ερευνητική εργασία των μαθητών/μαθητριών της Α1- Λυκείου του 11 ΓΕΛ Λάρισας

1. ΜαθηματικαΜαθηματικα

2. Ιστορία τωνΙστορία των
ΜαθηματικώνΜαθηματικώνΠΡΟΛΟΓΟΣΠΡΟΛΟΓΟΣ
Κατά τη διάρκεια της ιστορίας, αρκετοί λαοί ανέπτυξαν ένα δικό τουςΚατά τη διάρκεια της ιστορίας, αρκετοί λαοί ανέπτυξαν ένα δικό τους
σύστημα αρίθμησης, είτε δανείστηκαν αντίστοιχα άλλων λαώνσύστημα αρίθμησης, είτε δανείστηκαν αντίστοιχα άλλων λαών
κάνοντας κάποιες τροποποιήσεις σ’αυτά. Σ’ αυτήν την εργασία θακάνοντας κάποιες τροποποιήσεις σ’αυτά. Σ’ αυτήν την εργασία θα
προσπαθήσουμε να αναλύσουμε τα διάφορα συστήματα αρίθμησηςπροσπαθήσουμε να αναλύσουμε τα διάφορα συστήματα αρίθμησης
του κάθε λαού από την αρχαιότητα μέχρι το πρόσφατο παρελθόν.του κάθε λαού από την αρχαιότητα μέχρι το πρόσφατο παρελθόν.

3. ΓενικάΓενικά
 Ο άνθρωπος από την εμφάνισή του στη γη είχε ανάγκη ναΟ άνθρωπος από την εμφάνισή του στη γη είχε ανάγκη να
μετρά, να συγκρίνει. Πέρασαν πολλά εκατομμύρια χρόνιαμετρά, να συγκρίνει. Πέρασαν πολλά εκατομμύρια χρόνια
για να φτάσει ο προϊστορικός άνθρωπος στην αρίθμηση μεγια να φτάσει ο προϊστορικός άνθρωπος στην αρίθμηση με
τα δάχτυλα και μετά χρειάστηκαν πολλές χιλιετίες για τητα δάχτυλα και μετά χρειάστηκαν πολλές χιλιετίες για τη
γραφή και ονομασία απλών φυσικών αριθμών και μεγάλεςγραφή και ονομασία απλών φυσικών αριθμών και μεγάλες
προσπάθειες για να εκτελούν αριθμητικές πράξεις.προσπάθειες για να εκτελούν αριθμητικές πράξεις.
 Η ιστορία των αριθμών είναι τόσο παλιά όσο και η ιστορίαΗ ιστορία των αριθμών είναι τόσο παλιά όσο και η ιστορία
της γραφής. Θα τη βρούμε σε όλους τους πολιτισμούς πουτης γραφής. Θα τη βρούμε σε όλους τους πολιτισμούς που
άφησαν γραπτά ίχνη Έλληνες, Αιγύπτιοι, Ρωμαίοι, Ινδοί,άφησαν γραπτά ίχνη Έλληνες, Αιγύπτιοι, Ρωμαίοι, Ινδοί,
Κινέζοι, Άραβες κ.άΚινέζοι, Άραβες κ.ά

