1. Análisis de Sensibilidad
O análisis post optimal

2. Análisis de Sensibilidad
Tópicos
 Definición
 Análisis de sensibilidad de los
coeficientes de la F.O. cj
 Análisis de sensibilidad vector b
 Análisis de sensibilidad de los aij
 Adición/Eliminación de una variable
 Adición/eliminación de una restricción
IO1 RDA 2

3. Análisis de Sensibilidad
 Se denomina análisis de sensibilidad a
las investigaciones que tratan los
cambios en la solución óptima debido a
los cambios en los datos
 El análisis de sensibilidad en cierto
sentido convierte la solución estática de
P.L. En un instrumento dinámico que
evalúa las condiciones cambiantes
IO1 RDA 3

4. Análisis de Sensibilidad
 Objetivo:
 Como se ve afectada la solución, si se
modifica las condiciones iniciales; esto
es hay cambios en los costos, recursos,
coeficientes tecnológicos.
 Cual es el rango de valores en que se
puede trabajar sin afectar la solución.
IO1 RDA 4

5. Sensibilidad de los coeficientes de la
F.O. (Cj)
Sí C  C’ ¿cuál será la nueva solución
óptima?
Recordemos que:
(P) max Z=CX (D) min w=Yb
s.a. AX=b s.a. YA C
x>0 Y libre
IO1 RDA 5

6. Sensibilidad de los coeficientes de
la F.O. (Cj)
 Que ocurre con las condiciones? Se
mantienen?
 La condición de factibilidad
1 si se mantiene, i.e. B es
X B  B b  0 base primal
 La condición de optimalidad
c j  z j  0 ? j  1,...,n no! se
sabe
Pues solamente se cumple para las VB.
IO1 RDA 6

7. Sensibilidad de los coeficientes de
la F.O. (Cj)
 Entonces sí:
cj  zj  0  j  I N => sol. óptima
se mantiene
en caso contrário la sol óptima es
afectada => utilizar Simplex para
encontrar la nueva solución
IO1 RDA 7

8. Sensibilidad de los coeficientes de
la F.O. (Cj)
 Ejemplo:
max z  3x1  2 x2
s.a x1  2 x2  6
2 x1  x2  8
 x1  x2  1
x2  2
Sea el tablero óptimo
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x2 0 1 2/3 - 1/3 0 0 4/3
x1 1 0 - 1/3 2/3 0 0 10/3
x5 0 0 -1 1 1 0 3
x6 0 0 - 2/3 1/3 0 1 2/3
IO1 RDA 8
z 0 0 - 1/3 - 4/3 0 0 - 38/3

9. Sensibilidad de los coeficientes de
la F.O. (Cj)
 Sí z  3x1  2x2 se cambia por
z'  5x1  4x2
la solución permanece óptima?
Solución: Nos interesa calcular solamente
cj  z j  0  j  IN pues cj  z j  0  j  IB
donde
I N  no básicas
I B  básicas
IO1 RDA 9

10. Sensibilidad de los coeficientes de
la F.O. (Cj)
 Como:
zN  CB B1N e Y  CB B1
 Veamos la Base
2 1 0 0 2 / 3 - 1/3 0 0
1 2 0 0 - 1/3 2/3 0 0
B  B 1   
1 -1 1 0 - 1 1 1 0
   
1 0 0 1 - 2/3 1/3 0 1 
IO1 RDA 10

11. Sensibilidad de los coeficientes de
la F.O. (Cj)
 Ahora, con el cambio de coeficientes:
CB  (2,3,0,0)  CB  (4,5,0,0)
'
Y '  CB B 1  (4,5,0,0) B 1  (1,2,0,0)
'
 Necesitamos conocer N
dado que I B  2,1,5,6  I N  3,4
1 0 
0 1 
de donde N   
0 0
 
0 0
IO1 RDA 11

12. Sensibilidad de los coeficientes de
la F.O. (Cj)
 Luego
1 0 
 
0 1 
(c3  z3 , c4  z4 )  (0,0)  (1,2,0,0)   (1,2)
00
 
0 0 
 
(1,2)  0
Cumple con la condición de optimalidad
IO1 RDA 12

13. Sensibilidad de los coeficientes de
la F.O. (Cj)
 Esto es el punto óptimo es el mismo
pero el valor de Z varia
( x1  10 / 3, x2  4 / 3)
z  5(10 / 3)  4(4 / 3)  22
 En la tabla ahora se tiene:
x1 x2 x3 x4 x5 x6
 z 0 0 -1 - 2 0 0 - 22
IO1 RDA 13

