natürliche Zahlen      Die Zahlen 0;1; Z 3;4, ... werden als natürliche                                                   ...
Klammern zuerst,     ln Rechenausdrücken müssen Klammern zuerst be-                 ((6,5   -21,5) :(-5» - 1,s . 8Punktrec...
Zur Berechnung von Flächeninhalt (A), Umfang (u), Volumen (V)und Oberfläche (O) von Flächen und Körpern sollten alle Größe...
Für das Volumen des Quaders gilt: V = a                 b   .c                   Für die Oberfläche des Quaders gilt:     ...
Koordinatensystem     Das Koordinatensystem untefteilt die Ebene in vier                      Quadranten und macht die ein...
Satz des Pythagoras    ln einem rechtwinkligen Dreieck mit rechtem Winkel                        bei C gilt: a2 + b2 = c2....
1700 t?                        Wenn zum Zweifachen; Dreifachen; Vierfachen ."               12OO   t Öl kosten 600€. Wie v...
Funktion              Eine Zuordnung die ledem x-Wert jeweils nur einen                      y-Wert zuordnet, heißt Funkti...
Die Ergebnisse einer statistischen Erhebung können        ln einer 10. Klasse mit 25 Schülerinnen und                     ...
Kennwerte (2)        Der Wert in der Mitte einer Rangliste heißt Zentral-    Da die Liste 25 Werte enthält, liegt der     ...
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Basiswissen Realschulprüfung

Sinus und Kosinusfunktion, Kosinussatz und Exponentialfunktionen sind nicht prüfungsrelevant

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  1. 1. natürliche Zahlen Die Zahlen 0;1; Z 3;4, ... werden als natürliche 01234567 Zahlen bezeichnet. Für die Menge der natürlichen 1.3 7r5 Zahlen schreibt man [,1 = {O;1;2;3; ---}-ganze zahlen Die Zahlen ...-3; -2; -1;0;1;2i3; ... werden als ganze Zahlen bezeichnet. Zu ieder Zahl gibt es eine -4-3-2-101234 Gegenzahl. Für die Menge der ganzen Zahlen schreibt man Z = t..; -2; -1;0;1i 2; ...].Brüche Gebrochene Zahlen können als Brüche oder DezimaF |= o,tst 0,1=t brüche geschrieben werden feden Bruch kann man in 1232 einen Dezimalbruch umwandeln und umgekehrt. 2464 Der Wert eines Bruches ändert sich durch Küzen und Erweitern nicht.rationale Zahlen Wenn man alle positiven und negativen Bruchzahlen einschließlich der Null zusammen nimmt, erhält man die rationalen Zahlen Q. -2fr -0,5 i 21Potenzen Produkte aus gleichen Faktoren kann man mithilfe 5-5.5=53 von Potenzen schreiben: aa...a = an n FaktorenZehnerpotenz- Sehr große Zahlen und Zahlen nahe bei Null schreibt 50OOOO0O = 5107 man oft als Produkt aus einer Dezimalzahl und einer 0,000023 =23-10-6schreibweise Zehnerpotenz (einer Potenz mit der Basis 10).Wurzeln Die Quadratwuzel einer positiven Zahl b ist die ./u=s oositive Zahl a, die mit sich selbst multipliziert die ,lo,+g = o,l 2ahl b ergibt: a2 = b, also: V5 = a v27=3 Die dritte Wuzel einer Zahl b ist die Zahl a, {eren dritte Potenz die Zahl b ergibu a3 = b, also: ,lb = a t/qo« = o,+ ^/7 =:,Atqzls gibt auf der Zahlengeraden tunkte, denen keine ... irrationale Zahlen Es rationale Zahl zugeordnet werden kann. Diese kön- n = 3X41592 ... nen nicht als Bruch geschrieben werden. Fs handelt sich um nicht abbrechende und nicht periodische Dezimalbrüche. Sie werden als irrationale Zahlen bezeichnet und vervollständigen die