4. Αριθμητικά σύμβολα και αριθμητικόΑριθμητικά σύμβολα και αριθμητικό
σύστημα των Σουμέριωνσύστημα των Σουμέριων
 Οι Σουμέριοι είχαν αναπτύξει ένα πολύπλοκο σύστημα Οι Σουμέριοι είχαν αναπτύξει ένα πολύπλοκο σύστημα
μετρολογίας. Περίπου το 2500 π.Χ. χρονολογούνται οι πίνακεςμετρολογίας. Περίπου το 2500 π.Χ. χρονολογούνται οι πίνακες
πολλαπλασιασμού σε πήλινες πινακίδες που κατασκεύασαν οιπολλαπλασιασμού σε πήλινες πινακίδες που κατασκεύασαν οι
Σουμέριοι , καθώς επίσης και οι Γεωμετρικές ασκήσεις, ταΣουμέριοι , καθώς επίσης και οι Γεωμετρικές ασκήσεις, τα
προβλήματα διαιρέσεων και οι αστρολογικές αναφορές.προβλήματα διαιρέσεων και οι αστρολογικές αναφορές.
 Για την μέτρηση αρχικά χρησιμοποίησαν ειδικά διαμορφωμέναΓια την μέτρηση αρχικά χρησιμοποίησαν ειδικά διαμορφωμένα
βοτσαλάκια (ένας μικρός κώνος= 1, μια μικρή σφαίρα= 10, έναςβοτσαλάκια (ένας μικρός κώνος= 1, μια μικρή σφαίρα= 10, ένας
μεγάλος κώνος= 50 κ.ο.κ.), τα ονόματα των οποίωνμεγάλος κώνος= 50 κ.ο.κ.), τα ονόματα των οποίων
χρησιμοποιούνται ακόμα και σήμερα για να δηλώνουν πράξειςχρησιμοποιούνται ακόμα και σήμερα για να δηλώνουν πράξεις
μέτρησης. μέτρησης.

5. ΣουμέριοιΣουμέριοι
 Οι Σουμέριοι χρησιμοποίησαν τοΟι Σουμέριοι χρησιμοποίησαν το εξηνταδικό θεσιακόεξηνταδικό θεσιακό
σύστημα σε συνδυασμό με στοιχεία του δεκαδικού.σύστημα σε συνδυασμό με στοιχεία του δεκαδικού.
Στο σύστημα αυτό απαιτούνται 60 απλές μονάδες για ναΣτο σύστημα αυτό απαιτούνται 60 απλές μονάδες για να
δημιουργήσουν μια μονάδα ανώτερης τάξης. Ταδημιουργήσουν μια μονάδα ανώτερης τάξης. Τα
αριθμητικά σύμβολα που χρησιμοποιούσαναριθμητικά σύμβολα που χρησιμοποιούσαν
παριστανόταν με σφήνες. Η απλή σφήνα συμβόλιζε τηνπαριστανόταν με σφήνες. Η απλή σφήνα συμβόλιζε την
μονάδα, η διπλή την δεκάδα, η τριπλή την εκατοντάδαμονάδα, η διπλή την δεκάδα, η τριπλή την εκατοντάδα
κ.ο.κ κ.ο.κ

6. OO αριθμόςαριθμός ee στα μαθηματικαστα μαθηματικα
 O αριθμός e (στα ελληνικά λέγεται έψιλον ή απλά "ε")O αριθμός e (στα ελληνικά λέγεται έψιλον ή απλά "ε")
είναι ένας άρρητος αριθμός και ταυτόχρονα η βάση τωνείναι ένας άρρητος αριθμός και ταυτόχρονα η βάση των
φυσικών ή νεπέριων λογαρίθμων. Συχνά καλείται καιφυσικών ή νεπέριων λογαρίθμων. Συχνά καλείται και
αριθμός του Όυλερ (Euler) ή σταθερά του Ναπιέρ. Eίναιαριθμός του Όυλερ (Euler) ή σταθερά του Ναπιέρ. Eίναι
ένας από τους σημαντικότερους αριθμούς σταένας από τους σημαντικότερους αριθμούς στα
μαθηματικά. Υπάρχει μια ποικιλία ισοδύναμων ορισμώνμαθηματικά. Υπάρχει μια ποικιλία ισοδύναμων ορισμών
του αριθμού e. Η αξία του, με προσέγγιση τριακοστούτου αριθμού e. Η αξία του, με προσέγγιση τριακοστού
δεκαδικού ψηφίου είναι:δεκαδικού ψηφίου είναι:
 e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352

