abstract of end of year project

ETUDE ET DIMENSIONNEMENT D’UN PONT DIFFERENTIEL GM2-ENIG
SELMI MARWAN- KHATTABI NADER Page 17
Chapitre I :
Etude de transmission de puissance:

1. Schéma cinématique :
2. Etude de couple a l’entrée et sortie :
On considère une voiture qui roule, et nous voulons contrôler la vitesse de chaque roue. Nous
remarquons que la vitesse change proportionnellement à l’angle de déviation.
Considérons le cas d’un virage gauche :
-soit l’angle de déviation (δ)=90°.
-la roue arrière gauche va tourner en arrière
- soit R le rayon définissant la distance entre le centre de virage jusqu’à la moitié de l’axe arrière des
roues.
La relation entre l’angle de déviation, rayon R, la vitesse de rotation et les dimensions de voiture
s’écrit sous la forme :
𝑅 =
ωb
tan δ
; 𝜔désiré =
Vdésiré
R
=
Vdésiré .tan δ
ωb
On Remarque si l’angle de déviation est nulle alors le rayon R tend vers l’infinie donc la voiture roule
dans une ligne droite. Quand on tourne d’une vitesse désiré, sans tenir compte, de la vitesse de chaque
roue, tout l’ensemble (véhicule) tourne avec le même vitesse désiré, cela veut dire que toutes les roues
ont la même vitesse angulaire ωb.
Figure 7 : Schéma cinématique d’un pont
différentiel

Figure 8 : Position des roues d’une automobile lors d’un virage à gauche
On peut calculer les différents rayons des roues comme suit :
𝑅 𝐹𝐿 = 𝑆𝑔𝑛(𝛿)√(𝑅 −
𝑇𝑏
2
)
2
+ ωb
2
; 𝑅 𝑅𝐿 = 𝑅 −
Tb
2
RFR = 𝑆𝑔𝑛(𝛿)√(R +
Tb
2
)
2
+ ωb² ; 𝑅 𝑅𝑅 = 𝑅 +
Tb
2
Retournons à la relation de base entre la vitesse angulaire, la vitesse linéaire et le rayon du virage:
𝑉 = ωb. 𝑅 𝑟𝑜𝑢𝑒
En utilisant la formule au dessus, on peut déduire la vitesse de chaque roue :
VFL =
Vdésiré .tanδ
ωb
. sgn. √(
ωb
tan δ
−
𝑇 𝑏
2
)
2
+ ωb²
=
Vdésiré
ωb
. √(tan δ)² (
ωb
tan δ
−
𝑇 𝑏
2
)
2
+ (tan δ)²ωb²

