Suche senden
Hochladen
91 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่4_เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
•
5 gefällt mir
•
21,730 views
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Folgen
Melden
Teilen
Melden
Teilen
1 von 28
Jetzt herunterladen
Downloaden Sie, um offline zu lesen
Empfohlen
โครงงานเรขาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เ...
โครงงานเรขาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เ...
พิทักษ์ ทวี
90 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่3_การถอดรากที่3
90 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่3_การถอดรากที่3
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
89 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่2_ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
89 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่2_ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
แผ่นพับโครงงานการงานอาชีพ 1
แผ่นพับโครงงานการงานอาชีพ 1
KruKaiNui
ตัวอย่างการเขียนโครงงาน 5 บท
ตัวอย่างการเขียนโครงงาน 5 บท
chaipalat
แบบทดสอบ พร้อมเฉลย ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
แบบทดสอบ พร้อมเฉลย ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
phaephae
แผนKpa ส่งจริง (ซ่อมแซม)
แผนKpa ส่งจริง (ซ่อมแซม)
ทับทิม เจริญตา
ที่มาและความสำคัญของโครงงาน
ที่มาและความสำคัญของโครงงาน
Phongsak Kongkham
Empfohlen
โครงงานเรขาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เ...
โครงงานเรขาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เ...
พิทักษ์ ทวี
90 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่3_การถอดรากที่3
90 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่3_การถอดรากที่3
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
89 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่2_ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
89 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่2_ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
แผ่นพับโครงงานการงานอาชีพ 1
แผ่นพับโครงงานการงานอาชีพ 1
KruKaiNui
ตัวอย่างการเขียนโครงงาน 5 บท
ตัวอย่างการเขียนโครงงาน 5 บท
chaipalat
แบบทดสอบ พร้อมเฉลย ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
แบบทดสอบ พร้อมเฉลย ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
phaephae
แผนKpa ส่งจริง (ซ่อมแซม)
แผนKpa ส่งจริง (ซ่อมแซม)
ทับทิม เจริญตา
ที่มาและความสำคัญของโครงงาน
ที่มาและความสำคัญของโครงงาน
Phongsak Kongkham
บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
sawed kodnara
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
Aon Narinchoti
สารบัญโครงงานคอม
สารบัญโครงงานคอม
kand-2539
88 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่1_การลงทุนset50
88 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่1_การลงทุนset50
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
คำนำ
คำนำ
A'ye Oranee
ชุดที่4 เล่ม3 เทคนิค วิธีการและสื่อ สำหรับนักเรียนที่มีความบกพร่องทางการเรียน...
ชุดที่4 เล่ม3 เทคนิค วิธีการและสื่อ สำหรับนักเรียนที่มีความบกพร่องทางการเรียน...
sornordon
โครงงานคณิตบทที่ 1
โครงงานคณิตบทที่ 1
Jutarat Bussadee
โครงงานฉบับสมบูรณ์
โครงงานฉบับสมบูรณ์
paifahnutya
ข้อสอบอัจฉริยะ
ข้อสอบอัจฉริยะ
Kodchaporn Siriket
ตัวอย่าง 5 บท โครงงานคอมฯ
ตัวอย่าง 5 บท โครงงานคอมฯ
ผู้ชาย ลั้นลา
บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวข้อง
บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวข้อง
Kittichai Pinlert
โครงงาน เพาว์เวอร์พอย
โครงงาน เพาว์เวอร์พอย
Nick Nook
แบบประเมิน ความพึงพอใจ
แบบประเมิน ความพึงพอใจ
Pawit Chamruang
แบบทดสอบ บทที่ 6 การถ่ายทอดลักษณะทางพันธูกรรม
แบบทดสอบ บทที่ 6 การถ่ายทอดลักษณะทางพันธูกรรม
dnavaroj
โครงงาน 5 บท
โครงงาน 5 บท
ศุภกรณ์ วัฒนศรี
โครงงานคณิตศาสตร์
โครงงานคณิตศาสตร์
Nomjeab Nook
ใบงานที่ 1.1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง เครื่องมือเกษตร ชั้นประถมศึกษาปีที่ 4
ใบงานที่ 1.1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง เครื่องมือเกษตร ชั้นประถมศึกษาปีที่ 4
Thanawut Rattanadon
เค้าโครงโครงงานวิทยาศาสตร์
เค้าโครงโครงงานวิทยาศาสตร์
โทโต๊ะ บินไกล
รูปแบบการเขียนรายงานโครงงาน 5 บท
รูปแบบการเขียนรายงานโครงงาน 5 บท
Aekapoj Poosathan
ออกแบบและเทคโนโลยี ม.5
ออกแบบและเทคโนโลยี ม.5
ณัฐพล บัวพันธ์
92 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่5_กระเบื้องที่ยืดหดได้
92 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่5_กระเบื้องที่ยืดหดได้
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
01 เซต บทนำ
01 เซต บทนำ
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Weitere ähnliche Inhalte
Was ist angesagt?
บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
sawed kodnara
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
Aon Narinchoti
สารบัญโครงงานคอม
สารบัญโครงงานคอม
kand-2539
88 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่1_การลงทุนset50
88 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่1_การลงทุนset50
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
คำนำ
คำนำ
A'ye Oranee
ชุดที่4 เล่ม3 เทคนิค วิธีการและสื่อ สำหรับนักเรียนที่มีความบกพร่องทางการเรียน...