7. Αριθμός e: Πανταχού παρών, ανΑριθμός e: Πανταχού παρών, αν
και προερχόμενος από το…και προερχόμενος από το…
υπερπέραν!υπερπέραν!
Έκανε την εμφάνισή του στον κόσμο των Μαθηματικών σχετικάΈκανε την εμφάνισή του στον κόσμο των Μαθηματικών σχετικά
πρόσφατα – χρειάστηκε μάλιστα χρόνος πριν γίνει αντιληπτό πωςπρόσφατα – χρειάστηκε μάλιστα χρόνος πριν γίνει αντιληπτό πως
είχε ανακαλυφθεί! Και σύντομα βρέθηκε πως, μαζί με κάποιουςείχε ανακαλυφθεί! Και σύντομα βρέθηκε πως, μαζί με κάποιους
άλλους αριθμούς, διαθέτει «εξωτικές» ιδιότητες, ανοίκειες αν όχιάλλους αριθμούς, διαθέτει «εξωτικές» ιδιότητες, ανοίκειες αν όχι
απρόσιτες για τα δεδομένα της ανθρώπινης εμπειρίας. Αντίθετααπρόσιτες για τα δεδομένα της ανθρώπινης εμπειρίας. Αντίθετα
όμως από όλους σχεδόν τους άλλους «υπερβατικούς αριθμούς»,όμως από όλους σχεδόν τους άλλους «υπερβατικούς αριθμούς»,
κάνει αισθητή την παρουσία του, κατά τον έναν ή τον άλλον τρόπο,κάνει αισθητή την παρουσία του, κατά τον έναν ή τον άλλον τρόπο,
σε ένα πλήθος πτυχών της ζωής: Από αριθμητικούς υπολογισμούς καισε ένα πλήθος πτυχών της ζωής: Από αριθμητικούς υπολογισμούς και
σχέσεις της Μαθηματικής Ανάλυσης, έως παροιμιώδεις εκφράσειςσχέσεις της Μαθηματικής Ανάλυσης, έως παροιμιώδεις εκφράσεις
της απλής καθομιλουμένης…Και από ζητήματα της Στατιστικής καιτης απλής καθομιλουμένης…Και από ζητήματα της Στατιστικής και
της Οικονομίας, έως τις βαθυστόχαστες σιβυλλικές θεωρίες τηςτης Οικονομίας, έως τις βαθυστόχαστες σιβυλλικές θεωρίες της
Κβαντικής Φυσικής και της μελέτης του ΣύμπαντοςΚβαντικής Φυσικής και της μελέτης του Σύμπαντος

8. Αρχαία μαθηματικά συστήματα αρίθμησης.Αρχαία μαθηματικά συστήματα αρίθμησης.
 Τα αριθμητικά σύμβολα, τα οποία χρησιμοποιούμεΤα αριθμητικά σύμβολα, τα οποία χρησιμοποιούμε
από την Α΄Δημοτικού για να φτιάξουμε τους αριθμούςαπό την Α΄Δημοτικού για να φτιάξουμε τους αριθμούς
και να κάνουμε τις πράξεις, κρύβουν μέσα τους μιακαι να κάνουμε τις πράξεις, κρύβουν μέσα τους μια
ιστορία χιλιάδων αιώνων. ιστορία χιλιάδων αιώνων.
 Όλοι οι αρχαίοι λαοί χρησιμοποίησαν μαθηματικάΌλοι οι αρχαίοι λαοί χρησιμοποίησαν μαθηματικά
σύμβολα για να απεικονίσουν αριθμούς και να λύσουν μεσύμβολα για να απεικονίσουν αριθμούς και να λύσουν με
αυτά τα καθημερινά προβλήματα υπολογισμών. αυτά τα καθημερινά προβλήματα υπολογισμών.
 Οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε σήμερα προέρχονταιΟι αριθμοί που χρησιμοποιούμε σήμερα προέρχονται
από τους Άραβες οι οποίοι τους εξέλιξαν, αφού τουςαπό τους Άραβες οι οποίοι τους εξέλιξαν, αφού τους
πήραν από τους Ινδούς. πήραν από τους Ινδούς.

