1. VIBRACIONES Y ONDAS

2. VIBRACIONES Y ONDAS
 1.- MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.
 2.- CINEMÁTICA DEL M.A.S.
 3.- DINÁMICA DEL M.A.S.
 4.- ENERGÍA DE UN OSCILADOR MECÁNICO.
 5.- MOVIMIENTO ONDULATORIO. TIPOS DE ONDAS.
 6.- DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO.
 7.- ECUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS.
 8.- ENERGÍA ASOCIADA AL MOVIMIENTO ONDULATORIO.
 9.- PRINCIPIO DE HUYGENS.
 10.- PROPIEDADES DE LAS ONDAS.
 11.- INTERFERENCIAS. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.
 12.- ONDAS ESTACIONARIAS..

4. Ver

8. Onda gravitacional

12.  Vibraciones y ondas

13. EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
 El movimiento armónico simple (M.A.S.), se llama así porque
se puede expresar mediante funciones armónicas (que repiten
una secuencia de valores entre dos extremos), como el seno y el
coseno, de una sola variable.
 Si dejamos oscilar libremente un objeto colgado de
un muelle, éste describe un movimiento armónico
simple.
muelle horizontal
 Si O es la posición de equilibrio, cuando se suelta el objeto desde la
posición -A, comenzará a moverse hacia O con cierta aceleración
(acelera); rebasado el punto O, va disminuyendo su velocidad (frena)
hasta llegar al punto A, en que se detendrá. Después volverá a
moverse hacia O, y así sucesivamente. Si se desprecian los
rozamientos, el objeto continuará oscilando indefinidamente, siendo
-A simétrico de A, respecto de O.

14. Características fundamentales del M.A.S. son:
 El movimiento es rectilíneo, es decir, recorre indefinidamente un
segmento de recta.
 Es un movimiento periódico. Son movimientos cuyas magnitudes
características se repiten regularmente.
 La aceleración del mismo no es constante. La aceleración
depende del desplazamiento experimentado por el cuerpo que vibra:
acelera cuando se dirige hacia el centro y frena cuando se desplaza
desde el centro hacia los extremos.
 Si la aceleración no es constante, en virtud de la segunda ley de
Newton, tampoco lo será la fuerza que actúa sobre el objeto.
El péndulo Muelle

15. Magnitudes del M.A.S.
 La elongación (y) es la distancia a que se encuentra el
objeto del punto de equilibrio. Su unidad en el S.I. es el
metro.
-A
A
O
y
 La amplitud (A) es la elongación máxima, es decir,
la máxima separación del móvil de la posición de
equilibrio.
 El período (T) es el tiempo empleado en realizar una oscilación
completa. Si el objeto parte de A, es el tiempo que tarda en volver
a A. Su unidad en el S.I. es el segundo.
 La frecuencia (f) es el número de
oscilaciones que repite el móvil en la unidad
de tiempo. Es, por tanto, la inversa del
período. Su unidad en el S.I. es el segundo-1
y recibe el nombre de Herz (Hz).

16. CINEMÁTICA DEL M.A.S.
 Para describir el M.A.S. necesitamos una ecuación que nos
proporcione la posición del objeto en función del tiempo y = y (t).
 La ecuación de la posición que se obtiene es del tipo:
y = A · sen ( t + 0)
donde:
 “y” es la elongación.
 “A” representa la amplitud del movimiento.
 ( t + 0) es lo que se conoce como fase del movimiento. Su
valor determina el estado de la vibración. Su unidad en el S.I. son
radianes.
  recibe el nombre de pulsación o frecuencia angular.
Representa el incremento del ángulo de fase en la unidad de
tiempo. Su unidad en el S.I es radianes/segundo.
 = 2  = 2 ·  · f
T
 0 es la fase inicial. Su valor determina el estado de vibración
para t = 0. Si empezamos a contar el tiempo cuando la partícula
pasa por la posición de equilibrio, resulta 0 = 0.

17.  Si la fase inicial es cero, la
elongación “y” pasa por los
siguientes valores a lo largo de
una vibración (T representa el
período).
 A partir de la ecuación de movimiento, podemos obtener la ecuación
de la velocidad derivando la ecuación y=A·sen(t + 0) con respecto
al tiempo.
v
dy
dt
A t      cos( )0
 Si la fase inicial es cero, la
gráfica de la velocidad en
función del tiempo tiene la
forma:
y = A · sen ( t + 0)
velocidad del oscilador

18.  El valor de la aceleración, se obtiene volviendo a derivar la
ecuación de la velocidad respecto del tiempo.
Si derivamos v = A ·  · cos ( t + 0)
a
dv
dt
A t       2
0sen( )
como la elongación y = A · sen ( t + 0), la aceleración puede
ponerse expresarse como:
a y  2
 Si la fase inicial es cero, la
gráfica de la aceleración en
función del tiempo tiene la
forma:
- De 0 a T/2 la velocidad va
disminuyendo y la
aceleración es negativa.
- De T/2 a T la velocidad va
aumentando y la aceleración
será positiva.
A
-A
a
T/4 T/2 T3T/4 tiempo

19. DINÁMICA DEL M.A.S.
 Conocida la aceleración de que está animado todo movimiento
armónico, la segunda ecuación de la Dinámica, F = m · a, permite
encontrar qué tipo de fuerza es la causante del movimiento.
 Si la partícula que vibra tiene una masa “m”, como:
a y  2
yωmF 2

 Debido a que m ·2 es constante, la fuerza se puede poner en la
forma:
yKF


expresión se conoce con en nombre de ley de
Hooke e indica que, la fuerza es proporcional
al desplazamiento, pero de sentido contrario. A
estas fuerzas se le denomina fuerzas
recuperadoras o elásticas
 La constante K se conoce con el nombre de
constante recuperadora. Sus unidades en el
S.I. son Newton/metro (N/m)

20.  El período de las oscilaciones, cuando la fuerza es de naturaleza
elástica, no depende de la amplitud de las oscilaciones sino de la
masa del cuerpo y de la constante recuperadora.
 El período de las oscilaciones, puede calcularse a partir de la
expresión:
K m m
T
   
2
2
2
4
despejando el período:
T
m
K
 2 

21.  Las fuerzas que actúan sobre el resorte son el
peso del cuerpo (fuerza deformadora) y la
fuerza recuperadora Fr del muelle que equilibra
a la anterior. Si el muelle está en reposo y
cumple la ley de Hooke, tenemos:
- Cálculo de K por el método estático.
 Al colgar un cuerpo de masa “m” de un muelle
o resorte, de masa despreciable y longitud “l0”,
se estira hasta una longitud “l”. El alargamiento
que experimenta el muelle es: l = l - l0.
P - Fr = 0 ; Fr = K (l - l0)
de donde resulta P = m · g = K ( l -l0)
y despejando K K
m g
l l0



Esta constante K mide el grado de elesticidad del muelle o resorte.