Zahlengerade- reelle Zahlen Rationale Zahlen und irrationale Zahlen bilden zu- sammen die reellen ählen lR. Zu iedem Punkt auf der Zahlengeraden gehört eine reelle Zahl und zu ieder reellen Zahl gehört ein bestimmter Punkt. wenn man diese Rechengesetze Beim Rechnen gelten für die verschiedenen Rechenarten unterschiedliche Rechengesetze. geschickt anwendet, können sie einem das Rechnen erleichtern Kommutativgesetz Beim Addieren und Multiplizieren können die Sum- 3,2+2,8=2,9+3,2 manden und Faktoren vertauscht werden: 2x .7,5 = 7,5 2x 3+§=§+a a.b=ba Jn Summen mit drei oder mehr Summanden und in 11,3 + 2,7 + 1,8 = (11,3 + ),7) + 1,8 Assoziativgesetz Produkten mit drei oder mehr Faktoren dürfen be- = 11,3 + (2,7 + 1,8) liebig Klammern gesetzt oder weggelassen werden. 22,3 11 = (22,3) 11 = 2 (2,3 11) a+b +c = (3 + b) a g = 3 + (b+c) a .b .c = (a .b) .c = a .(bc) Distributivgesetz Das Distributivgesetz erlaubt das Ausklammern und 6a(2a +4b) = 6a 2a + 6a 4b = 12a2 + 24ab Ausmultiplizieren in Rechenausdrücken. 4a(3b - 2a) = 4a 3b - 4a 2a = 12ab - 8a2 a.(b+c)=3[+ac a(b-c)=ab-ac 20 lnhaltsbezogeneKompetenzen
  2. 2. Klammern zuerst, ln Rechenausdrücken müssen Klammern zuerst be- ((6,5 -21,5) :(-5» - 1,s . 8Punktrechnung rechnet werden. Dann folgen die funkt- und dann = ((-15):(-5» - 1,5.8vor Strichrechnung die Strichrechenarten. Die Anwendung der Rechen- = 3-1,5-8 gesetze erleichtert häufig das Rechnen. = 3-12 =-9binomische Formeln Es gelten die drei binomischen Formeln: (a+b)2 =a2+Zab+b2 (a-b)2=62-2s§+§2 (a+b)(a-b)=s2-62Rechnen mit Für das Rechnen mit Potenzen gilt:Potenzen und an. am = an+m a2.a3=asWurzeln an:am = an-m mit a * 0 2s.22=22=4 (an)m = 3 nm 13213 = 3s =r* ,n.gn=(a.b)n 24 .34 = Q.i4 = 6a =1296 Für das Rechnen mit Wurzeln gilt entsprechend: Vä./5 = 6 -E für a, b = o ./Er{6 =.616 für a>o,b>o ,/7. b= /F. Vb = a -yu" tur a, b o =Prozent Brüche mit dem Nenner 100 werden auch als Prozent ffi=zsu" bezeichnet. p% ist also eine andere Schreibweise D 62,50/o = 0,625 rur 1ooProzentsatz, ln der Prozentrechnung bezeichnet man die Be- Von 200 Schülern kommen 125 mit dem Bus.Prozentwert und zugsgröße bzw. das Ganze als den Grundwert G. Das sind 62,50/o.Grundwert Den Anteil, mit dem man sich beschäftigt, nennt man Die 200 Schüler bilden den Grundwert, Prozentwert W und der daraus resultierende Bruchteil 125 den Prozentwert. heißt ProzentsaE p. 62,50/o sind der Prozentsatz.Prozentrechnung Der Zusammenhang zwischen Prozentwert, Gr:und- 640/o der 25 Teilnehmer kamen ins Ziel. wert und Prozentsatz wird beschrieben durch ilie pYo=640/o;G=25,W=? Formel w=25.0,64=16 W=G.p% bzw. w=G.* 16 Teilnehmer kamen ins Ziel. Diese Formel kann nach jeder Variablen umgefomtt werden, wodurch iede gesuchte Größe aus den beiden anderen Größen berechnet werden kann.Zins Wenn man ein Kapitat K für ein fahr zu einem Zins- Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz satz von p% anlegt, erhält man für dieses nach Ab- von 3,25o/o angelegt. lauf des lahres p% von G als fahreszins Z z=2000€.0,0325=35€ Z- K. p% Das Geld wird nach 2 Monaten abgehoben: Wenn man das Guthaben nur für t Tage zu einem z, = 2000€ .0,0325.1= rc,Alg Jahreszinssatz von p% anlegt, erhält man nur fi der Jahreszinsen. Zt = K puÄ*.. Für Monate gilt das Entsprechende: Z. - K p%EZinseszins Wenn man die gewonnenen Zinsen am lahresende dem Guthaben hinzufügt, erbringen diese im kommenden Jahr auch Zinsen. Man nennt sie Zinseszinsen. lnhaltsbezogeneKompetenzen 21
