1. บทที่ 2
พหุนามและเศษสวนของพหุนาม (18 ชั่วโมง)
2.1 ทบทวนพหุนาม (2 ชั่วโมง)
2.2 การคูณพหุนาม (4 ชั่วโมง)
2.3 การหารพหุนาม (4 ชั่วโมง)
2.4 เศษสวนของพหุนาม (1 ชั่วโมง)
2.5 การคูณและการหารเศษสวนของพหุนาม (3 ชั่วโมง)
2.6 การบวกและการลบเศษสวนของพหุนาม (4 ชั่วโมง)
สาระของบทนี้เปนความรูตอเนื่องที่นักเรียนเคยเรียนมาแลวในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 1 ในบทนี้จะไดกลาวถึงการคูณระหวางพหุนามที่มีตัวแปรไมเกิน
สองตัว ดีกรีของผลลัพธไมเกิน 5 และการหารพหุนามดวยพหุนามที่มีตัวแปรเดียว สัมประสิทธิ์ของตัวตั้ง
ตัวหาร ผลหารและเศษ เปนจํานวนเต็ม ทั้งเปนการหารลงตัวและไมลงตัว
สําหรับเศษสวนของพหุนามจะกลาวถึงการบวก ลบ คูณ และหารเศษสวนของพหุนามอยางงาย
กลาวคือ ทั้งตัวเศษและตัวสวนเปนเอกนามหรือเปนพหุนามที่มีไมเกินสองพจน มีตัวแปรเดียว มีดีกรี
ของพหุนามไมเกินสอง และถาพหุนามตัวเศษและพหุนามตัวสวนมีตัวประกอบรวม สามารถหา
ตัวประกอบรวมนั้นไดโดยใชสมบัติการแจกแจง สวนผลลัพธควรเปนพหุนามที่มีไมเกินสามพจน
และจะตองทําใหอยูในรูปของเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ สําหรับการหาตัวประกอบรวมโดยการแยก
ตัวประกอบดวยวิธีอื่นๆ นักเรียนจะไดเรียนในชั้นมัธยมศึกษาปที่ 3
ครูควรใหนักเรียนทําแบบฝกหัดในเรื่องการบวก ลบ คูณ หารพหุนามและเศษสวนของพหุนามให
มากพอ เพราะเนื้อหาเหลานี้เปนพื้นฐานที่สําคัญของการเรียนพีชคณิตในชั้นที่สูงขึ้น
ตัวอยางกิจกรรมเสนอแนะและแบบฝกหัดเพิ่มเติมในแตละหัวขอ มีไวเพื่อใหครูเลือกใชหรืออาจ
ปรับใชไดตามความตองการ
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. บวก ลบ คูณ และหารพหุนามได
2. บวก ลบ คูณ และหารเศษสวนของพหุนามอยางงายได

2. 18
แนวทางในการจัดการเรียนรู
2.1 ทบทวนพหุนาม (2 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. บวก ลบ พหุนามอยางงายได
2. คูณเอกนามกับพหุนามได
3. หารพหุนามดวยเอกนามได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูทบทวนการบวก ลบ เอกนาม ทั้งที่เปนเอกนามที่คลายกันและไมคลายกันใหนักเรียนตอบ
ปากเปลา เชน หาผลบวกหรือผลลบของเอกนามตอไปนี้
1) 7x2
+ (-5x2
)
2) 8x – 10y
3) -5z3
+ (-4z2
)
4) -11y2
– 20y2
2. ในการทบทวนการบวกและการลบพหุนาม ครูอาจทบทวนวิธีการหาผลลัพธทั้งในแนวนอน
และแนวตั้ง รวมถึงวิธีการถอดวงเล็บซึ่งอาจมีการเปลี่ยนเครื่องหมายและใหสังเกตวาในตัวอยาง เมื่อเขียน
การลบพหุนามในแนวนอนจะเปลี่ยนการลบเปนการบวกดวยพจนตรงขามของตัวลบกอน เพื่อไมให
นักเรียนสับสนเกี่ยวกับเครื่องหมาย
3. ในการทบทวนการคูณระหวางเอกนามกับพหุนาม ครูควรทบทวนการคูณที่เปนทั้งการคูณ
เอกนามดวยพหุนามและการคูณพหุนามดวยเอกนาม ดังตัวอยางที่ 4 และตัวอยางที่ 5 และควรให
นักเรียนเขียนคําตอบในรูปพหุนามที่มีการเรียงดีกรีจากมากไปนอย
4. ในการทบทวนการหารพหุนามดวยเอกนาม นอกจากครูจะทบทวนหลักการหารแลว ควรเนน
ถึงความสัมพันธของตัวตั้ง ตัวหาร และผลหารดวย และควรใชคําถามที่ชี้ใหนักเรียนสังเกตวิธีการตรวจ
สอบผลหารจากความสัมพันธ ตัวตั้ง = ตัวหาร × ผลหาร