9. Ας γνωρίσουμε κάποια συστήματαΑς γνωρίσουμε κάποια συστήματα
αρίθμησης παλαιότερων εποχώναρίθμησης παλαιότερων εποχών::
 Αρχαίο λατινικό σύστημα αρίθμησηςΑρχαίο λατινικό σύστημα αρίθμησης
 Βαβυλωνιακό σύστημα αρίθμησηςΒαβυλωνιακό σύστημα αρίθμησης
 Αρχαίο ινδικό σύστημα αρίθμησηςΑρχαίο ινδικό σύστημα αρίθμησης
 Σύστημα αρίθμησης των ΜάγιαΣύστημα αρίθμησης των Μάγια

10. ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΙΝΕΖΩΝΑΛΓΕΒΡΑ ΚΙΝΕΖΩΝ
 2852π.Χ. Ο Κινέζικος πολιτισμός χρησιμοποιεί2852π.Χ. Ο Κινέζικος πολιτισμός χρησιμοποιεί
σύστημα αριθμών με βάση το 60. Έκανανσύστημα αριθμών με βάση το 60. Έκαναν
αστρονομικούς υπολογισμούς 1500 χρόνιααστρονομικούς υπολογισμούς 1500 χρόνια πρινπριν
από τους αρχαίους Έλληνες. Επιπλέον,από τους αρχαίους Έλληνες. Επιπλέον,
γνώριζαν γραμμικές εξισώσεις και αόριστεςγνώριζαν γραμμικές εξισώσεις και αόριστες
εξισώσεις.εξισώσεις.

11. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (ΚΙΝΕΖΟΙ)ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (ΚΙΝΕΖΟΙ)
 Ξέρουμε πως οι Κινέζοι γνώριζαν το πυθαγόρειο θεώρημαΞέρουμε πως οι Κινέζοι γνώριζαν το πυθαγόρειο θεώρημα..
Είχαν βρειμια σχέση ανάμεσα στο εμβαδόν Α ενός κύκλου καιΕίχαν βρειμια σχέση ανάμεσα στο εμβαδόν Α ενός κύκλου και
στο μήκος C της περιφέρειας. στο μήκος C της περιφέρειας.
A = Cd/4 όπου d η διάμετρος A = Cd/4 όπου d η διάμετρος
Πιστεύεται ότι το είχαν βρει διαιρώντας τον κύκλο σε ίσουςΠιστεύεται ότι το είχαν βρει διαιρώντας τον κύκλο σε ίσους
κυκλικούς τομείς και αναδιατάσσοντας τους ώστε νακυκλικούς τομείς και αναδιατάσσοντας τους ώστε να
δημιουργήσουν ένα κατά προσέγγιση ορθογώνιο. Οι φόρμουλεςδημιουργήσουν ένα κατά προσέγγιση ορθογώνιο. Οι φόρμουλες
για τη Γεωμετρία των τρισδιάστατων σωμάτων ήταν επίσηςγια τη Γεωμετρία των τρισδιάστατων σωμάτων ήταν επίσης
γνωστές. Οι όγκοι των κύβων και των κυλίνδρων μπορούσαν ναγνωστές. Οι όγκοι των κύβων και των κυλίνδρων μπορούσαν να
υπολογιστούν.υπολογιστούν.

12. ΒαβυλώνιοιΒαβυλώνιοι
 OOι Βαβυλώνιοι ήταν ένας λαός της αρχαιότητας που έζησε απόι Βαβυλώνιοι ήταν ένας λαός της αρχαιότητας που έζησε από
το 2.000-538 π.Χ. Πληροφορίες λένε ότι έφτασαν σε υψηλότο 2.000-538 π.Χ. Πληροφορίες λένε ότι έφτασαν σε υψηλό
επίπεδο μαθηματικής κουλτούρας τη μεγαλύτερη τωνεπίπεδο μαθηματικής κουλτούρας τη μεγαλύτερη των
σύγχρoνων Αιγυπτίων. Οι Βαβυλώνιοι τον 16ο αιώνα π.Χσύγχρoνων Αιγυπτίων. Οι Βαβυλώνιοι τον 16ο αιώνα π.Χ
ανακάλυψαν το Πυθαγόρειο θεώρημα(1.000 χρόνια πριν από τηανακάλυψαν το Πυθαγόρειο θεώρημα(1.000 χρόνια πριν από τη
γέννηση του Πυθαγόρα!!!). Γνώριζαν τις τέσσερις πράξεις καιγέννηση του Πυθαγόρα!!!). Γνώριζαν τις τέσσερις πράξεις και
τις ρίζες, λύνανε προβλήματα με εξισώσεις πρώτου καιτις ρίζες, λύνανε προβλήματα με εξισώσεις πρώτου και
δεύτερου βαθμού, υπολόγιζαν το εμβαδόν ορθογώνιωνδεύτερου βαθμού, υπολόγιζαν το εμβαδόν ορθογώνιων
τριγώνων, παραλληλόγραμμων, τραπεζίων καθώς και τοτριγώνων, παραλληλόγραμμων, τραπεζίων καθώς και το
εμβαδόν του κύκλου με τη διαφορά ότι ο αριθμός π ήταν ίσοςεμβαδόν του κύκλου με τη διαφορά ότι ο αριθμός π ήταν ίσος
με 3 αντί αυτού που χρησιμοποιούμε σήμερα (π =3,14). με 3 αντί αυτού που χρησιμοποιούμε σήμερα (π =3,14).

