1. ČETVRUGA

2. Pojam četvorougla
Četvorougao ABCD je figura koju čine
četvorougaona linija i unutrašnja oblast
odreĎena tom linijom.
D
A
δ
γ
C
α
β
B
Tačke A, B, C i D su temena četvorougla, duži AB, BC, CD i DA su stranice četvorougla, a konveksni
uglovi BAD=α, ABC=β, DCB=γ i CDA=δ su uglovi četvorougla.
Stranice četvorougla koje imaju zajedničko teme su susedne, a koje nemaju su naspramne.
Uglovi četvorougla su susedni ili naspramni u prema tome da li su ime temena susedna ili
nesusedna temena četvorougla
D
C
Duži (AC i BD) čije su krajnje tačke
nesusedna temena su dijagonale
četvorougla ABCD
dijagonale
B
A

3. Vrste četvorougla
Četvorougao je konveksan (ispupčen) ako za bilo koje dve
njegove tačke duž koju one odreĎuju, pripada četvorouglu.
U suprotnom četvorougao je nekonveksan (udubljen).
konveksan
nekonveksan

4. Vrste konveksnih četvorougla
Četvorouglovi sa dva
para paralelnih stranica
nazivaju se
PARALELOGERAMI.
pravougaonik
Četvorouglovi sa
jednim parom
paralelnih stranica
nazivaju se TRAPEZI.
Četvorouglovi bez
paralelnih stranica
nazivaju se
TRAPEZOIDI.
Nejednakostraničan
romboid
Pravougli
MeĎu trapezoidima
posebno se ističu
deltoidi
deltoid
kvadrat
romb
Jednakokraki

5. Uglovi četvorougla
Zbir unutrašnjih uglova (α, β, γ i δ) četvorougla je 360º
D
δ1
C
γ γ1
Ugao koji je suplementan i
susedan sa unutrašnjim
uglom naziva se spoljašnji
uglovi četvorougla.
δ
A α
α1
β
β1
Zbir spoljašnjih uglova (α1, β1,
γ1 i δ1) četvorougla je 360º.
B
Ako je svaki unutrašnji ugao četvorougla manji od 180º, četvorougao je konveksan.

6. Paralelogram
Četvorougao čije su naspramne
stranice paralelene naziva se
paralelogram.
D
α
A
δ
γ
d2
d1
β
B
Osobine paralelograma:
- Naspramni uglovi paralelograma su jednaki, a susedni uglovi su
suplementni (α = γ i β = δ).
- Naspramne stranice su jednake i paralelne (AB = DC i AD = BC).
- Dijagonale se meĎusobno polove.
C

7. Osobine paralelograma
Osobine romboida:
romboid
- Dijagonale nisu jednake
- Dijagonale ne polove uglove
- Nema ni upisanu ni opisanu kružnicu
- Nema ose simetrije
Znači romboid nema posebnih osobina.
Osobine romba:
.
romb
α/2
α/2
- Dijagonale polove uglove romba
- Dijagonale su meĎusobno normalne
- Ima upisanu kružnicu
- Ima dve ose simetrije (na dijagonalama)

8. Osobine paralelograma
Osobine kvadrata:
.
kvadrat
α/2
α/2
- Dijagonale polove uglove kvadrata
- Dijagonale su jednake
- Dijagonale su meĎusobno normalne
- Ima upisanu i opisanu kružnicu
- Ima četri ose simetrije
Osobine pravougaonika:
pravougaonik
- Dijagonale su jednake
- Ima opisanu kružnicu
- Ima dve ose simetrije

9. Trapez
D
Četvorougao koji ima jedan par
paralelnih stranica naziva se trapez.
A
Središna duž je paralelna sa
osnovicom, i jednaka je polovini zbira
paralelnih stranica.
ab
m
2
δ
γ
α
β
m
a
b
c
B
Visina trapeza je rastojanje
izmeĎu dve paralelne stranice.
b
d
C
d
h
c
a

10. Deltoid
C
γ
D β
β B
α
A
Konveksan deltoid
Četvorougao koji ima po dva
para susednih jednakih stranica
naziva se deltoid.
D β C β B
γ
α
A
Nekonveksan deltoid
Osobine deltoida:
α deltoid α
- dijagonale su meĎusobno normalne i
jedna polovi drugu
- dijagonala koja polovi drugu dijagonalu
ujedno je i osa simetrije
- ima upisanu kružnicu
- Pošto je osnosimetrična figura sledi da ima
jedan par jednakih uglova
Ukoliko svaka od dijagonala deli deltoid na dva jednaka trougla, figura je u stvari
specijalan slučaj deltoida − tj. romb. Ukoliko su pored ovog i svi uglovi deltoida
meĎusobno jednaki (znači po 90°), figura je kvadrat.

11. Kružnica i četvorougao
TANGENTNI ČETVOROUGAO
 Ima upisanu kružnicu;
 Njegove stranice su tangentne duži;
 Centar upisane kružnice je presek sve
četiri simetrale njegovih uglova;
 Zbir dužina naspramnih stranica je jednak
a+c = b+d
 kvadrat, romb i deltoid su tangentni četvorouglovi
kao i svaki četvorougao koji ispunjava uslov a+c=b+d.
TETIVNI ČETVOROUGAO
 Ima opisanu kružnicu;
 Njegove stranice su tetive;
 Centar opisane kružnice je presek sve
četiri simetrale njegovih stranica;
 Zbir njegovih naspramnih uglova je jednak i
iznosi po 180º
α +γ=β +δ
 Kvadrat, pravougaonik, jednakokraki trapez i deltoid sa dva prava ugla su tetivni četvorouglovi kao i svaki
četvorougao koji ispunjava uslov α +γ=β +δ.