  3. 3. Zur Berechnung von Flächeninhalt (A), Umfang (u), Volumen (V)und Oberfläche (O) von Flächen und Körpern sollten alle Größen-angaben zunächst auf die gleiche Maßeinheit gebracht werden. Für den Umfang des Dreiecks ABC gilt: u = 3 + § + c Für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit der Grundseite a und der Höhe h, gilt: A =:+ Viereck Für den Umfang des Rechtecks ABCD gilt: u = 2a + 2b bztx. für das Quadrat: u = 4a, da alle Seiten gleich lang sind. Für den Flächeninhalt des Rechtecks ABCD gilt: A = a. b bzw. für das Quadrat: A = a2. Für den Umfang des Parallelogramms ABCD gilt: u = 2a + 2b bnu. für die Raute u = 4a, da alle Seiten gleich lang sind. Für den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD mit der Grundseite g und der Höhe h gilt: A = g h Für den Umfang des Trapezes ABC gilt: g=s+§+6+d Für den Flächeninhalt des Trapezes ABCD gilt: A= +h" Kreis Für den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser d bzw. dem Radius r gllt: u = nd = 2nr Für den Flächeninhalt des Kreises gilt A= nl Kreisbogen Bei einem Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel a gilt für die Länge des Kreisbogens b: b = 2nr s5oos = flr# Kreisausschnitt Bei einem Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel s gilt für den Flächeninhalt des Kreisausschnittes A: A=flr2.r*-=T zusammengesetzte Der Flächeninhalt zusammengesetzter Flächen be- Flächen rechnet sich aus der Summe der Einzelflächen. Der Umfang wird durch die Summe der Länge der Einzelstrecken ermittelt, die die Gesamtfläche be- grenzen. nicht geradlinig Den Flächeninhalt nicht geradlinig begrenzter Flä- begrenzte Flächen chen kann man schätzen, indem man sie mit einem Gitter unterlegt und die Gitterflächen abzählt. Eine zweite Möglichkeit besteht darin, die Fläche mit einer passenden Fläche (wie Rechteck oder Paralle- logramm) zu hinterlegen.26 lnhaltsbezogeneKompetenzen
  4. 4. Für das Volumen des Quaders gilt: V = a b .c Für die Oberfläche des Quaders gilt: 0 = 2ab + 2bc + 2ac = 2(ab + bc+ ac) c a EZylinder Filr das Volumen des Zylinders mit Grundkreis k und Höhe h gilt: Y = Ak. h = TIr2. h Für die Oberfläche des Zylinders mit Grundfläche G, Mantelfläche M und Höhe h gilt: O=2G +M=2nr2+2nr.h frPrisma FüY das Volumen des Prismas mit Grundfläche G und Höhe h gilt: V = G.h fiii die Oberfläche des Prismas mit Grundfläche G und Mantelfläche M gilu O = 2G + MKegel Für das Volumen des Kegels mit Radius r und Höhe A h gilt: V={nr2.hPyramide Für die Oberfläche des Kegels mit Radius r und Mantellinie s gilt: 0 = TIr2 + rlrs Für das Volumen der foramide mit Grundfläche G und @ Höhehgilt: V=lG.h Für die quadratische hyramide mit Seitenlänge a gilt: V = Ja2. tr Für die Oberfläche der quadratischen Pyramide mit Seitenlänge a und der Höhe h, einer Seitenfläche eilt: ö=a*a*Kugel Für das Volumen der Kugel mit Radius r gilt: V=fn13 Für die Obedläche der Kugel mit Radius r gilt: O*4nlzusammengesetzte Das Volumen zusammengesetzter und ausgehöhlterKörper Körper berechnet man aus der Summe oder der Diffä- renz