y)∈D ⊂ IR2)
On cherche les couples (x , y)
qui rendent f maximale ou minimale
316. Extrémum local ou global
Plus grand
Plus petit
Max
global
Max
local
Min
local
Max
local
Min
local
Min
global
Max
local
317. Un maximum global (s’il existe) est
un point (x0,y0) du domaine D qui vérifie :
∀(x, y)∈D : f ( x, y) ≤ f (x0, y0)
Un minimum global (s’il existe) est
un point (x0,y0) du domaine D qui vérifie :
∀(x, y)∈D : f ( x, y) ≥ f (x0, y0)
318. a) Extrémums ”locaux” libres
On checrche les extrémums “locaux”
de la fonction f sachant qu’il n y a aucune
contrainte sur les variables x et y :
on dit que les variables x et y sont
indépendantes ou libres
319.
On parle alors d’éxtrémums libres
de la fonction f sur le domaine D
320. Méthode à suivre
I.
Etape 1 : Recherche des candidats
Remarque : On dit aussi points critiques ou
points stationnaires
Ce sont les couples (x , y) solutions
du système :
'
f x(x, y) =0
S: '
f y(x, y) =0
321. On doit résoudre le système S “ étape un
peu difficile !” et donner ses solutions :
(x0 , y0) ; (x1 , y1) ; (x2 , y2) ; etc...
Les couples (x0
, y0) ; (x1 , y1) ; (x2 , y2)
... sont les candidats ( ...pour être
extrémums), ou les points critiques de la
fonction f
(on dit aussi : points stationnaires de f)
325. Etape 2 : Nature des candidats
On calcule le Hessien de f pour chaque
candidat.
Soit (x0 , y0) un candidat issu de l’étape 1 :
''
f xx (x0, y0)
H (x0, y0) =
f
''
f yx (x0, y0)
''
f xy (x0, y0)
''
f yy (x0, y0)
326. Etape 2 : Nature des candidats
Si Hf (x0 , y0)
<0⇒pas d’extrémum en (x
0
, y0)
« Ni Max ni Min »
Il s’agit d’un Col ou un point-selle en (x0 , y0)
Si Hf (x0
>0⇒ f présente un extrémum
,y)
0
en (x0 , y0)
327. Pour savoir s’il s’agit d’un Max ou d’un Min, on
regarde le signe de la dérivée seconde par
rapport à x (ou par rapport à y) :
Si
''
f xx(x0, y0)<0 :
f présente un Maximum en (x
0
, y0)
''
Si f xx(x0, y0) >0 :
f présente un Minimum en (x
0
, y0)
328. 3ème cas : On ne peut pas conclure
Si Hf (x0 , y0) = 0 :
Dans ce cas, on ne peut rien conclure
Remarque : Dans ce cas, on peut faire appel à
d’autres méthodes : Des estimations locales
de la fonction au voisinage du point (x0 , y0)
par exemple. Voir «TD : Partie 2 - Exercice 3»
329. Exemple 1
Soit la fonction :
f ( x, y) = −3x2 −4 y 2 −3xy +69x +93 y
Trouver les extrémums « locaux » de
la fonction f
330. Réponse
I.
Etape 1 : Recherche des candidats
On doit résoudre le système :
'
f x(x, y) =0 ⇔ −6x −3y +69 =0
S: '
−8 y −3x +93= 0
f y(x, y) =0
6x +3y = 69 ⇔ x = 7
⇔
3x +8 y =93
y =9
Nous avons un seul candidat : le couple (7 , 9)
331. Réponse
II. Etape 2 : Nature des candidats
On calcule le Hessien de f au point (7 , 9) :
''
f xx (x, y)
H (x, y) =
f
''
f yx (x, y)
−6
⇒H ( x, y) =
f
−3
''
f xy (x, y)
''
f yy (x, y)
−3
=39
−8
332. Réponse
Le Hessien de f ne dépend ici de (x , y), nous
avons alors au point (7 , 9) :
⇒H (7,9) =39 >0
f
f présente donc un extrémum au point (7 , 9)
Pour savoir s’il s’agit d’un Max ou d’un Min, on
regarde le signe de la dérivée seconde par
rapport à x :
333. Réponse
''
''
f xx (x, y) =−6 ⇒ f xx (7,9) =−6 <0
f présente donc un Maximum « local » au
point (7 , 9)
La valeur de ce maximum est :
f (7,9) =660
334. Exemple 2
Soit la fonction :