22. ENERGÍA DE UN OSCILADOR MECÁNICO
 Una partícula que está animada de M.A.S. (oscilador mecánico) tiene
dos tipos de energía: una asociada al movimiento (energía cinética) y
otra asociada al dispositivo que vibra (potencial elástica).
 La energía cinética de la partícula que vibra es: E
1
2
m vC
2
 
Como: v A t     cos( )0
Resulta E
1
2
m A tC
2
      2 2
0cos ( ) y cos ( ) sen ( )2
0
2
0 1   t t   
 E
1
2
m A tC
2
       2 2
01 sen ( )       
1
2
m A A t2 2
  2 2
0sen ( )
puesto que y A t  sen( ) 0  E
1
2
m A yC
2 2
   2
m·2 es la constante K
 E K A yC
2 2
  
1
2
 Es decir, la energía cinética depende de la
posición. Tiene su valor máximo en el centro de la
trayectoria (y =0) y es cero en los extremos.
y
A-A
½ Ka
2E

23.  Las fuerzas elásticas son fuerzas conservativas, tienen, por tanto,
una función energía potencial que depende exclusivamente de la
posición.
el trabajo realizado por la fuerza elástica para
trasladar la partícula de la posición de elongación y1
a la de elongación y2. Tomando un desplazamiento
infinitesimal “dy” en el que la fuerza es constante (de
módulo K·y) y sumando para todo el camino:
W F dy K y dy1 2 y
y
y
y
1
2
1
2
       
 
Integrando la expresión anterior entre las posiciones 1 y 2:
2
1
2
2
y
y
2
21 yK
2
1
yK
2
1
2
yK
W
2
1





 

Por otro lado: W E (E E ) E E1 2 P P2 P1 P2 P1        
pΔEW 
 El trabajo realizado por la fuerza elástica para trasladar la partícula
entre dos posiciones no depende del camino seguido y es igual a
menos el incremento de la energía potencial asociada a esas
posiciones.

24. Comparando ambas expresiones, resulta que la energía potencial elástica
asociada a una partícula situada en la posición de elongación y es:
E
1
2
K yp   2
La energía potencial tiene su valor
máximo en los extremos de la trayectoria
y es cero en el centro.
 La energía mecánica es la suma de las energías cinética y
potencial:
222
PCm yK
2
1
)y(AK
2
1
EEE 
de dónde se obtiene que:
E
1
2
K Am
2
 
En un movimiento armónico la energía mecánica permanece
constante mientras no haya rozamiento. Al vibrar la masa en uno y
otro sentido, la energía se transforma de potencial a cinética y de
cinética a potencial.
 Energía mecánica
y
A-A
½ Ka
2E

25.  S.1
Una partícula de 50 g vibra a lo largo del eje X, alejándose
como máximo 10 cm a un lado y a otro de la posición de
equilibrio (x = 0). El estudio de su movimiento ha revelado
que existe una relación sencilla entre la aceleración y la
posición que ocupa en cada instante: a = -16 π2x.
a) Escriba las expresiones de la posición y de la velocidad
de la partícula en función del tiempo, sabiendo que este
último se comenzó a medir cuando la partícula pasaba por
la posición x = 10 cm.
b) Calcule las energías cinética y potencial de la partícula
cuando se encuentra a 5 cm de la posición de equilibrio.

26.  S.2
Un bloque de 0,5 kg cuelga del extremo inferior de un
resorte de constante elástica k = 72 N m-1. Al desplazar el
bloque verticalmente hacia abajo de su posición de
equilibrio comienza a oscilar, pasando por el punto de
equilibrio con una velocidad de 6 m s -1.
a) Razone los cambios energéticos que se producen en el
proceso.
b) Determine la amplitud y la frecuencia de oscilación.

27.  S.3
Un cuerpo de 10 kg se lanza con una velocidad de 30 m/s
por una superficie horizontal lisa hacia el extremo libre de
un resorte horizontal, de constante elástica 200 N/m, fijo
por el otro extremo.
a) Analiza las variaciones de energía que tienen lugar a
partir de un instante anterior al impacto con el resorte y
calcula la máxima compresión del resorte.
b) Discute en términos energéticos las modificaciones
relativas al apartado a) si la superficie horizontal tuviera
rozamiento.

28.  S.4
Un objeto de 0,2 kg, unido al extremo de un resorte,
efectúa oscilaciones armónicas de 0,1  s de período y su
energía cinética máxima es de 0,5 J.
a) Escriba la ecuación de movimiento del objeto y
determine la constante elástica del resorte.
b) Explique cómo cambiarían las características del
movimiento si:
i)se sustituye el resorte por otro de constante elástica
doble;
ii) se sustituye el objeto por otro de masa doble.

29.  S.5
a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y
explique el significado físico de cada una de las variables
que aparecen en ella.
b) ¿Cómo cambiarían las variables de dicha ecuación si se
duplicaran el periodo de movimiento y la energía mecánica
de la partícula?

30.  S.6
Una partícula de 0,2 kg describe un movimiento armónico
simple a lo largo del eje X, de frecuencia 20 Hz. En el
instante inicial la partícula pasa por el origen, moviéndose
hacia la derecha, y su velocidad es máxima. En otro
instante de la oscilación la energía cinética es 0,2 J y la
energía potencial es 0,6 J.
a) Escriba la ecuación de movimiento de la partícula y
calcule su aceleración máxima.
b) Explique, con ayuda de una gráfica, los cambios de
energía cinética y de energía potencial durante una
oscilación.

31. MOVIMIENTO ONDULATORIO
 Al tirar una piedra en un estanque,
observamos círculos concéntricos que se
propagan por la superficie del estanque. Si
agitamos una cuerda por extremos,
observamos que la agitación se transmite
a lo largo de la cuerda.
 De igual forma al conectar la radio
captamos una señal que ha sido
enviada desde cierta distancia; a su
vez, el altavoz emite un sonido, que
percibimos a distancia del lugar
donde se produce.
 En todos estos ejemplos se aprecia una característica común: cierta
situación física (una perturbación), producida en un punto se propaga,
alcanzando otros puntos
 Denominamos onda o, en general, movimiento ondulatorio, al
fenómeno de transmisión de una perturbación de un punto a otro
del espacio sin que exista un transporte neto de materia entre
ambos.

