1. Juwita Martini

3. Aturan sinus ini merupakan perluasan
dari perbandingan trigonometri yang
sebelumnya dibahas menggunakan
segitiga siku-siku. Pada aturan sinus ini
akan ditunjukkan perbandingan
trigonometri dalam segitiga sembarang
.

4. C
Sin  = Demi
c
a

A
b
sin  
B
sin  
depan
miring
a
c

5. Untuk penurunan rumus aturan sinus, perhatikan Δ
ABC lancip pada gambar di bawah ini. Garis-garis AP,
BQ, dan CR merupakan garis tinggi pada sisi a, sisi b,
dan sisi c.
Pada Δ ACR berlaku :
sin A 
CR
b
 CR  b sin A
......
1
Pada Δ BCR berlaku :
Sin B 
CR
a
 CR  a sin B
......
2 
Persamaan ( 1 ) = ( 2 ) diperoleh :
b Sin A = a Sin B

a
sinA

b
sinB
.........
3 

6. Pada Δ BAP berlaku :
sinB 
AP
c
 AP  csinB .......
4
Pada Δ CAP berlaku :
sinC 
AP
b
 AP  bsinC .......
5
Persamaan ( 4 ) = ( 5 ) diperoleh :
c Sin B = b Sin C

b

sinB
c
sinC
......
6 
Persamaan ( 3 ) = ( 6 ) diperoleh :
a
sinA

b
sinB

c
sinC

7. Jadi ,
a
sin A

b
sin B

c
sin C

8. Aturan sinus tersebut dapat digunakan dalam
perhitungan segitiga untuk kasus berikut:
•Dua sudut dan sembarang sisi diketahui
•Dua sisi dan sudut dihadapan salah satu sisi
tersebut diketahui

9. Untuk menurunkan rumus aturan cosinus, perhatikan
segetiga ABC dibawah ini CD = h adalah garis tinggi
pada sisi c.

10. C
cos  = Sami
c
a

A
b
B
cos  
cos  
samping
miring
b
c

11. Dengan menerapkan teorema pyhagoras pada segitiga siku-siku BCD.diperoleh :
a2 = h2 + (BD)2 ……………… ( 1 )
Pada Δ siku-siku ACD diperoleh :
h = b Sin A
………………….. ( 2 )
dan AD = b cos A, sehingga BD = AB – AD = c – b Cos A …………….. ( 3 )
substitusi h = b Sin A dan BD = c – b Cos A ke persamaan ( 1 ). Diperoleh :
a2 = (b Sin A)2 + (c – b Cos A)2
2
2
2
2
2
 a = b sin A + c - 2bc cos A  b cos
 a = b (sin
2
2
2
2
2
A + cos A)  c - 2bc cos A
2
2
2
 a = b  c - 2bc cos A
2
A

12. Dengan menggunakan segitiga yang sama tapi letak
titik sudutnya ditukar akan diperoleh rumus aturan
cosinus yang lainnya yaitu :
b
2
= a  c - 2ac cos B
c
2
= a  b - 2ab cos C
2
2
2
2

13. Jadi ,
2
2
2
a = b  c - 2bc cos A
b
2
= a  c - 2ac cos B
c
2
= a  b - 2ab cos C
2
2
2
2

14. Untuk menentukan besarnya sudut suatu segitiga, dimana
ketiga sisinya
diketahui, rumus di atas dapat di ubah menjadi :
1. a 2 = b 2  c 2 - 2bc cos A
 b  c - 2bc cos A  a
2
2

 b
2
 - 2bc cos A  a  b  c
2
 - 2bc cos A  a
c
2
 2bc cos A  b  c  a
2
2
2
2
2
2
b c a
2
 cos A 
2
2
2 .b .c
2



15. Jadi,
b c a
2
cos A 
2
2
2 .b .c
a c b
2
cos B 
2
2
2 .a .c
a c b
2
cos C 
2
2 .a .b
2

16. Aturan kosinus tersebut dapat digunakan
dalam perhitungan segitiga untuk kasus
berikut :
a. Dua sisi dan sudut yang di apitnya
b. Ketiga sisi segitiga

18. 1.
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AB =
10 cm, sisi AC = 12cm dan sin B = 4
5
Tentukan nilai cos C = …….
Pembahasan :
Panjang sisi AB = c = 10 Cm
Panjang sisi AC = b = 12 Cm
Dengan aturan sinus :
b
12
4
c

sin B
Identitas trigonometri :
Sin2 C + Cos2 C = 1
2
2
   Cos
3
sin C
10

sin C
Cos
5
4
2
2
C = 1
C = 1-
4

9
x 10
sin C  5

12
8
12

2
3
Cos C =
1
3
5
9
5

19. 2.
Dalam segitiga ABC diket b = 8 cm, c = 5 cm dan sudut A = 60ᶱ
Tentukan panjang sisi a = ?
Pembahasan :
Dengan menggunakan aturan kosinus
a = b  c - 2bc cos A
2
2
2
a = 8  5 - 2 8
2
2
2
 5  cos
1
2
a = 64  25 - 80  
2
a =
49
a =  7
60