der Einzelkörper. Die Oberfläche solcher Körper besteht aus der Summe aller Einzelflächen.trigonometrische ln einem rechtwinkligen Dreieck gilt: . Gesenkathete von qBeziehungen stnu = -:HveoG;re cosq, = ArffiH" Gerenkathete vm q tancr = --i- AnGrnere von d ln beliebigen Dreiecken gelten der Sinussatz a sinc a sing 6 sinB b=sinß;Z=rinV;Z=sinf ii:tä:irmxl"i+w4*ru 6z=1!1gz-2ac.cosp l nrln4 c2= a2+b2-2ab. cosy ) "tkt*lAhnlichkeit Werden Flächen und Körper um den StrecHaktor , mundzentrische k=;=ffi Länge der BildstHke gestreckt,gilt: ähnliche Streckenlängen: fi =Streckung fi; a2 = k. a.1 ähnliche Flächen: X=*,Az = kz& ähnliche Volumina: V=*, ,,= k3Vr lnhaltsbezogeneKompetenzen 27
  5. 5. Koordinatensystem Das Koordinatensystem untefteilt die Ebene in vier Quadranten und macht die eindeutige Bestimmung der Lage eines Punktes möglich. Man schreibt: P(xly).Winkel Ein Winkel wird von zwei Schenkeln mit gemeinsa- men Scheitelpunkt S eingeschlossen. Die Größe eines Winkels s wird in Grad (kuz: ") angegeben. Es gibt spitze (a . 90"), rcchte (q = 90"), stumpfe (90"< q . 180") gestreckte (q = 180), überstumpfe (180< s < 3601 und volle (q = 360") Winkel.Winkelsätze Scheitelwinkel sind gleich groß. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180". Stufenwinkel sind gleich groß. mffi Wechselwinkel sind gleich groß.Symmetrien Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn man sle durch eine geeignete Achse (Symmetrieachse) in zwei spiegelbildliche:Teile zerlegen kann. Sie ist punktsymmetrisch, wenn man sie durch eine halbe Drehung um den Symmetriepunkt in sich selbst überführen kann.ilhntictrkeit Zwei Figuren sind dann ähnlich, wenn sie in den ent- sprechenden Seitenverhältnissen und Winkeln über- einstimmen.Strahlensätze Werden zwei Strahlen mit Anfangspunkt Z von zwei parallelen Geraden in den Punkten A und B bzw. lY und Bgeschnitten, so sind die Dreiecke ZAB und ZABähnlich. Es gelten die beiden Strahlensätze: 1. Strahlensatr,#=#, 2. Strahlensatz, {$ = #Dreiecke Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt 180 (u + p + y =180"). Man unterscheidet Dreiecke nach ihren Winkeln und nach ihren Seiten. So klassifiziert man die Dreiecke in rechtwinklige, spitzwinklige und stumpfwinklige und in gleichseitigg gleichschenklige 2aa und allgemeine Dreiecke.Dreiecke Zwei Dreiecke sind kongruent oder deckungsgleich,konstruieren wenn sie übereinstimmen in- kongruente - drei Seiten (SSS).Dreiecke - einer Seite und den zwei anliegenden Winkeln (wsvv). - zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws). - zwei Seiten und dem Winkel, der der größeren Seite gegenüberl iegt (SSW). Solche Dreiecke können durch die jeweiligen Vorga- ben eindeutig konstruiert werden.Besondere Linien Auf der Winkelhalbierenden liegen die Punkte, dieim Dreieck von den Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand haben. Die drei Winkelhalbierenden des Dreiecks schneiden sich im lnkreismittelpunkt. Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke hat den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten. Die drei Mittelsenkrechten des Dreiecks schneiden sich im Umkreismittelpunkt. Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden bildet den Schwerpunkt des Dreiecks, die Höhen schneiden sich im Höhenschnittpunkt.32 lnhaltsbezogeneKompetenzen