32. - TIPOS DE ONDAS
 La ondas existentes en la naturaleza se pueden clasificar
atendiendo a varios criterios:
1.- Según la naturaleza del medio en que se propagan.
- Ondas materiales o mecánicas:
Necesitan un medio material para
propagarse. Las ondas se originan al
perturbar un medio elástico (cuerda, agua
o aire) y se transmiten gracias a la
elasticidad del medio. Sin él no habría
propagación.
Como ejemplo de ondas mecánicas
podemos citar: las ondas sonoras, las
ondas en cuerdas, las ondas en el agua.
- Ondas electromagnéticas: No
necesitan de un medio material para
propagarse, sino que lo hacen en el
vacío. Por ejemplo: la luz.

33. 2.- Según la relación entre la dirección de propagación y la dirección de
vibración.
Una onda mecánica lleva asociados dos movimientos:
a.- El movimiento de propagación de la onda a través del medio.
b.- El movimiento vibratorio, de las partículas del medio.
- Ondas longitudinales: cuando la
dirección de vibración de las partículas
coincide con la dirección de propagación.
Este tipo de ondas se propaga en
cualquier medio material.
El sonido o las vibraciones producidas al
comprimir y dilatar un muelle.
Cuando este tipo de ondas se propaga en
el seno de un fluido (gas o líquido) se
denominan ondas de presión. O.longitudinales y O. de presión
- Ondas transversales: cuando la dirección de propagación de la
onda es perpendicular a la dirección en que vibran las partículas. Estas
ondas sólo se propagan en los medios sólidos o en la superficie de los
líquidos, pero no en el interior de estos.
Cuando agitamos una cuerda verticalmente se produce una onda
transversal.  ondas en una cuerda

34. 3.- Según el número de dimensiones en las que se propaga la energía,
son:
 Ondas unidimensionales, cuando la energía
se propaga a lo largo de una línea. Por
ejemplo, al onda que se propaga en una
cuerda.
 Ondas bidimensionales, cuando
la energía se propaga en un
plano. Por ejemplo, las ondas que
se propagan en la superficie del
agua.
 Ondas tridimensionales, cuando
se propagan por todo el espacio.
Por ejemplo, el sonido en el aire.

35. DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
 Pulso. Se trata de una onda de poca
duración. Cada partícula está en reposo
hasta que le llega el pulso. En ese instante
se mueve durante cierto tiempo y después
vuelve al reposo. Cualquier punto que se
encuentre en reposo antes de que pase el
pulso volverá al reposo después de que
haya pasado.
 Pulso
 Si en lugar de dar un golpe al extremo lo movemos continuamente
hacia arriba y hacia abajo, estamos produciendo una sucesión de
pulsos que viajarán a lo largo de la cuerda. En este caso todas las
partículas de la cuerda se están moviendo y decimos que se ha
generado un tren de ondas.
v
Tren de ondas
 De ahora en adelante siempre que
hablemos de ondas nos estamos
refiriendo a trenes de ondas

36.  Para que una onda mecánica se propague, el medio ha de cumplir dos
requisitos debe tener elasticidad e inercia. La elasticidad del medio da
lugar a la aparición de fuerzas restauradoras cuando una porción del
mismo es apartada de su posición de equilibrio. La inercia del medio es
que en última instancia explica el tipo de movimiento debido a la
perturbación. Ambas propiedades del medio son las que determinan
finalmente la velocidad a la que se propaga una onda.
- Magnitudes características de una onda
 Velocidad de propagación (v) es la rapidez con la que se desplaza
la perturbación por un medio. Esta magnitud depende de las
características del medio y es independiente de las del foco emisor.
Para un medio determinado y un tipo de perturbación es una cantidad
constante. Por ejemplo es sonido se propaga en el aire a una
velocidad de 340 m/s y en el agua a 1400 m/s.
inercialpropiedad
elásticapropiedad
v 
Está comprobado que, en general, la velocidad de propagación de una
onda en un medio puede expresarse como:
 Aunque estas propiedades son diferentes para cada medio, no es lo
mismo que la onda se propague el agua, que una cuerda o en el aire.

37.  Velocidad de vibración (vvibración) es la rapidez con la que se
desplaza una partícula del medio en torno a su posición de
equilibrio. Esta magnitud se modifica de un instante a otro.
 Período (T) es el tiempo que tarda cada punto en estar en el mismo
estado de vibración, es decir, en dar una oscilación completa.
También es el tiempo que transcurre entre dos pulsos sucesivos. Su
unidad en el S.I. es el segundo
 Frecuencia (f o ) es el número de vibraciones que realiza una
partícula en la unidad de tiempo. También es el número de pulsos
producidos en la unidad de tiempo.
La unidad en el S.I. es el herzio (Hz = s-1)
T
1
f 
 Pulsación o frecuencia angular () :  = 2  · f = 2 / T
Su unidad en el S.I. son radianes/s, aunque su sentido físico no es
el de una velocidad angular.

38.  Longitud de onda () es la distancia entre dos puntos sucesivos
consecutivos que se encuentran en el mismo estado de vibración. La
longitud de onda será la distancia que avanza la onda en un período.
Por tanto:
 = v · T
Donde v es la velocidad de propagación por un determinado medio y T
es el período. Su unidad en el S.I. es el metro.
 Número de onda (k) es el número de longitudes de onda contenidas
en 2. (A veces se define como el número de longitudes de onda
contenidos en la unidad de longitud). Su unidad es el m-1
 Amplitud (A) se define como la distancia
máxima que separa un punto de la
posición de equilibrio. Representa el valor
máximo que alcanza la perturbación en
un punto; por tanto sus unidades son
aquellas en que se mide la perturbación
(longitud, presión, etc.).
k 
2

 Terminología de la
Física de ondas

39. ECUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS
 El movimiento ondulatorio supone la transmisión de una
perturbación de un punto a otro sin transporte neto de materia.
Nuestro objetivo es obtener la expresión matemática que permita
conocer el estado de vibración de cada punto a medida que
transcurre el tiempo
 Supongamos que por una cuerda se propaga una onda armónica
con cierta velocidad “v”. Esto supone admitir que cada punto de la
cuerda describe un M.A.S.
 Supondremos asimismo que un pulso
como el representado en la figura se
desplaza hacia la derecha a lo largo
del eje X, con velocidad “v”.
 Transcurrido un tiempo t’, si en el
medio no se produce amortiguamiento
y la velocidad de propagación es
constante, el pulso se habrá
desplazado una distancia
t'vx 
encontrándose en la posición de la figura y la partícula situada en esa
posición empezará a moverse con un retraso t’ = x/v
 Pulso

