1. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
1ο
Υυλλάδιο
1ο
ΘΕΜΑ
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3nxx
3
1
x
4
1 234

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
Β. Την f ΄(x)
Γ. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία της.
Δ. Να εξετάσετε αν υπάρχουν ολικά ακρότατα.
Ε. Να βρείτε τις οριζόντιες εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f.
΢Σ. Να βρείτε το
34xx
)x(΄f
im 21x 

Απάντηση
Α. Είναι Α = ως πολυωνύμική.
Β. Είναι: 3 2
f (x) x x 2x x(x 1)(x 2)      
Γ. Είναι: f (x) 0 x 2 ή x 0 ή x 1      
Σχηματίζω πίνακα προσήμων
x  2 0 1 
x – – O + +
(x 1)(x 2)  + O – – O +
f (x) – O + O – O +
f(x)
   f (x) 0 x , 2 0,1      
άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα    , 2 , 0,1 
   f (x) 0 x 2, 0 1,       
άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα    2, 0 , 1,  
Δ. Η f παρουσιάζει για x = –2 τοπικό ελάχιστο, το
8
f( 2) n3
3
   
Η f παρουσιάζει για x = 0 τοπικό μέγιστο, το f(0) n3

2. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
Η f παρουσιάζει για x = 1 τοπικό ελάχιστο, το
5
f(1) n3
12
  
Επειδή f(x) f( 2)  για κάθε x , άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x = –2
E. Οριζόντια εφαπτόμενη έχουμε όταν: of (x ) 0 x 2 ή x 0 ή x 1      
Άρα: (ε1):
8
y n3
3
  
(ε2): y n3
(ε3):
5
y n3
12
  
΢Σ. 2x 1 x 1
f ΄(x) x(x 2)(x 1)
im im
(x 3)(x 1)x 4x 3 
 
 
  
x 1
x(x 2)
im
x 3

 

1 (1 2) 3
1 3 2
 
  


3. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
2ο
ΘΕΜΑ
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2
– 3x
Α. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2f ΄(x)
Β. Αν x1, x2 με x1 < x2 οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης τότε:
1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f
στο Α(x1, f(x1))
2. Ποια γωνία σχηματίζει η παραπάνω εφαπτόμενη με τον άξονα x΄x;
3. Να βρείτε τα σημεία Κ, Λ στα οποία τέμνει η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης
της συνάρτησης f στο Β(x2, f(x2)) τους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα.
4. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΚΛΟ
Απάντηση
Α. Είναι: Α = ως πολυωνυμική
Είναι: f (x) 2x 3   οπότε: 2
f(x) 2f (x) x 3x 2 (2x 3)      
2
x 3x 4x 6    
2
x 7x 6 0   
Είναι: Δ = 25 και x1 = 1, x2 = 6
B. 1. Eίναι: y f(1) 2   και λ f (1) 1   άρα,
y λx β 2 1 1 β β 1          
Άρα, (ε): y x 1  
2. Είναι: ο
f (1) 1 εφω 1 ω 135       
3. Eίναι: y f(6) 18  και λ f (6) 9  άρα,
y λx β 18 9 6 β β 36        
Άρα, (ε): y 9x 36 
Για τον x΄x: y = 0 όποτε x = 4, άρα Κ(4, 0)
Για τον y΄y: x = 0 όποτε y = –36, άρα Λ(0, –36)
4. Είναι:
(ΟΚ) (ΟΛ) 4 36
Ε Ε Ε 72
2 2
 
     τετραγωνικές μονάδες

4. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
3ο
ΘΕΜΑ
Δίνεται συνάρτηση 2
x4
1
n)x(f

 
Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
Β. Να βρείτε f ΄(x), f ΄΄(x), f (3)
(x).
Γ. Αν xo η λύση της εξίσωσης f (3)
(x) = 0, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής
παράστασης της συνάρτησης f στο Α(xο, f(xο))
Απάντηση
Α. Πρέπει: 2 2
4 x 0 x 4 2 x 2        άρα A ( 2, 2) 
Β. Είναι:    2 2
2
1
f(x) n n1 n 4 x n 4 x
4 x
      

 2
2 2
1 2x
f (x) 4 x
4 x 4 x

    
 
   
2 2
2 22 2
2 (4 x ) 2x ( 2x) 8 2x
f (x)
4 x 4 x
     
  
 
   
 
2 22 2 2 2
(3)
42
(8 2x ) 4 x (8 2x ) 4 x
f (x)
4 x
 
       
  

    
 
22 2 2 2
42
4x 4 x (8 2x ) 2 4 x 4 x
4 x

      
 

   
 
2 2
32
4x 4 x (8 2x ) 2 2x
4 x
     
 

 
3 3
32
16x 4x 32x 8x
4 x
  
 


5. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
 
3
32
4x 48x
4 x

 

 
 
2
32
4x x 12
4 x



Γ. Είναι:
 
 
2
0 0(3)
0 032
0
4x x 12
f (x ) 0 0 x 0
4 x

    

Eίναι: y f(0) n4   και λ f (0) 0  άρα,
y λx β n4 0 0 β β n4         
Άρα, (ε): y n4 

6. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
4ο
ΘΕΜΑ
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2
x και
2
1
x2
1
)x(g 
Α. Να βρείτε το κοινό σημείο των Cf, Cg.
Β. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων των Cf, Cg στο κοινό τους σημείο και να
αποδείξετε ότι είναι κάθετες
Απάντηση
Α. Είναι: 2 1 1
f(x) g(x) x
2x 2
    
