1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
(เนื้อหาตอนที่ 2)
ประพจน์และการสมมูล
โดย
อาจารย์ ดร.จิณดิษฐ์ ละออปักษิณ
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
สื่อการสอน เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 9 ตอน ซึ่ง
ประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การให้เหตุผล
- การให้เหตุผลแบบอุปนัย
- การให้เหตุผลแบบนิรนัย
3. เนื้อหาตอนที่ 2 ประพจน์และการสมมูล
- ประพจน์และค่าความจริง
- ตัวเชื่อมประพจน์
- การสมมูล
4. เนื้อหาตอนที่ 3 สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
- เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์
- สัจนิรันดร์
- การอ้างเหตุผล
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ
- ประโยคเปิด
- วลีบ่งปริมาณ
6. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน)
7. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
8. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง หอคอยฮานอย
9. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ตารางค่าความจริง
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับครู
และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง การให้เหตุผลและ
ตรรกศาสตร์ นอกจากนี้ ห ากท่ า นสนใจสื่ อ การสอนวิ ช าคณิ ต ศาสตร์ ใ นเรื่ อ งอื่ น ๆที่ ค ณะผู้ จั ด ท าได้
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดใน
ตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ (สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 2 (2/4)
หัวข้อย่อย 1. ประพจน์และค่าความจริง
2. ตัวเชื่อมประพจน์
3. การสมมูล
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. มีความเข้าใจในความหมายและค่าความจริงของประพจน์
2. มีความเข้าใจในความหมายของตัวเชื่อมประพจน์ ค่าความจริงที่เกิดขึ้น และสามารถนาไปใช้ได้
3. มีความเข้าใจในการสมมูลและสามารถสร้างตารางค่าความจริงเพื่อตรวจสอบการสมมูลได้
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. ระบุความหมายของประพจน์และจาแนกได้ว่าข้อความที่กาหนดให้เป็นประพจน์หรือไม่
2. ระบุจานวนกรณีค่าความจริงที่เกิดขึ้น เมื่อกาหนดประพจน์ให้ได้
3. บอกค่าความจริงของประพจน์ที่เกิดจากการเชื่อมด้วยตัวเชื่อมประพจน์แบบต่างๆ ได้
4. หาค่าความจริงของประพจน์ย่อย เมื่อกาหนดค่าความจริงของประพจน์ที่มีการเชื่อมด้วยตัวเชื่อม
ประพจน์แบบต่างๆได้
5. อธิบายความหมายของการสมมูล บอกวิธีการตรวจสอบและดาเนินการตรวจสอบว่าประพจน์ที่
กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ประพจน์และค่าความจริง
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ประพจน์และค่าความจริง
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ทราบถึงความหมายของประพจน์ และค่าความจริงของประพจน์ การเขียน
แสดงกรณีค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมด และการสร้างตารางค่าความจริง
นอกจากตัวอย่างข้างต้น ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติม ดังนี้
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 1 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าเป็นประพจน์หรือไม่
1. 1 ปี มี 365 วัน หรือ 366 วัน เป็นประพจน์
2. 1 เป็นจานวนเฉพาะ เป็นประพจน์
3. กรุณาปิดประตูเบาเบา ไม่เป็นประพจน์
4. 4 เป็นจานวนเต็ม เป็นประพจน์
5.   {1, 2, {3, 4}} เป็นประพจน์
6. รักเธอเสมอ ไม่เป็นประพจน์
7. - 2 และ 4 เป็นคาตอบของสมการ x2 – 2x -8 = 0 เป็นประพจน์
8. ยินดีด้วยนะที่สอบได้ที่ 1 ไม่เป็นประพจน์
9. x2 – x = 0 ไม่เป็นประพจน์
10. งดน้าและอาหาร ไม่เป็นประพจน์
หลังการนาเสนอ ปัญหาชวนคิดผู้สอนควรกระตุ้นให้ผู้เรียนได้ร่วมกันอภิปราย ว่าข้อความ
ดังกล่าวนั้นเป็นประพจน์หรือไม่ โดยสรุปในตอนท้ายว่า การพิจารณาว่าข้อความนั้นสามารถบอกได้ว่า