40.  Si en lugar de un pulso consideramos un tren de ondas armónico
propagándose por la cuerda, la ecuación que describe la posición de
la partícula x = 0 viene dada por:
y (x =0,t) = A · sen ·t
 Si admitimos que, a medida que
transcurre el tiempo, ese tren de
ondas se propaga con velocidad “v”
hacia la derecha sin deformarse, la
ecuación que describe el
movimiento de una partícula situada
en cualquier punto x será de la
forma:
y (x,t) = A · sen  (t - t’)
donde t es el tiempo transcurrido desde que se produce el tren de
ondas y t’ representa el retraso con el que se produce el fenómeno
en el punto x, es decir el tiempo que tarda en llegar el tren de ondas
al punto x.
x
X
Y

41. y (x,t) = A · sen  (t - t’)
 Ecuación de D’Alembert
Como t’ = x/v y  = 2/T







v
x
t
T
2π
senAt)y(x, 







Tv
x
T
t
2senAt)y(x,
puesto que la longitud de onda  = v · T








x
T
t
2senAt)y(x,
y si utilizamos el número de ondas k 
2

 xktωsenAt)y(x, 
 A esta ecuación se le conoce como ecuación de D’Alembert o
ecuación de propagación de las ondas armónicas
unidimensionales
 Aunque en las deducción hemos considerado una onda que se
desplaza por una cuerda, la ecuación obtenida es válida en muchas
otras ocasiones.
x
X
Y

42.  En ocasiones, para ajustarse a las condiciones iniciales, la ecuación
anterior debe incluir una constante , que recibe el nombre de fase inicial,
quedando la ecuación de D’Alembert
- Consideraciónes sobre la ecuación de D’Alembert
  xktωsenAt)y(x,
 Cuando la diferencia de fase entre dos
puntos es 2 radianes, su estado de
vibración es el mismo y decimos que están
en fase. Y si la diferencia de fase es 
radianes, los estados de vibración están en
oposición de fase.
 Al ángulo ( t - k x) se le denomina fase de la onda.
 Si partiendo del origen la onda avanza a lo largo de la parte negativa del eje
X, puesto que la velocidad va en sentido negativo, la ecuación que describe
la perturbación es:
 xktωsenAt)y(x, 
 De igual forma puede utilizarse en lugar de la función seno, la función
coseno y la ecuación tendrá la forma:
 xktωcosAt)y(x, 
 Incluso a veces, la ecuación aparece escrita
como  txksenAt)y(x, 

43. - Consideraciones físicas sobre la ecuación de propagación
 xktωsenAt)y(x, 
 Si fijamos el tiempo t, la ecuación proporciona la posición en un
instante dado de todos los puntos de la cuerda. Describe la forma de
la onda en ese instante; es como una fotografía de la onda.
 La ecuación de propagación es una función de dos variables
La ecuación de ondas es doblemente periódica, con un período
espacial, caracterizado por la longitud de onda  y un período
temporal, caracterizado por el período T.
 Es periódica en el espacio, la
perturbación se repite en todos los
puntos cuyas distancias al origen
son múltiplos de la longitud de
onda. Es decir, en un instante dado
t, la onda tiene el mismo valor en
las posiciones x, x + , x + 2, etc.
Por tanto, en un instante
determinado están en fase las
partículas separadas por una
distancia igual a un número entero
de longitudes de onda.

44.  Es periódica en el tiempo con
un período T. Para cualquier
posición dada x, la función “y”
toma el mismo valor en los
tiempo t, t + T, t, + 2T, etc.
 Es decir, que para un punto
determinado están en fase los
instantes separados en el
tiempo por un número entero
de períodos
 Si, por el contrario, se mantiene fija la posición x, es decir, si
consideramos un punto fijo de la cuerda, la ecuación nos indica cómo
varía la posición de ese punto con el tiempo. Nos describe el
movimiento vibratorio de la partícula situada en la posición x.

45. Velocidad y aceleración de la onda armónica.
 Conocida la ecuación de la onda, se calcula la velocidad de
vibración de un punto derivando la posición respecto del tiempo:
 xktωsenAt)y(x, 
  x)ktωcos(A
dt
xktωsend(A
dt
dy
v 


 Conocida la velocidad, se calcula la aceleración derivando la
posición respecto del tiempo:
 xktωoscAt)v(x, 
  x)ktω(senA
dt
xktωoscAd(
dt
dv
a 2



)t,x(ya 2


46.  S.7
a) Explique qué es una onda armónica y escriba su
ecuación.
b) Una onda armónica es doblemente periódica. ¿Qué
significado tiene esa afirmación? Haga esquemas para
representar ambas periodicidades y coméntelos.

47.  S.8
La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda
tensa es:
y(x,t) = 0,05 sen 2π (25 t – 2 x) (S.I.)
a) Explique de qué tipo de onda se trata y en qué sentido
se propaga e indique cuáles son su amplitud, frecuencia y
longitud de onda.
b) Calcule la velocidad de propagación de la onda y la
velocidad del punto x = 0 de la cuerda en el instante t = 1
s y explique el significado de cada una de ellas.

48.  S.9
La ecuación de una onda armónica que se propaga por una
cuerda es:
y (x, t) = 0,08 cos (16 t - 10 x) (S.I.)
a) Determine el sentido de propagación de la onda, su
amplitud, periodo, longitud de onda y velocidad de
propagación.
b) Explique cómo se mueve a lo largo del tiempo un punto
de la cuerda y calcule su velocidad máxima.

49.  S.10
Por una cuerda tensa (a lo largo del eje x) se propaga una
onda armónica transversal de amplitud A = 5 cm y de
frecuencia f = 2 Hz con una velocidad de propagación
v = 1,2 m s - 1.
a) Escriba la ecuación de la onda.
b) Explique qué tipo de movimiento realiza el punto de la
cuerda situado en x = 1 m y calcule su velocidad máxima.

