1. O documento discute conceitos de divisibilidade de números inteiros. Ele apresenta definições e propriedades da divisibilidade, incluindo proposições sobre divisibilidade de expressões polinômicas.
2. O documento também lista problemas relacionados à divisibilidade para serem resolvidos.
2. Unidade 1 Divisibilidade
Como a divisão de um número inteiro por outro nem sempre é possível,
expressa-se esta possibilidade através da relação de divisibilidade.
Quando não existir uma relação de divisibilidade entre dois números inteiros,
veremos que, ainda assim, será possível efetuar uma divisão com resto pe-queno
, chamada de divisão euclidiana. O fato de sempre ser possível efetuar tal
divisão é responsável por inúmeras propriedades dos inteiros que exploraremos
neste e nos próximos capítulos.
1.1 Divisibilidade
Dados dois números inteiros a e b, diremos que a divide b, escrevendo ajb,
quando existir c 2 Z tal que b = c a. Neste caso, diremos também que a é
um divisor ou um fator de b ou, ainda, que b é um múltiplo de a.
Observe que a notação ajb não representa nenhuma operação em Z, nem
representa uma fração. Trata-se de uma sentença que diz ser verdade que existe
c tal que b = ca. A negação dessa sentença é representada por a6 j b, sigicando
que não existe nenhum número inteiro c tal que b = ca. Portanto, temos que
06 j a, se a6= 0.
Exemplo 1 1j0, 1j0, 2j0, 2j0; 1j6, 1j6, 1j6, 1j6, 2j6, 2j6, 2j6,
2j 6, 3j6, 3j6, 3j 6, 3j 6, 6j6, 6j6, 6j 6, 6j 6; 36 j 4;
26 j 5.
Suponha que ajb e seja c 2 Z tal que b = ca. O número inteiro c é chamado
de quociente de b por a e denotado por c =
b
a
.
Por exemplo,
0
1
= 0;
0
2
= 0;
6
1
= 6;
6
2
= 3;
6
3
= 2;
6
3
= 2;
6
6
= 1:
Note ainda que, se ajb, então aj b (verique).
Estabeleceremos a seguir algumas propriedades da divisibilidade.
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3. Divisibilidade Unidade 1
Sejam a; b; c 2 Z. Tem-se que Proposição 1
i) 1ja, aja e aj0.
ii) se ajb e bjc, então ajc.
(i) Isto decorre das igualdades a = a 1, a = 1 a e 0 = 0 a. Demonstração
(ii) ajb e bjc implica que existem f; g 2 Z, tais que b = f a e c = g b.
Substituindo o valor de b da primeira equação na outra, obtemos
c = g b = g (f a) = (g f) a;
o que nos mostra que ajc.
O item (i) da proposição acima nos diz que todo número inteiro é divisível
por 1 e por si mesmo.
Se a; b; c; d 2 Z, então Proposição 2
ajb e cjd =) a cjb d:
Se ajb e cjd, então 9 f; g 2 Z; b = f a e d = g c. Portanto, Demonstração
b d = (f g)(a c), logo, a cjb d.
Em particular, se ajb, então a cjb c, para todo c 2 Z.
Sejam a; b; c 2 Z, tais que aj(b c). Então Proposição 3
ajb () ajc:
Suponhamos que aj(b + c). Logo, existe f 2 Z tal que b + c = f a. Demonstração
Agora, se ajb, temos que existe g 2 Z tal que b = g a. Juntando as duas
igualdades acima, temos
g a + c = f a;
donde segue-se que c = (f g)a, logo ajc.
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4. Unidade 1 Divisibilidade
A prova da implicação contrária é totalmente análoga.
Por outro lado, se aj(b c) e ajb, pelo caso anterior, temos aj c, o que
implica que ajc.
Proposição 4 Se a; b; c 2 Z são tais que ajb e ajc, então aj(xb+yc), para todo x; y 2 Z.
Demonstração ajb e ajc implicam que existem f; g 2 Z tais que b = fa e c = ga.
Logo,
xb + yc = x(fa) + y(ga) = (xf + yg)a;
o que prova o resultado.
Uma propriedade caracterítica dos números inteiros é a de ser vazio o con-junto
fx 2 Z; 0 x 1g. Isto implica que se c 2 Z é tal que c 0, então
c 1.
Da propriedade acima decorre a Propriedade Arquimediana de Z, ou seja,
se a; b 2 Z, com b6= 0, então existe n 2 Z tal que nb a.
De fato, como jbj 0, temos que jbj 1, logo
(jaj + 1) jbj jaj + 1 jaj a:
O resultado segue se na desigualdade acima tomarmos n = jaj + 1, se b 0 e
n = (jaj + 1), se b 0.
Proposição 5 Dados a; b 2 N, temos que
ajb =) a 6 b:
Demonstração De fato, se ajb, existe c 2 Z tal que b = ca. Como a; b 0, segue-se que
c 2 N. Como 1 6 c, segue-se que a 6 ac = b.
Em particular, se a 2 N e aj1, então 0 a 6 1 e, portanto, a = 1.
Claramente, a recíproca da Proposição 5 não é válida, pois, por exemplo,
3 2; e, no entanto, 2 não divide 3.