ชุดที่4 เล่ม3 เทคนิค วิธีการและสื่อ สำหรับนักเรียนที่มีความบกพร่องทางการเรียน...
sornordon
โครงงานคณิตบทที่ 1
โครงงานคณิตบทที่ 1
Jutarat Bussadee
โครงงานฉบับสมบูรณ์
โครงงานฉบับสมบูรณ์
paifahnutya
ข้อสอบอัจฉริยะ
ข้อสอบอัจฉริยะ
Kodchaporn Siriket
ตัวอย่าง 5 บท โครงงานคอมฯ
ตัวอย่าง 5 บท โครงงานคอมฯ
ผู้ชาย ลั้นลา
บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวข้อง
บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวข้อง
Kittichai Pinlert
โครงงาน เพาว์เวอร์พอย
โครงงาน เพาว์เวอร์พอย
Nick Nook
แบบประเมิน ความพึงพอใจ
แบบประเมิน ความพึงพอใจ
Pawit Chamruang
แบบทดสอบ บทที่ 6 การถ่ายทอดลักษณะทางพันธูกรรม
แบบทดสอบ บทที่ 6 การถ่ายทอดลักษณะทางพันธูกรรม
dnavaroj
โครงงาน 5 บท
โครงงาน 5 บท
ศุภกรณ์ วัฒนศรี
โครงงานคณิตศาสตร์
โครงงานคณิตศาสตร์
Nomjeab Nook
ใบงานที่ 1.1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง เครื่องมือเกษตร ชั้นประถมศึกษาปีที่ 4
ใบงานที่ 1.1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง เครื่องมือเกษตร ชั้นประถมศึกษาปีที่ 4
Thanawut Rattanadon
เค้าโครงโครงงานวิทยาศาสตร์
เค้าโครงโครงงานวิทยาศาสตร์
โทโต๊ะ บินไกล
รูปแบบการเขียนรายงานโครงงาน 5 บท
รูปแบบการเขียนรายงานโครงงาน 5 บท
Aekapoj Poosathan
ออกแบบและเทคโนโลยี ม.5
ออกแบบและเทคโนโลยี ม.5
ณัฐพล บัวพันธ์
Was ist angesagt?
(20)
บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
บทที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
สารบัญโครงงานคอม
สารบัญโครงงานคอม
88 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่1_การลงทุนset50
88 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่1_การลงทุนset50
คำนำ
คำนำ
ชุดที่4 เล่ม3 เทคนิค วิธีการและสื่อ สำหรับนักเรียนที่มีความบกพร่องทางการเรียน...
ชุดที่4 เล่ม3 เทคนิค วิธีการและสื่อ สำหรับนักเรียนที่มีความบกพร่องทางการเรียน...
โครงงานคณิตบทที่ 1
โครงงานคณิตบทที่ 1
โครงงานฉบับสมบูรณ์
โครงงานฉบับสมบูรณ์
ข้อสอบอัจฉริยะ
ข้อสอบอัจฉริยะ
ตัวอย่าง 5 บท โครงงานคอมฯ
ตัวอย่าง 5 บท โครงงานคอมฯ
บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวข้อง
บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวข้อง
โครงงาน เพาว์เวอร์พอย
โครงงาน เพาว์เวอร์พอย
แบบประเมิน ความพึงพอใจ
แบบประเมิน ความพึงพอใจ
แบบทดสอบ บทที่ 6 การถ่ายทอดลักษณะทางพันธูกรรม
แบบทดสอบ บทที่ 6 การถ่ายทอดลักษณะทางพันธูกรรม
โครงงาน 5 บท
โครงงาน 5 บท
โครงงานคณิตศาสตร์
โครงงานคณิตศาสตร์
ใบงานที่ 1.1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง เครื่องมือเกษตร ชั้นประถมศึกษาปีที่ 4
ใบงานที่ 1.1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง เครื่องมือเกษตร ชั้นประถมศึกษาปีที่ 4
เค้าโครงโครงงานวิทยาศาสตร์
เค้าโครงโครงงานวิทยาศาสตร์
รูปแบบการเขียนรายงานโครงงาน 5 บท
รูปแบบการเขียนรายงานโครงงาน 5 บท
ออกแบบและเทคโนโลยี ม.5
ออกแบบและเทคโนโลยี ม.5
Ähnlich wie 91 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่4_เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
92 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่5_กระเบื้องที่ยืดหดได้
92 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่5_กระเบื้องที่ยืดหดได้
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
01 เซต บทนำ
01 เซต บทนำ
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
43 ตรีโกณมิติ บทนำ
43 ตรีโกณมิติ บทนำ
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
28 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่2_ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
28 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่2_ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
13 จำนวนจริง บทนำ
13 จำนวนจริง บทนำ
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
71 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่6_ความน่าจะเป็น1
71 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่6_ความน่าจะเป็น1
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
20 จำนวนจริง ตอนที่7_ค่าสัมบูรณ์
20 จำนวนจริง ตอนที่7_ค่าสัมบูรณ์
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
07 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่1_การให้เหตุผล
07 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่1_การให้เหตุผล
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
26 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น บทนำ
26 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น บทนำ
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
58 ลำดับและอนุกรม บทนำ
58 ลำดับและอนุกรม บทนำ
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง
41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
27 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่1_การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ
27 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่1_การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
03 เซต ตอนที่2_เซตกำลังและการดำเนินการบนเซต
03 เซต ตอนที่2_เซตกำลังและการดำเนินการบนเซต
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
84 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่11_ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล1
84 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่11_ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล1
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
21 จำนวนจริง ตอนที่8_การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
21 จำนวนจริง ตอนที่8_การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
61 ลำดับและอนุกรม ตอนที่3_ลิมิตของลำดับ
61 ลำดับและอนุกรม ตอนที่3_ลิมิตของลำดับ
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
37 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม บทนำ
37 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม บทนำ
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
02 เซต ตอนที่1_ความหมายของเซต