 𝑉𝐹𝐿 =
Vdésiré
ωb
. √(𝜔 𝑏 − 𝑡𝑎𝑛 𝛿 .
𝑇 𝑏
2
)
2
+ (𝑡𝑎𝑛 𝛿 . 𝜔 𝑏)²
Répétant la même démarche pour les roues avant droite, arrière droite et arrière gauche:
VFR =
Vdésiré
ωb
. √(ωb + tan δ .
𝑇 𝑏
2
)
2
+ (tan δ . ωb)²
𝑉𝑅𝐿 =
Vdésiré.tanδ
ωb
(
ωb
tan δ
+
𝑇 𝑏
2
)
 𝑉𝑅𝐿 =
Vdésiré
ωb
(ωb + 𝑡𝑎 𝑛 𝛿 .
𝑇 𝑏
2
)
De même :
 𝑉𝑅𝑅 =
Vdésiré
ωb
. (ωb − 𝑡𝑎 𝑛 𝛿 .
𝑇 𝑏
2
)
Finalement on trouve les relations qui nous permettent de calculer la vitesse associée à chaque roue :
 𝑉𝐹𝐿 =
Vdésiré
ωb
. √(𝜔 𝑏 − 𝑡𝑎𝑛 𝛿 .
𝑇 𝑏
2
)
2
+ (𝑡𝑎𝑛 𝛿 . 𝜔 𝑏)² .
 . VFR =
Vdésiré
ωb
. √(ωb + tan δ .
𝑇 𝑏
2
)
2
+ (tan δ . ωb)2
 𝑉𝑅𝐿 =
Vdésiré
ωb
(ωb + 𝑡𝑎 𝑛 𝛿 .
𝑇 𝑏
2
) (1)
 𝑉𝑅𝑅 =
Vdésiré
ωb
. (ωb − 𝑡𝑎 𝑛 𝛿 .
𝑇 𝑏
2
) (2)
Notre pont différentiel est situé entre les roues arrière du véhicule alors dans la suite on va s’intéresser
uniquement aux roues arrière :
𝑉𝑅𝐿 = 𝜔 𝑅𝐿. 𝑅 𝑟𝑜𝑢𝑒
 {
𝜔 𝑅𝐿 =
𝑉 𝑅𝐿
𝑅 𝑟𝑜𝑢𝑒
(3)
𝜔 𝑅𝑅 =
𝑉 𝑅𝑅
𝑅 𝑟𝑜𝑢𝑒
(4)
Ce qui nous donne la vitesse de rotation de chaque roue :
𝜔 𝑅𝐿 =
𝜋.𝑁 𝑅𝐿
30
 {
𝑁 𝑅𝐿 =
30.𝜔 𝑅𝐿
𝜋
(5)
𝑁 𝑅𝑅 =
30.𝜔 𝑅𝑅
𝜋
(6)

Remplaçant (3) et (4) respectivement dans (5) et (6) :
 {
𝑁 𝑅𝐿 =
30.𝑉 𝑅𝐿
𝜋
(7)
𝑁 𝑅𝑅 =
30.𝑉 𝑅𝑅
𝜋
(8)
Remplaçant (1) et (2) respectivement dans (7) et(8) :
𝑁 𝑅𝐿 =
30.
Vdésiré
ωb
(ωb+𝑡𝑎 𝑛 𝛿.
𝑇 𝑏
2
)
𝜋.𝑅 𝑟𝑜𝑢𝑒
𝑁 𝑅𝑅 =
30.
Vdésiré
ωb
(ωb−𝑡𝑎 𝑛 𝛿.
𝑇 𝑏
2
)
𝜋.𝑅 𝑟𝑜𝑢𝑒
Avec :
- ωb : distance entre les roues avant et les roues arrière. On adopte ωb = 2200 mm.
- 𝑇𝑏 : distance entre les roues arrière. 𝑇𝑏 = 1200 mm.
- 𝑅 𝑟𝑜𝑢𝑒: rayon de roue. 𝑅 𝑟𝑜𝑢𝑒 = 17pouce / 2 = 215.9 mm.
Condition au limite (𝛿 = 90°)
- Vdésiré : vitesse du véhicule au virage (𝛿 = 90°). Vdésiré = 25 Km/h = 6.94 m/s
AN : 𝑁 𝑅𝐿 = 139.927 tr/min
𝑁 𝑅𝑅 = 473.987 tr/min
Pour la suite, on admettra la valeur de vitesse de rotation 𝑁 𝑅𝑅 = 473.987 tr/min comme une
condition a la limite.

Chapitre II :
Dimensionnement des engrenages
1. Nombre de dent de pignon :