13. Η Γεωμετρία των ΒαβυλωνίωνΗ Γεωμετρία των Βαβυλωνίων
 Πρέπει να τονίσουμε ότι οι Βαβυλώνιοι :Πρέπει να τονίσουμε ότι οι Βαβυλώνιοι :
 Υπολόγιζαν σωστά την επιφάνεια τριγώνου , τετραγώνου ,Υπολόγιζαν σωστά την επιφάνεια τριγώνου , τετραγώνου ,
ορθογωνίου και τραπεζίου.ορθογωνίου και τραπεζίου.
 Γνώριζαν να υπολογίζουν την επιφάνεια και τον όγκο ορθογωνίουΓνώριζαν να υπολογίζουν την επιφάνεια και τον όγκο ορθογωνίου
παραλληλεπιπέδου και τον όγκο ορθού πρίσματος όταν οι βάσειςπαραλληλεπιπέδου και τον όγκο ορθού πρίσματος όταν οι βάσεις
του ήταν ειδικά πολύγωνα , κυρίως τετράγωνα.του ήταν ειδικά πολύγωνα , κυρίως τετράγωνα.
 Το μήκος C της περιφέρειας του κύκλου το θεωρούσαν ίσο με τοΤο μήκος C της περιφέρειας του κύκλου το θεωρούσαν ίσο με το
τριπλάσιο της διαμέτρου. Με σημερινό συμβολισμό θα είχαμε τητριπλάσιο της διαμέτρου. Με σημερινό συμβολισμό θα είχαμε τη
σχέση C=3*d ,όπου d η διάμετρος του κύκλου . Όπως προκύπτεισχέση C=3*d ,όπου d η διάμετρος του κύκλου . Όπως προκύπτει
από τη σχέση αυτή , θεωρούσαν ότι π=3.από τη σχέση αυτή , θεωρούσαν ότι π=3.

14. Ο ΕρατοσθένηςΟ Ερατοσθένης
 ΟΟ ΕρατοσθένηςΕρατοσθένης (Κυρήνη 276 π.Χ. –(Κυρήνη 276 π.Χ. –
Αλεξάνδρεια 194 π.Χ.) ήτανΑλεξάνδρεια 194 π.Χ.) ήταν αρχαίος Έλληναςαρχαίος Έλληνας
μαθηματικός, γεωγράφος και αστρονόμοςμαθηματικός, γεωγράφος και αστρονόμος. Θεωρείται ο. Θεωρείται ο
πρώτος που υπολόγισε το μέγεθος της Γης καιπρώτος που υπολόγισε το μέγεθος της Γης και
κατασκεύασε ένα σύστημα συντεταγμένων μεκατασκεύασε ένα σύστημα συντεταγμένων με
παράλληλους και μεσημβρινούς. Ακόμαπαράλληλους και μεσημβρινούς. Ακόμα
κατασκεύασε ένα χάρτη του κόσμου όπως τονκατασκεύασε ένα χάρτη του κόσμου όπως τον
θεωρούσεθεωρούσε ……