50. ENERGÍA ASOCIADA AL MOVIMIENTO ONDULATORIO
 Un movimiento ondulatorio supone la propagación de una
perturbación de un punto del espacio a otro, sin que exista
transporte neto de materia.
Vamos a evaluar la energía que se transfiere en el movimiento
ondulatorio.
 Si consideramos ondas armónicas, cada partícula del medio
describe un M.A.S. y comunica a sus vecinas dicho movimiento.
La energía total de una de esas partículas será la suma de la
energía cinética y potencial:
E
1
2
m v
1
2
K ypart vibración
2 2
   
donde K representa la constante elástica del medio (no confundir
con el nº de ondas k).
 Cuando la partícula alcanza la máxima elongación (A), su velocidad
es cero y, como ya vimos, toda la energía de la partícula es:
E
1
2
K Apart
2
 

51.  El resultado muestra que la energía que se transfiere de una
partícula a otra es función del cuadrado de la frecuencia de la onda
(f 2) y del cuadrado de la amplitud (A2).
 Teniendo en cuenta que K = m · 2 y que   2 f
E
1
2
m A f Apart
2
        2 2 2 2
2 m
 Si el medio es homogéneo, la energía se irradia por igual en todas
las direcciones, repartiéndose en superficies concéntricas de centro
el foco emisor y cuyo radio aumenta en el transcurso del tiempo. La
energía se distribuye a lo largo del frente de ondas.
 Al avanzar la onda, la cantidad
de partículas puestas en
vibración aumenta, por lo que la
energía se reparte para más
partículas y les toca a menos
cantidad, por lo que la amplitud
disminuye y la onda se atenúa.
 Si hubiera pérdidas de energía
por rozamiento, viscosidad, etc,
supone que parte de la energía
va siendo absorbida por el
medio y, por tanto, la onda se
debilita, acaba por amortiguarse
y desaparece. A este
debilitamiento se le conoce con
el nombre de absorción.

52. PRINCIPIO DE HUYGENS
 Para explicar los fenómenos ondulatorios
Huygens, en 1678, ideó un método
geométrico que permite conocer como se
pasa de un frente de onda al siguiente y por
tanto cómo se propaga la energía a través
del medio.
 Entendemos por frente de onda los puntos a
los que ha llegado la perturbación. Huygens (1629-1695)
 Si tenemos un frente de ondas en un instante t, cada punto del frente
de ondas se convierte en un foco secundario de emisión que emite
ondas de características idénticas a la original. Al cabo de un tiempo t’,
estas ondas elementales alcanzarán los puntos a’, b’ c’,
simultáneamente. Uniendo estos puntos, tenemos el nuevo frente de
ondas.
Observaciones

53. PROPIEDADES DE LAS ONDAS
 El fenómeno de la reflexión es propio de
cualquier tipo de ondas y se produce
cuando al encontrarse la onda con una
superficie que separa dos medios (aire-
cristal plateado, aire-pared), “rebota”
hacia atrás, propagándose por el mismo
medio de donde provenía y cambiando
de dirección y sentido.
Vamos a realizar un breve análisis cualitativo de los siguientes fenómenos:
- Reflexión
2) El ángulo que forma la dirección de propagación
de la onda incidente con la normal, ángulo de
incidencia (i), es igual al ángulo que forma la
dirección de propagación de la onda reflejada
con la normal, ángulo de reflexión (r)
La reflexión cumple las leyes experimentales siguientes
1) La dirección de propagación de la onda
incidente y de la onda reflejada están en un
mismo plano, que es perpendicular a la
superficie de separación y contiene a la normal.

54.  La primera ley se justifica simplemente por simetría: la onda
incidente y la normal a la superficie determinan un plano y no hay
ninguna razón que aparte de dicho plano a las ondas reflejadas y
refractadas
 La segunda ley se justifica con ayuda del principio de Huygens:
supón que tenemos un frente de onda AB y que llega con cierta
inclinación “i” a la superficie de separación de dos medios.
Cuando el punto A del frente de onda
alcanza la superficie de separación, el punto
B dista un segmento BC de la misma.
Consideraremos un frente de ondas plano que se dirige hacia la
superficie de separación de ambos medios.
De ese modo, cuando el punto B llegue a la
superficie de separación, las ondas emitidas
por A, X, Y, Z habrán originado un nuevo
frente de ondas, envolvente de las ondas
secundarias, el A’C que constituye la onda
reflejada.
En ese instante, el punto alcanzado por A se
convierte en un foco emisor de ondas
secundarias. A medida que transcurre el
tiempo, ocurre lo mismo con los puntos X, Y,
Z.
 Si la onda incidente forma un ángulo “i” con la superficie y la onda reflejada
un ángulo “r”, resulta:
sen i = BC/AC sen r = AA’/AC
 La onda no cambia de medio, el módulo de la velocidad no se modifica, y por
tanto BC = AA´, puesto que se emplea el mismo tiempo en recorrerlas. Por
tanto: ángulo de incidencia (i) = ángulo de reflexión (r)

55. -Refracción
 Un hecho curioso que habrás
observado alguna vez es que al
introducir, por ejemplo, una pajita recta
en agua esta parece torcida. Este
fenómeno es debido a la refracción de
la luz al pasar del agua al aire y, al
igual que con la reflexión, ocurre con
todos los tipos de ondas.
 La refracción se produce cuando la onda atraviesa la superficie que
separa dos medios y se propaga por el segundo medio, modificando su
velocidad de propagación y dirección.
 La refracción cumple dos leyes similares a las de la reflexión:
1) La dirección de propagación de la onda incidente y
de la onda refractada están en un mismo plano, que
es perpendicular a la superficie de separación y
contiene a la normal.
2) La relación que existe entre el seno del ángulo de
incidencia (i) y el seno del ángulo que forma la onda
refractada con la normal, ángulo de refracción (t), es
la misma que la que existe entre las velocidades de
propagación de la onda en los dos medios.