Z1 maxi =
σFlim. Yst. Y
Ysa. YFa. Yε. Yβ
(
σHlim
ZE
)
2
.
1
ZH
2 .
1
Zβ
2 .
1
Zε
2 . (
i
i + 1
) . Zv
2
. Zp
2
. cosβ =
σ0
ω0
.
cos β
(
i
i + 1
) . Zv
2
. Zp
2
Avec : σ0 =
σFlim.Yst.Y
Ysa.YFa.Yε.Yβ
et ω0 = (
σHlim
ZE
)
2
.
1
ZH
2 .
1
Zβ
2 .
1
Zε
2 et 𝐶𝑟 =
𝑖
𝑖+1
1.1. Calcul de 𝛔 𝟎 :
 Matériau utilisé : C45(XC48) :
D’après le tableau (1) on a : σFlim. Yst = 75,6 daN/mm2
D’après la figure (9) on prélève :
 Y = 1
 β = 20°
 Yε = 0,25 +
0.75
εα
or 1,5≤ εα ≤ 1,8 on choisit εα = 1,5
Alors : Yε = 0,25 +
0,75
1,5
= 0,75
Yβ = 1 − εβ.
β
120
or εγ = εα + εβ
sig
⇔ εβ=εγ + εα
𝑑′𝑜𝑢
⇔ εβ = 2
Alors : Yβ = 1 − 2.
20
120
= 0,666
Finalement on en déduit :
σ0 =
σFlim. Yst. Y
Ysa. YFa. Yε. Yβ
=
75,6
0,75 .0,66 .4,52
= 33,45 da/mm2
1.2.Calcul de 𝛚 𝟎:
- Recherche de (
σHlim
ZE
)
2
:
On a ZE
2
= 0,175. E
En se référant au tableau (1) on aura :
(
σHlim
ZE
)
2
= 4.54 daN/mm2
- Calcul de ZH :
ZH
2
=
2. cosβb
sinαt + cosαt

On a
{
tan βb = tan β . cos αt = tan20 . cos 21,17 = 0,33909 (∗)
αt = arctg (
tan α
cosβ
) = arctg (
tan 20
cos20
) = 21,17° (∗∗)
En utilisant (*) et (**) on obtient :
βb = 18,7464°
Apres tout calcul fait on obtient :
AN : =
2.cos 18,7464
sin 21,17 +cos 21,17
 ZH
2
= 5,624
- Calcul de ZB :
ZB = cos β
AN :
 cos 20 = 0.9659
- Calcul de Zε :
Zε
2
=
1
εα
AN : =
1
1,5
 Zε
2
= 0,666
Finalement on en déduit :
ω0 = (
σHlim
ZE
)
2
.
1
ZH
2 .
1
Zβ
2 .
1
Zε
2
AN : =
4,54
(
σHlim
ZE
)
2
.
1
5,624
.
1
0.666
.
1
0,9659
 ω0 = 1,2536 daN/mm2
On prélève les valeurs de Zv et Zp d’après les figure (10),(11) :
 Zv
2
= 0,72
 Zp = 1 (choix de calcul)
On peut également déterminer le nombre de dents maximal de pignon :

Z1 maxi =
σ0
ω0
.
cos β
(
i
i+1
).Zv
2
.Zp
2
AN : =
33,45
1,2536
.
cos 20
(
4
4+1
).1 .0,72
 Z1 maxi = 43,52 ≈ 44 dents
2. calcul des paramètres de pignon :
2.1. Calcul de diamètre primitif de pignon :
2.1.1 Calcul des différentes couples :
- Couple nominale de la sortie de la boite vitesse :
Pmoteur = 66 Kw
Nmoteur,maxi= 4000 tr/min
Cn1 =
30 . Pmoteur
π . Nmoteur,maxi
. i
AN : =
30.66000
π.4000
. 4
Cn1 = 630,24 N. m
- Couple de démarrage :
Cd1 = 2. Cn1
AN : = 2 . 630,24
Cd1 = 1260,48 N. m
2.1.2 Calcul de diamètre primitif de pignon :
On peut calculer le diamètre primitif de pignon à l’aide de l’expression :
on prend Zv = 1 et Kv = 1.15 (choix de calcul)
dp,pignion =
√
2
ω0.
ρ
Kαβ
.
Zv
2
. Zβ
2
Kβ. Kv
.
.
Cd1
Cr1
3
AN : dp,pignon = √
2
1,2536.10.
0,6
0,8
.
1 . 0,722
1,4 .1,15
.
.
1260,48.103
0,8
3
dp,pignon = 101,34 mm

