13. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
168
ถา P เปนจุดใด ๆ บนระนาบมีพิกัดเปน (x, y) และ (x′, y′) เมื่อเทียบกับแกนชุดเดิมและ
แกนชุดใหมตามลําดับ
เนื่องจากแกน X′ ทํามุม θ กับแกน X และผานจุดกําเนิด ดังนั้นแกน X′ ซึ่งเปนเสนตรง
มีความชัน tan θ ผานจุด (0, 0) จะมีสมการเมื่อเทียบกับแกนชุดเดิมเปน
y = (tan θ)x
หรือ (tan θ) x – y = 0 ----------- (1)
และเนื่องจากแกน Y′ ตั้งฉากกับแกน X′ และผานจุดกําเนิด จึงมีสมการเมื่อเทียบกับแกนชุดเดิมเปน
y = x
tan
1
θ
−
หรือ x + (tan θ) y = 0 ----------- (2)
จาก (1) และ (2) เมื่อหาระยะจากจุด (x, y) ถึงแกน X′ และ Y′ โดยใชสูตรหาระยะจากจุด
ไปยังเสนตรงจะไดวา
x′ =
θ+
θ+
2
tan1
y)(tanx
y′ =
θ+
θ−
2
tan1
x)(tany
(จากสูตรหาระยะจากจุดไปยังเสนตรงตองเลือกใชคาที่เมื่อแทนตัวแปร x, y ในสมการแลวได
คามากกวาศูนย แตในที่นี้แทนตัวแปร x, y ดวยคาใด ๆ x, y และคา x′, y′ ก็ยังเปนไดทั้งจํานวนบวก
และจํานวนลบ การเลือกคาถาจะทําใหละเอียดจึงตองพิจารณาเปนกรณี ๆ ไป แตทุกกรณีจะออกมาตรงกัน
ดังที่เขียนไว)
จากคาของ x′, y′ ที่สัมพันธกับ x, y ขางตน จัดสมการใหมโดยเขียน tan θ ในรูป θ
θ
cos
sin
จะได
x′ = x cos θ + y sin θ
y′ = y cos θ – x sin θ
•
Y
X
X′Y′
x′
P (x, y)
(x′, y′)
y′
θ
14. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
169
หรือ
x = x′ cos θ – y′ sin θ
y = x′ sin θ + y′ cos θ
ประโยชนประการหนึ่งของการหมุนแกนคือ เพื่อจัดรูปทั่วไปของสมการกําลังสองสองตัวแปร
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
ใหอยูในรูปที่อางถึงแกนชุดใหมเปน
A′x′2
+ B′x′y′ + C′y2
+ D′x′ + E′y′ + F′ = 0
โดยพยายามหมุนแกนใหคาของ B′ = 0 ซึ่งจะทําใหสมการอยูในรูปทั่วไปที่ไมมีพจน xy
เชนจากเรื่องไฮเพอรโบลามุมฉาก ซึ่งเห็นไดชัดเจนวา แกนหมุนไป 45° ในกรณีนี้อยูในรูป xy = k, k > 0
จะใชความสัมพันธเปน
x = x
2
2
′ – y
2
2
′
y = x
2
2
′ + y
2
2
′
แทนคา x และ y ในสมการ xy = k จะได
22
y
2
1
x
2
1
′−′ = k
ดังนั้น จะจัดสมการในรูปมาตรฐาน เปน
2
2
)k2(
x′
– 2
2
)k2(
y′
= 1
กรณีทั่ว ๆ ไป การจะทําใหคา B′ เปนศูนยจะใชสูตร
tan 2 θ = CA
B
−
เชนจากสมการ
4x2
– 4xy + y2
+ 2x – 6y + 17 = 0
จะตองให
tan 2 θ = 14
4
−
−
= 3
4
−
นั่นคือ
θ−
θ
2
tan1
tan2
= 3
4
−
หรือ 2 tan2
θ – 3 tan θ – 2 = 0
(2 tan θ + 1) (tan θ – 2) = 0
tan θ = 2
1
− หรือ tan θ = 2
15. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
170
ใชเฉพาะคา tan θ ที่เปนบวก หาคา sin θ และ cos θ จะได
sin θ =
5
2
cos θ =
5
1
แทนคา x และ y ในสมการโดยให
x = x
5
1
′ – y
5
2
′
y = x
5
2
′ + y
5
1
′
จะได
22
)y
5
1
x
5
2
()y
5
1
x
5
2
)(y
5
2
x
5
1
(4)y
5
2
x
5
1
(4 ′+′+′+′′−′−′−′