02 เซต ตอนที่1_ความหมายของเซต
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
04 เซต ตอนที่3_เอกลักษณ์ของการดำเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
04 เซต ตอนที่3_เอกลักษณ์ของการดำเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Ähnlich wie 91 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่4_เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
(20)
92 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่5_กระเบื้องที่ยืดหดได้
92 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่5_กระเบื้องที่ยืดหดได้
01 เซต บทนำ
01 เซต บทนำ
43 ตรีโกณมิติ บทนำ
43 ตรีโกณมิติ บทนำ
28 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่2_ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
28 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่2_ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
13 จำนวนจริง บทนำ
13 จำนวนจริง บทนำ
71 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่6_ความน่าจะเป็น1
71 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่6_ความน่าจะเป็น1
20 จำนวนจริง ตอนที่7_ค่าสัมบูรณ์
20 จำนวนจริง ตอนที่7_ค่าสัมบูรณ์
07 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่1_การให้เหตุผล
07 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่1_การให้เหตุผล
26 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น บทนำ
26 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น บทนำ
58 ลำดับและอนุกรม บทนำ
58 ลำดับและอนุกรม บทนำ
41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง
41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง
27 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่1_การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ
27 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่1_การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ
03 เซต ตอนที่2_เซตกำลังและการดำเนินการบนเซต
03 เซต ตอนที่2_เซตกำลังและการดำเนินการบนเซต
84 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่11_ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล1
84 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่11_ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล1
21 จำนวนจริง ตอนที่8_การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
21 จำนวนจริง ตอนที่8_การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
61 ลำดับและอนุกรม ตอนที่3_ลิมิตของลำดับ
61 ลำดับและอนุกรม ตอนที่3_ลิมิตของลำดับ
37 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม บทนำ
37 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม บทนำ
02 เซต ตอนที่1_ความหมายของเซต
02 เซต ตอนที่1_ความหมายของเซต
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
04 เซต ตอนที่3_เอกลักษณ์ของการดำเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
04 เซต ตอนที่3_เอกลักษณ์ของการดำเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
Mehr von กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m2-2-chapter1
Basic m2-2-chapter1
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m5-2-chapter3
Basic m5-2-chapter3
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m5-2-chapter2
Basic m5-2-chapter2
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m5-2-link
Basic m5-2-link
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m5-1-link
Basic m5-1-link
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m5-1-chapter1
Basic m5-1-chapter1
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m5-1-chapter2
Basic m5-1-chapter2
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m5-2-chapter1
Basic m5-2-chapter1
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m4-2-link
Basic m4-2-link
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m4-2-chapter2
Basic m4-2-chapter2
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m4-1-link
Basic m4-1-link
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m4-2-chapter1
Basic m4-2-chapter1
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m4-1-chapter2
Basic m4-1-chapter2
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m4-1-chapter3
Basic m4-1-chapter3
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m4-1-chapter4
Basic m4-1-chapter4
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m3-2-chapter2
Basic m3-2-chapter2
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m3-2-link
Basic m3-2-link
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m4-1-chapter1
Basic m4-1-chapter1
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m3-2-chapter4
Basic m3-2-chapter4
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Basic m3-2-chapter3
Basic m3-2-chapter3
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Mehr von กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
(20)
Basic m2-2-chapter1
Basic m2-2-chapter1
Basic m5-2-chapter3
Basic m5-2-chapter3
Basic m5-2-chapter2
Basic m5-2-chapter2
Basic m5-2-link
Basic m5-2-link
Basic m5-1-link
Basic m5-1-link
Basic m5-1-chapter1
Basic m5-1-chapter1
Basic m5-1-chapter2
Basic m5-1-chapter2
Basic m5-2-chapter1
Basic m5-2-chapter1
Basic m4-2-link
Basic m4-2-link
Basic m4-2-chapter2
Basic m4-2-chapter2
Basic m4-1-link
Basic m4-1-link
Basic m4-2-chapter1
Basic m4-2-chapter1
Basic m4-1-chapter2
Basic m4-1-chapter2
Basic m4-1-chapter3
Basic m4-1-chapter3
Basic m4-1-chapter4
Basic m4-1-chapter4
Basic m3-2-chapter2
Basic m3-2-chapter2
Basic m3-2-link
Basic m3-2-link
Basic m4-1-chapter1
Basic m4-1-chapter1
Basic m3-2-chapter4
Basic m3-2-chapter4
Basic m3-2-chapter3
Basic m3-2-chapter3
91 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่4_เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
1.
คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร
เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร (ตอนที่ 4) เสนตรงลอมเสนโคง โดย ผูชวยศาสตราจารย ดร. ทรงเกียรติ สุเมธกิจการ สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ
2.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย สื่อการสอน เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร สื่อการสอน เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 5 ตอน ซึ่งประกอบดวย 1. SET50 2. ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส 3. การถอดรากที่สาม 4. เสนตรงลอมเสนโคง 5. กระเบื้องที่ยืดหดได คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร นอกจากนี้หากทานสนใจ สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่น ๆ ที่คณะผูจัดทําไดดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่องและ ชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมดในตอนทายของคูมือฉบับนี้ 1
3.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร หมวด โครงงานคณิตศาสตร ตอนที่ 4 (4/5) หัวขอยอย - จุดประสงคการเรียนรู เพื่อใหผูเรียนเห็นตัวอยางการจําแนกแยกแยะวัตถุทางคณิตศาสตรที่เห็นภาพไดชัดเจน ในที่นี้คือการ จําแนกแยกแยะเสนโคงที่สรางจากชุดของเสนตรงที่มีสมบัติตาง ๆ กัน รวมทั้งบทพิสูจนของการจําแนก ดังกลาวดวย ทั้งนี้ทั้งนั้น เนื้อหาของโครงงานที่นําเสนอในสื่อตอนนี้นั้นมิใชสาระที่คาดหวังใหนักเรียน ตองเรียนรูอยางจริงจัง หากเปนเพียงพาหนะหนึ่งทีชวยแสดงใหเห็นตัวอยางหนึ่งของปญหาการจําแนก ่ แยกแยะเทานั้น 2
4.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย โครงงานคณิตศาสตรคืออะไร โครงงานคณิตศาสตร คือ โครงงานที่ฝกฝนกระบวนการทําวิจัยทางคณิตศาสตร ซึ่งประกอบไปดวย หลายขั้นตอน ตั้งแตการเรียนรู สังเกต ตั้งคําถาม คนควา วิเคราะห จนถึงการคิดคนหาคําตอบของ ปญหาทางคณิตศาสตร สื่อการสอนเรื่องโครงงานคณิตศาสตร สื่อการสอนเรื่องโครงงานคณิตศาสตรทั้ง 5 ตอนนี้ เปนตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตรที่ครอบคลุม ปญหาทางคณิตศาสตรที่หลากหลาย ทั้งปญหาในเชิงประยุกตที่นําความรูทางคณิตศาสตรไปประยุกต ใชในการแกปญหาอื่น ๆ ปญหาที่ขยายหรือตอเติมขึ้นจากปญหาเดิม ปญหาในเชิงจําแนกแยกแยะ และปญหาที่เกี่ยวกับการมีอยูของวัตถุทางคณิตศาสตร ทั้งนี้ทั้งนั้นสิ่งที่ขาดไมไดในโครงงานคณิต- ศาสตร คือการแสดงใหเห็นจริงโดยปราศจากขอสงสัย หรือการพิสูจนนั่นเอง วัตถุประสงคของสื่อตอนนี้ สื่อการสอนตอนนีนําเสนอตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตร ที่พิจารณาเสนโคงที่สรางจากชุดของเสน- ้ ตรง และแสดงวาชุดของเสนตรงที่มีสมบัติบางประการจะกอใหเกิดเสนโคงพาราโบลา แตสําหรับชุด ของเสนตรงทีมสมบัติที่เปลี่ยนไป เสนโคงที่ไดอาจเปนเสนโคง astroid วงกลม หรืออื่น ๆ ได ่ ี สื่อการสอนจะปูพื้นฐานที่จําเปนเพื่อนําไปสูบทพิสูจนของบางความสัมพันธขางตน 3
5.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เนื้อหาในสื่อการสอน สื่อการสอนตอนนี้ ประกอบดวย 1. ชวงเปดตอน (เริ่ม ณ 00:42) 2. ชวงสารคดี (เริ่ม ณ 01:59) 3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา (เริ่ม ณ 13:49) 4
6.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 1. ชวงเปดตอน 5