f ( x, y) =3xy − x3 − y3
Trouver les extrémums « locaux » de
la fonction f
335. I.
Etape 1 : Recherche des candidats
On doit résoudre le système :
'
f x(x, y) =0
3( y − x2) = 0
⇔
S: '
3(x − y2) = 0
f y(x, y) =0
2
y = x2 ⇔ y = x
⇔
2 2
4
x = y2
x = (x ) = x
336. Etape 1 : Recherche des candidats
2
y = x2 ⇔ y = x
⇔
S
3
x − x4 = 0
x(1− x ) = 0
⇔ y=x
2
⇔ x = 0..ou.. x =1
y =0
y =1
x = 0..ou..x =1
Nous avons ici deux candidats (0 , 0) et (1, 1)
337. Etape 2 : Nature des candidats
On calcule le Hessien de f aux points (0,0),
(1,1) :
H f ( x, y) =
H f (0,0) =
H f (1,1) =
0
3
3
3
−6 y
= −9 <0 ⇒
3 0
−6 3
3
−6x
−6
pas d’extrémum
en (0,0)
=36 −9 = 27 >0 ⇒
pas d’
338. Réponse
On regarde le signe de la dérivée seconde de f
par rapport à x au point (1 , 1) :
''
''
f xx (x, y) =−6x ⇒ f xx (1,1) =−6 <0
f présente donc un Maximum « local » au
point (1 , 1)
La valeur de ce maximum est :
f (1,1) =1
340. b) Extrémums ”locaux” liés
On checrche les extrémums “locaux”
de la fonction f sachant que les variables
x et y sont liées par une équation
appelée “contrainte”
Contrainte :
g (x, y) =0
341.
On parle alors d’éxtrémums de
la fonction f sur le domaine D liés par la
contrainte g ( x, y) =0
Le problème est plus simple que
celui des extrémums libres :
345. I.
Méthode de substitution
g
A partir de la contrainte( x, y) =0
,
on exprime y en fonction de x (ou x en
fonction de y) et on remplace dans
la fonction f(x , y)
On obtient alors une fonction d’une
variable réelle :
on cherche ses extrémums
347. Réponse
On pose :
g (x, y) = x + y −2
« contrainte »
g (x, y) =0 ⇔ y, =2 − x
on remplace y par sa valeur dans f (x , y) :
348. Réponse
f (x, y) = f (x,2 − x)
=3x(2 − x) − x2 −(2 − x)2
= −5x2 +10x −4 =h( x)
On obtient une fonction d’une variable : h(x)
349. Réponse
On cherche les extrémums de la fonction h(x) :
h'( x) = −10x +10 =10(1− x)
x
−∞
h’(x)
1
+ 0
1
_
+∞
h(x)
−∞
Max
−∞
350. Réponse
La fonction
h présente un extrémum en x=1
x =1
x =1⇒ y = 2 − x =1⇒
y =1
Conclusion
La fonction f présente un seul extrémum sous
la contrainte x + y = 2 : un Maximum en (1 , 1)
La valeur de ce maximum est : f (1,1) =1
351. Remarque
On utilise la méthode de substitution
lorsque la contrainte g permet d’exprimer
facilement y en fonction de x (ou x en
fonction de y)
352. II. Méthode de Lagrange
On intègre la contrainte dans le
problème en considérant la fonction de
Lagrange « à 3 variables » suivante :
L(x, y,λ) = f (x, y) +λg (x, y)
λest le multiplicateur de Lagrange
353. II. Méthode de Lagrange
On cherche alors les extrémums « libres »
de la fonction L :
Deux étapes :
Recherche des candidats
Nature des candidats
Problème à 3 variables !!
354. Etape 1 : Recherche des candidats
On commence par résoudre le système :
S:
L'x(x, y,λ) =0
L'y(x, y,λ) =0
'
Lλ (x, y,λ) =0
Les solutions (x1 , y1 , λ1 ) ; (x2 , y2 , λ2) ...
du système S sont les candidats
355. Etape 2 : Nature des candidats
On calcule le Hessien de L pour chaque
candidat.