20. 3.
Diketahui ABC dengan A = 30 , 70 dan sisi a = 9 cm
Tentukan kedua sisi lainnya !
Pembahasan :
C
9 cm
B
A
a) Berdasarkan persamaan a
sin A
9
sin 30

b

9
b

diperoleh
sin B
b

sin 30
sin 70
sin 70
9


0 ,5000

1
b
0 ,9 3 9
b  8 , 451
2
 b  1 6, 9 06
Jadi panjang sisi b adalah
1 6, 9 06 cm

21. C = 180ᶱ- ( 30ᶱ+ 70ᶱ) = 80 o, berdasarkan persamaan
b. )
9
sin 30

c
sin 8 0
9

0 ,5000

1
c

0 ,985
c  8 , 86 5
2
 c  1 7,730
Jadi panjang sisi c adalah 17, 730 cm

22. 4.
Carilah besar sudut B pada

10 dan a = 5

ABC jika diketahui
A = 30, b=
C
b
a

A
B
c
Pembahasan :
berdasarkan aturan sinus
a
sin A

5
b
maka diperoleh :
sin B
10

sin 30

sin B
 Sin B  1
 B  90
(hanya ada satu jawaban yaitu 90ᶱ
)

23. 5.
Diketahui Δ ABC dengan sisi a = 6 , b = 8 dan ∠ c = 70ᶱ
Hitunglah panjang sisi C !
Pembahasan :
C
8 cm
6 cm
B
A
A
c = a  b - 2ab cos C
2
2
2
c = 6  8 - 2.6 .8 cos 70
2
2
2
c = 36  6 4 - 2.48 cos 70
2
c = 100  96
2
2
c = 67,17
c =
67,17
 8,19
cm
0,342 

24. 6.
Diketahui Δ ABC dengan sisi a = 8 ∠ a = 30ᶱ ∠ b = 60ᶱ
,
Hitunglah sudut c dan panjang sisi b dan c !
Pembahasan :
C
8
30ᶱ
60ᶱ
B
A
∠C = 180ᶱ- (60ᶱ+ 30ᶱ) = 90
a
a
sin B
sin A

sin A

b
8

sin 30

8
0 ,5
 b
b



0 ,8 66
6, 9 2 8
0 ,5
 13,85 6 cm
sin C
8

sin 30
sin 6 0
b
c

8
0 ,5
 c 

c
sin 9 0
c
1
8
0 ,5
 1 6 cm

25. 7.
Diketahui Δ ABC dengan sisi c = 10 ∠ a = 50ᶱ ∠ b = 80ᶱ
,
Hitunglah sudut c dan panjang sisi a dan b !
C
Pembahasan :
80ᶱ
50ᶱ
A
10
B
∠C = 180ᶱ- (50ᶱ+ 80ᶱ) = 50ᶱ
a
b
sin C
sin B

sin A

c
a

sin 50

a
sin 5 0

0 ,7 6 6
 a 
10
7 ,6 6
0 ,7 6 6
10
0 ,7 6 6
 10 cm
c

sin C
b


sin 8 0

b

0 ,985
 b 
9,85
0 ,7 6 6
10
sin 5 0
10
0 ,7 6 6
 12,859008
cm

26. 8.
Diketahui Δ ABC dengan AB= 4cm , AC= 6cm, BC= 8cm
Tentukan nilai cos C = …
C
Pembahasan :
8 cm
6 cm
A
c = a  b - 2ab cos C
2
2
2
a c b
2
 cos C 
2
2
2 .a .b
8 4 6
2
 cos C 
2
2
2 .8 .6
 cos C 
64  1 6  3 6
96
 cos C 
44
 0 , 45 8
96
C  117 , 2 6 
4 cm
B

27. 9.
Pada Δ ABC panjang sisi AC = 20, AB = 25, dan A = 65°
Tentukan panjang sisi BC !
C
Pembahasan :
20
65º
A
25
B
a
2
= b  c - 2bc cos A
a
2
= 20  25 - 2.20.25 cos 65
2
2
2
a
2
= 400  625
a
2
2
= 602
a =
- 423
602  24,54 Cm
Sehingga di peroleh BC = a = 24,54 cm

28. 10
Tentukan unsur- unsur yang lain pada Δ ABC jika ∠ A = 38ᶱ ∠ B = 67ᶱ
,
dan c = 43 cm
Hitunglah sudut c dan panjang sisi b dan c !
Pembahasan :
C
38º
67º
A
43
B
∠C = 180ᶱ- (38ᶱ+ 67ᶱ) = 75ᶱ
selanjutnya kita akan mencari nilai a dan b dengan menggunakan aturan sinus
a
b
sin C
sin A

c
sin B

a
sin 3 8

a
sin 7 5

0,97
26 , 66
0 ,97
 a  27 , 40 98 cm
sin C
b

b
43

sin 67
43

0 , 62
 a
43

c


sin 75
43
0,92
0 ,97
 b
39 ,56
0 ,97
 b  40 , 9789 cm

29. 11.
Tentukan sudut terkecil dan sudut terbesar dari Δ PQR jika PQ = 6,
QR = 8 dan PR = 12
Pembahasan :
b c a
2
cos A 
2
a c b
2
2
cos B 
2
2 .a .c
2 .b .c
cos A 
PR
 PQ
2
2
 QR
2
cos B 
2
QR
cos A 
2
6 8
2
11 6
 0 ,8 0 6
144
A  3 6,29 
2
 PR
8  6  12
2
2
cos B 
2 . 12 . 6
cos A 
 PQ
2
2 .QR . PQ
2 . PR . PQ
12
2
2
2
2 . 8.6
cos B  
44
  0 , 45 8
96
B  117 , 2 6
C  180  -  A  B 
 180  - 3 6,29  117 , 2 6 
 2 6,45 
Jadi, sudut terkecil adalah C = 2 6,45 
dan sudut terbesar B =
117 , 2 6

30. Tiada guru yang bijaksana apabila
dia lebih mememahami materi yang
dia sampaikan kepada muridnya ,
sehingga muridnya juga
mememahami.
Tiada sempurna seorang guru
apabila tak memiliki tanggung
jawab di dasar hatinya.
Mari bersama-sama menjadi guru yang baik !!