+ 17)y
5
1
x
5
2
(6)y
5
2
x
5
1
(2 +′+′−′−′ = 0
)y
5
2
yx
5
3
x
5
2
(4)
5
y4
5
yx4
5
x
(4 22
22
′−′′−′−
′
+
′′
−
′
+ y
5
4
x
5
2
y
5
1
yx
5
4
x
5
4 22
′−′+′+′′+′
– 17y
5
6
x
5
12
+′−′ = 0
17x52y52y5 2
+′−′−′ = 0
2
)1y5( −′ = x52 ′ – 16
2
)
5
1
y( −′ =
5
8
x(
5
52
−′ )
เห็นไดวา สมการดังกลาวมีกราฟ เมื่อเทียบกับแกนที่หมุนไปเปนพาราโบลามีจุด )
5
1
,
5
8
(
เปนจุดยอด อยางไรก็ตามเรื่องนี้เปนเรื่องที่คอนขางยุงยาก ในกรณีที่ตองการใชเสริมใหผูเรียนควรทําภายหลัง
จากเรียนตรีโกณมิติจนจบแลว และกรณีการจําสูตรคาของ tan 2θ อาจไมตองจําแตใชขั้นตอนวิธีแทนได
ทั้งนี้ ผูสอนอาจตองเลือกโจทยที่ไมยากนักดวย และในการใชหลังจากหมุนแกนแลวจะตองเลื่อนแกนทาง
ขนานกับแกนที่หมุนไปดวย
โดยการใชความรูดังกลาว จะสามารถพิจารณาสรุปเปนทฤษฎีวา จากสมการกําลังสองสองตัวแปร
รูปทั่วไป
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
เมื่อพิจารณาจากคา B2
– 4AC จะมีขอสรุปเกี่ยวกับกราฟดังนี้
1. ถาเปนจํานวนจริงลบ กราฟจะเปนวงรี จุด หรืออาจไมมีกราฟ
2. ถาเปนศูนย กราฟจะเปนพาราโบลา หรือเสนตรง 2 เสนที่ขนานกัน หรือเสนตรงเสนเดียว
หรือไมมีกราฟ
3. ถาเปนจํานวนจริงบวก กราฟจะเปนไฮเพอรโบลา หรือเสนตรงสองเสนตัดกัน
16. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
171
กิจกรรมเสนอแนะ
ระยะระหวางจุดสองจุด
กอนสอนบอกใหผูเรียนทราบวาระยะระหวางจุด A ถึงจุด B เขียนแทนดวย AB หรือ ⏐AB⏐
1. ผูสอนควรใหผูเรียนหาระยะระหวางจุด 2 จุดบนแกน X หรือแกน Y กอนและหาระยะ
ระหวางจุด 2 จุดในแนวเสนตรงที่ขนานกับแกน X หรือแกน Y แลวจึงใหหาระยะระหวางจุด 2 จุดใด ๆ
บนระนาบ ดังวิธีการแตละขั้นดังตอไปนี้
(1) กําหนดตัวอยางของจุด 2 จุดบนแกน X ใหผูเรียนหาระยะระหวางจุด 2 จุดนี้หลาย ๆ
ตัวอยาง เชน A(0, 0), B(4, 0) และ P(–3, 0), Q(2, 0) ฯลฯ ดังรูป
ผูเรียนควรตอบไดวา AB = 4 หนวย ไดจาก ⏐4 – 0⏐ หรือ ⏐0 – 4⏐
และ PQ = 5 หนวย ไดจาก ⏐–3 –2⏐ หรือ ⏐2 – (–3)⏐
จากกิจกรรมนี้ผูเรียนจะสรุปไดวา ระยะหางระหวางจุด A(a, 0) และจุด B(b, 0) คือ
AB = ⏐a – b⏐ = ⏐b – a⏐
(2) ในทํานองเดียวกันจะหาระยะระหวางจุด 2 จุดบนแกน Y ไดโดยใชวิธีการเดียวกับ
ขอ (1) ซึ่งผูเรียนจะสรุปไดวา ระยะระหวางจุด C(0, c) และ D(0, d) คือ CD = ⏐c – d⏐ = ⏐d – c⏐
(3) กําหนดจุดสองจุดที่อยูในแนวเสนตรงเดียวกันกับเสนตรงที่ขนานกับแกน X หรือ
แกน Y ใหผูเรียนหาระยะทางระหวางจุดสองจุดนั้น โดยวิธีเดียวกับการหาระยะระหวางจุดสองจุดใด ๆ
บนแกน X และแกน Y ผูเรียนควรสรุปไดวา
ระยะระหวางจุด A(a, b) กับจุด B(a, c) คือ AB = ⏐b – c⏐ = ⏐c – b⏐
และ ระยะระหวางจุด C(d, e) กับจุด D(f, e) คือ CD = ⏐d – f⏐ = ⏐f – d⏐
โดยผูสอนยกตัวอยางที่เปนตัวเลขประกอบดวย
X
Y
A (0, 0) B (4, 0)
•• X
Y