3. 19
ผลบวกของพจนหนาคูณพจนหลัง
กับพจนหลังคูณพจนหนา
(x)(-5) + (2)(x)
ผลคูณของพจนหนา
(x)(x)
ผลคูณของพจนหลัง
(2)(-5)
2.2 การคูณพหุนาม (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถหาผลคูณของพหุนามได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.2 และแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ก และ
2.2 ข
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูควรยกตัวอยางการคูณระหวางพหุนามดีกรีหนึ่งกับพหุนามดีกรีหนึ่งในหนังสือเรียนแลว
ชี้ใหนักเรียนสังเกตวิธีใชพหุนามใดพหุนามหนึ่งเปนตัวตั้งและอีกพหุนามหนึ่งเปนตัวคูณโดยใชสมบัติการ
แจกแจงดวย ครูอาจใชเสนโยงใหเห็นพจนที่คูณกันโดยแยกพิจารณาการคูณทีละขั้นตอน เชน การหา
ผลคูณของ x + 2 กับ x – 5 ดังนี้
ขั้นที่ 1 พิจารณาการจับคูคูณของ (x + 2)(x – 5) x2
– 5x
ขั้นที่ 2 พิจารณาการจับคูคูณของ (x + 2)(x – 5) 2x – 10
จะได (x + 2)(x – 5) = (x2
– 5x) + (2x – 10)
= x2
– 5x + 2x – 10
= x2
– 3x – 10
หรือ = x2
+ (-3x) + (-10)
2. ครูอาจใหนักเรียนทําแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ก และ 2.2 ข เพื่อใหนักเรียนมีทักษะใน
การคูณและสังเกตไดวาผลคูณของพหุนามดีกรีหนึ่ง แตละพจนเกี่ยวของกับจํานวนใดที่คูณกัน
ครูอาจชี้ใหนักเรียนเห็นแบบรูปการคูณจากผลคูณ เชน (x + 2)(x – 5) ดังนี้
x2
+ (-3x) + 10
3. ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ประกอบการเรียนการสอนเพื่อใหนักเรียนเห็นภาพการคูณ
พหุนามเปนรูปธรรมโดยใชพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
4. การสอนวิธีคูณในแนวตั้ง ครูอาจตั้งคูณเหมือนการคูณจํานวนเต็มที่นักเรียนคุนเคยในลักษณะ
ดังนี้ก็ได เชน

4. 20
ตอบ -4x3
+ 37x2
– 66x + 21
กอนที่จะตั้งคูณ ครูควรแนะนําใหนักเรียนเรียงดีกรีของพจนทั้งพหุนามตัวตั้งและพหุนาม
ตัวคูณในลักษณะเดียวกันซึ่งนิยมเรียงดีกรีจากมากไปนอยและควรใหเรียงดีกรีของผลลัพธในทํานองเดียวกัน
ดวย
4. ในแบบฝกหัด 2.2 ก ขอ 1 ขอยอย 16) มีการหาผลคูณ (x – 1)(x – 1)2
ครูอาจแนะนําใหหา
ผลคูณ (x – 1)2
ในแนวนอนเปน (x – 1)(x – 1) = x2
– 2x + 1 กอนแลวหาผลคูณ (x – 1)(x2
– 2x + 1)
ในแนวตั้งก็ได
5. ครูอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ค เพื่อฝกทักษะการบวก ลบ และคูณพหุนาม
2.3 การหารพหุนาม (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถหาผลหารของพหุนามได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.3
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูทบทวนการหารพหุนามดวยเอกนามและเนนวา เอกนามตัวหารตองไมเปนศูนย จากนั้นจึง
ยกตัวอยางโจทยการหารพหุนามดวยพหุนามและใหขอตกลงกับนักเรียนเชนกันวา พหุนามตัวหารตองไม
เปนศูนย
2. กอนใหตัวอยางการหารพหุนามดวยพหุนาม ครูควรทบทวนวิธีการหารจํานวนเต็มแบบ
การหารยาวกอน เพื่อใหเห็นวาวิธีหารพหุนามดวยพหุนามจะมีวิธีการที่คลายกับการหารยาวที่นักเรียน
คุนเคยมาแลว
3. ครูควรย้ําถึงความสัมพันธของตัวตั้ง ตัวหาร ผลหารและเศษในรูปของ
ตัวตั้ง = (ตัวหาร × ผลหาร) + เศษ และควรแนะนํานักเรียนใหมีการตรวจสอบผลลัพธ โดยใชความสัมพันธ
ดังกลาว
ในตัวอยางการหารพหุนามทุกตัวอยางไดแสดงการตรวจสอบผลลัพธไวใตคําตอบทุกตัวอยาง
ครูควรนํามาอธิบายและทําความเขาใจกับนักเรียนเปนบางตัวอยางก็ได สําหรับแบบฝกหัดของนักเรียนจะ
แสดงการตรวจสอบผลลัพธหรือไม ใหอยูในดุลพินิจของครู
4x2
– 9x + 3
- x + 7
28x2
– 63x + 21
-4x3
+ 9x2
– 3x
-4x3
+ 37x2
– 66x + 21
×