2.1.3 Calcul de diamètre primitif corrigé de pignon :
- Calcul de vitesse corrigé :
Vco1 =
π.dp,pignon.Nmoteur,maxi
60
AN : =
π . 101,34 .4000
60
‘
 Vco1 = 21225,8 mm s⁄ = 21,22 m s⁄
-
Vco1.Z
100
=
21,22 . 28
100
= 5,94
On peut déduire les nouvelles valeurs de Kv et Zv d’après les figures (10) et (12) :
 Kv1 = 1,28 et Zv1 = 1,025
- Calcul de diamètre primitif corrigé de pignon :
Pour le calcul on prend b=50 mm :
Kαβ =
40
𝑏
=
40
50
 Kαβ = 0,8
D’après la figure (11) : Zp = 0,72
dpc,pignon =
√
2
ω0.
ρ
Kαβ
.
Zv1
2.Zβ
2
Kβ.Kv1
.
.
Cd1
Cr1
3
AN : = √
2
1,2536 .10 .
0,6
0,8
.
1,025 .0,722
1,4 .1,28
.
.
1260,48.103
0,8
3
 𝑑 𝑝𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 = 104,16 𝑚𝑚
2.1.4 Vérification du diamètre primitif :
𝑑 𝑚,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑖𝑜𝑛 =
𝑑 𝑝𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛𝑛+𝑑 𝑝,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑖𝑜𝑛
2
AN : =
104,16+ 101,34
2
 𝑑 𝑚,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 = 102,75 𝑚𝑚


|𝑑 𝑝𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛− 𝑑 𝑝,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛|
𝑑 𝑚,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛
AN : =
|104,16−101,34|
102,75
= 0,02
 2% ≤ 10% 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖é
2.2 Choix de module moyen:
2.2.1 Angle d’inclinaison d’hélices :
𝑡𝑔𝛽 =
2 .𝜋
0,628
= 0,34
 𝛽1 = 21°
2.2.2 Encadrement de nombre de dents maximal de pignon 𝒁 :
0,6 . 𝑍1 𝑚𝑎𝑥𝑖 ≤ 𝑍1 ≤ 0,8 . 𝑍1 𝑚𝑎𝑥𝑖
 26,4 ≤ 𝑍 ≤ 35,2
2.2.3 Encadrement et choix du module moyen au niveau de pignon/couronne :
On sait que :
26,4 ≤ 𝑍 𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 ≤ 35,2
AN :
104,16 .𝑐𝑜𝑠 21
35,2
≤ 𝑚 𝑚1 ≤
104,16 .𝑐𝑜𝑠 21
26,4
 2,76 ≤ 𝑚 𝑚1 ≤ 3,68
D’après le tableau (2) on prend : 𝑚 𝑚1 = 3
2.3 Calcul de nombre de dent du pignon :
Nombre de dents de pignon calculé :
𝑑 𝑝𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 = 𝑍 𝑝,𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙é. 𝑚 𝑚1
𝑍𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 =
𝑑 𝑝𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛
𝑚 𝑚1
AN : =
104,16
3
𝑍𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 = 34,72 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑠
 𝑍 𝑝 ≈ 35 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖é

3. Calcul de diamètre primitif de couronne :
3.1. Calcul de diamètre primitif de couronne :
3.1.1 Calcul des différentes couples :
- Couple nominale de la couronne :
𝐶 𝑛2 = 𝑖 . 𝐶 𝑛𝑠𝑏𝑣
AN : = 4.630,24
 𝐶 𝑛2 = 2520,96 𝑁. 𝑚
- Couple de démarrage :
𝐶 𝑑2 = 2. 𝐶 𝑛2
AN : = 2 . 2520,96
 𝐶 𝑑2 = 5041,91 𝑁. 𝑚
3.1.2 Calcul de diamètre primitif de couronne :
On peut calculer le diamètre primitif de la couronne à l’aide de l’expression :
𝑑 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑓,𝑐o𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 =
√
2
𝜔0.
𝜌
𝐾 𝛼𝛽
.
𝑍 𝑣
2.𝑍 𝛽
2
𝐾 𝛽.𝐾 𝑣
.
.
𝐶 𝑑2
𝐶 𝑟2
3
On utilise les mêmes valeurs de paramètres utilisés dans le calcul du diamètre primitif du pignon :
AN : 𝑑 𝑝,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = √
2
1,2536.10.
0,6
0,8
.
1 . 0,722
1,4 .1,15
.
.
5041,91.103
0,8
3
 𝑑 𝑝𝑐𝑜𝑢r𝑜𝑛𝑛𝑒 = 160,87 𝑚𝑚
3.1.3 Calcul de diamètre primitif corrigé de couronne :
𝑉𝑐𝑜2 =
𝜋.𝑑 𝑝,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒.𝑁 𝑚𝑜𝑡𝑒𝑢𝑟,𝑚𝑎𝑥𝑖
60
- AN : =
𝜋 . 160,87 .4000
60
 𝑉𝑐𝑜2 = 33693,84 𝑚𝑚 𝑠⁄ = 33,69 𝑚 𝑠⁄