  6. 6. Satz des Pythagoras ln einem rechtwinkligen Dreieck mit rechtem Winkel bei C gilt: a2 + b2 = c2. Gilt bei einem Dreieck az + b2 = c2, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Vierecke Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt 360" (a + B + y + ö = 360").Es gibt achsensymmetrische Vierecke (Drachen, symmetrisches Trapez), dreh- symmetrische Vierecke (Parallelogramm) und solche, die beides sind (Raute, Rechteck, Quadrat). Ein Vier- eck ohne Symmetrien heißt allgemeines Viereck Vielecke Man unterscheidet zwischen unregelmäßigen und regelmäßigen Vielecken. lm regelmäßigen Vieleck sind alle Seiten gleich lang und alle lnnenwinkel gleich groß. Der Mittelpunktswinkel eines n-Ecks hat die Größe ö =360:n und der lnnenwinkel a =180 - ö. Die Winkelsumme in einem n-Eck beträgt (n - 2).180. Kreis Alle Punkte des Kreises haben vom Mittelpunkt dieselbe Entfernung. Diese bezeichnet man als Radius r. Der Durchmesser d ist doppelt so lang wie der Radius. Ein von zwei Punkten begrenztes Stück des Kreises heißt Kreisbogen. Ein von zwei Radien begrenztes Stück der Kreisfläche heißt Kreisausschnitt.Satz des Thales Liegt der Punkt C des Dreiecks ABC auf dem Halbkreis über der Strecke AB, so ist y ein rechter Winkel. Hat ein Dreieck einen rechten Winkel bei C dann lie6 C auf dem Halbkreis über der Strecke fb.Würfel und Quader Ein Quader hat sechs rechteckige Flächen. Gegenüberliegende Rechtecke sind gleich groß. Je vier Kanten sind parallel und gleich lang. Der Quader hat acht Ecken, sechs Flächen und zwölf Kanten. Ein Würfel ist ein besonderer Quader: er besteht aus Quader sechs Quadraten. ffiPrisma Ein Prisma wird begrenzt durch Grund- und Deckfläche und den Mantel. Der Mantel besteht aus Rechtecken; die Grund- und Deckfläche sind kongruent und bestimmen den Namen des prismas.Pyramide Ein über seiner Grundfläche spitz zulaufender Körper heißt foramide. Er ist begrenzt durch die Grundfläche und dem aus Dreiecken zusammengesetzten Mantel. Die Manteldreiecke treffen sich in der Spitze. Die Grundfläche bestimmt den Namen der pyramide.ZylinderKegelSchrägbilder Ein Zylinder wird begrenzt durch den Grundkreis, den Deckkreis und das zum Mantel aufgerollte Rechteck. Der Kegel besteht aus einem Grundkreis und einem aufgerollten Kreisausschnitt als Mantel. ru Körper kann man in Form von Schrägbildern, Netzenund Netze und Modellen darstellen. lm Schrägbild blejben alle Kanten und Winkel unverändert, die parallel zur Zeichenebene liegen. Senkrecht zu ihr laufende Linien Zylinder werden unter einem 45-Winkel und auf die Hälfte verküat gezeichnet. Aus Netzen lassen sich Körper herstellen.Kugel Eine Kugel ist ein Körperi der sich nicht aus ebenen Kugel Flächenstücken zusammensetzen lässt. lnhaltsbezogene Kompetenzen 33
