1. Desigualdades
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. a) Probar
+
a4 + b4 + c4 (a + b + c)abc ∀a, b, c ∈ 0
b) Probar
(bc)2 (ac)2 (ab)2
+ 2 + 2 a2 + b2 + c2 ∀a, b, c = 0 ∈
a2 b c
Soluci´n
o
1. a) Sabemos que M edia P otencial ≥ M edia Aritm´tica es decir
e
4 a4 + b4 + c4 a+b+c
≥
3 3
a+b+c 3
a4 + b4 + c4 ≥ (a + b + c)( )
3
pero sabemos que M edia Aritm´tica ≥ M edia Geom´trica es decir
e e
a+b+c √
3
≥ abc
3
Luego reemplazando tenemos
√
3
a4 + b4 + c4 ≥ (a + b + c)( abc)3
∴ a4 + b4 + c4 ≥ (a + b + c)abc
b) Haciendo el cambio m = a2 , n = b2 , r = c2 tenemos:
nr mr mn
+ + m+n+r
m n r
observemos que m, n, r estan en las condiciones de la parte a luego
(nr)2 + (mr)2 2r2 mn
(mr)2 + (mn)2 2m2 rn
(nr)2 + (mn)2 2n2 rm
(nr)2 + (mr)2 + (mn)2 m2 nr + n2 mr + r2 mn
nr mr mn
(mnr)( + + ) (mnr)(m + n + r)
m n r
nr mr mn
∴ + + m+n+r
m n r
1