5. 21
4. นักเรียนสวนใหญจะขาดทักษะในเรื่องการลบและการหารพหุนาม ดังนั้นครูควรใหแบบฝกหัด
ในเรื่องการหารใหมากพอ เพราะจะชวยใหนักเรียนมีทักษะการลบพหุนามไปดวย ครูไมจําเปนตองใหโจทย
ที่มีดีกรีสูงและควรใหสัมประสิทธิ์ของแตละพจนมีคาไมมาก สัมประสิทธิ์ของแตละพจนของผลหารหรือ
เศษในชั้นนี้ใหเปนจํานวนเต็มเทานั้น
5. ครูอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.3 สําหรับเด็กที่ยังขาดทักษะการหารพหุนาม
2.4 เศษสวนของพหุนาม (1 ชั่วโมง)
จุดประสงค ใหนักเรียนรูจักเศษสวนของพหุนามและเศษสวนพหุนามในรูปผลสําเร็จ
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.4 ก และ 2.4 ข
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูอาจยกตัวอยางเศษสวนของพหุนามหลาย ๆ ตัวอยาง ทั้งที่ตัวเศษและตัวสวนเปนเอกนาม
หรือเปนพหุนาม พรอมทั้งย้ํากับนักเรียนวา พหุนามตัวสวนตองไมเปนศูนย
2. ครูควรยกตัวอยางพหุนามงาย ๆ ที่สามารถใชสมบัติของการแจกแจงในการแยกตัวประกอบของ
พหุนาม ใหนักเรียนไดฝกเขียนในรูปการคูณของพหุนามกอน เชน
5x – 10 = 5(x – 2)
9x3
– 3x2
= 3x2
(3x – 1)
4x2
y + 2xy2
= 2xy(2x + y)
ครูอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.4 ก ประกอบดวย
3. ครูอาจยกตัวอยางเศษสวนของพหุนามอยางงายที่สามารถใชสมบัติการแจกแจง ทําใหตัวเศษ
และตัวสวนมีพหุนามหนึ่งเปนตัวรวมแลวนําพหุนามที่เปนตัวรวมนั้นไปหารตัวเศษและตัวสวน ซึ่งจะ
สามารถทําใหเศษสวนของพหุนามนั้นเปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จได เชน
105x
63x
−
−
=
2)5(x
2)3(x
−
−
=
5
3
4. ในการทําเศษสวนของพหุนามใหเปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ ครูควรย้ําให
ระมัดระวังเกี่ยวกับนําตัวรวมไปหารตัวเศษและตัวสวนของเศษสวนของพหุนาม เชน
2x
y4x +
เปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จแลว แตอาจมีนักเรียนเขาใจผิดและทอนตอ
ไปอีกไดเปน
2x
y4x +
= 2 + y ซึ่งเปนวิธีการที่ผิด ดังนั้นครูจะตองย้ําใหนักเรียนเห็นวาพหุนามที่เปน
ตัวหารจะตองเปนตัวคูณรวมของตัวเศษและตัวสวนของเศษสวนของพหุนามนั้น เชน x + 3 ใน
2
1

6. 22
3)x(x
)3)(x(x 2
+
+ − 1 เมื่อนํา x + 3 ไปหารทั้งตัวเศษและตัวสวนแลวจะได
x
x2
1−
4. ครูอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.4 ก และ 2.4 ข ใหนักเรียนฝกทักษะในเรื่องเหลานี้เพิ่มเติมได
2.5 การคูณและการหารเศษสวนของพหุนาม (3 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. หาผลคูณของเศษสวนพหุนามอยางงายในรูปผลสําเร็จได
2. หาผลหารของเศษสวนพหุนามอยางงายในรูปผลสําเร็จได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.5
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูยกตัวอยางการคูณเศษสวนของพหุนามดังตัวอยาง แตอาจแบงใหตัวอยางและใหแบบฝกหัด
เปน 2 ชั่วโมง ไดตามความยากงายของโจทยและใหเหมาะสมตามระดับความสามารถของนักเรียน
2. ในการเขียนคําตอบถึงแมไมมีคําสั่งใหทําเปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ ครูก็ควรให
นักเรียนเขียนคําตอบเปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ เชน
3−
+
x
1)2x(x หรือ
3−
+
x
2x2x2
ก็ได
3. การสอนในเรื่องการหารเศษสวนของพหุนาม อาจดําเนินการในทํานองเดียวกันกับการคูณ
เศษสวนของพหุนามและอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.5 เพื่อฝกทักษะการคูณ การหารเศษสวนของพหุนาม
และการนําไปใช
1
1