P (–3, 0) Q (2, 0)
•• •
17. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
172
2. ในการหาระยะระหวางจุดสองจุดใด ๆ บนระนาบนั้นตองอาศัยทฤษฎีบทปทาโกรัส ดังนั้น
เพื่อใหผูเรียนเกิดแนวความคิดที่จะนําทฤษฎีบทดังกลาวมาใช ผูสอนอาจใชวิธีการดังตอไปนี้
(1) กําหนดจุด A(0, a) และ B(b, 0) เปนจุดบนแกน Y และแกน X ตามลําดับ ใหผูเรียน
หาระยะระหวางจุด A กับจุด B ผูสอนอาจยกตัวอยางจุดที่มีพิกัดเปนจํานวนจริง เชน A(0, 3) และ
B(4, 0) หรือ A(0, –3) และ B(–4, 0) เปนตน
ซึ่งจากรูป ผูเรียนจะเห็นไดวา AB คือดานตรงขาม
ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ผูสอนใหผูเรียนหา AB (ผูเรียนควรหาไดดวยตนเอง
โดยใชทฤษฎีบทปทาโกรัส)
(2) กําหนดจุด A อยูที่จุด (0, 0) และจุด B เปนจุดใด ๆ เชน B(3, 4) ฯลฯ ใหผูเรียนหา
AB (ผูเรียนควรหาไดโดยเสนอวาควรลากเสนตรงขนานกับแกน X หรือแกน Y โดยใหเสนตรงนั้นผาน
จุด B จะไดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แลวใชทฤษฎีบทปทาโกรัส)
ถาผูเรียนยังเสนอแนะเพิ่มเติมจากสิ่งที่กําหนดใหไมได
ผูสอนควรพยายามตั้งคําถามเพื่อใหผูเรียนนําความคิด
เกี่ยวกับการหาระยะ AB ในขอ (1) มาใช ซึ่งผูเรียน
จะทราบวาจําเปนตองลากเสนตรงขนานกับแกน X หรือ
แกน Y โดยใหเสนตรงนั้นผานจุด B จะไดรูปสามเหลี่ยม
มุมฉากแลวใชทฤษฎีบทปทาโกรัสผูสอนอาจฝกให
ผูเรียนหา AB เมื่อ A เปนจุดบนแกน X (หรือแกน Y)
แตไมใชจุด (0, 0)
X
Y
A (0, a)
B (b, 0)
•
•
0
X
Y
B (a, b)
(0, 0)
•
•
A
18. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
173
(3) กําหนดจุด A(x1, y1) และ B(x2, y2) เปนจุดในระนาบที่ไมอยูบนแกน X หรือแกน Y
ใหผูเรียนหา AB จากความรูในขอ (1) และ (2) ผูเรียนจะทราบวาตองลากเสนตรงผานจุด A และ B
โดยที่เสนตรงดังกลาวตองขนานกับแกน X หรือแกน Y
เพื่อทําใหเกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แลวใชทฤษฎีบท
ปทาโกรัสสรุปไดวา ระยะทางระหวางจุด A(x1, y1) กับ
B(x2, y2) คือ
AB = 2
21
2
21 )yy()xx( −+−
หรือ AB = 2
12
2
12 )yy()xx( −+−
หมายเหตุ เสนประในรูป ผูสอนควรจะใชชอลกสีลากเปนเสนทึบเพื่อใหผูเรียนเห็นเปนรูปสามเหลี่ยม
มุมฉากไดชัดเจน
จุดกึ่งกลางระหวางจุด 2 จุด
1. ผูสอนกําหนดจุด 2 จุดใด ๆ บนระนาบใหผูเรียนหาจุดกึ่งกลางระหวางจุดทั้ง 2 นั้น ผูเรียน
อาจจะหาตําแหนงโดยการใชวงเวียนหรือการวัดแตไมสามารถหาพิกัดของจุดกึ่งกลางไดทุกกรณี กิจกรรมนี้
ทําเพื่อชักจูงใหผูเรียนเกิดความตองการทราบวิธีหาพิกัดของจุดกึ่งกลางระหวางจุด 2 จุดใด ๆ
2. ผูสอนกําหนดจุด 2 จุด ซึ่งอยูบนแกน X ให เชน A(0, 0) กับ B(8, 0) หรือ A(0, 0) กับ
B(15, 0) ใหผูเรียนหาจุดกึ่งกลางระหวางจุด A และ B
ผูสอนกําหนดจุด 2 จุด เชน A(0, 0), B(– 4, 0) หรือ A(0, 0), B(–7, 0) ฯลฯ ใหผูเรียนหา