14. Sensibilidad de los coeficientes de
la F.O. (Cj)
 ¿Cuál es el rango de variación de cj
para que la base se mantenga
óptima?
ahora:
C'  C ek ek  fila k de la matriz I
esto es:
C'  (c1, c2 ,.... k  ,..... n )
c c y
c  ck 
'
k
IO1 RDA 14

15. Sensibilidad de los coeficientes de
la F.O. (Cj)
1. Sí ck corresponde a una VNB
Se cumple que:
c j  z j  0  j  K , Y  CBB -1
entonces basta verificar que:
c  ck   zk
'
k
de donde:   zk  ck costo reducido
IO1 RDA 15

16. Sensibilidad de los coeficientes de
la F.O. (Cj)
Ejemplo: Hallar el rango de variación de
c3 para que la base siga siendo óptima
c3  0  x3 es VNB
Basta mirar el tablero óptimo a nivel de -z y
tomar el valor contrario de c3-z3=-1/3=>   1/ 3
De donde C3'  C3   1/ 3 , esto es, C3'  ,1/ 3
IO1 RDA 16

17. Sensibilidad de los coeficientes de
la F.O. (Cj)
1. Sí ck corresponde a una VB, se tiene:
Y 'CB B1 (CB e p ) B1Y f p
e p  fila p de I
'
P  pos. de VB k en IB
se debe verificar que: f p  fila P de B1
a j  colum na j deA
c j  z' j  c j  Y ' a j  0  j  I N
de donde:
 c j  Ya j 
   c j  Ya j 
 
max
y pj 0 
    min 
 ypj 
y pj 0 
  ypj  
IO1 RDA 17

18. Sensibilidad de los coeficientes de
la F.O. (Cj)
Ejemplo: Hallar el rango de variación de c1 para
que la base siga siendo óptima
C1  3  x1 es VB
Observe que I N  3,4 , IB  2,1,5,6 , la posición de x1
en la base es 2
=> Según la formula esto corresponde a los
valores de c3  z3 , c4  z4 y de y23 , y24
=> max  4 / 3    min 1/ 3
   
 2/3 
y pj 0  1 / 3 
y pj 0
 2  1 y como c1'  c1   1  c1'  4
IO1 RDA 18

19. Sensibilidad del vector b
 Sí b  b’ ¿Cuál es la nueva solución
Óptima?
 ¿Qué ocurre con las condiciones?
1
 Factibilidad: X B  B b'  0 ? no se
sabe
 Optimalidad: C YA  0 se
mantiene, pues b’ no interviene
=> B es Base dual posible
=> Y es solución dual posible
IO1 RDA 19

20. Sensibilidad del vector b
 Entonces, Sí
1
X B  B b'  0 =>Sol. Óptima del
problema primal
(e Y óptima del dual)
En otro caso solución es afectada
=>aplicar simplex dual para la hallar la
solución
IO1 RDA 20

21. Sensibilidad del vector b
Ejemplo: que pasa si
6 7
8  8 
b  b'   
1 
   3
 
2 2
x1
1
Debemos verificar X B  B b'  0
2 / 3 -1/3 0 0 7 2
-1/3 2/3 0 0 8 3 la base permanece
B1b         0
-1 1 1 0  3 4 y ahora x2  2, x1  3
    
- 2/3 1/3 0 1  2 0
x5  4, x6  0
IO1 RDA
z  13 21

22. Sensibilidad del vector b
 ¿Cuál es el rango de variación de b para
que B siga siendo óptima?
ei  columna i de I
b'  b ei  i  columna i B1
X  B b'  B b  B ei  0
'
B
1 1 1
X B  X B   i  0
'
En particular para la fila s, tenemos:
 X BS   X BS 
max     min 
 si 0
  si   si 0 
 si 
IO1 RDA 22

23. Sensibilidad del vector b
Ejemplo: rango de variación de b1
2 / 3 -1/3 0 0 6 4 / 3 
-1/3 2/3 0 0 8  10 / 3
B1    b  XB   
-1 1 1 0 1  3 
     
- 2/3 1/3 0 1  2  2/3 
b1=6 => vemos en la columna 1 de B1 y para cada fila S = 1,
2,3,4 según fórmula se tiene
10 / 3 3 2 / 3   4 / 3
max , ,     min 
 1 / 3 1  2 / 3   2 / 3
1    2
=>
6  2  b1   6 1
4  b'1  7
IO1 RDA 23