7. 23
2.6 การบวกและการลบเศษสวนของพหุนาม (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถหาผลบวกและผลลบของเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.6
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูอาจทบทวนการบวกและการลบเศษสวนที่ตัวเศษและตัวสวนเปนจํานวนเต็มกอนเพื่อใหนัก
เรียนไดเห็นวาการบวกและการลบเศษสวนของพหุนามจะที่เรียนตอไปนั้นมีวิธีการบวกและลบในทํานอง
เดียวกัน
2. ในกรณีที่พหุนามตัวสวนไมเทากัน ครูควรใหนักเรียนทําพหุนามตัวสวนใหเทากันโดยหา
พหุนามมาคูณทั้งพหุนามตัวเศษและพหุนามตัวสวน ไมควรบอกวาใหหา ค.ร.น. เพราะบทเรียนที่ผานมา
ไมเคยกลาวถึงการหา ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น. ของพหุนาม
3. ครูควรสอนการบวกเศษสวนของพหุนามและใหทําแบบฝกหัดการบวกกอนจึงสอนการลบ
เศษสวนของพหุนาม ทั้งนี้เพราะเรื่องการลบพหุนามนักเรียนตองใชความรอบคอบในการถอดวงเล็บซึ่ง
อาจมีการเปลี่ยนเครื่องหมายทําใหยุงยากขึ้น
สําหรับการเขียนผลลัพธที่ไดจากการบวกหรือการลบเศษสวนของพหุนามนั้น ก็ควรให
นักเรียนทําใหเปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จเชนกัน สําหรับนักเรียนระดับชั้นนี้ยอมใหเขียน
คําตอบอยูในรูปการคูณของพหุนามไดดังเชนตัวอยางที่ 4
4. ครูอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.6 เพื่อเสริมทักษะการบวกและการลบเศษสวนของพหุนาม
5. สําหรับกรอบความรูเรื่อง แบบรูปกับพหุนาม ในตอนทายของบทเรียนนี้มีเจตนาใหนักเรียน
ไดเห็นแบบรูปของจํานวนที่สามารถนําไปหาขอสรุปในรูปทั่วไปซึ่งเปนพหุนามที่ใชตัวแปร นอกจากนั้น
ยังตองการเชื่อมโยงความรูเดิมของนักเรียนเกี่ยวกับการหาผลบวกของจํานวนนับที่มีรูปแบบดังเชน
1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 ซึ่งนักเรียนเคยหาโดยวิธีการจับคูมา แตยังไมเคยทราบมากอนวาสามารถหา
ผลบวกจํานวนนับตั้งแต 1 ถึง n ไดจากสูตร
2
1)n(n +
เมื่อ n แทนจํานวนนับใด ๆ

8. 24
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบแบบฝกหัด 2.1
1.
1) x2
+ 9x – 5 และ 3x2
–3x –5
2) -4x2
+ 5x – 3 และ 10x2
+ 5x – 5
3) 7x2
+ 5x + 9 และ -x2
– 9x +3
4) x2
+ 3y2
+ 3x + y และ x2
+ 3y2
– 3x – y
5) 6xz + 6x - 6z2
และ 8xz – 4x + 6z2
6) y2
z + 8y2
+ yz และ 7y2
z – yz – 6y2
7) -xy2
+ 8x3
– 12x2
y + 3y2
และ -xy2
+ 6x3
– 8x2
y – 3y2
8) 5x3
– 4x2
– 4x – 6 และ 13x3
– 6x2
+ 4x –10
9) -6x3
+ 4x2
+ 8x – 3 และ 8x3
– 8x2
– 2x – 5
10) 2x3
+ 6xy2
และ 6x2
y + 2y3
2.
1) -24x + 3x2
2) 36x3
– 28x
3) 10x3
– 6x 4) 11x3
+ 77x2
5) 18x – 30x2
– 42x3
6) x4
+ x3
+ x2
7) -16x3
+ 18x4
8) 45x5
– 20x3
9) -14x5
+ 13x4
10) 3x5
– 12x4
+ 9x3
– 3x2
3.
1) 7 + 5x – x2
2) -9x2
+ 6x + 5
3) -2x2
+ 5x 4) -5 + 3x
5) -2x2
+ 5x + 6 6) -3x3
– 7x2
– 7x
7) 7x2
– 10x + 5 8) 4x2
y2
– 3x2
y + 6x – 1

9. 25
คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ก
1.
1) x2
+ 9x + 18 2) x2
+ x – 2
3) x2
– 8x + 15 4) x2
+ x – 6
5) x2
+ 6x + 9 6) x2
– 1
7) x2
– 25 8) 2x2
– 5x + 2
9) 2x2
+ 9x – 5 10) 6x2
+ 11x + 3
11) 6x2
– 7x – 3 12) -15x2
+ 7x + 2
13) -8y2
+ 26y – 21 14) 7x3
+ 14x2
+ 4x + 8
15) x3
– x2
– x + 1 16) x3
– 3x2
+ 3x – 1
17) 4x3
– 6x2
+ 2x – 3 18) 12x3
– 36x2
+ 27x
2.
1) 72x2
– 133x + 26 2) -30x3
+ 84x2
– 70x + 196
3) -40x3
– 32x2
+ 42x 4) 6x3
– 2x2
–38x – 30
5) -40x4
+ 32x3
+ 65x2
–52x 6) 3x4
+ 26x2
– 40
7) -40x4
+ 126x2
– 72 8) 18x4
+ 65x2
+ 7
9) 12x4
+ 17x3
+6x2
10) x4
– x2
11) 42x4
– 20x3
– 150x2
12) 2x4
– 2x3
–x2
– x – 1
13) -11x4
–3x3
+83x2
+24x + 40 14) -4x4
+ 51x3
– 122x2
+ 91x – 8
15) -2y4
– 28y3
– 49y2
– 5y + 84 16) 3x5
+ x3
– 3x2
– 1
17) 27x5
+ 6x3
+ 3x 18) x5
– x3
– x2
+ 1
คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ข
1.
1) x2
y + 5y 2) -2x2
y + 6xy
3) 6x2
y + 3xy2
4) 40x2
y3
– 30x3
y2
5) -2y2
z + 2yz2
–8z3
6) -9y3
z3
+ 7y3
z2
+ 2y2
z3
7) 7x2
– 54y2
– 33xy 8) 60y4
– 120y3
z + 55y – 110z
9) 14xy2
– 14x3
– 3xy3
+ 3x3
y 10) 20xy3
– x3
y – 8x2
y2
11) -44x3
z+32x2
z+66x2
z2
–64xz2
+24z3
12) -27x4
– 36x3
y –4xy3
+ 42x2
y2
+ 5y4