เป็นจริงหรืออย่างใดอย่างหนึ่งหรือไม่ ไม่ขึ้นกับความสามารถของผู้บอก หากแต่ขึ้นอยู่กับข้อความนั้นๆ
นอกจากนี้ผู้สอนอาจยกข้อความอื่นที่มีลักษณะคล้ายกับข้อความข้างต้น ทั้งนี้อาจให้ผู้เรียนเป็นผู้
ยกตัวอย่างเองก็ได้
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนควรชี้แจงว่า สัญลักษณ์ข้างต้น ไม่ใช่การกาหนดตายตัว แต่เป็นเพียงความนิยมเท่านั้น และ
สัญลักษณ์ T F เป็นค่าความจริงของประพจน์ ไม่ใช่ประพจน์
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในการสร้างตารางค่าความจริง สิ่งสาคัญประการหนึ่งคือการเขียนแสดงกรณีค่าความจริงอย่าง
ครบถ้วน ผู้สอนควรชี้ให้เห็นว่าเพียงการระบุได้ว่ามีกรณีที่ต้องพิจารณาทั้งหมดกี่กรณีนั้นยังไม่เพียงพอ
การเขียนแสดงกรณีเหล่านั้นอย่างเป็นระบบ จะช่วยให้สามารถสร้างตารางค่าความจริงได้อย่างสมบูรณ์
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ประพจน์และค่าความจริง
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ประพจน์และค่าความจริง
1. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าเป็นประพจน์หรือไม่
1.1 หนึ่งปี มีสิบสองเดือน
1.2 1 ไม่เป็นจานวนเฉพาะ
1.3 0 เป็นจานวนคู่
1.4 เขาเป็นคนพูดจริง
1.5 น้าขึ้นให้รีบตัก
1.6 5 + 6 = 7
1.7 ประพจน์คือข้อความที่เป็นจริง
1.8 น่ารักอ่ะ
1.9 2x5 – 5 = 0
1.10 คุณพระช่วย
2. “บนดาวอังคารมีสิ่งมีชีวิต” ข้อความนี้เป็นประพจน์หรือไม่ จงอธิบาย
3. ในการสร้างตารางค่าความจริง หากมีประพจน์ 5 ประพจน์ที่แตกต่างกัน จะมีกรณีพิจารณาทั้งหมด
กี่กรณี
4. ในการสร้างตารางค่าความจริง หากมีกรณีพิจารณาทั้งหมด 512 กรณี จะมีประพจน์ที่แตกต่างกัน
ที่นามาพิจารณาทั้งหมดกี่ประพจน์
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ตัวเชื่อมประพจน์
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ตัวเชื่อมประพจน์
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับตัวเชื่อมประพจน์ทั้ง 5 แบบ และค่าความจริงของประพจน์
ใหม่ที่เกิดขึ้น ซึ่งเป็นพื้นฐานสาคัญของตรรกศาสตร์
ทั้งผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมดังนี้
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 1 2 คูณ 3 เท่ากับ 5 และ  มีค่าประมาณ 22
7
วิธีทา ให้ p แทน 2 คูณ 3 เท่ากับ 5 ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
22
ให้ q แทน  มีค่าประมาณ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
7
จะได้ว่าสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ได้เป็น p  q ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
ตัวอย่าง 2 1 และ 5 เป็นสมาชิกของ {1, 5}
วิธีทา ให้ p แทน 1 เป็นสมาชิกของ {1, 5} ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
ให้ q แทน 5 เป็นสมาชิกของ {1, 5} ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
จะได้ว่าสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ได้เป็น p  q ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
ทั้งผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมดังนี้
ตัวอย่าง 3 -2 มากกว่า -1 หรือ 1 มากกว่า 2
วิธีทา ให้ p แทน -2 มากกว่า -1 ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
ให้ q แทน1 มากกว่า 2 ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
จะได้ว่าสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ได้เป็น p  q ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 4 (1 + 3) + 7 = 12 หรือ 7 (3 + 1) = 12
วิธีทา ให้ p แทน (1 + 3) + 7 = 12 ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
ให้ q แทน7 (3 + 1) = 12 ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
จะได้ว่าสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ได้เป็น p  q ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