จุดกึ่งกลางระหวางจุด A และ B
ผูสอนกําหนดจุด 2 จุด เชน A(8, 0), B(12, 0) หรือ A(9, 0), B(12, 0) หรือ A(– 4, 0),
B(–8, 0) หรือ A(– 4, 0), B(12, 0) ฯลฯ ใหผูเรียนหาจุดกึ่งกลางระหวางจุด A และ B
ผูเรียนควรสรุปไดวา จุดกึ่งกลางระหวางจุด (x1, 0) กับ (x2, 0) คือ จุด )0,
2
xx
( 21 +
ผูสอนควรพยายามหลีกเลี่ยงใหผูเรียนคิดโดยการเขียนรูป ซึ่งอาจใชตัวอยางที่เปนตัวเลขงาย ๆ
(ในขั้นแรก ๆ ผูสอนอาจใชรูปบางเพื่อใหเกิดแนวความคิด แตหลังจากสอนจบแลวผูเรียนควรสรุปขอความ
ขางตนไดโดยไมตองอาศัยรูป)
3. ผูสอนยกตัวอยางจุดซึ่งอยูบนแกน Y แลวทําในทํานองเดียวกับขอ 2 ซึ่งผูเรียนควรสรุปไดวา
จุดกึ่งกลางระหวางจุด (0, y1) กับ (0, y2) คือ )
2
yy
,0( 21 +
X
Y
•
•
A
B
0
19. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
174
4. ผูสอนกําหนดจุด 2 จุด ซึ่งอยูในแนวเสนตรงเดียวกันที่ขนานกับแกน X เชน จุด A(3, 2)
กับ B(7, 2) หรือ A(4, –3) กับ B(6, –3) ฯลฯ ใหผูเรียนหาจุดกึ่งกลาง
ผูเรียนควรสรุปไดวา จุดกึ่งกลางระหวางจุด (x1, y1) กับ (x2, y1) คือจุด )y,
2
xx
( 1
21 +
5. ผูสอนกําหนดจุด 2 จุด ซึ่งอยูในแนวเสนตรงเดียวกันกับเสนที่ขนานกับแกน Y เชน
A(3, 8) กับ B(3, 6) หรือ A(–3, 6) กับ B(–3, 8) ฯลฯ แลวทําในทํานองเดียวกับขอ 4
ผูเรียนควรสรุปไดวาจุดกึ่งกลางระหวางจุด (x1, y1) กับ (x1, y2) คือจุด )
2
yy
,x( 21
1
+
6. การหาจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรง AB ในกรณีที่สวนของเสนตรงไมอยูในแนวขนาน
กับแกน X หรือแกน Y
ผูสอนกําหนดสวนของเสนตรง ซึ่งมีจุดเริ่มตนจุดหนึ่งอยูที่จุด (0, 0) เชน สวนของเสนตรงที่
เชื่อมจุด A(0, 0) และจุด B(4, 8) แลวใหผูเรียนหาพิกัดของจุด (x, y) ซึ่งเปนจุดกึ่งกลางของ AB
ถาผูเรียนหาคา x ไมได ใหผูสอนแนะโดยการลาก
เสนตรงผานจุด B(4, 8) ตัดและตั้งฉากกับแกน X
ถาผูเรียนยังหาไมไดอีก ใหผูสอนแนะอีกขั้น โดยการลาก
เสนตรงผานจุดกึ่งกลางตัดและตั้งฉากกับแกน X และใช
ความรูเกี่ยวกับสมบัติของสามเหลี่ยมคลาย (ซึ่งผูเรียนควร
หาคา x ได ในทํานองเดียวกันใหผูเรียนหาคา y)
7. ผูสอนกําหนดสวนของเสนตรงซึ่งจุดปลายทั้งสองไมอยูบนแกน X หรือแกน Y ใหผูเรียน
หาจุดกึ่งกลาง โดยผูสอนใชวิธีการถามเปนขั้น ๆ ดังวิธีที่ผานมา
ถาผูเรียนหาคา x ไมได ผูสอนควรแนะใหผูเรียนลากสวน
ของเสนตรง AE ใหขนานกับแกน X ตั้งฉากกับ CD
และ BE ซึ่งเปนสวนของเสนตรงที่ขนานกับแกน Y ที่
จุด D และ E ตามลําดับ แลวใหผูเรียนใชความรูเกี่ยวกับ
สมบัติของสามเหลี่ยมคลาย (∆ ACD ∼ ∆ABE) หาคา
x, y ซึ่งผูเรียนควรสรุปไดวา จุดกึ่งกลางของสวนของ
เสนตรงที่มีจุดปลายที่จุด A(x1, y1) และจุด B(x2, y2)
คือจุด )
2
yy
,
2
xx
( 2121 ++
X
Y
B (x2, y2)
A (x1, y1) D (x, y1) E (x2, y1)•
•
0
C (x, y)
X
Y
•
•
A (0, 0)
B (4, 8)
(x, y) •