-
𝑉𝑐𝑜2.𝑍
100
=
21,22 . 28
100
= 9,43
On peut déduire les nouvelles valeurs d’après les figures (10) et (12) :
 𝐾𝑣2 = 1,47 𝑒𝑡 𝑍 𝑣2 = 1,042
- Calcul de diamètre primitif corrigé de pignon :
𝑑 𝑝𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 =
√
2
𝜔0.
𝜌
𝐾 𝛼𝛽
.
𝑍 𝑣2
2.𝑍 𝛽
2
𝐾 𝛽.𝐾 𝑣2
.
.
𝐶 𝑑2
𝐶 𝑟2
3
AN : = √
2
1,2536 .10 .
0,6
0,8
.
1,042 .0,722
1,4 .1,47
.
.
5091,41.103
0,8
3
 𝑑 𝑝𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = 172,77 𝑚𝑚
3.1.4 Vérification du diamètre primitif de couronne :
𝑑 𝑚,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 =
𝑑 𝑝𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 + 𝑑 𝑝,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒
2
AN : =
172,77+ 160,87
2
 𝑑 𝑚,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = 166,82 𝑚𝑚
|𝑑 𝑝𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 − 𝑑 𝑝,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒|
𝑑 𝑚,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒
=
|172,77−160,87|
166,82
= 0,071
= 7,1% ≤ 10% 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖é
3.2. Angle d’inclinaison d’hélices du couronne et module moyen:
Pour assurer l’engrènement entre la pignon et la couronne il faut admettre la même angle d’hélices
pour les deux roues, et le même module :
 𝛽1 = 𝛽2 = 21° et 𝑚 𝑚2 = 𝑚 𝑚1 = 3
3.3 Nombre de dents de couronne calculé :
𝑑 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑓,𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔é,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = 𝑍𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒,𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙é. 𝑚 𝑚2

𝑍𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 =
𝑑 𝑝𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒
𝑚 𝑚2
AN : =
1
72,77
3
𝑍𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = 42,59 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑠
 𝑍𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 ≈ 43 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑠
4. Calcul du diamètre primitif du planétaire/satellite :
4.1. Calcul des différentes couples :
- Couple nominale de la planétaire/satellite :
Pour une condition de limite : virage gauche d’angle = 90 °
𝒔𝒊𝒈
⇔ 𝜔 𝑔 = 0°
On sait que : 𝜔 𝑎𝑝 =
𝜔 𝑎𝑔+ 𝜔 𝑎𝑑
2
aussi on a : 𝐶 𝑎𝑎𝑑. 𝜔 𝑎𝑑 = 𝐶 𝑛𝑠𝑏𝑣. 𝜔 𝑠𝑏𝑣
𝑠𝑖𝑔
⇔ 𝐶 𝑎𝑎𝑑 =
𝐶 𝑛𝑠𝑏𝑣
𝜔 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒
. 𝜔 𝑒
=
𝐶 𝑛𝑠𝑏𝑣.𝑁 𝑠𝑏𝑣
𝑁 𝑎𝑑
AN : 𝐶 𝑎𝑎𝑑 =
630,24.306,957
473,987
 𝐶 𝑎𝑎𝑑 = 408,14 𝑁. 𝑚
- Couple nominale de la planétaire/satellite :
𝐶 𝑑𝑎𝑑 = 2 . 𝐶 𝑎𝑎𝑑
AN : = 2 .408,14
 𝐶 𝑑𝑎𝑑 = 816,29 𝑁. 𝑚
4.1.2 Détermination du diamètre primitif de la planétaire :
𝑑 𝑝,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 =
√
2
𝜔0.
𝜌
𝐾 𝛼𝛽
.
𝑍 𝑣
2
. 𝑍 𝛽
2
𝐾𝛽. 𝐾𝑣
.
.
𝐶 𝑑𝑎𝑑
𝐶𝑟
3
AN : = √
2
1,2536.10.
0,6
0,8
.
1.0,722
1,4.1,15
.
.
816,29.103
0,8
3
 𝑑 𝑝,𝑝𝑙a𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = 87,68 𝑚𝑚