Soit (x1 , y1 , λ1 ) un candidat issu de l’étape 1
HL (x1 , y1 , λ1 )
356. ''
Lxx
''
H ( x1, y1,λ1) = L yx
L
''
L
λx
''
Lxy
''
L
''
L
xλ
''
L
''
L
''
L
yy
λy
Calculé au point (x1 , y1 , λ1 )
yλ
λλ
357. Si HL (x1 , y1 , λ1)
>0
f présente un Maximum en (x
Si HL (x1 , y1 ,
1
, y1)
1
, y1)
<0
)
λ1
f présente un Minimum en (x
358. 3
ème
cas : On ne peut pas conclure
Si HL (x1 , y1 , λ1) = 0
Dans ce cas, on ne peut rien conclure
359. Exemple
Soit la fonction :
f ( x, y) = x + y +5
Chercher les extrémums de
contrainte : x2 + y 2 =1
f sous la
360. Réponse
On pose :
g ( x, y) = x2 + y 2 −1
La fonction de Lagrange est donnée par :
L(x, y,λ) = f ( x, y) +λg (x, y)
= x + y +5+λ(x2 + y 2 −1)
364. Nous avons donc deux candidats :
2 , 2)
2
(
avec λ = −
2 2
2
et
2 ,− 2 ) avec λ = 2
(−
2
2 2
365. Etape 2 : Nature des candidats
Calcul du Hessien de L :
2λ
λ1
H ( x, y,λ) = 0
L
2x
0
2λ
2y
2x
2y
0
En développant suivant la 1ère ligne par exemple :
366. On obtient :
2λ
H ( x, y,λ) = 2λ
L
2y
2y
0
+2x
0
2λ
=−8λy 2 −8λx2
=−8λ(x2 + y 2)
2x
2y
367. Ainsi :
2 , 2 ) = 8 2 >0
H (
:
L 2 2
2
Maximum en ( 2 / 2, 2 / 2)
2 ,− 2 ) = −8 2 <0
H (−
:
L 2
2
2
Minimum en (− 2 / 2,− 2 / 2)
368. Conclusion
La fonction f présente deux extrémums
x2 +
sous la contrainte y 2 =1
:
2 2
Un Maximum en ( , )
2 2
Un Minimum en (−
2
2
,−
2
2
)
370. Cas simple
« Une variable »
Exemple
On considère la fonction à deux variables
suivante : f ( x, y) =3xy − x2 − y 2
On pose : F (t) =
F'
Calculer(t)
f (t +1,t 2 −2)
371. Réponse
1)
Méthode directe :
On calcule F (t) puis on dérive :
F (t) = f (t +1,t 2 −2)
= 3(t +1)(t 2 −2) −(t +1)2 −(t 2 −2)2
= −t 4 +3t 3 +6t 2 −8t −11
⇒ F '(t) = −4t 3 +9t 2 +12t −8
372. 2) Formule de dérivation
On pose :
avec
F (t) = f (u(t),v(t))
u(t) =t +1 et v(t) =t 2 −2
On a alors :
'
'
F '(t ) = f x (u(t ),v(t ))×u'(t ) + f y (u(t ),v(t ))×v'(t )
373. Cette formule de dérivation fait intervenir
les dérivées partielles de f :
f ( x, y) =3xy − x2 − y 2
x
'
f x ( x, y) =3 y −2x
y
'
f y ( x, y) =3x −2 y
374. Ainsi :
'
f x (u(t ),v(t )) = 3v(t ) −2u(t ) = 3t 2 −2t −8 ,
'
f y (u(t ),v(t )) = 3u(t ) −2v(t ) = −2t 2 +3t +7 ,
On applique la formule :
'
'
F '(t ) = f x (u(t ),v(t ))×u'(t ) + f y (u(t ),v(t ))×v'(t )
= (3t 2 − 2t −8)×1+ (−2t 2 + 3t + 7) × 2t
= −4t 3 +9t 2 +12t −8
375. A retenir
On considère la fonction à une variable
définie par : F (t) = f (u(t),v(t))
où f est une fonction de deux variables
notées x et y : (x , y)
f (x , y)
On a alors :
'
'
F '(t ) = f x (u(t ),v(t ))×u'(t ) + f y (u(t ),v(t ))×v'(t )