10. 26
13) x3
– 3x2
y + 3xy2
– y3
14) x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
15) x3
+ y3
16) x3
– y3
คําตอบกิจกรรม “คิด”
1 : 14
แนวคิด
พื้นที่ของสวนที่แรเงา เทากับ [
2
1 (15x × 10y) –
2
1 (10x × 8y) – (10x × 2y) –
2
1 (5x × 2y)]
= 75xy – 40xy – 20xy – 5xy
= 10xy
จะได
แรเงาสวนที่ไมพื้นที่ของ
งาสวนที่แรเพื้นที่ของ =
140xy
10xy
=
14
1
คําตอบแบบฝกหัด 2.3
1.
1) -2 2) 3 เศษ 2
3) x – 2 4) x + 3 เศษ 36
5) 3x 6) 4x + 5
7) 4x – 2 เศษ 23 8) -3x + 8
9) 6x – 7 10) 4 เศษ -3x – 6
11) y2
– 5y + 3 12) 3y2
+ 12y + 3 เศษ -40
13) 2x2
– 3x + 1 14) y2
+ 2y – 1 เศษ -5
15) y2
– y + 1 เศษ -2 16) 4x2
– x + 6
17) 4y + 3 เศษ 3y + 8 18) 9y – 5 เศษ -2y + 19
19) -6x + 7 เศษ 9x + 4 20) 10x2
– 13x – 5 เศษ 16x + 4
2.
1) C = x – 2 D = 6x + 4
2) C = 5x2
– 6x + 7 D = 0
3) C = 4y + 6 D = 2y – 1
4) C = y + 5 D = -y + 6

11. 27
3.
1) A = 5x3
– x2
+ 16x + 14
2) A = -2x4
+ 13x3
– 25x2
+ 59x – 45
3) A = 24x4
+ 32x3
– 6x2
+ 9x – 1
4) A = -15x4
+ x3
+ 53x2
+ 7x – 29
4.
1) ถูก 2) ผิด
3) ผิด 4) ผิด
คําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู”
A = x3
+ 5x – 2
B = x3
– x2
C = x2
+ 5x – 2
D = x2
– x
E = 6x – 2
F = 6x – 6
คําตอบแบบฝกหัด 2.5
1.
1)
5
6x2
2) -
3
3
y
4x
3) -
20c
a2
4) x
5)
5−
+
3x
52x 6)
7
2
7)
1+
+
x
x3x2
8)
3
y
9)
2
35x
1 10)
yy
2
2
−
−6y

12. 28
2.
1)
2ab
1 2)
3y
10x
3) -
5
3 4)
3
x
3
5) 2x2
+ 1 6)
3y −
3y
7)
1)4(x
3
−
− )3x(x หรือ
44x −
− 9x3x2
8) -8
9) (x + 1)(x – 1) หรือ x2
– 1 10) (x + 3)(x – 3) หรือ x2
–9
คําตอบแบบฝกหัด 2.6
1. 2x 2.
x
1
3.
10
3x 1−
4.
x
2
5.
15
28x −
6. 1
7. 1 8. 5
9. 1 10.
6b
13
11.
8x
7- 12.
2xy
yx 22
+
13.
6
8x −
14.
)2(x
17x
1−
−
15.
1)5(x
35x17x2
−
− + หรือ
55x
35x17x2
−
− + 16.
25
26
−5x
-
17.
6)4)(x(x
7x
−
−−
+
4x2
หรือ
242xx
7x
2
−−
−− 4x2
18.
8
5
19.
3)12(x
28x2
15x
+
−
หรือ
3612x
28x2
15x
+
−
20.
1x
2x2
3x
−
−−

13. 29
กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

14. 30
กิจกรรมเสนอแนะ 2.2
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นการนําพหุนามไปใชในเรื่องพื้นที่
กําหนดให รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแตละรูปมีขนาดความยาวของดาน ดังนี้
ใหนักเรียนเขียนคําตอบเติมในชองวางตอไปนี้ โดยพิจารณาจากรูปที่กําหนดให
1. กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
1) AD ยาวเทากับ…………หนวย [x + 1 หนวย]
2) AB ยาวเทากับ………….หนวย [x + 2 หนวย]
3) ความยาวรอบรูปของ ABCD เทากับ………….หนวย
[2(x + 1) + 2(x + 2) = 4x + 6 หนวย]
4) พื้นที่ของ ABCD เขียนในรูปการคูณของความยาวของดานไดเปน………..
[(x + 1)(x + 2) ตารางหนวย]
5) พื้นที่ของ ABCD เทากับ……………..ตารางหนวย [x2
+ 3x + 2 ตารางหนวย]
6) ถาแทน x ดวย 7 แลว พื้นที่ของ ABCD จะเปนเทาใด [72 ตารางหนวย]
2. กําหนดให PQRS เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
1) PQ ยาวเทากับ…………..หนวย [x + y หนวย]
2) PS ยาวเทากับ…………...หนวย [x + y หนวย]
3) ความยาวรอบรูปของ PQRS เทากับ…………….หนวย
[4x + 4y หนวย]
4) พื้นที่ของ PQRS เขียนในรูปการคูณของ
ความยาวของดานไดเปน [(x + y)(x + y) ตารางหนวย]
5) พื้นที่ของ PQRS เทากับ……………ตารางหนวย [x2
+ 2xy + y2
ตารางหนวย]
x
x
C
1
D
A B1
1
x
x
S R
P Qy
y
x
x
x
1
x
y
1
1
y
y