4.1.3 Vérification du diamètre primitif du planétaire :
𝑉𝑐𝑜3 =
𝜋.𝑑 𝑝,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒.𝑁 𝑚𝑜𝑡𝑒𝑢𝑟,𝑚𝑎𝑥𝑖
60
AN : =
𝜋 . 50,67 .4000
60
 𝑉𝑐𝑜3 = 18363,98 𝑚𝑚 𝑠⁄ = 18,63 𝑚 𝑠⁄
-
𝑉𝑐𝑜3.𝑍
100
=
18,63 . 28
100
= 5,14
On peut déduire les nouvelles valeurs d’après les figures (10) et (12) :
𝐾𝑣3 = 1,28 𝑒𝑡 𝑍 𝑣3 = 1,022
𝑑 𝑝𝑐,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 =
√
2
𝜔0.
𝜌
𝐾 𝛼𝛽
.
𝑍 𝑣3
2.𝑍 𝛽
2
𝐾 𝛽.𝐾 𝑣3
.
.
𝐶 𝑑𝑎𝑑
𝐶 𝑟
3
AN : = √
2
1,2536 .10 .
0,6
0,8
.
1,022.0,722
1,4 .1,28
.
.
816,29.103
0,8
3
 𝑑 𝑝𝑐,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = 90,21 𝑚𝑚
𝑑 𝑚,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 =
𝑑 𝑝𝑐,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒+𝑑 𝑝,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒
2
=
90,21+ 87,68
2
 𝑑 𝑚,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = 88,94 𝑚𝑚
|𝑑 𝑝𝑐,p𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒− 𝑑 𝑝,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒|
𝑑 𝑚,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒
AN : =
|90,21− 87,68|
88,94
= 0,02
 2% ≤ 10% 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖é
4.2 Encadrement de la module moyenne au niveau de planétaire/satellite :
on sait que :
26,4 ≤ 𝑍2 ≤ 35,2

90,21 .𝑐𝑜𝑠 21
35,2
≤ 𝑚 𝑚2 ≤
90,21 .𝑐𝑜𝑠 21
26,4
2,39 ≤ 𝑚 𝑚2 ≤ 3,19
D’après le tableau (2) on prend : 𝑚 𝑚2 = 3
4.3 Calcul de nombre de dents des satellites et planétaires :
𝑑 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑓,𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑒,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝑚 𝑚2. 𝑍 𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒
AN : 𝑍𝑐,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 =
𝑑 𝑝𝑐,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒
𝑚 𝑚2
= 30,07
 𝑍 𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 ≈ 30 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑠
5. Calcul des modules réels :
5.1 Calcul de module de pignon/couronne :
𝑚1 = 𝑚 𝑚1. (1 + 0,5 . 𝛹 𝑅𝑀)
𝑜𝑟 𝛹 𝑅𝑀 𝜖{0,3 . . 0,35}
On choisit : 𝛹 𝑅𝑀 = 0,325
𝑚1 = 𝑚 𝑚1. (1 + 0,5 . 𝛹 𝑅𝑀)
AN : = 3. (1 + 0,5 .0,325)
 𝑚1 = 3,48 𝑚𝑚
5.2 Calcul de module de planétaires/satellites :
𝑚2 = 𝑚 𝑚2. (1 + 0,5 . 𝛹 𝑅𝑀)
AN : = 3 . (1 + 0,5 .0,325)
 𝑚2 = 3,48 𝑚𝑚
6. Calcul de différentes largeurs de denture :
On peut calculer les différentes largeurs de roues a l’aide de cette expression :
𝑏 =
2 .(𝑟−𝑟 𝑚 )
𝑠𝑖𝑛 𝛿
6.1 Calcul des angles des cônes :