7.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 1. ชวงเปดตอน (เริ่ม ณ 00:42) ในชวงเปดตอน ดังแสดงในรูปที่ 1 ผูบรรยายยกตัวอยางความยาวดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม 6 รูป จากขอมูลความยาวดานนี้ เราอาจจําแนกแยกแยะชนิดของสามเหลี่ยมออกเปน 2 ชนิด ไดแก สามเหลี่ยม มุมฉาก และสามเหลี่ยมอื่น ๆ หรืออาจจําแนกแยกแยะออกไดเปน 3 ชนิด ไดแก สามเหลี่ยมมุมฉาก สามเหลี่ยมมุมแหลม และสามเหลี่ยมมุมปาน สังเกตวาวิธีการจําแนกแยกแยะสามเหลี่ยมเหลานี้นั้นขึ้นกับ ขอสังเกตและเหตุผลของผูจําแนก ตัวอยางนี้ชวยในการอธิบายเชิงเปรียบเทียบวา ปญหาประเภทหนึ่งที่สามารถนํามาปรับเปนโจทยสําหรับ โครงงานคณิตศาสตรไดคือ ปญหาที่ตองการจําแนกแยกแยะวัตถุทางคณิตศาสตรที่สนใจบางชนิด สื่อฯตอนนีจะนําเสนอตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตร ที่พิจารณาคําถามที่วาเสนโคงที่สรางจากชุดของ ้ เสนตรงที่มีระยะหางระหวางเสนบนแกน x และแกน y เทา ๆ กัน คือเสนโคงอะไร พรอมนําเสนอขั้นตอน การหาสมการของเสนโคงนั้น รวมทั้งยังพาดพิงถึงเสนโคงที่สรางจากชุดเสนตรงประเภทอื่น ๆ ดวย รูปที่ 1 ภาพชวงเปดตอน 6
8.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 2. ชวงสารคดี 7
9.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 2. ชวงสารคดี (เริ่ม ณ 01:59) ชวงสารคดีนี้ตองการอธิบายความรูพื้นฐาน ที่จําเปนในการทําความเขาใจแนวคิดและรายละเอียดของ โครงงานคณิตศาสตรที่จะนําเสนอตอไป ซึ่งประกอบไปดวยสวนตาง ๆ ตามลําดับเวลา ดังนี้ (ก) (ข) (ค) (ง) (จ) (ฉ) รูปที่ 2 ภาพประกอบขณะอธิบายเรื่องหมาปากับกระตายเพื่อโยงเขาเรื่องเสนตรงลอมเสนโคง 8
10.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย (ก) ผูหนึ่งที่คิดคนแนวคิดของวิชาแคลคูลัส (ข) เสนสัมผัสของเสนโคง รูปที่ 3 ภาพประกอบขณะอธิบายเรื่องกําเนิดแคลคูลัสและเสนสัมผัสเสนโคง 2.1. หมาปากับกระตาย (เริ่ม ณ 1:59) เปนภาพเคลื่อนไหวที่เลาสถานการณหมาปาไลลากระตาย (รูปที่ 2(ก-ค)) และพิจารณาเสนทางการวิ่งของ หมาปาที่แสดงดวยเสนโคงสีแดง ในรูปที่ 2(ค) หลังจากนั้นจึงวิเคราะหหาสมการของเสนโคงนี้ โดยการ สมมติวาหมาปาเปลี่ยนทิศทางการวิ่งเปนชวง ๆ จนเกิดเปนเสนตรงตอกันหลาย ๆ เสน ในรูปที่ 2(ง) แลว จึงใชแกน XY เพื่อหาสมการของเสนโคงที่ลอมดวยชุดของเสนตรง ดังแสดงตัวอยางภาพจากสื่อฯไวในรูปที่ 2(จ-ฉ) 2.2. เสนโคง เสนตรง แคลคูลัส (เริ่ม ณ 6:44) จากแนวคิดของการสรางเสนโคงดวยชุดของเสนตรงที่ถี่มากขึ้นเรื่อย ๆ ขางตน เราสามารถคิดในมุมกลับได เชนกัน กลาวคือ หากเริ่มดวยเสนโคง ชุดของเสนตรงที่ลอมเสนโคงก็คือเสนสัมผัสของเสนโคง ณ จุดตาง ๆ นั่นเอง ซึ่งก็คือแนวคิดเริ่มตนของวิชาแคลคูลัสดังเปนที่ทราบโดยทั่วไป ดังแสดงตัวอยางภาพจากสื่อฯไวใน รูปที่ 3 การสรางเสนโคงดวยชุดของเสนตรง นี้จึงเปนกิจกรรมที่กอใหเกิดภาพที่สวยงามแตกลับซอนแนวคิด เรื่องความชันและเสนสัมผัสไดอยางแยบยล 2.3. ศิลปะเสนเชือกตรึง (เริ่ม ณ 8:16) ศิลปะเสนเชือกตรึง หรือ string art คือกิจกรรมทางคณิตศาสตรที่สรางเสนโคงโดยใชเชือกขึงตรึงหลายเสน และเปนกิจกรรมที่ไดรับความนิยมอยางสูงในยุคหนึ่ง (รูปที่ 4 (ก),(ค)) แตผูที่มีสวนสําคัญในการผลักดันใหใช ศิลปะเสนเชือกตรึงในการสอนเรขาคณิตแกเด็ก ๆ เปนคนแรกคือนาง Mary Everest Boole เมื่อรอยกวาป ที่แลว (รูปที่ 4 (ข)) และดวยคุณสมบัติพิเศษและความสวยงามของมัน ศิลปะเสนเชือกตรึงยังปรากฏ ใหเห็นในของใชในชีวิตประจําวันและสถาปตยกรรม เชน เกาอี้สาน และสะพาน Calatrava ในเมือง Petah Tikva ประเทศอิสราเอล (รูปที่ 4 (ง)) 9
11.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย รูปที่ 4 คุณพร อัศวพิทยา กรุณาสระเวลามาใหเกร็ดความรูเกี่ยวกับศิลปะเสนเชือกตรึง (ก) (ข) (ค) (ง) รูปที่ 5 ภาพจากสื่อฯประกอบคําอธิบายเรื่องศิลปะเสนเชือกตรึง 10
