9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
พิสูจน์ สมมติว่าข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x 1, x 2, x 3, ..., x N มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
xi
เป็น และ ตามลาดับ จะได้ว่า z i ทุก i {1, 2, 3, ..., N }
N N
xi 1 N N
1 N
ดังนั้น zi xi xi N 0
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
N
zi
ทาให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลทั้งหมดที่ถูกทาให้เป็นค่ามาตรฐานมีค่าเท่ากับ z
i 1
0
N
N
ต่อมาเนื่องจาก (x i )2 N 2
ทาให้ได้ว่า
i 1
N
(z i )2 2
z
1 N
xi 1 N
i 1
(x i )2 1
N N i 1 N 2 i 1
นั่นคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลทั้งหมดที่ถูกทาให้เป็นค่ามาตรฐานมีค่าเท่ากับ 1
N
จากบทพิสูจน์นี้จะได้ข้อสังเกตเพิ่มเติมคือ zi 0
i 1
เมื่อมาถึงตอนนีครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้ประกอบ
้
ตัวอย่าง 1 ในการสอบวิชาภาษาไทยครั้งหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 50 และความแปรปรวนเท่ากับ 2.25
ค่ามาตรฐานของผู้ที่สอบได้ 59 คะแนนจะมากกว่าค่ามาตรฐานของผู้ที่สอบได้ 44 คะแนนอยู่เท่าใด
วิธีทา เนื่องจากความแปรปรวนเท่ากับ 2.25 ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 2.25 1.5
8