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5. Divisibilidade Unidade 1
Note que a relação de divisibilidade em N é uma relação de ordem, pois
i) é reexiva: 8 a 2 N; aja. (Proposição 1(i)),
ii) é transitiva: se ajb e bjc, então ajc. (Proposição 1(ii)),
iii) é anti-simétrica: se ajb e bja, então a = b. (Segue da Proposição 5).
As proposições a seguir serão de grande utilidade.
Sejam a; b 2 Z e n 2 N. Temos que a b divide an bn. Proposição 6
Vamos provar isto por indução sobre n. Demonstração
É óbvio que a armação é verdade para n = 1, pois a b divide a1 b1 =
a b.
Suponhamos, agora, que a bjan bn. Escrevamos
an+1 bn+1 = aan ban + ban bbn = (a b)an + b(an bn):
Como abjab e, por hipótese, abjanbn, decorre da igualdade acima
e da Proposição 4 que abjan+1 bn+1. Estabelecendo o resultado para todo
n 2 N.
Sejam a; b 2 Z e n 2 N. Temos que a + b divide a2n+1 + b2n+1. Proposição 7
Vamos provar isto também por indução sobre n. Demonstração
A armação é, obviamente, verdade para n = 0, pois a+b divide a1 +b1 =
a + b.
Suponhamos, agora, que a + bja2n+1 + b2n+1. Escrevamos
a2(n+1)+1 + b2(n+1)+1 = a2a2n+1 b2a2n+1 + b2a2n+1 + b2b2n+1 =
(a2 b2)a2n+1 + b2(a2n+1 + b2n+1):
Como a+b divide a2b2 = (a+b)(ab) e, por hipótese, a+bja2n+1+b2n+1,
decorre das igualdades acima e da Proposição 4 que a+bja2(n+1)+1+b2(n+1)+1.
Estabelecendo, assim, o resultado para todo n 2 N.
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6. Unidade 1 Divisibilidade
Proposição 8 Sejam a; b 2 Z e n 2 N. Temos que a + b divide a2n b2n.
Demonstração Novamente usaremos indução sobre n.
A armação é verdadeira para n = 1, pois claramente
a + b divide a2 b2 = (a + b)(a b).
Suponhamos, agora, que a + bja2n b2n. Escrevamos
a2(n+1) b2(n+1) = a2a2n b2a2n + b2a2n b2b2n =
(a2 b2)a2n + b2(a2n b2n):
Como a+bja2 b2 e, por hipótese, a+bja2n b2n, decorre das igualdades
acima e da Proposição 4 que a + bja2(n+1) + b2(n+1). Estabelecendo, desse
modo, o resultado para todo n 2 N.
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7. Divisibilidade Unidade 1
1.2 Problemas
1. Sejam a; b; c 2 Z e c6= 0. Mostre que
acjbc () ajb:
2. (ENC-98)1 A soma de todos os múltiplos positivos de 6 que se escrevem
(no sistema decimal) com dois algarismos é:
(A) 612 (B) 648 (C) 756 (D) 810 (E) 864
3. Com quanto zeros termina o número 100!?
4. (a) Mostre que o produto de i números naturais consecutivos é divisível
por i!.
(b) Mostre que 6jn(n + 1)(2n + 1), para todo n 2 N.
5. Mostre, por indução matemática, que, para todo n 2 N,
(a) 8j32n + 7
(b) 9j10n + 3:4n+2 + 5
(c) 9jn4n+1 (n + 1)4n + 1
(d) 169j33n+3 26n 27
6. Mostre que 13j270 + 370.
7. Mostre que, para todo n,
(a) 9j10n 1
(b) 8j32n 1
(c) 53j74n 24n
(d) 3j10n 7n
(e) 13j92n 24n
(f) 6j52n+1 + 1
(g) 19j32n+1 + 44n+2
(h) 17j102n+1+72n+1
(i) 14j34n+2 + 52n+1
8. Sejam a; b 2 Z.
a) Se a6= b, mostre que, para todo n 2 N, n 2,
an bn
a b
= an1 + an2 b + + a bn2 + bn1:
1Exame Nacional de Cursos, MEC/INEP.
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8. Unidade 1 Problemas
b) Se a + b6= 0, mostre que, para todo n 2 N,
a2n+1 + b2n+1
a + b
= a2n a2n1 b + a b2n1 + b2n:
c) Mostre que, para todo n 2 N,
a2n b2n
a + b
= a2n1 a2n2 b + + a b2n2 b2n1:
9. Para quais valores de a 2 N
a) a 2ja3 + 4?
b) a + 3ja3 3?
c) a + 2ja4 + 2?
d) a + 2ja4 + 2a3 + a2 + 1?
10. Mostre que, para todos a; m; n 2 Z,
m n 0 =) a2n
+ 1ja2m
1:
11. Mostre, para todo n 2 N, que n2j(n + 1)n 1.
12. Mostre, para todo a 2 Z, que
a) 2ja2 a b) 3ja3 a c) 5ja5 a d) 7ja7 a
13. Mostre que existem innitos valores de n em N para os quais 8n2 + 5 é
divisível por 7 e por 11.
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