12.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 2.4. ปญหาบันได (เริ่ม ณ 12:30) ปญหาหนึ่งที่สามารถประยุกตใชเทคนิคการหาเสนโคงที่เกิดจากชุดของเสนตรงในการหาคําตอบ คือปญหา การขนบันไดที่มีความยาว L ผานทางเดินมุมฉากที่มีความกวางเปน w1 และ w2 โดยบันไดตองอยูในแนว ขนานกับพื้นตลอดเวลา แนนอนวาหากบันไดยาวเกินไปยอมไมสามารถผานมุมทางเดินนี้ไปได ดังรูปที่ 6(ก) จะเห็นวาการขนโดยใหปลายบันไดทั้งสองขางชิดขอบทางเดินดานนอกตลอดเวลา เปนวิธีที่ทําใหบันไดอยู หางจากมุมทางเดินมากที่สุดตลอดเวลา ดังนั้นเราจึงพิจารณาชุดของเสนตรงความยาว L ที่มีจุดปลายทั้งสอง อยูบนแกน X และแกน Y และหาสมการของเสนโคงที่ลอมรอบดวยชุดของเสนตรงนี้ และไดสมการของเสน โคง astroid ดังแสดงในรูปที่ 6(ง) (ก) (ข) (ค) (ง) รูปที่ 6 ภาพจากสื่อฯประกอบคําอธิบายเรื่องปญหาบันได 11
13.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา 12
14.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา (เริ่ม ณ 13:49) ชวงโครงงานฯและเนื้อหานี้จะอธิบายรายละเอียดของโครงงานคณิตศาสตร ตั้งแตที่มาและความสําคัญ จนถึงสรุปโครงงาน ซึ่งประกอบไปดวยสวนตาง ๆ ตามลําดับเวลา ดังนี้ รูปที่ 7 ภาพสื่อฯขณะแสดงรายละเอียดของโครงงานคณิตศาสตรที่นําเสนอในสื่อตอนนี้ 3.1. รายละเอียดของโครงงาน (เริ่ม ณ 13:49) โครงงานคณิตศาสตร เรื่องการศึกษาความสัมพันธของชุดเสนตรงและสิ่งหุมของชุดเสนตรงที่ตัดกัน เปนพาราโบลา ที่ยกมาเปนตัวอยางในสื่อตอนนี้ เปนโครงงานที่จัดทําโดย นายกิตติ ไกรเทพ นายสุทธิพงศ จันทภาโส นางสาวธรัญญา จารจิต และ นางสาววันวิสา เพ็ชรเรือง นักเรียนระดับ มัธยมศึกษา ตอนปลาย โรงเรียนเมืองถลาง อําเภอถลาง จังหวัดภูเก็ต พ.ศ. 2552 และมีอาจารย ที่ปรึกษาคือ ครูสิทธิโชค พรผล และ ครูถนอมเกียรติ งานสกุล ดังแสดงในรูปที่ 7 3.2. ความรูทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ (เริ่ม ณ 14:16) ความรูทางคณิตศาสตรที่จําเปนในการทําความเขาใจเนื้อหาของสื่อการสอนตอนนี้ไดแก 1. เสนตรง ไดแก เรื่องสมการของเสนตรง และการหาสมการของเสนตรงที่ผานจุด 2 จุด (รูปที่ 8 (ก)) 2. พาราโบลา ไดแก เรื่องสมการของเสนโคงพาราโบลา (รูปที่ 8 (ข)) 13
15.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 3. ลิมิต อนุพันธ ไดแก การหาลิมิตของฟงกชันเมื่อตัวแปรลูเขาสูศูนย และการหาอนุพันธของฟงกชัน งาย ๆ และอันที่จริงแลว ยังจําเปนตองใชการหาอนุพันธยอยดวย (รูปที่ 8 (ค)) 4. สมการอิงตัวแปรเสริม ไดแก การหาสมการอิงตัวแปรเสริมของสวนของเสนตรงที่ผานจุด 2 จุด (รูปที่ 8 (ง)) (ก) (ข) (ค) (ง) รูปที่ 8 ภาพสื่อฯขณะกลาวถึงความรูทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของอยางพอสังเขป 3.3. การหาสมการของเสนโคงสิ่งหุม (เริ่ม ณ 17:00) การหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมที่เกิดจากเสนตรงที่มีผลบวกของจุดตัดแกน X และ Y เปนคาคงที่ 1. หาสมการของเสนตรงแตละเสน ดังแสดงในรูปที่ 9(ก) 2. หาจุดตัดของเสนตรงทีมจุดตัดแกน X เปน α และ β (รูปที่ 9(ข)) ่ ี 3. หาลิมิตของพิกัดจุดตัดนี้ เมื่อ β ลูเขาสู α (รูปที่ 9(ค)) 4. หาความสัมพันธระหวางพิกัดทั้งสองของลิมิตนี้ (รูปที่ 9(ง)) ถึงแมจะหาสมการของเสนโคงไดแลวก็ตาม เราก็ยังไมสามารถบอกไดทันทีวาเสนโคงที่ไดเปนเสน- โคงใด แตหากหมุนแกนไป 45 องศา เพื่อใหเสนโคงสมมาตรกับแกน Y สมการของเสนโคงใหมนี้ จะเปนสมการของเสนโคงพาราโบลานั่นเอง ดังแสดงในรูปที่ 9(จ) แตเนื่องจากการหมุนแกนอาจเปน หัวขอที่ยากเกินไปในระดับนี้ เราจึงเลือกที่จะนําเสนอวิธีการหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมในกรณีนี้โดย อีกวิธีหนึ่ง ซึ่งมีแนวคิดที่รองรับดังไดแสดงไวในสื่อฯ (รูปที่ 9(ช-ซ)) วิธีนี้เริ่มจากหาสมการของเสนตรง 14
16.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย (ก) (ข) (ค) (ง) (จ) (ฉ) (ช) (ซ) รูปที่ 9 ภาพสื่อฯขณะแสดงการหาสมการของเสนโคงสิ่งหุม 15