  7. 7. 1700 t? Wenn zum Zweifachen; Dreifachen; Vierfachen ." 12OO t Öl kosten 600€. Wie viel kostenDreisatz einer Eingabegröße das Zweifache; Dreifache; Vier- fache ... der Ausgabegröße gehöG kann man Heizölmenge in I Preis in € gesuchte Werte der Ausgabegröße mit dem Dreisatz bestimmen. rzoo ( 120! 600 0,5 ,) :1200 .rzoo Man schließt zuerst durch Division auf die Einheit und .1700 ( 170; 850 ,,) dann durch Multiplikation auf das Vielfache. 1700t Heizöl kosten 850€. Wenn zu einem Drittel; zur Hälfte; zum Zweifachen; Eine Radtour ist mit 7 Etappen zu je 60kmumgekehrter zum Dreifachen, ... einer Eingabegröße das geplant. Die Gruppe hat aber nur 5 Tage Zeit.Dreisatz Dreifache; Doppelte; die Hälfte; ein Drittel; ... der Anzahl derTage Strecke in km I Ausgabegröße gehört, kann man gesuchte Werte der Ausgabegröße mit dem umgekehrten Dreisatz 50 bestimmen. Der Division der Eingabegröße entspricht ,11 420 )t die Multiplikation der Ausgabegröße und umgekehrt s( 5 84 ),s Die Tagesstrecke muss 84km betragen.proportionale Bei einer proportionalen Zuordnung x -y sind dieZuordnungen Quotienten zugeordneter Größen gleich. lit dieser Quotient 2.8.2, so lässt sich der y-Wert mit der Gleichung ,! = 2x berechnen. Der Graph liegt auf einer Geradenantiproportionale Bei einer antiproportionalen Zuordnung x y sind *Zuordnungen die Produkte zugeordneter Größen gleich. lst dieses Produkt z.B. 4, so lässt sich der y-Weft mit f derGleichung y = berechnen. Der Graph lieg auf einer HYPerbel. b - Graph der Zuordnung Y = 2x + 2 lineare Gleichungen Man nennt Gleichungen wie y = mx + lineare Gleichungen. (1 | 4) ist Lösung der Gleichung, Der Graph liegt auf einer Geraden. dennz.1+2=4 lineare Gleichungen Für lineare Gleichungen wie -2x +Y= 2 mit den mit zwei Variablen VariablenxundYgilt: 1. lede Lösung besteht aus einem Zahlenpaar. 123 4 (-2 | -2) ist Lösung der Gleichung, 2. Es gibt unendlich viele Lösungen. der.nz(-2) + 2= -2 3. Die grafische Darstellung der Lösungen ist eine Gerade. lineare Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden (1) x-2y =2;y=!x-1 GleichungssYsteme ein lineares Gleichungssystem (LGS). (2) x+y=§ y=-x+5 (LGS) Eine gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen mit zwei Variablen heißt Lösung des LGS. Ein LGS hat entweder genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen. gsverf ahren Gleichsetzungsverfähren: lösen von LGS Gleichsetzu n Man löst beide Gleichungen des LGS nach derselben ]x-1=-x+5 Einsetzen ergibt: Variablen auf. Durch Gleichsetzen derTerme erhält 1*= 6 y=-+l=l man eine Gleichung mit einer Variablen. r-=(411» x=4 Additionsverfahren Additionsverfahren: Man formt beide Gleichungen so um, dass beim (1) 3x+5y=10 Addieren beider Gleichungen eine Variable wegfällt. (2) 4x-5y=4 (1) + (2):7x=14 Einsetzungsverfahren x=2 Man löst eine Gleichung nach einer Variablen auf y=0,8 und setzt diesen Wert der Variablen in die andere r-=(210,8» Gleichung ein. 38 lnhaltsbezogeneKomPetenzen
  8. 8. Funktion Eine Zuordnung die ledem x-Wert jeweils nur einen y-Wert zuordnet, heißt Funktion. Die Gleichung Y = ax + b, mit der sich die Funktionswerte y berechnen lassen, heißt Funktionsgleichung einer linearen Funktion.Quadratische Funktionen, die eine Funktionsgleichung in der FormFunktion y = ax2 + bx + c haben, heißen quadratische Funktionen. Der dazugehörige Graph heißt Parabel. lhren kleinsten bzw. größten Wert nimmt eine quadratische Funktion im Scheitelpunkt an. Die Parabel der Funktion y = 0,5(x - 2)2 + 3 ist gegenüber der Parabel der Funktion y = 0,5x2 um 2 nach rechts und um 3 nach oben verschoben. Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion kann in der Scheitelform y = 2- (x + 3)2 + 4 oder in der Normalform y= 2x2 +12x + 22 dargestellt werden.Sinus- und Die Funktionen sin und cos werden so für alle WinkelKosinusfunktion s definiert: Jeder Winkel u mit der positiven x-Achse als erstem Schenkel bestimmt mit seinem zweiten Schenkel einen Punkt Po auf dem Einheitskreis. Man legt fest: Die x-Koordinate des Punktes Po ist cos(s). Die y-Koordinate des Punktes Po ist sin(a).Exponential- FunktionenderForm x-ax für a>0 und a+1funktionen nennt man Exponentialfunktionen. Sie sind für alle reellen Zahlen x definier!, ihre Funktionswerte sind stets positiv. Alle Graphen gehen durch den Punkt (0 l1).Lineares Wachstum Nimmt die erste Größe um I zu, so wächst die zweite Lineares Wachstum mit Wachstumsrate 4: Größe ieweils um den gleichen festen Wert. +1 +1 +1 /; ,t; ,,1 +Exponentielles Nimmt die erste Größe um 1 zu, so wächst die zweite Exponentielles Wachstum mitWachstum Größe jeweils um einen festen Faktor. Wachstumsfaktor 1,5: +1 +1 +1 -r-; /, L,r lnhaltsbezogeneKompetenzen 39
  9. 9. Die Ergebnisse einer statistischen Erhebung können ln einer 10. Klasse mit 25 Schülerinnen und in einer Liste notiert werden, der sogenannten Urliste Schülern wird ermittelt, wie viele Bücher (außer für den Unterricht) jeder im letzten Sie ist in der Regel ungeordnet. lahr gelesen hat. Urliste: 0; 3; 3;17; 5; 6;9; 4;1; 4;3; 1; 0; 0; 4;1;3; 12; 3; 6i 8;1;3 5;Rangliste Eine Liste, in der die Ergebnisse der Größe nach Rangliste: 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 2; 3; 3; 3; sortiert sind, heißt Rangliste. 3;3; 4; 4; 4;5; 5; 6; 6; 8; 9;12;17Häufigkeitsliste Gibt man zu jedem möglichen Wert der Liste an, wie Häufigkeitsliste: oft er vorkommt, so erhält man eine Häufigkeitsliste. Bücher absolute relative relative Häufigkeit Häufigkeit Häufigkeit in o/o 0 3 012 12o/o 1 4 0,16 160/o 2 1 0,04 4o/o 3 6 0,24 24o/o 4 3 0x2 12o/o 5 2 0,08 8o/o 6 2 0,08 8o/o 8 1 0,04 4o/o 9 1 0,04 4o/o 12 1 0,04 4o/o 17 1 0,04 4o/o Die Anzahl, mit der ein bestimmter Wert vorkommt, Sechs Schüler lasen im letzten lahr 3 Bücher.Häufigkeiten heißt absolute Häufigkeit des wertes. Die absolute Häufigkeit des Wertes ,,3 Bücher" Der Anteil, den die absolute Häufigkeit an der Ge- ist also 6. samtzahl der erhobenen Daten hat, heißt relative Die relative Häufigkeit dieses Wertes Häufigkeit beträgt fi = o,z+ -- 24o/o. - .. absoruteHäufigkeit relative Häufigkeit = - *ffit "ht Diagramme Mit Diagrammen kann man die edassten Werte veranschaulichen. ln Säulendiagrammen kann man die absoluten Häufigkeiten der Werte der zugrunde liegenden Liste ablesen. Kreis- oder Streifendiagramme machen deutlich, welchen Anteil ein Wert der zugründe liegenden Häufigkeitsliste am Ganzen hat Kennwerte (1) Der kleinste Wert einer Rangliste heißt Minimum, der 0 Bücher sind das Minimum. größte Maximum. Die Differenz von Maximum und 17 Bücher sind das Maximum. Minimum heißt SPannweite. Die Spannweite ist ein Maß dafür; wie weit die Werte 17 Bücher- 0 Bücher = 17 Bücher der Erhebung auseinander liegen, gelegentlich sorgt Die Spannweite beträgt 17 Bücher. aber ein Ausreißer für eine große Spannweite. Die Summe aller Werte dividien durch die Anzahl der (3. 0 + 4 .1 +1 2+ 63 +3 4 +2 5 + 2 6 Werte heißt Mittelwert oder arithmetisches Mittel. +1.8+1-g+ 1. 12 + 1 17) : 25 =ff =+rc Der Mittelwert ist ein Durchschnittswert. lm Durchschnitt wurden rund 4 Bücher gelesen. 44 lnhaltsbezogeneKomPetenzen