24. Sensibilidad de los coeficientes aij
 Caso en que aij  N cambie, que ocurre
con la solución solución óptima?
C. de Factibilidad:
X B b01 se mantiene
B
C. de optimalidad:
CN YN  0 ? No se sabe
IO1 RDA 24

25. Sensibilidad de los coeficientes aij
 Entonces, dado aij  N
Sí,
CN YN  0
entonces la solución permanece
caso contrário solución cambia
=> aplicar simplex
IO1 RDA 25

26. Sensibilidad de los coeficientes aij
 Ejemplo:
max z  3x1  2 x2
s.a x1  2 x2  6
2 x1  x2  8
 x1  x2  1
x2  2
Sea el tablero óptimo
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x2 0 1 2/3 - 1/3 0 0 4/3
x1 1 0 - 1/3 2/3 0 0 10/3
x5 0 0 -1 1 1 0 3
x6 0 0 - 2/3 1/3 0 1 2/3
IO1 RDA 26
z 0 0 - 1/3 - 4/3 0 0 - 38/3

27. Sensibilidad de los coeficientes aij
Ejemplo: Que pasa si a13  x3 VNB a13  1 ,
ahora es a13  4
=>debemos verificar c3  z3  0 , como c  0 3
y Y  C B  (1/ 3,4 / 3,0,0) , obtenemos
B
1
 4
 
 0
z3  Ya3  (1/ 3,4 / 3,0,0)   4 / 3
0
 
 0
de donde
 
c3  z3  0  4 / 3  4 / 3  0
IO1 RDA 27

28. Sensibilidad de los coeficientes aij
 Rango de variación de aij  N
la base permanece óptima sí,
CN YN  0
esto es:
c j  Ya j  0 j  I N
Pero como
a j'  a j  ei para un j
IO1 RDA 28

29. Sensibilidad de los coeficientes aij
 => el rango de variación de 
 c j  Ya j 
  
 Yi Yi 0
 c j  Ya j 
  
 Yi Yi 0
IO1 RDA 29

30. Sensibilidad de los coeficientes aij
Ejemplo: rango de variación de a13  x3 VNB
a13  1
=>nos interesa c3  z3 y la variable dual,
Y  1/ 3 obtenido a partir de Y  C B  (1/ 3,4 / 3,0,0)
1 B
1
ahora reemplazando, en la formula se
tiene:    1/ 3  1
 
 1/ 3 
a'13  a13    a'13  0
IO1 RDA 30

31. Sensibilidad de los coeficientes aij
 Caso en que aij  B cambie, que ocurre
con la solución solución óptima?
 La modificación de un elemento de la
base afecta las condiciones:
1
de factibilidad: X B  B b
de optimalidad (factibilidad dual):
CN YN  0
de complementaridad: Y  CB B1
IO1 RDA 31

32. Sensibilidad de los coeficientes aij
 Rango de variación de aij  B
En este caso se calculará el rango de
variación respecto a las condiciones de
factibilidad y de optimalidad para cada
caso particular
Nota: A veces es mejor resolver el
nuevo problema generado con el
cambio.
IO1 RDA 32

33. Adición de una variable
 ¿Qué posibilidad hay de lanzar un
nuevo producto al mercado?
 El problema ahora es:
max Z  CX  cn1xn1
AX  an1xn1  b
X , xn1  0
 El número de restricciones ha variado?
IO1 RDA 33

34. Adición de una variable
 Como el número de restricciones no
varia  B tiene el mismo número de VB
esto es: X B  B1b es una base
posible
 Ahora Sí, B sigue siendo óptimo,
debemos de verificar que:
cn1  Yan1
en caso contrário aplicar el Simplex
IO1 RDA 34

35. Adición de una variable
 La variable que entra es xn1
 Para la tabla simplex es necesario
1
calcular yn1  B an1
IO1 RDA 35

36. Adición de una variable
Ejemplo: Suponga que se desea añadir una
variable x7,
max z  3x1  2 x2  (3 / 2) x7
s.a x1  2 x2  (3 / 4) x7  6
2 x1  x2  (3 / 4) x7  8
 x1  x2  x7  1
x2  2
debemos de verificar que: cn1  Yan1
Como Y  (1/ 3,4 / 3,0,0) an1  (3 / 4,3 / 4,1,0)
IO1 RDA 36

37. Adición de una variable
tenemos
1/ 3(3 / 4)  4 / 3(3 / 4)  0(1)  0(0)  3 / 2
3/ 4  3/ 2
=> Aplicar simplex
Calcular yn1  B1an1 y el nuevo tablero es:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
2 / 3 -1/3 0 0  3 / 4 1/ 4  x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 1/4 4/3
-1/3 2/3 0 0 3 / 4  1/ 4  x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 1/4 10/3
   