17.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย แตละเสน ดังแสดงในรูปที่ 9(ฉ) แลวจึงหาคาสูงสุดของ y โดยการหาอนุพันธของสมการเสนตรง เทียบกับ α เพื่อจับเทากับ 0 สุดทายจะไดความสัมพันธระหวาง x และ y ซึ่งก็คือสมการของเสนโคง สิ่งหุมนั่นเอง (รูปที่ 10) รูปที่ 10 ภาพสื่อฯขณะแสดงการหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมโดยการหาอนุพันธ 3.4. วิธีการดําเนินงาน (เริ่ม ณ 27:02) วิธีการดําเนินงานของโครงงานเรื่องนี้นั้น ศึกษาหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมที่เกิดจากชุดของเสนตรง ที่ตัดแกน X และ Y ที่ a และ b ตามลําดับ โดยแบงเปน 2 กรณีตามเงื่อนไขของคา a และ b ดังนี้ 1. |a| + |b| = k เมื่อ k เปนคาคงตัวที่เปนบวกคาหนึ่ง (รูปที่ 11(ก)) 2. |a|/m + |b|/n = k เมื่อ m, n, k เปนคาคงตัวที่เปนบวก (รูปที่ 11(ข)) 3.5. ผลการศึกษา (เริ่ม ณ 28:02) จากการศึกษาหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมทั้ง 2 กรณีในวิธีการดําเนินงานนั้น สําหรับกรณีที่ 1 ไดสมการของเสนโคงสิ่งหุมใน 4 จตุภาค เปน x + y = k ซึ่งเมื่อหมุนแกนไป 45 องศาในทิศ ตามเข็มนาฬิกา จะไดสมการของเสนโคงสิ่งหุมเปนสมการของเสนโคงพาราโบลา และสําหรับใน x y กรณีที่ 2 ได สมการของเสนโคงสิ่งหุมใน 4 จตุภาค เปน + = k ซึ่งสามารถแสดงได m n เชนกันวาเสนโคงสิ่งหุมในแตละจตุภาคเปนสวนหนึ่งของเสนโคงพาราโบลา ดูรายละเอียดการคํานวณ จากสื่อฯไดในรูปที่ 12 16
18.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย (ก) (ข) รูปที่ 11 ภาพจากสื่อฯขณะอธิบายวิธีการดําเนินงาน 3.6. สรุปโครงงาน (เริ่ม ณ 31:39) โครงงานที่นําเสนอในสื่อฯนี้ เปนการศึกษาหาสมการของเสนโคงที่ลอมรอบดวยชุดของเสนตรงที่มี สมบัติรวมกันบางประการ ในกรณีที่ 1 สมบัตินี้ก็คือทุกเสนตรงในชุดของเสนตรงตองมีผลบวกของ จุดตัดแกน X และจุดตัดแกน Y เทากับคาคงที่คาหนึ่ง (k) เสมอ สําหรับในกรณีที่ 2 สมบัติรวมกันนี้ คือทุกเสนตรงตองมีผลบวกของจุดตัดแกน X หารดวย m กับจุดตัดแกน Y หารดวย n เปนคาคงที่ k เสมอ ซึ่งสมการของเสนโคงที่ไดจากทั้งสองกรณีตางเปนสวนหนึ่งของเสนโคงพาราโบลาเสมอ 17
19.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย (ก) (ข) (ค) รูปที่ 12 ภาพจากสื่อฯแสดงผลการศึกษาหาสมการของเสนโคงสิ่งหุม 18
20.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 3.7. กรณีทั่วไป (เริ่ม ณ 32.20) จากผลการศึกษาหาสมการของเสนโคงที่ลอมรอบดวยชุดของเสนตรงในทั้ง 2 กรณี ที่ไดเสนโคง พาราโบลาเสมอนั้น จึงเกิดคําถามขึ้นวา หากชุดของเสนตรงที่ใชมีสมบัติเปลี่ยนไป เสนโคงที่ไดจะเปน เสนโคงประเภทใดไดบาง ในชวงนี้ สื่อฯจะพิจารณาชุดของเสนตรงที่มีจุดตัดแกนทั้งสองเปนฟงกชัน ใด ๆ บอกจุดตัดของเสนตรงสองเสน (รูปที่ 13(ก-ข)) และใหสมการของเสนโคงที่ถูกลอมดวย ชุดของเสนตรงนี้ (รูปที่ 13(ค)) ซึ่งโดยทั่วไป จะเปนเพียงสมการอิงตัวแปรเสริม โดยไมมีรายละเอียด การคํานวณ ผูสนใจสามารถหาอานไดใน [2] 3.8. เสนโคงสิ่งหุมอื่น ๆ (เริ่ม ณ 34:00) จากสมการอิงตัวแปรเสริมที่คํานวณไดใน 3.7 เราสามารถนํามาใชคํานวณหาสมการของเสนโคง สิ่งหุมที่ลอมดวยชุดของเสนตรงเหลานี้ 1. ความยาวของสวนของเสนตรงในจตุภาคที่ 1 เปนคาคงที่ L จะไดวาสมการของเสนโคงคือ x 2/3 + y 2/3 = L2/3 2. ความยาวรอบรูปของสามเหลี่ยมที่มีดานทั้งสามเปนแกนพิกัดและเสนตรงในจตุภาคที่ 1 เปน คาคงที่ จะไดวาสมการของเสนโคงคือสมการของวงกลมนั่นเอง 3.9. สรุป (เริ่ม ณ 38:16) โครงงานนีทําใหเราไดเห็นวาเสนโคงที่สรางมาจากชุดของเสนตรงตางชุดกัน อาจเปนเสนโคงที่ตางกัน ้ พรอมการคํานวณหาสมการเหลานี้ดวยวิธีเบื้องตนบางวิธี และที่สําคัญคือ โครงงานนี้เปนตัวอยางหนึ่ง ของการใชความรูคณิตศาสตรเบื้องตนในการจําแนกแยกแยะวัตถุทางคณิตศาสตร (เสนโคง) ที่สราง ขึ้นมาตางวิธีกัน . คณิตศาสตรอยูรอบตัวเรา จงหมั่นหาความสัมพันธ . 19
21.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย (ก) (ข) (ค) รูปที่ 13 ภาพจากสื่อฯอธิบายการหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมในกรณีทั่วไป 20