ตัวอย่างนี้มุ่งนาเสนอความเหมือนและความแตกต่างของ “และ” “หรือ” ในตรรกศาสตร์และใน
ชีวิตประจาวัน ทั้งนี้ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมประกอบ
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 5 ถ้า 2 เป็นจานวนจริง แล้ว 2 เป็นจานวนอตรรกยะ
วิธีทา ให้ p แทน 2 เป็นจานวนจริง ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
ให้ q แทน 2 เป็นจานวนอตรรกยะ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
จะได้ว่าสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ได้เป็น p  q ซึ่งมีค่าความจริงเท็จ
ตัวอย่าง 6 ถ้า 12 < -15 แล้ว{1, 3} เป็นเซตของตัวประกอบร่วมของ -15 กับ 12
วิธีทา ให้ p แทน 12 < -15 ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
ให้ q แทน {1, 3} เป็นเซตของตัวประกอบร่วมของ -15 กับ 12 ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
จะได้ว่าสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ได้เป็น p  q ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 7 7 + 9 = 13 ก็ต่อเมื่อ 7 < 9
วิธีทา ให้ p แทน 7 + 9 = 13 ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
ให้ q แทน 7 < 9 ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
จะได้ว่าสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ได้เป็น p  q ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
ตัวอย่าง 8 นกเป็นสัตว์ปีก ก็ต่อเมื่อ นกมีสองขา
วิธีทา ให้ p แทน นกเป็นสัตว์ปีก ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
ให้ q แทน นกมีสองขา ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
จะได้ว่าสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ได้เป็น p  q ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
ตัวอย่าง 9 จังหวัดยะลา เป็นจังหวัดในภาคเหนือ
วิธีทา ให้ p แทน จังหวัดยะลา เป็นจังหวัดในภาคเหนือ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
จะได้ ~p แทน จังหวัดยะลา ไม่เป็นจังหวัดในภาคเหนือ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
ตัวอย่าง 10 6 เป็นตัวประกอบของ 24
วิธีทา ให้ p แทน 6 เป็นตัวประกอบของ 24 ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
จะได้ ~p แทน 6 ไม่เป็นตัวประกอบของ 24 ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างนี้มุ่งแสดงให้เห็นถึงข้อควรระวังในการแปลความของประพจน์ที่สร้างขึ้นใหม่โดยใช้
นิเสธ นอกจากนี้ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมเช่น นิเสธของประพจน์ “ทีม A ชนะ ทีม B” คือ “ทีม A ไม่
ชนะ ทีม B” ซึ่งอาจเป็นได้ทั้ง “ทีม A แพ้ ทีม B” หรือ “ทีม A เสมอ ทีม B”
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ตัวเชื่อมประพจน์
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ตัวเชื่อมประพจน์
1. จงเขียนประโยคข้อความแทนสัญลักษณ์ต่อไปนี้ พร้อมหาค่าความจริงของประพจน์
เมื่อกาหนดให้ p แทนประพจน์ พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก
q แทนประพจน์ ประเทศอังกฤษอยู่ในทวีปแอฟริกา
1.1 p q
1.2 pq
1.3 ~p  q
1.4 ~q  p
1.5 ~p  ~q
1.6 q  (p  ~q)
1.7 p  ~q
1.8 p  ~q
2. กาหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง, เท็จ, จริง, เท็จ และ จริง ตามลาดับ
จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
2.1 p  (q  r)
2.2 ~q  (p  r)
2.3 (p  q)  ( s  t)
2.4 (~q  ~r)  (~p  t)
2.5 ~[~(r  ~s)  p]
2.6 (q  r)  (s  p)
2.7 (p  q)  (~q  ~p)
2.8 (p  q)  ( q  p)
2.9 [(p  s)  (r  t)]  (r  q)
2.10 [(p  ~q)  (r  ~s)]  [(~r  t)  (~s  ~r)]
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. กาหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ จงพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ เมื่อกาหนดค่าความ