  10. 10. Kennwerte (2) Der Wert in der Mitte einer Rangliste heißt Zentral- Da die Liste 25 Werte enthält, liegt der wert oder Median. Hat die Rangliste eine ungerade Median an der 13. Stelle. Anzahl von Werten, so ist der mittlere Wert der Das entspricht 3 Büchern:13 Schüler haben Zentralwert. Hat die Rangliste eine gerade Anzahl 3 Bücher oder weniger gelesen, und von Werten, so bildet man den Mittelwert der beiden 13 Schüler haben 3 Bücher oder mehr gelesen. Werte in der Mitte. Mindestens die Hälfte aller Werte liegt unterhalb des Zentralwertet mindestens die Hälfte oberhalb. Tritt ein Ergebnis häufiger auf als alle anderen Der Modalwert ist hier derselbe wie der Ergebnisse der Erhebung, so ist dieser Wert der Zentralweft: häufigste Wert oder Modalwert." 3 Bücher wurden am häufigsten gelesen. Der Modalwert ist ein guter Ersatz für den Mittel- wert in Erhebungen, für die ein Mittelwert nicht sinnvoll bestimmt werden kann. (Wenn z. B. nach der Lieblingsfarbe gefragt wird: Der Mittelwert von Farben ist nicht sinnvoll anzugeben.)Ergebnis Bei einem Zufallsversuch werden die möglichen Ausgänge als Ergebnisse bezeichnet. Der Münzwurf mit zwei Münzen stellt einen Zufallsversuch dar.mögliche Alle n Ergebnisse, die bei einem Zufallsversuch Es gibt vier mögliche Ergebnisse: (WW), (WZ),Ergebnisse auftauchen können, heißen mögliche Ergebnisse. (ZW), (U), wobei Z für Zahl, W für Wappen steht.günstige Alle m Ergebnisse, die zum betrachteten Ereignis Für das Ereignis,,mindestens ein WappenErgebnisse führen, heißen günstige Ergebnisse. werfen" gibt es die drei günstigen ErgebnisseEreignis Mehrere Ergebnisse kann man zu einem Ereignis (WW), (Wz) und (ZW). zusammenfassen.Laplace- Sind alle n möglichen Ergebnisse eines Jedes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich undWahrscheinlichkeit Zufallsversuchs gleich wahrscheinlich, so spricht hat die Wahrscheinlichkeftlo = 25o1o. man von einem Laplace-Versuch und berechnet die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses durch die Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Formel p = d. ,,mindestens ein Wappen werfen" Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit m beträ5 1,, =75Yo. günstigen Ergebnissen ist dann p(E) = *.Baumdiagramm Besteht ein Zufallsversuch aus mehreren Teilversu- E1 chen, so spricht man von einem mehrstufigen - Zufallsversuch. Ein Baumdiagramm veranschaulicht E2 die möglichen mehrstufigen Ergebnisse. Mithilfe des Baumdiagramms lässt sich die Wahrscheinlichkeit E3- jedes mehrstufigen Ergebnisses bestlmmen. E4ffadregel Die Wahrscheinlichkeit eines mehrstufigen Summen- Ergebnisses ist gleich dem Produkt aus allen E5 regel Wahrscheinlichkeiten entlang des ffades, der im E Baumdiagramm zu diesem mehrstufigen Ergebnis führt. E7-Summenregel Mehrstufige Ergebnisse können wieder zu Ereignissen E8 zusammengefasst werden. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist dann die Summe der zugehörigen E^ Ergebniswahrscheinlichkeiten. lnhaltsbezogeneKompetenzen 45

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