-1 1 1 0  1  1  x5 0 0 -1 1 1 0 -1 3
    
- 2/3 1/3 0 1  0  1/ 4 x6 0 0 - 2/3 1/3 0 1 -1/4 2/3
z 0 0 -1/3 - 4/3 0 0 3/4 - 38/3
IO1 RDA 37

38. Eliminación de una variable
 La eliminación de una variable implica
que este tome un valor fijo: x j  k
 Caso de una VNB
En el óptimo:
Z  Z   (c j  z j ) x j
a
j  IN
X Bs  X   ysj x j
a
Bs s  IB
como :
xk  
IO1 RDA 38

39. Eliminación de una variable
se tiene:
Z  (Z  (ck  zk ) )   (c j  z j ) x j
a
j  IN
j k
X Bs  ( X Bs  ysk )   ysj x j
a
s  IB
j k
entonces, sí: X  y   0
Bs sk
la base sigue siendo óptima
en otro caso  aplicar dual simplex
IO1 RDA 39

40. Eliminación de una variable
Ejemplo: Suprimir x3  2, x3 es VNB
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x2 0 1 2/3 - 1/3 0 0 4/3
x1 1 0 - 1/3 2/3 0 0 10/3
x5 0 0 -1 1 1 0 3
x6 0 0 - 2/3 1/3 0 1 2/3
verificar
z 0 0 - 1/3 - 4/3 0 0 - 38/3
X Bs  ysk  0
4/3 – (2/3) 2 = 0
10/3 –(-1/3) 2 = 12/3 Z= 38/3 +(-1/3)2 =36/3 = 12
3 – (-1) 2 = 5
2/3- (-2/3) 2 =2
IO1 RDA 40

41. Eliminación de una variable
ahora la tabla óptima queda así:
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x2 0 1 --- -1/3 0 0 0
x1 1 0 --- 2/3 0 0 12/3
x5 0 0 --- 1 1 0 5
x6 0 0 --- 1/3 0 1 2
z 0 0 --- - 4/3 0 0 -12
IO1 RDA 41

42. Eliminación de una variable
 Caso de una VB
 La eliminación de una variable de la Base,
modifica de forma compleja el problema;
esto es la base ya no es más base
óptima.
 Una forma de abordar el problema es
hacer que la VB a ser eliminada pase a
ser una VNB
IO1 RDA 42

43. Eliminación de una variable
ejemplo: Suprimir x2  2, x2 es VB
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x2 0 1 2/3 - 1/3 0 0 4/3
x1 1 0 - 1/3 2/3 0 0 10/3
x5 0 0 -1 1 1 0 3
x6 0 0 - 2/3 1/3 0 1 2/3
z 0 0 - 1/3 - 4/3 0 0 - 38/3
Forcemos a x2 salir de la base y luego eliminémosla.
IO1 RDA 43

44. Eliminación de una variable
x1 x2 x3 x4 x5 x6 Haciendo: x2= 2,
x2 0 1 2/3 - 1/3 0 0 4/3 -4-(-3)2 =2
6-(2)2=2
x1 1 0 - 1/3 2/3 0 0 10/3 7-(3)2=1
x5 0 0 -1 1 1 0 3 2-(1)2=0
Z= 18+(-4)2= 10
x6 0 0 - 2/3 1/3 0 1 2/3 Se tiene :
z 0 0 - 1/3 - 4/3 0 0 - 38/3 x1 x2
x4 0 -3 - 2 1 0 0 -4 x4 0 -- -2 1 0 0 2
x1 1 2 1 0 0 0 6 x1 1 -- 1 0 0 0 2
x5 0 3 1 0 1 0 7 x5 0 -- 1 0 1 0 1
x6 0 1 0 0 0 1 2 x6 0 -- 0 0 0 1 0
z 0 - 4 -3 0 0 0 -18 z 0 -- -3 0 0 0 -10
IO1 RDA 44

45. Adición o eliminación de una
restricción
 Al eliminar una restricción la región factible
queda inalterada o aumenta
 La Adición de restriciones hace que la
región factible quede inalterada o se
reduzca
 Efectos sobre la FO.
 La adición de una restricción al modelo
empeora o no altera el valor de la FO.
 La eliminación de una restricción al
modelo mejora o no altera el valor de la
FO.
IO1 RDA 45