จริงของประพจน์ย่อยเพียงบางประพจน์
3.1 p q เมื่อ q มีค่าความจริงเป็นจริง
3.2 p q เมื่อ q มีค่าความจริงเป็นจริง
3.3 p  (q  r) เมื่อ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ
3.4 (p  q)  s เมื่อ p  q มีค่าความจริงเป็นเท็จ
3.5 (p  q)  (r  s) เมื่อ q, r มีค่าความจริงเป็นจริง
3.6 (p  q)  (p  q) เมื่อ p  q มีค่าความจริงเป็นเท็จ
3.7 p  (q  r) เมื่อ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ
3.8 (p  s)  (r  p) เมื่อ p มีค่าความจริงเป็นจริง
3.9 p  ( r  s) เมื่อ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ
3.10 (p  ~r)  (r  p) เมื่อ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4. จงหาค่าความจริงของประพจน์ย่อยต่อไปนี้เมื่อกาหนดค่าความจริงของประพจน์มาให้
4.1 q  (p  s) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4.2 (p  q)  t มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4.3 p  (q  r) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4.4 (r  s)  r มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4.5 ~p  ( p  q) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4.6 (p  q)  (q  r) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4.7 (r  s)  (~r  ~s) มีค่าความจริงเป็นจริง
4.8 (p  ~q)  (r  s) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4.9 [(p  q)  r]  q มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4.10 p  [(q  p)  (p  q)] มีค่าความจริงเป็นจริง
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. การสมมูล
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. การสมมูล
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงเกี่ยวกับความหมายของการสมมูล การตรวจสอบการสมมูลโดย
อาศัยการสร้างตารางค่าความจริง
ผู้สอนควรชี้ให้เห็นว่า พื้นฐานสาคัญของการตรวจสอบการสมมูลในขั้นนี้ คือการตรวจสอบโดย
สร้างตารางค่าความจริง โดยอาจทบทวนการสร้างตารางค่าความจริงด้วยตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง 1 จงสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ (p  q)  ( q  p)
p q (p  q) (q  p) (p  q)  (q  p)
T T T T T
T F F T F
F T T F F
F F T T T
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 2 จงสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ (p  ~r)  ( r  p)
p r ~r (p  ~r) ( r  p) (p  ~r)  ( r  p)
T T F F T T
T F T T F T
F T F F F F
F F T F F F
ตัวอย่าง 3 จงสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ ~p  [~q  (p  q)]
p q ~p ~q (p  q) [~q  (p  q)] ~p  [~q  (p  q)]
T T F F T F T
T F F T F F T
F T T F T F F
F F T T T T T
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การสมมูล
1. จงสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1.1 (q  ~p)  s
1.2 (p  q)  (q  s)
1.3 (p  q)  (r  s)
2. ประพจน์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่ โดยสร้างตารางค่าความจริงเพื่อแสดงว่าประพจน์ที่
กาหนดให้สมมูลกัน หรือยกตัวอย่างกรณีค่าความจริงเพื่อแสดงว่าประพจน์ที่กาหนดให้ไม่สมมูลกัน
2.1 p  (q  r) กับ ~ (p  q)  (p  r)
2.2 p  (~q  s) กับ ~q  (p  s)
2.3 (p  q)  r กับ (p  r)  (q  r)
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
จงเลือกข้อที่ถูกต้อง
1. ข้อใดต่อไปนี้เป็นประพจน์
ก. เธอมายืนอยู่ข้างๆฉัน ข. รักเธอตราบชั่วฟ้าดินสลาย
ค. เดือนมีนาคมมี 32 วัน ง. มีนาคมเป็นเดือนแห่งความสุขจริงๆนะ
2. ข้อใดต่อไปนี้ไม่เป็นประพจน์
ก. 3 และ 5 เป็นตัวประกอบของ 15
ข. x 2 + 4 = y
ค. สมการ x 2 - 2 = 0 มี - 2 และ 2 เป็นคาตอบของสมการ
ง. ค่าของทศนิยมตาแหน่งที่สี่ของ 5 คือ 4
3. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