-calcul d’angle des cônes pour le pignon et la couronne :
𝑡𝑎𝑛( 𝛿 𝑝𝑖𝑔𝑛𝑖𝑜𝑛/𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒) =
1
𝑖
AN : =
1
1,22
= 0,81
 𝛿 𝑝𝑖𝑔𝑛𝑖𝑜𝑛/𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = 39,34°
-calcul d’angle des cônes pour le planétaires/satellites :
𝑡𝑎𝑛( 𝛿 𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒/𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡𝑒) =
1
𝑖
AN : =
1
1
= 1
 𝛿 𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒/𝑠𝑎𝑡𝑒l𝑙𝑖𝑡𝑒 = 45°
6.2.Calcul des rayons des roues :
-calcul de rayon moyen de pignon :
𝑟𝑚1 =
𝑑 𝑝𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛
2
.𝑚 𝑚1
𝑚1
AN : =
104,16
2
.3
3,38
 𝑟𝑚1 = 46,22 𝑚𝑚
-calcul de rayon moyen couronne :
𝑟𝑚2 =
𝑑 𝑝𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒
2
.𝑚 𝑚1
𝑚2
AN : =
172,77
2
.3
3,28
 𝑟𝑚2 = 79,01 𝑚𝑚
-calcul de rayon moyen de planétaires/satellites :
𝑟𝑚3 =
𝑑 𝑝𝑐,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒/𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡𝑒
2
.𝑚 𝑚2
𝑚2
AN : =
90,21
2
.3
3,28
 𝑟𝑚3 = 41,25 𝑚𝑚

6.3.Calcul de largeur de différentes roues :
-calcul de largeur de pignon :
𝑏 𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 =
2 .(𝑟1−𝑟 𝑚 1)
𝑠𝑖𝑛 𝛿1
=
𝑑 𝑝𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛−2.𝑟 𝑚1
𝑠𝑖𝑛 𝛿 𝑝𝑖𝑔𝑛𝑖𝑜𝑛/𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒
AN : =
104,16−2.46,22
𝑠𝑖𝑛 39,34
 𝑏 𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 = 18,48 𝑚𝑚
-calcul de rayon moyen de couronne :
𝑏 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 =
2 .(𝑟2−𝑟 𝑚 2)
𝑠𝑖𝑛 𝛿1
=
𝑑 𝑝𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒−2.𝑟 𝑚2
𝑠𝑖𝑛 50,
AN : =
237,04−2.102,17
𝑠𝑖𝑛 50,66
 𝑏 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = 18,55 𝑚𝑚
-calcul de rayon moyen de planétaires/satellites :
𝑏 𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒/𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡𝑒 =
2 .(𝑟3−𝑟 𝑚 3)
𝑠𝑖𝑛 𝛿 𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒/𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡𝑒
=
𝑑 𝑝,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒/𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡𝑒−2.𝑟 𝑚3
𝑠𝑖𝑛 𝛿 𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒/𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡𝑒
AN : =
90,21−2.41,25
𝑠𝑖𝑛 45
 b 𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒/𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡𝑒 = 10,9 𝑚𝑚

Chapitre III :
Dimensionnement des arbres
Pour les différents arbres on choisit l’Acier 45SCP6 (chrome-silicium-molybdène) figure (14) :

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