15. 31
6) ถาแทน x ดวย 4 และแทน y ดวย 2 พื้นที่ของ PQRS จะเปนเทาใด
[36 ตารางหนวย]
3. กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
1) AB ยาวเทากับ………………หนวย [x + y หนวย]
2) AD ยาวเทากับ………………หนวย [2y + 2 หนวย]
3) ความยาวรอบรูปของ ABCD
เทากับ……………..หนวย [2(x + y) + 2(2y + 2) หนวย]
= ……………..หนวย [2x + 6y + 4 หนวย]
4) พื้นที่ของ ABCD เทากับ…………..ตารางหนวย หรือ…………..ตารางหนวย
[(x + y)(2y + 2)] หรือ [2xy + 2x + 2y2
+ 2y ตารางหนวย]
5) ถาแทน x ดวย 5 และแทน y ดวย 3 แลว พื้นที่ของ ABCD จะเปนเทาใด
[64 ตารางหนวย]
4. กําหนดให PQRS เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
1) พื้นที่ของ PQRS เทากับผลคูณของพหุนาม
…………….กับ……………. [2x + 1] กับ [x + 3]
2) พื้นที่ของ PQRS เทากับ
…………….ตารางหนวย [2x2
+ 7x + 3 ตารางหนวย]
แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ก
จงเขียนผลคูณของพหุนามเติมลงในชองวางตอไปนี้
1. (x – 1)(x + 1) = …………………………….. [x2
– 1]
2. (x + 1)(x – 1) = …………………………….. [x2
– 1]
3. (x – 4)(x + 4) = …………………………….. [x2
– 16]
4. (x + 4)(x – 4) = …………………………….. [x2
– 16]
5. (2x – 1)(2x + 1) = …………………………….. [4x2
– 1]
6. (2x + 1)(2x – 1) = …………………………….. [4x2
– 1]
7. (3x – 2)(3x + 2) = …………………………….. [9x2
– 4]
x C
y
y
B
1
D
A
1
y
x
Rx
P Q
1S
x
11

16. 32
8. (3x + 2)(3x – 2) = …………………………….. [9x2
– 4]
9. (x – y)(x + y) = …………………………….. [x2
– y2
]
10. (x + y)(x – y) = …………………………….. [x2
– y2
]
11. (x + 1)(x + 1) = …………………………….. [x2
+ 2x + 1]
12. (x – 3)(x – 3) = …………………………….. [x2
– 6x + 9]
13. (x + 5)(x + 5) = …………………………….. [x2
+ 10x + 25]
14. (2x – 3)(2x – 3) = …………………………….. [4x2
– 12x + 9]
15. (1 + 3x)(1 + 3x) = …………………………….. [1 + 6x + 9x2
]
16. (5 – 2x)(5 – 2x) = …………………………….. [25 – 20x + 4x2
]
17. (x + 2)2
= …………………………….. [x2
+ 4x + 4]
18. (3x – 1)2
= …………………………….. [9x2
– 6x + 1]
19. (x – y)2
= …………………………….. [x2
– 2xy + y2
]
20. (x + y)2
= …………………………….. [x2
+ 2xy + y2
]
แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ข
จงเขียนผลคูณของพหุนามเติมลงในชองวางตอไปนี้
1. (x + 2)(x + 3) = …………………………….. [x2
+ 5x + 6]
2. (x – 2)(x – 3) = …………………………….. [x2
– 5x + 6]
3. (x – 2)(x + 3) = …………………………….. [x2
+ x – 6]
4. (x + 2)(x – 3) = …………………………….. [x2
– x – 6]
5. (x + 3)(x + 3) = …………………………….. [x2
+ 6x + 9]
6. (x – 3)(x – 3) = …………………………….. [x2
– 6x + 9]
7. (x – 3)(x + 3) = …………………………….. [x2
– 9]
8. (x + 3)(x – 3) = …………………………….. [x2
– 9]
9. (x + 5)(2x + 1) = …………………………….. [2x2
+ 11x + 5]
10. (x – 5)(2x – 1) = …………………………….. [2x2
– 11x + 5]
11. (x – 5)(2x + 1) = …………………………….. [2x2
– 9x – 5]
12. (x + 5)(2x – 1) = …………………………….. [2x2
+ 9x – 5]
13. (3x + 2)(x + 4) = …………………………….. [3x2
+ 14x + 8]
14. (3x – 2)(x – 4) = …………………………….. [3x2
– 14x + 8]
15. (3x – 2)(x + 4) = …………………………….. [3x2
+ 10x – 8]