1) กรุณาใช้น้าอย่างประหยัดเพื่อให้มีน้าใช้วันต่อไป
2) สตีฟ จ๊อบส์ ผู้สร้างไอโฟน เสียชีวิตเมื่อปี พ.ศ. 2011
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. ทั้งข้อ 1 และข้อ 2 เป็นประพจน์ ข. ข้อ1ไม่เป็นประพจน์แต่ข้อ 2 เป็นประพจน์
ค. ข้อ 1 เป็นประพจน์แต่ข้อ 2 ไม่เป็นประพจน์ ง. ทั้งข้อ 1 และข้อ 2 ไม่เป็นประพจน์
4. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
1) 145 ไม่เป็นจานวนเฉพาะ เป็นประพจน์
2) 145 เป็นจานวนเฉพาะ เป็นประพจน์
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. ทั้งข้อ 1 และข้อ 2 ถูก ข. ข้อ 1 ถูก แต่ข้อ 2 ผิด
ค. ข้อ 1 ผิด แต่ข้อ 2 ถูก ง. ทั้งข้อ 1 และข้อ 2 ผิด
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
22
ก.   และ  เป็นจานวนอตรรกยะ มีค่าความจริงเป็นจริง
7
22
ข.   หรือ  เป็นจานวนอตรรกยะ มีค่าความจริงเป็นเท็จ
7
22
ค. ถ้า   แล้ว  เป็นจานวนอตรรกยะ มีค่าความจริงเป็นจริง
7
22
ง. ถ้า  เป็นจานวนอตรรกยะ แล้ว   มีค่าความจริงเป็นจริง
7
6. พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้ “2 เป็นจานวนคี่ ก็ต่อเมื่อ 2 เขียนในรูป 2n+1ได้” ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. 2 เป็นจานวนคี่ มีค่าความจริงเป็นจริง 2 เขียนในรูป 2n+1 ได้ มีค่าความจริงเป็นจริง
ประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็นจริง
ข. 2 เป็นจานวนคี่ มีค่าความจริงเป็นจริง 2 เขียนในรูป 2n+1 ได้ มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ค. 2 เป็นจานวนคี่ มีค่าความจริงเป็นเท็จ 2 เขียนในรูป 2n+1 ได้ มีค่าความจริงเป็นจริง
ประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ง. 2 เป็นจานวนคี่ มีค่าความจริงเป็นเท็จ 2 เขียนในรูป 2n+1 ได้ มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็นจริง
7. กาหนดให้ p, q, r, s และ t มีค่าความจริงเป็น เท็จ จริง จริง เท็จ และเท็จ ตามลาดับ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. r  ((q ~ s)  ( p ~ t )) มีค่าความจริงเป็นจริง
ข. ~ t  ((q ~ p)  (r  s)) มีค่าความจริงเป็นจริง
ค. t  ((q ~ s)  ( p  t )) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ง. p  (~ q  (r  s)) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
8. ให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. จากประพจน์ q  (~ r  t ) ถ้ากาหนดให้ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า q  (~ r  t )
มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ข. จากประพจน์ p  ( s ~ s) ถ้า p มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ว่า p  ( s ~ s) มีค่าความจริงเป็น
จริง และถ้า p มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า p  ( s ~ s) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ค. จากประพจน์ (r t )  (~ r t ) ถ้ากาหนดให้ประพจน์ r และ t มีค่าความจริงต่างกัน จะได้ว่า
(r t )  (~ r t ) มีค่าความจริงเป็นจริง
ง. จากประพจน์ ( p  q )  (q  s) ถ้ากาหนดให้ ( p  q ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า
( p  q )  (q  s) มีค่าความจริงเป็นจริง
9. ถ้ากาหนดให้ประพจน์ (( p ~ r )  (~ q  t ))  ((t  ~ r )  (t  p)) มีค่าความจริงเป็นจริง แล้วค่า
ความจริงของประพจน์ p, q, r และ t ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
ก. p, q, r และ t มีค่าความจริงเป็น จริง เท็จ เท็จ และจริง ตามลาดับ
ข. p, q, r และ t มีค่าความจริงเป็น เท็จ จริง เท็จ และจริง ตามลาดับ
ค. p, q, r และ t มีค่าความจริงเป็น เท็จ จริง จริง และจริง ตามลาดับ
ง. p, q, r และ t มีค่าความจริงเป็น จริง เท็จ จริง และจริง ตามลาดับ
10. ถ้าประพจน์ ( p ~ q )  ((q  r )  (~ r  s)) มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วค่าความจริงของประพจน์ p,