56.  Ley de Snell sen
sen
i
t

v
v
1
2
v1 representa la velocidad de propagación en el medio incidente y v2
la velocidad de propagación por el medio en que se refracta.
 De esta relación se deduce que cuando la onda accede a un medio
por el que se propaga más despacio, el ángulo de refracción es
menor que el de incidencia (la dirección de propagación se acerca a
la normal). En caso contrario, el ángulo de refracción es mayor que el
de incidencia (la dirección de propagación se aleja de la normal)
 La ley de Snell puede justificarse con el principio de Huygens,
teniendo en cuenta que la velocidad de la onda al penetrar en el
segundo medio varía por tener éste características diferentes al
primero.
 Supongamos que un frente de ondas plano incide
sobre la superficie que separa los dos medios.
Sean v1 y v2 las velocidades de propagación de la
onda en los medios 1 y 2 respectivamente.
 Cuando el punto A es alcanzado por el frente de
ondas se comportará como foco emisor de ondas
secundarias, en ese caso hacia el segundo medio,
y lo mismo ocurrirá con los puntos X, Y, Z, a medida
que son alcanzados por la onda.
 Durante el tiempo que emplea B en llegar hasta C,
se ha generado en el segundo medio un nuevo
frente de ondas, A’C,

57.  De la figura se deduce:
AC
AA'
sen t;
AC
BC
isen 
 Si v1 y v2 son las respectivas velocidades
de propagación en cada uno de los
medios, tendremos:
BC = v1 · t AA’ = v2 · t
siendo t el tiempo que emplea la onda en pasar de A a A’, idéntico al
que emplea en pasar de B a C.
AC
t
vsen t;
AC
t
visen 21 
y dividiendo miembro a miembro:
sen
sen
i
t

v
v
1
2
que es la ley de Snell.

58. - Difracción
 La difracción es el fenómeno que se
produce cuando en la propagación de una
onda ésta encuentra un obstáculo o una
abertura de tamaño comparable al de su
longitud de onda.
 La difracción es característica del
movimiento ondulatorio. Si existe
difracción, el fenómeno tiene naturaleza
ondulatoria
 Si en el camino de las ondas colocamos un obstáculo
cuyo tamaño sea del orden del de la longitud de onda se
observa que los puntos del frente de ondas que no están
tapados por el obstáculo se convierten en centros
emisores de nuevos frentes de ondas, logrando la onda
bordear el obstáculo y propagarse detrás del mismo.
 El sonido es capaz de bordear obstáculos pequeños que encuentre en su
camino, ya que su longitud de onda está comprendida entre unos cm y varios m.
Hecho que nos permite escuchar a las personas situadas al otro lado de una
esquina aunque no las veamos. Sin embargo, no puede salvar obstáculos como
un edificio o una montaña.
 Si en vez de un obstáculo interponemos en el camino de la onda incidente un
orificio del tamaño de la longitud de onda, el orificio se convierte en centro
emisor. La onda incidente difiere tanto más de la difractada cuánto más próximo
sea el tamaño del orificio al de la longitud de onda. Difracción

59. - Polarización
 Una onda transversal puede vibrar en cualquiera de los posibles
planos perpendiculares a la dirección de propagación, pero si
forzamos, por medio de algún dispositivo, a que las vibraciones se
produzcan en un único plano, decimos que hemos polarizado la
onda.
 El plano determinado por las direcciones de propagación y de
vibración de la onda se denomina plano de polarización.
 Al generar una onda en una cuerda, las partículas pueden vibrar en
cualquier dirección. Si en el camino de la cuerda ponemos una
ventana estrecha, las ondas que son paralelas a la ranura pueden
pasar al otro lado porque están orientadas debidamente, pero las
que vibran en cualquier otra dirección no atravesarán la ventana.
 La polarización es una propiedad que sólo tiene sentido en las ondas
transversales y cobra especial importancia en el caso de la luz, ya
que sirvió para demostrar su carácter de onda transversal.
Polarizador

60.  S.11
Por una cuerda se propaga un movimiento ondulatorio
caracterizado por la función de onda:
Razone a qué distancia se encuentran dos puntos de esa
cuerda si:
a) La diferencia de fase entre ellos es de π radianes.
b) Alcanzan la máxima elongación con un retardo de un
cuarto de periodo.







T
t
λ
x
2πsenAy

61.  S.12
Se hace vibrar transversalmente un extremo de una cuerda
de gran longitud con un período de 0,5  s y una amplitud
de 0,2 cm, propagándose a través de ella una onda con
una velocidad de 0,1 m s – 1.
a) Escriba la ecuación de la onda, indicando el
razonamiento seguido.
b) Explique qué características de la onda cambian si:
i)se aumenta el período de la vibración en el extremo
de la cuerda;
ii)se varía la tensión de la cuerda.

62. INTERFERENCIAS. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
 Al encuentro en un punto del
espacio de dos o más
movimientos ondulatorios que se
propagan por en mismo medio se
le llama interferencia.
 El hecho de que dos pulsos se
crucen sin alterar su naturaleza es
una propiedad fundamental de las
ondas y caracteriza al movimiento
ondulatorio
 Este comportamiento constituye la base experimental que permite
enunciar lo que se conoce como el principio de superposición.
“Cuando se propagan dos o más ondas por un medio, la
perturbación resultante en cada punto del medio es igual a la
suma de las perturbaciones que producirían cada una de las
ondas por separado”
Tras la coincidencia, cada onda vuelve a conservar su forma original como si no
hubiera pasado nada.
El principio de superposición permite estudiar analíticamente qué ocurre
cuando por un medio se propaga más de una onda: basta sumar los efectos de
cada una de las ondas individuales.

63.  Cuando la perturbación resultante de la superposición de dos o más
ondas supone un refuerzo, se habla de interferencia constructiva,
y la perturbación resultante es mayor que las originales.
 Si la perturbación resultante es menor que las originales, la
interferencia es destructiva.
 El estudio de la interferencia de dos ondas cualesquiera es
demasiado complejo para ser tratado aquí. Resolveremos
únicamente algunas situaciones simples.

64.  Vamos a resolver un caso sencillo de interferencia de ondas:
1º.- Supondremos que las ondas que interfieren son idénticas, es
decir, tienen la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud.
2º.- Además, tendrán la misma fase o una diferencia de fase
constante. A este tipo de fuentes se les llama coherentes.
3º.- Consideramos que la propagación se produce en un plano, como
las ondas que se propagan por la superficie del agua, generadas por
dos agitadores idénticos.
 Considera que disponemos de dos focos
emisores de ondas armónicas, F1 y F2 y
que estamos interesados en determinar la
perturbación resultante en un punto P
cualquiera.
 De ese modo, las perturbaciones que
producen en P cada uno de los focos,
suponiendo que están en fase, son:
y1 = A · sen ( t - k d1) ; y2 = A · sen ( t - k d2)
donde d1 y d2 son las respectivas distancias de los focos al punto P.
Aunque A, k y  son idénticas para cada onda, no lo son las
perturbaciones y1 e y2 en el instante t, ya que la distancia del punto P a
cada uno de los focos no tiene por qué ser la misma.