15. Γιοχάνες ΚέπλερΓιοχάνες Κέπλερ

16. ΒιογραφιαΒιογραφια
 ΟΟ Γιοχάνες ΚέπλερΓιοχάνες Κέπλερ και παλιότερα με τον εξελληνισμένο τύποκαι παλιότερα με τον εξελληνισμένο τύπο
ΚεπλέροςΚεπλέρος ((γερμ.γερμ. Johannes KeplerJohannes Kepler) ήταν) ήταν ΓερμανόςΓερμανός αστρονόμοςαστρονόμος ((
27 Δεκεμβρίου27 Δεκεμβρίου 1571 – 15 Νοεμβρίου 1630) και καταλυτική1571 – 15 Νοεμβρίου 1630) και καταλυτική
φυσιογνωμία στην επιστημονική επανάσταση των νεότερων χρόνων.φυσιογνωμία στην επιστημονική επανάσταση των νεότερων χρόνων.
Υπήρξε επίσης μαθηματικός και συγγραφέας, ενώ άσκησε κατάΥπήρξε επίσης μαθηματικός και συγγραφέας, ενώ άσκησε κατά
καιρούς και την αστρολογία για βιοποριστικούς λόγους. Είναικαιρούς και την αστρολογία για βιοποριστικούς λόγους. Είναι
περισσότερο γνωστός ως ο «Νομοθέτης του ουρανού» από τουςπερισσότερο γνωστός ως ο «Νομοθέτης του ουρανού» από τους
φερώνυμους Νόμους που αφορούν την κίνηση των πλανητών γύρωφερώνυμους Νόμους που αφορούν την κίνηση των πλανητών γύρω
από τον Ήλιο και περιγράφονται στα έργα του …από τον Ήλιο και περιγράφονται στα έργα του …

17. Οι νόμοι της πλανητικής κίνησης κατάΟι νόμοι της πλανητικής κίνησης κατά
KeplerKepler
 Ο Johan Kepler (1571-1630) ανέπτυξε,Ο Johan Kepler (1571-1630) ανέπτυξε,
χρησιμοποιώντας τις παρατηρήσεις του Δανούχρησιμοποιώντας τις παρατηρήσεις του Δανού
αστρονόμου Tycho Brahe (1546-1601), τηναστρονόμου Tycho Brahe (1546-1601), την
πρώτη κινηματική περιγραφή των τροχιών, ενώ οπρώτη κινηματική περιγραφή των τροχιών, ενώ ο
Newton (1643-1727) θα αναπτύξει μια δυναμικήNewton (1643-1727) θα αναπτύξει μια δυναμική
περιγραφή με την χρήση της βαρύτηταςπεριγραφή με την χρήση της βαρύτητας

18. Νομοι ΚεπλερΝομοι Κεπλερ
 ** 1ος νόμος1ος νόμος Κάθε πλανήτης κινείται σε μιαΚάθε πλανήτης κινείται σε μια
ελλειπτική τροχιά με τον ήλιο στη μια εστία τηςελλειπτική τροχιά με τον ήλιο στη μια εστία της
τροχιάς.τροχιάς.
 ** 2ος νόμος2ος νόμος (νόμος των ίσων εμβαδών): Η ευθεία(νόμος των ίσων εμβαδών): Η ευθεία
που ενώνει τον Ήλιο με ένα πλανήτη (πουπου ενώνει τον Ήλιο με ένα πλανήτη (που
ονομάζεται επιβατική ακτίνα) διαγράφει ίσαονομάζεται επιβατική ακτίνα) διαγράφει ίσα
εμβαδά σε ίσους χρόνουςεμβαδά σε ίσους χρόνους

20. ερευνητική εργασία Α1ερευνητική εργασία Α1
Λυκείου του 11Λυκείου του 11ουου
ΓΕΛ Λάρισας υπό την επίβλεψηΓΕΛ Λάρισας υπό την επίβλεψη
του καθηγητή Α. Ιωαννίδη το σχολ. Έτος 2012-του καθηγητή Α. Ιωαννίδη το σχολ. Έτος 2012-
20132013
(Συντάκτης παρουσίασης Μ. Δήμας)(Συντάκτης παρουσίασης Μ. Δήμας)