q, r และ s ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
ก. p, q, r และ s มีค่าความจริงเป็น จริง จริง เท็จ และจริง ตามลาดับ
ข. p, q, r และ s มีค่าความจริงเป็น เท็จ เท็จ จริง และเท็จ ตามลาดับ
ค. p, q, r และ s มีค่าความจริงเป็น เท็จ จริง จริง และเท็จ ตามลาดับ
ง. p, q, r และ s มีค่าความจริงเป็น จริง เท็จ จริง และจริง ตามลาดับ
11. พิจารณาตารางค่าความจริงต่อไปนี้
p q p  q ~ p ~ q ~ p ~ q ( p  q )  (~ p ~ q )
T T 1)
T 2) F
F T 3)
F F 4)
หาค่าความจริงที่ปรากฏในตาแหน่งที่ 1) 2) 3) และ 4) ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
ก. T T F และ T ข. F F T และ F
ค. F F T และ T ง. T F T และ T
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
12. พิจารณาตารางค่าความจริงต่อไปนี้
p q 1) 2) 3)
T T F F T
T F F T T
F T T T T
F F T F F
ประพจน์ที่ปรากฏในตาแหน่งที่ 1) 2) และ 3) ควรตรงประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้
ก. ~ p  q , ~ p และ p  q ข. p  q , ~ p  q และ ~ p
ค. ~ p , p  q และ ~ p  q ง. ~ p , ~ p  q และ p  q
13. ถ้าประพจน์ที่กาหนดให้ มีประพจน์ย่อยทั้งหมดที่แตกต่างกัน คือ p, q, r, s, t, u และ v แล้ว ในการสร้าง
ตารางค่าความจริง จะมีกรณีที่ต้องพิจารณาค่าความจริงทั้งหมดกี่กรณี
ก. 7 กรณี ข. 14 กรณี
ค. 49 กรณี ง. 128 กรณี
14. พิจารณาตารางค่าความจริงต่อไปนี้
p q pq pq ( p  q)  p
T T T T T
T F F T T
F T F T F
F F T F T
p q p q ~ ( p  q) ~q ~q p
T T T F F F
F F T F T F
F T T F F F
T F F T T T
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. p  q  ( p  q )  p ข. p  q  p  p
ค. ~ q  p  p  q ง. ~ ( p  q ) ~ q  p
15. พิจารณาตารางค่าความจริงต่อไปนี้
p q qp ~q 1) ~ p ~ q 2)
T T T F F F F
T F T T F F F
F T F F T F T
F F T T T T T
ประพจน์ที่ปรากฏในตาแหน่งที่ 1) และ 2) ควรตรงประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้
ก. ~ p และ (~ p  ~ q )  ( q  p) ข. ~ p และ ( q  p )  (~ p  ~ q )
ค. p  q และ (~ p  ~ q )  ( q  p) ง. p  q และ ( q  p )  (~ p  ~ q )
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
36

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ประพจน์และค่าความจริง
1. 1.1 เป็นประพจน์
1.2 เป็นประพจน์
1.3 เป็นประพจน์
1.4 ไม่เป็นประพจน์
1.5 ไม่เป็นประพจน์
1.6 เป็นประพจน์
1.7 เป็นประพจน์
1.8 ไม่เป็นประพจน์
1.9 ไม่เป็นประพจน์
1.10 ไม่เป็นประพจน์
2. เป็นประพจน์ เพราะถึงแม้ในตอนนี้จะยังไม่สามารถระบุได้ว่าข้อความนี้เป็นจริงหรือไม่ แต่ข้อความนี้
สามารถระบุได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งแน่ๆ เพียงอย่างเดียว
3. 32 กรณี
4. 9 ประพจน์
37

39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ตัวเชื่อมประพจน์
1. 1.1 พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก หรือประเทศอังกฤษอยู่ในทวีปแอฟริกา
มีค่าความจริงเป็นจริง
1.2 พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก และประเทศอังกฤษอยู่ในทวีปแอฟริกา
มีค่าความจริงเป็นเท็จ
1.3 ถ้าพระอาทิตย์ไม่ขึ้นทางทิศตะวันออก แล้ว ประเทศอังกฤษอยู่ในทวีปแอฟริกา
มีค่าความจริงเป็นจริง
1.4 ประเทศอังกฤษไม่อยู่ในทวีปแอฟริกา ก็ต่อเมื่อ พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก
มีค่าความจริงเป็นจริง
1.5 พระอาทิตย์ไม่ขึ้นทางทิศตะวันออก และ ประเทศอังกฤษไม่อยู่ในทวีปแอฟริกา
มีค่าความจริงเป็นเท็จ
1.6 ถ้าประเทศอังกฤษอยู่ในทวีปแอฟริกาแล้วพระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก หรือ ประเทศอังกฤษ
ไม่อยู่ในทวีปแอฟริกา
มีค่าความจริงเป็นจริง
1.7 พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก หรือ ประเทศอังกฤษไม่อยู่ในทวีปแอฟริกา
มีค่าความจริงเป็นจริง
1.8 ถ้า พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก แล้วประเทศอังกฤษไม่อยู่ในทวีปแอฟริกา