65.  El principio de superposición permite afirmar que la perturbación
resultante en un punto P es:
y = y1 + y2
y = A  sen ( t - k d1) + sen ( t - k d2) 
y = A · sen ( t - k d1) + A · sen ( t - k d2)
Sabiendo que: sen sen sen cosa b
a b a b
  



2
2 2











 





 

2
kdωtkdωt
cos
2
kdωtkdωt
sen2Ay 2121





 





 

2
dd
kcos
2
dd
kωtsenA2y 1221
Si denominamos amplitud resultante (Ar) a A 2 A k
d d
2r
2 1
  





cos





 

2
dd
ktωsenAy 21
r
 Por tanto, la perturbación resultante es una onda armónica de la misma
frecuencia y longitud de onda que las ondas originales, cuyo origen podría
encontrarse a una distancia (d1+d2)/2 del punto P, pero cuya amplitud es
diferente para cada punto del plano, según la situación de éste respecto a los
focos emisores.

66.  La amplitud resultante,
A 2 A k
d d
2r
2 1
  





cos
alcanza su valor máximo en los puntos del plano para los que:
k
d d
2
n2 1
 
con n = 0, 1, 2 ...
Recordando que k = 2/, resulta d2 - d1 = n · 
 Por tanto, en aquellos puntos del
plano tales que la diferencia entre las
distancias a los focos es un múltiplo
entero de la longitud de onda, la
amplitud resultante es máxima
(vientres).
 En ellos se producirá una interferencia
totalmente constructiva.

67.  Del mismo modo, la amplitud resultante será nula y la interferencia
destructiva, en aquellos puntos del plano que verifiquen la
expresión:
 k
d d
2
2 1
  2 1
2
n

con n = 0, 1, 2 ...
Siguiendo el razonamiento anterior, ahora resulta:
 
2
)12(
2
12
dd 12



 n
n
 La interferencia es destructiva
para todos los puntos cuya
diferencia de distancias a los
focos es un número impar de
semilongitudes de onda.
 A estos puntos del plano, en los
que la amplitud de la onda
resultante es nula, se les
denomina nodos.
Cubeta de ondas

68. ONDAS ESTACIONARIAS
 Estudiaremos ahora el caso de que las ondas no se
propaguen por un medio abierto, por ejemplo, si en
una cuerda con un extremo fijo y el otro libre
generamos una onda en el extremo libre, ésta se
propaga hasta el extremo fijo y se refleja volviendo
por la cuerda hasta el extremo libre.
 La onda incidente y la reflejada (si no existe
amortiguamiento) tienen las mismas características,
pero viajan en sentidos contrarios. ¿Cómo
interfieren esas dos ondas?
 El resultado de esta interferencia es
que unos puntos están siempre en
reposo y otros presentan movimiento
vibratorio armónico de distintas
amplitudes. Esta onda se denomina
onda estacionaria porque el perfil de
la onda no se desplaza debido a que
existen unos puntos para los cuales la
amplitud es siempre cero.
 Ondas estacionarias

69.  La interferencia de dos ondas de idéntica amplitud, frecuencia y
longitud de onda que se propagan en la misma dirección pero en
sentido contrario se le llama onda estacionaria.
La ecuación de la onda estacionaria es de la forma:
y = 2 · A sen (kx) · cos (t)
ecuación que depende del tiempo y de la posición separadamente:
- A es la amplitud de las ondas que por superposición originan la
onda estacionaria.
-  es la frecuencia angular de las ondas originales
- k el nº de ondas de las ondas que originan la onda estacionaria
- x es la distancia de cualquier punto al extremo fijo.
 Si denominamos amplitud resultante (Ar) a : Ar = 2 A sen kx
la ecuación de la onda estacionaria es.
y = Ar cos t
 Esta onda estacionaria resultante, tiene la misma frecuencia y
longitud de onda que las ondas originales y la amplitud depende
de la localización de la partícula en la cuerda y no del tiempo.
opciones

70.  Analicemos la expresión de la amplitud resultante:
Ar = 2 A sen kx
- La amplitud Ar es máxima cuando: sen kx = 1
por lo que:
2
π
1)(2nnπ
2
π
kx  con n = 0, 1, 2 ...
Como k = 2/ , resulta:  
4
λ
12nx 
 Es decir, todos los puntos que distan un número impar de cuartos de
longitudes de onda vibran con la amplitud máxima. Estos puntos se
denominan vientres.
- La amplitud resultante será nula en los puntos que verifiquen:
kx = n  con n = 0, 1, 2 ...
2
λ
nx 
 A estos puntos se les denomina nodos, y al tener amplitud nula,
permanecen constantemente en reposo.

71. De ello se deriva una conclusión muy importante:
 Si a lo largo de la cuerda existen una serie de puntos que
permanecen en reposo (nodos), resulta imposible transmitir energía
más allá de ellos, por lo que la energía no se puede propagar por
el medio. La onda estacionaria no es una onda viajera; de ahí el
nombre de estacionaria.
 Como se observa en la figura, todos los puntos, salvo los nodos, se
mueven con M.A.S. de la misma frecuencia y amplitud variable, de
acuerdo con su posición. Todos vibran a la vez y alcanzan
simultáneamente los posiciones de equilibrio.
 Observa que la distancia
entre dos nodos o dos
vientres consecutivos es /2
 La distancia entre un nodo
y un vientre /4
Applet Ondas estacionarias

72.  Un caso especialmente interesante de ondas estacionarias es el
que ocurre en una cuerda fija por sus dos extremos en la que
provocamos una perturbación.
 Si la cuerda es de longitud L, al estar fijos ambos extremos, los
puntos x = 0 y x = L han de ser nodos de las ondas estacionarias.
Por tanto, en la longutid L debe haber un número entero de
semilongitudes de onda, esto es:
2
λ
nL 
Las posibles longitudes de onda han de cumplir:
n
L
2
 La figura muestra los tres primeros modos de vibración de una
cuerda. La longitud de onda del primer modo (n =1) es 2 L. Para el
siguiente modo de vibración (n = 2) es símplemente L y así
sucesivamente.

73.  Recordando la relación que existe entre la longitud de onda y la
frecuencia,
L2
v
n
v
f




Denominamos frecuencia fundamental de vibración al valor
f
v
2 L


con n = 1
 Observa que sólo son posibles aquellas ondas cuya frecuencia de
vibración es un múltiplo de la frecuencia fundamental y que la
frecuencia no varía de forma continua, sino que lo hace adquiriendo
valores que se diferencian en v/(2L).
 Podemos afirmar que estas ondas están “cuantizadas”, siendo ello
consecuencia de las condiciones de contorno (longitud de la cuerda L
y sus extremos fijos).
 Esta situación se da con frecuencia en física, ocurre, por ejemplo, con
las ondas estacionarias asociadas al movimiento del electrón en el
átomo y con la interpretación de los niveles energéticos de dicho
electrón.
 Las ondas sonoras que se generan en los instrumentos de cuerda,
así como las formadas en los tubos sonoros son estacionarias.