17. 33
16. (3x + 2)(x – 4) = …………………………….. [3x2
– 10x – 8]
17. (2x + 1)(3x + 2) = …………………………….. [6x2
+ 7x + 2]
18. (2x – 1)(3x – 2) = …………………………….. [6x2
– 7x + 2]
19. (2x – 1)(3x + 2) = …………………………….. [6x2
+ x – 2]
20. (2x + 1)(3x – 2) = …………………………….. [6x2
– x – 2]
แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ค
1. จงหาผลลัพธตอไปนี้
1) (7x + 3) – (3x – x2
) + (5x + 3x2
) [4x2
+ 9x + 3]
2) (7x2
+ 1) + (7x + 1) – (2x2
+ 8) [5x2
+ 7x – 6]
3) (4x + 3) – (5x + 7) – (6x2
+ 1) [-6x2
– x – 5]
4) (4x2
+ 1) – (8x – 1) + (x2
+ 5) [5x2
– 8x + 7]
5) 5x(x2
+ 1) + 2x(3x2
+ 3) – (x– 1) [11x3
+ 10x + 1]
2. จงหาผลลัพธตอไปนี้
1) 7x(x – 1) + (x + 1)2
[8x2
– 5x + 1]
2) (x)(x2
+ 1) – (9x + 6)(x – 1) [x3
– 9x2
+ 4x + 6]
3) (2x2
+ 5x + 9) – 9(x + 1)2
[-7x2
– 13x]
4) 2x(x2
+ 3) + (x + 5)2
(3 – 4x) [-2x3
– 37x2
– 64x + 75]
5) 3x(3x2
+ 2x + 2) – (x2
– 3x + 4) – (x – 1) [9x3
+ 5x2
+ 8x – 3]
3. ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมคางหมูมีดานคูขนานยาว 5x + 1 เมตร และ 9x + 4 เมตร สูง 2x เมตร
จงหาพื้นที่ของ ABCD [14x2
+ 5x ตารางเมตร]
4. ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีดานยาว 4x + 1 หนวย ถาตัดมุมแตละมุมเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาที่
กวาง x – 1 หนวย และ ยาว x + 2 หนวย จะเหลือพื้นที่อยูเทาใด [12x2
+ 4x + 9 ตารางหนวย]
4x + 1
x + 2
x – 1
D C
A B
4x + 1

18. 34
5. ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงาที่เกิดจากการตัดพื้นที่มุมเปนรูปสี่เหลี่ยม
ผืนผาตามความยาวของแตละดานที่กําหนดใหดังรูป [15x2
– 3x – 8 ตารางหนวย]
6. ถังน้ําทรงลูกบาศกขนาดภายในแตละดานกวาง 3x + 4 เซนติเมตร ใสน้ําไวต่ํากวาขอบ
x – 3 เซนติเมตร น้ําในถังมีปริมาตรกี่ลูกบาศกเซนติเมตร
[18x3
+ 111x2
+ 200x + 112 ลูกบาศกเซนติเมตร]
แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.3
จงหาผลหารของพหุนามเติมลงในชองวางตอไปนี้
1. (x2
+ 4x + 3) ÷(x + 1) = …………………………….. [x + 3]
2. (x2
– 4x + 3) ÷(x – 1) = …………………………….. [x – 3]
3. (x2
– 2x – 3) ÷(x – 3) = …………………………….. [x + 1]
4. (x2
+ 2x – 3) ÷(x + 3) = …………………………….. [x – 1]
5. (x2
+ 10x + 25) ÷(x + 5) = …………………………….. [x + 5]
6. (x2
– 10x + 25) ÷(x – 5) = …………………………….. [x – 5]
7. (x2
– 25) ÷(x + 5) = …………………………….. [x – 5]
8. (x2
– 25) ÷(x – 5) = …………………………….. [x + 5]
9. (2x2
+ 7x + 6) ÷(2x + 3) = …………………………….. [x + 2]
10. (2x2
– 7x + 6) ÷(2x – 3) = …………………………….. [x – 2]
11. (2x2
+ x – 6) ÷(x + 2) = …………………………….. [2x – 3]
12. (2x2
– x – 6) ÷(x – 2) = …………………………….. [2x + 3]
13. (3x2
+ 10x + 3) ÷(3x + 1) = …………………………….. [x + 3]
14. (3x2
– 10x + 3) ÷(3x – 1) = …………………………….. [x – 3]
15. (3x2
– 8x – 3) ÷(x – 3) = …………………………….. [3x + 1]
3x
3
x4x
2
CD
A 4 B