22.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย รูปที่ 14 ภาพจากสื่อฯแสดงตัวอยางของเสนโคงสิ่งหุมอื่น ๆ 21
23.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กิตติกรรมประกาศ ผูจัดทําสื่อการสอนตอนนี้ตองขอขอบพระคุณ คุณพร อัศวพิทยา ในฐานะศิลปนผูสรางสรรคงานศิลปะ เสนเชือกตรึงที่นาทึ่ง ที่กรุณาสละเวลามาใหเกร็ดความรูเกี่ยวกับงานศิลปะเสนเชือกตรึง และ คุณกันตพชญ ธีระจันทเศรษฐ ที่เปนสวนสําคัญในการเสนอ แนวคิดจนกอใหเกิดสื่อในรูปแบบนี้ขึ้น 22
24.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เอกสารอางอิง 1. กิตติ ไกรเทพ, สุทธิพงศ จันทภาโส, ธรัญญา จารจิต, วันวิสา เพ็ชรเรือง, การศึกษาความสัมพันธของ ชุดเสนตรงและสิ่งหุมของชุดเสนตรงที่ตัดกันเปนพาราโบลา, โครงงานคณิตศาสตรระดับมัธยมศึกษา ตอนปลาย โรงเรียนเมืองถลาง อําเภอถลาง จังหวัดภูเก็ต พ.ศ. 2552 2. Gregory Quenell, Envelopes and String Art, Mathematics Magazine, Vol.82, No.3 (June 2009), pp.174- 185 23
25.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน 24
26.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน เรื่อง ตอน เซต บทนํา เรื่อง เซต ความหมายของเซต เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร การใหเหตุผล ประพจนและการสมมูล สัจนิรันดรและการอางเหตุผล ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง จํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง สมบัติของจํานวนจริง การแยกตัวประกอบ ทฤษฏีบทตัวประกอบ สมการพหุนาม อสมการ เทคนิคการแกอสมการ คาสัมบูรณ การแกอสมการคาสัมบูรณ กราฟคาสัมบูรณ สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ (การหารลงตัวและตัวหารรวมมาก) ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน ความสัมพันธ 25
27.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เรื่อง ตอน ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน ฟงกชันเบื้องตน พีชคณิตของฟงกชัน อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส ฟงกชันประกอบ ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม เลขยกกําลัง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม ลอการิทึม อสมการเลขชี้กําลัง อสมการลอการิทึม ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ อัตราสวนตรีโกณมิติ เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย ฟงกชันตรีโกณมิติ 1 ฟงกชันตรีโกณมิติ 2 ฟงกชันตรีโกณมิติ 3 กฎของไซนและโคไซน กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร การหาคาสุดขีด ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม ลําดับ การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต ลิมิตของลําดับ ผลบวกยอย อนุกรม ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม 26
28.
คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เรื่อง ตอน การนับและความนาจะเปน บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน การนับเบื้องตน การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู ทฤษฎีบททวินาม การทดลองสุม ความนาจะเปน 1 ความนาจะเปน 2 สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เนื้อหา แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3 การกระจายของขอมูล การกระจายสัมบูรณ 1 การกระจายสัมบูรณ 2 การกระจายสัมบูรณ 3 การกระจายสัมพัทธ คะแนนมาตรฐาน ความสัมพันธระหวางขอมูล 1 ความสัมพันธระหวางขอมูล 2 โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1 โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2 โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม เสนตรงลอมเสนโคง กระเบื้องที่ยืดหดได 27
Jetzt herunterladen