74.  S.13
a) Explique las diferencias entre ondas transversales y
ondas longitudinales y ponga algún ejemplo.
b) ¿Qué es una onda estacionaria? Comente sus
características.

75.  S.14
La ecuación de una onda en una cuerda es:
y(x,t)= 0,4 sen(12π x)· cos(40π t) (S.I.)
a) Explique las características de la onda y calcule su
periodo, longitud de onda y velocidad de propagación.
b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos
con amplitud cero.

76.  S.15
En una cuerda tensa de 16 m de longitud, con sus
extremos fijos, se ha generado una onda de ecuación:
a) Explique de qué tipo de onda se trata y cómo podría
producirse. Calcule su longitud de onda y su frecuencia.
b) Calcule la velocidad en función del tiempo de los puntos
de la cuerda que se encuentran a 4 m y a 6 m,
respectivamente, de unos de los extremos y comente los
resultados
.).()8cos()
4
(02,0),( IStxsentxy 



77.  S.16
Por una cuerda tensa se propaga la onda:
a) Indique las características de la onda y calcule la
distancia entre el 2º y el 5 nodo.
b)Explique las características de las ondas cuya
superposición daría lugar a esa onda, escriba sus
ecuaciones y calcule su velocidad de propagación.
.).()50()5,0cos(10·8),( 2
IStsenxtxy 


78.  S.17
La ecuación de una onda es:
y (x, t) = 0,16 cos (0,8 x) cos (100 t) (S. I.)
a) Con la ayuda de un dibujo, explique las características
de dicha onda.
b) Determine la amplitud, longitud de onda, frecuencia y
velocidad de propagación de las ondas cuya superposición
podría generar dicha onda.

79.  S.18
a) Se hace vibrar una cuerda de guitarra de 0,4 m de
longitud, sujeta por los dos extremos. Calcule la frecuencia
fundamental de vibración, suponiendo que la velocidad de
propagación de la onda en la cuerda es de 352 m s - 1.
b) Explique por qué, si se acorta la longitud de una cuerda
en una guitarra, el sonido resulta más agudo.

80.  S.19
En una cuerda tensa, sujeta por sus extremos, se tiene una
onda de ecuación:
a) Indique el tipo de onda de que se trata. Explique las
características de las ondas que dan lugar a la indicada y
escriba sus respectivas ecuaciones.
b) Calcule razonadamente la longitud mínima de la cuerda
que puede contener esa onda. ¿Podría existir esa onda en
una cuerda más larga? Razone las respuestas.
.).()200cos()4(02,0),( IStxsentxy 

81.  S.20
a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de una
onda.
b) ¿Tienen igual frecuencia, longitud de onda y velocidad
de propagación la onda incidente, la reflejada y la
refractada?

82.  S.21
a) Comente la siguiente afirmación: “las ondas
estacionarias no son ondas propiamente dichas” y razone si
una onda estacionaria transporta energía.
b) Al arrojar una piedra a un estanque con agua y al pulsar
la cuerda de una guitarra se producen fenómenos
ondulatorios. Razone qué tipo de onda se ha producido en
cada caso y comente las diferencias entre ambas.

83. Podemos enunciar el principio de Huygens como
sigue:
 Todo punto de un frente de onda es centro
emisor de nuevas ondas elementales cuya
envolvente es el nuevo frente de ondas.
 Esta forma de interpretar la propagación de una onda resulta
apropiada en el caso de ondas materiales, en las que las
vibraciones de las partículas del medio se transmiten de unas a
otras, pero carece de significado físico si consideramos las ondas
electromagnéticas, que se propagan en el vacío.
 Asimismo, si somos rigurosos con la idea de que cada punto del
medio alcanzado por una onda se convierte en foco emisor de
ondas secundarias, habría que admitir la propagación “hacia
atrás”, que realmente no se observa. Una modificación posterior
del principio de Huygens, permitió soslayar estos defectos.
 Kirchhoff modifica el enunciado original, de modo
que el principio puede aplicarse a cualquier tipo de
onda y, además, establece que las ondas de
retroceso poseen energía nula y , por tanto, no
existen. Las dificultades matemáticas añadidas
que suponen estas modificaciones harán que
aceptemos sin más los resultados obtenidos por
Kirchhoff
Kirchhoff (1824-1887)
Volver

84. ECUACIÓN DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS
 Hemos visto que una onda
estacionaria es el resultado de la
interferencia de dos ondas idénticas
que se propagan en sentido opuesto.
 Si elegimos como referencia el punto
en el que se refleja la onda, la
ecuación de la onda que viaja hacia
la derecha es de la forma:
y1 = A sen ( · t + k x)
 La onda incidente al reflejarse, en el extremo fijo, sufre un cambio
de fase de  radianes y como sen ( + ) = - sen , la onda reflejada
que viaja hacia la derecha es:
y2 = A sen ( · t - k x + ) = - A sen ( · t - k x)
de modo que la perturbación resultante en cada punto de la cuerda,
vendrá dada por:
y = y1 + y2 = A sen ( · t + k x) - A sen ( · t - k x)
y = 2 · A · sen kx · cos t
que es la ecuación de las ondas estacionarias
 Utilizando la relación sen sen cos sena b
a b a b
 



2
2 2

85. Otras formas de la ecuación de las ondas estacionarias
 Aunque en la presentación hemos usado la ecuación
y = 2 · A sen (kx) · cos (t)
Es posibles encontrar la ecuación escrita de forma diferente,
veamos otras formas posibles:
y = 2 · A cos (kx) · sen (t)
 Si con estas ecuación aplicamos la
condición de vientre, cos (kx)  1, con lo
que resulta x n·/2
Y para los nodos cos (kx)  0 y resulta x 
(2n+1)·/4
Que como vemos es diferente a las
posiciones obtenidas con la ecuación (1).
Pero lo importante es que los nodos y los
vientres sucesivos están separados
igualmente /4
(1)
y = 2 · A cos (kx) · cos (t)
 Estas ondas representa con respecto a la de la ecuación (1) un
desfase de /2, puesto que cos(kx)sen(kx/2) o bien
cos(kx/2)  sen (kx)
volver