19. 35
16. (3x2
+ 8x – 3) ÷(x + 3) = …………………………….. [3x – 1]
17. (6x2
+ 11x + 4) ÷(2x + 1) = …………………………….. [3x + 4]
18. (6x2
– 11x + 4) ÷(2x – 1) = …………………………….. [3x – 4]
19. (6x2
– 5x – 4) ÷(3x – 4) = …………………………….. [2x + 1]
20. (6x2
+ 5x – 4) ÷(3x + 4) = …………………………….. [2x – 1]
แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.4 ก
จงใชสมบัติการแจกแจงเขียนพหุนามตอไปนี้ใหอยูในรูปการคูณของเอกนามกับพหุนาม หรือ
พหุนามกับเอกนาม
ตัวอยาง 5x – 25 = 5(x – 5) หรือ (x – 5)(5)
1. 3x + 27 [3(x + 9) หรือ (x + 9)(3)]
2. 14x – 28y [14(x – 2y) หรือ (x – 2y)(14)]
3. 6x – 2y [2(3x – y) หรือ (3x – y)(2)]
4. 3y + 9xy [3y(1 + 3x) หรือ (1 + 3x)3y]
5. -x2
+ x [(-x)(x – 1) หรือ (x – 1)(-x)]
6. 10x2
– 35 [5(2x2
– 7) หรือ (2x2
– 7)(5)]
7. 4x2
+ 2x [2x(2x + 1) หรือ (2x + 1)(2x)]
8. x2
+ 8x3
y [x2
(1+ 8xy) หรือ (1 + 8xy)x2
]
9. -20x2
– 40x [(-20x)(x + 2) หรือ (x + 2)(-20x)]
10. 2x2
y – 16x2
[2x2
(y – 8) หรือ (y – 8)(2x2
)]
11. 3x2
y3
+ x3
y [x2
y(3y2
+ x) หรือ (3y2
+ x)(x2
y)]
12. 15x3
y2
– 5x2
y2
[5x2
y2
(3x – 1) หรือ (3x – 1)(5x2
y2
)]
13. 3x2
– 6x + 12 [3(x2
– 2x + 4) หรือ (x2
– 2x + 4)(3)]
14. 7y3
+ 21y2
– 14y [7y(y2
+ 3y – 2) หรือ (y2
+ 3y – 2)(7y)]
15. 2x2
y + 5xy2
– xy [xy(2x + 5y – 1) หรือ (2x + 5y – 1)xy]

20. 36
แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.4 ข
จงทําเศษสวนของพหุนามตอไปนี้เปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ
1)
2x
42x
+
+ [2]
2)
4x2
10x5
−
−
[
2
5 ]
3)
2x14
7)2(x
+
+
[1]
4)
xx
x
2
2
−
[
1x
x
−
]
5)
142x
7)2x(x
+
+
[x]
6)
3yx
15y5x
−
−
[5]
7)
1)(xxy
xyyx2
−
−
[1]
8)
6x6x
1)3(x
3
2
+
+
[
2x
1 ]
9)
2
2
2x10y
20y4x
+
+
[2]
10)
)22
22
x5y1)((3x
25y5x-
−+
+
[
13x
5
+
]

21. 37
แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.5
1. จงหาผลคูณของเศษสวนของพหุนามตอไปนี้
1)
3
1x −
×
1−
+
x
1x [
3
1x + ]
2)
12x
5x
+
−
×
5−x
7 [
1+2x
7 ]
3)
3
32x + ×
128x
3x
+
−
[
12
3x −
]
4)
2
x
4x −
×
82x −
y3x4
[
2
y3x2
]
5)
2x
7y-
+
×
3
14y-
42x + [
2
y
1 ]
2. จงหาผลหารของเศษสวนของพหุนามตอไปนี้
1)
10y4x
1)(x 2
−
+
÷
5y2x −
+1x [
2
1x + ]
2) (x – 3)2
÷
1x
3x
+
−
(x – 3)(x + 1) หรือ x2
– 2x – 3
3)
5
2x1−
÷
2
10x-
10x5−
[
5
2x- 2
]
4)
1x
2xx2
+
−− 3 ÷
1−
−
2x
3x [2x – 1]
5)
67x ++
+
2
2x
42x ÷
32x
2x
+
−
[
2−x
2 ]
3. ลูกตะกั่วทรงลูกบาศกมีขนาดความยาวของดานแตละดานเปน x – 2 หนวย ถาตองการนําลูกตะกั่ว
ดังกลาวมาหลอมเพื่อทําเปนตะกั่วทรงลูกบาศกลูกใหญที่มีขนาดความยาวของดานแตละดานเปน
2x – 4 หนวย จะตองใชลูกตะกั่วทั้งหมดกี่ลูก (8 ลูก)
4. เหล็กแทงทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 2x2
+ 2x หนวย ยาว 4x3
+ 4x2
หนวย สูง 3x + 3 หนวย เมื่อนํา
เหล็กมาหลอมแลวทําเปนลูกบาศกเล็ก ๆ ที่มีความยาวของแตละดานเปน x2
+ x หนวย จะไดลูกบาศก
ทั้งหมดกี่ลูก (24 ลูก)

22. 38
แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.6
จงหาผลลัพธของเศษสวนของพหุนามตอไปนี้
1.
3x
x2
+
x
1 [
3x
3x2
+ ]
2. x –
x
1 [
x
1x2
−
]
3.
x
4 –
2
x
2x [
x
2 ]
4.
2
x
x 1−
+
2x
3 [
2
2x
5x 2−
]
5.
3
z 6−
+
z
4 [
3z
126zz2
+−
]
6.
2y
y 5−
+
3
2y
[
6y
153y4y2
−+
]
7.
x
x 3+ –
3x
12x + [
3x
8x + ]
8. 12x
24x
+
+ – x
3 [ x
32x −
]
9.
2
x y−
+
yx
x2
+
+ xy [ 2
y3x −
]
10. 2y2x
y))(xy(x
−
− +
–
2
x y+
[0]
11. yx
3
−
+ yx
4
+
[ 22
yx
y7x
−
−
]
12. 23x
4x6x2
−
−
– 2
12x −
[
2
12x + ]
13.
5
2y
–
2y
y 1+
+ y
5 [
10y
455y4y2
+−
]
14.
4
3
x –
2
2
x –
x
5 [
4x
202xx 34
−−
]
15.
2
2x 1−
–
3x
1 +
3
x 1+ [
6x
8x2
2x −−
]