มีค่าความจริงเป็นจริง
2. 2.1 มีค่าความจริงเป็นจริง
2.2 มีค่าความจริงเป็นจริง
2.3 มีค่าความจริงเป็นจริง
2.4 มีค่าความจริงเป็นจริง
2.5 มีค่าความจริงเป็นเท็จ
2.6 มีค่าความจริงเป็นจริง
2.7 มีค่าความจริงเป็นจริง
38

40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.8 มีค่าความจริงเป็นจริง
2.9 มีค่าความจริงเป็นเท็จ
2.10 มีค่าความจริงเป็นจริง
3. 3.1 มีค่าความจริงของจริง
3.2 มีค่าความจริงของจริง
3.3 มีค่าความจริงเป็นเท็จ
3.4 มีค่าความจริงเป็นจริง
3.5 มีค่าความจริงเป็นจริง
3.6 มีค่าความจริงเป็นเท็จ
3.7 มีค่าความจริงเป็นจริง
3.8 มีค่าความจริงเป็นจริง
3.9 มีค่าความจริงเป็นจริง
3.10 มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4. 4.1 p q และ s มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4.2 p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง t มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4.3 p มีค่าความจริงเป็นจริง q และ r มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4.4 r และ s มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4.5 p มีค่าความจริงเป็นจริง q มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4.6 p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง r มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4.7 r และ s มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4.8 p และ s มีค่าความจริงเป็นเท็จ q และ r มีค่าความจริงเป็นจริง
4.9 p และ r มีค่าความจริงเป็นจริง q มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4.10 p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง
39

41. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง การสมมูล
1. 1.1
p q s ~p q  ~p (q  ~p)  s
T T T F T T
T T F F T F
T F T F F F
T F F F F T
F T T T T T
F T F T T F
F F T T T T
F F F T T F
1.2
p q s pq q s (p  q)  (q  s)
T T T T T T
T T F T T T
T F T F T T
T F F F F T
F T T F T T
F T F F T T
F F T F T T
F F F F F T
40

42. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1.3
p q r s p q r s (p  q)  (r  s)
T T T T T T T
T T T F T T T
T T F T T T T
T T F F T F F
T F T T T T T
T F T F T T T
T F F T T T T
T F F F T F F
F T T T T T T
F T T F T T T
F T F T T T T
F T F F T F F
F F T T F T T
F F T F F T T
F F F T F T T
F F F F F F F
41

43. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.1
p q r q  r p  (q  r) p  q ~(p  q) pr ~(p  q)  (p  r)
T T T T T T F T T
T T F F F T F F F
T F T T T F T T T
T F F T T F T F T
F T T T F T F F F
F T F F F T F F F
F F T T F T F F F
F F F T F T F F F
จากตารางค่าความจริง p  (q  r) สมมูลกับ ~ (p  q)  (p  r)
2.2
p q s ~q (~q  s) p  (~q  p  s ~q  (p  s)
s)
T T T F T T T T
T T F F T T F T
T F T T T T T T
T F F T F F F F
F T T F T T T T
F T F F T T T T
F F T T T T T T
F F F T F T T T
จากตารางค่าความจริง p  (~q  s) สมมูลกับ ~q  (p  s)
2.3 ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง จริง และเท็จ ตามลาดับ จะได้ว่า
(p  q)  r มีค่าความจริงเป็นเท็จ แต่ (p  r)  (q  r) มีค่าความจริงเป็นจริง
นั่นคือ (p  q)  r ไม่สมมูลกับ (p  r)  (q  r)
42

44. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. ค
2. ข
3. ข
4. ก
5. ค
6. ง
7. ก
8. ข
9. ก
10. ค
11. ค
12. ง
13. ง
14. ง
15. ข
43

45. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
44

46. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
45

47. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
46

48. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
47