3
2x x 1 0   
 2 0 1 1 1
 2 2 1
2 2 1 0
Άρα: 3 2
2x x 1 0 (x 1)(2x 2x 1) 0        
2
x 1 0 ή 2x 2x 1 0      
x 1  ή Δ = – 4 < 0
Άρα Α(1, f(1)), οπότε το κοινό τους σημείο το Α(1, 1)
Β. Eίναι: y f(1) 1  και f (x) 2x  άρα λ f (1) 2  άρα,
y λx β 1 2 1 β β 1        
Άρα, (ε1): y 2x 1 
Eίναι:
1 1
y g(1) 1
2 2
    και 2
1
g (x)
2x
   άρα
1
λ g (1)
2
   άρα,
1 3
y λx β 1 1 β β
2 2
        
Άρα, (ε1): y 2x 1 

7. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
5ο
ΘΕΜΑ
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x3
+ αx2
+ βx + 6, με α, β ∈ℝ.
Α. Να προσδιοριστούν οι τιμές των α, β ∈ℝ, αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση
δέχεται οριζόντια εφαπτόμενη την y = 11 στο σημείο xo = 1.
Β. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς την μονοτονία.
Γ. Να βρεθούν οι θέσεις όπου η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατα, καθώς και τις τιμές τους.
Δ. Να βρεθεί το
22x
)x(΄f
im
2x 

Απάντηση
Είναι: 3 2
f(x) 2x x x 6    
Η f είναι παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική
Είναι: 2
f (x) 6x 2 x    
Α. Η γραφική παράσταση της f δέχεται οριζόντια εφαπτόμενη την y = 11 στο σημείο xo = 1,
τότε: f (1) 0 6 2 0 2 6           
Και f(1) 11 2 6 11 3         
Οπότε:
2 6 2 6
3 3
          
 
         
9  
Και με αντικατάσταση προκύπτει:
9
3 9 3 12

         
Β. Είναι: 3 2
f(x) 2x 9x 12x 6    και
2
f (x) 6x 18x 12   
2 2
f (x) 0 6x 18x 12 0 x 3x 2 0         
Δ = 1 τότε: x = 1, x = 2
 f (x) 0 x 1, 2   
άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στo διάστημα  1, 2
   f (x) 0 x ,1 2,       

8. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα    ,1 , 2,  
Γ. Η f παρουσιάζει για x = 1 τοπικό μέγιστο, το  f 1 11
Η f παρουσιάζει για x = 2 τοπικό ελάχιστο, το  f 2 10
Δ. Είναι:
  
   
2
x 2 x 2
6x 18x 12 2x 2f΄(x)
im im
2x 2 2x 2 2x 2 
  
 
   
  
 
2
2
x 2 2
6 x 3x 2 2x 2
im
2x 2

  
 

   
x 2
6 x 1 x 2 2x 2
im
2x 4
  
 

   
3
x 2
6 x 1 x 2
im

 

 
 
2x 2
2 x 2



  x 2
im 3 x 1 2x 2

    
 
   3 2 1 2 2 2 3 4 12        

9. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
6ο
ΘΕΜΑ
Δίνονται f(x) = x3
– x και g(x) =
x
)x(f 
, τότε:
A. 1. να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
2. να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g δεν δέχεται οριζόντια εφαπτόμενη.
3. να αποδείξετε ότι η g δεν παρουσιάζει ακρότατα.
Β. Αν     2t12)0(ft)x(gim)t(s 23
1x


 είναι η συνάρτηση που εκφράζει το διάστημα που
διανύει ένα κινητό συναρτήσει του χρόνου t (σε sec), t ≥ 0, τότε να βρείτε τα διαστήματα
στα οποία η ταχύτητά του μειώνεται καθώς και σε αυτά στα οποία η ταχύτητά του
αυξάνεται.
Απάντηση
Α. 1. Είναι: 2
f (x) 3x 1  
2 3
f (x) 0 3x 1 0 x
3
       
3 3
f (x) 0 x ,
3 3
 
     
 
άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στo διάστημα
3 3
,
3 3
 
 
 
3 3
f (x) 0 x , ,
3 3
   
           
   
άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα
3 3
, , ,
3 3
   
     
   
Η f παρουσιάζει για x =
3
3
 τοπικό μέγιστο, το
3 2 3
f
3 9
 
  
 
Η f παρουσιάζει για x =
3
3
τοπικό ελάχιστο, το
3 2 3
f
3 9
 
  
 
2. Είναι:
2
f (x) 3x 1
g(x)
x x
 
 

10. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
   2 22
2
3x 1 x 3x 1 (x)3x 1
g (x)
x x
      
   
 
 
 2
2
6x x 3x 1
x
  
 
2 2
2
6x 3x 1
x
 
 
2
2
3x 1
0
x

 
Οπότε g (x) 0  , άρα η γραφική παράσταση της g δεν δέχεται οριζόντια εφαπτόμενη.
3. Είναι: g (x) 0  , άρα η g είναι γνησίως αύξουσα, οπότε δεν έχει ακρότατα.
Β. Είναι:
2 2
2 2x 1 x 1
3x 1 3 1 1
im g (x) im 4
x 1 
  
   
f(0) = 0
Άρα: 3 2
s(t) 4 t 12 t 2, t 0     
Είναι: 2
(t) s (t) 12t 24t   
(t) 24t 24  
Οπότε: (t) 0 t 1s   
(t) 0 t 1s    άρα η ταχύτητα αυξάνεται για  t 1,  
(t) 0 0 t 1s     άρα η ταχύτητα μειώνεται για  t 0, 1