Investigción de Operaciones: Programación Lineal

Universidad Nacional Experimental
“Francisco de Miranda”
Área de Tecnología
Unidad Curricular: Investigación de Operaciones

Tema No. 1
Modelación Matemática. Formulación de Modelos de
Programación Lineal

Facilitador:
Dr. Juan J. Lugo Marín.

Antecedentes de la Investigación de Operaciones

La Investigación de Operaciones surgió formalmente durante la
Segunda Guerra Mundial, cuando había una gran necesidad de
administrar los escasos recursos. La Fuerza Aérea Británica formó el
primer grupo que desarrollaría métodos cuantitativos para resolver
estos problemas operacionales y bautizó sus esfuerzos como
investigación operacional. Poco después, las fuerzas armadas
estadounidenses formaron un grupo similar, compuesto por científicos
físicos e ingenieros, cinco de los cuales posteriormente fueron
laureados con el premio Nobel. Los esfuerzos de estos grupos,
especialmente en el área de la detección por radar, se consideran
vitales en el triunfo de la guerra aérea de Gran Bretaña.

Antecedentes de la Investigación de Operaciones

Después de la Segunda Guerra Mundial, los administradores de la industria
reconocieron el valor de aplicar técnicas similares a sus complejos problemas de
decisión. Los primeros esfuerzos se dedicaron a desarrollar modelos apropiados
y procedimientos correspondientes para solucionar problemas que surgían en
áreas tales como la programación de refinerías de petróleo, la distribución de
productos, la planeación de producción, el estudio de mercado y la planeación
de inversiones. Estos procedimientos de soluciones se hicieron posibles con el
advenimiento de computadoras de alta velocidad, porque la resolución del típico
problema de investigación de operaciones requiere demasiados cálculos para ser
realizados prácticamente a mano. El uso de técnicas de administración ha
aumentado con los avances en los cálculos hasta el punto en que actualmente
estas técnicas son empleadas rutinariamente en una computadora de escritorio
para solucionar muchos problemas de decisión.

Investigación de Operaciones - Definiciones

Administración/ investigación de operaciones: el uso de las
matemáticas y las computadoras para ayudar a tomar decisiones
racionales frente a problemas de administración complejos.

La definición de Churchman, Ackoff y Arroff: La investigación de
operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del
método científico a problemas relacionados con el control de las
organizaciones o sistemas (hombre-máquina), a fin de que se
produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la
organización.

Investigación de Operaciones - Definiciones

La definición de la Sociedad de Investigación de Operaciones de la Gran Bretaña es
la siguiente: La investigación de operaciones es el abordaje de la ciencia moderna a
los complejos problemas que surgen en la dirección y en la administración de
grandes sistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero, en la industria, en los
negocios, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial consiste en
desarrollar un modelo científico del sistema tal, que incorpore valoraciones de
factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los
resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propósito es el de
ayudar a la gerencia a determinar científicamente sus políticas y acciones.
La investigación de operaciones también se puede definir como “la aplicación por
grupos interdisciplinarios del método científico a problemas relacionados con el
control de las organizaciones o sistemas a fin de que se produzcan soluciones que
mejor sirvan a los objetivos de toda la organización”

Investigación de Operaciones - Metodología

Paso 1: Planteamiento y conceptualización del
Problema.

Paso 2: Formulación del Modelo.

Paso 3: Resolución del Modelo.

Investigación de Operaciones - Metodología

Paso 4: Validación del Modelo.

Paso 5: Implantación del Modelo

Investigación de Operaciones – Áreas de Aplicación

Como su nombre lo dice, la Investigación de Operaciones significa
“hacer investigación sobre las operaciones”. Entonces, la investigación
de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y
coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una
organización. La naturaleza de la organización es en su más amplio
significado y, de hecho, la investigación de operaciones se ha aplicado
de manera extensa e áreas tan diversas como la manufactura, el
transporte, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado
de la salud, los servicios públicos, etc.

Que es un Modelo

Un Modelo es producto de una abstracción de Un Modelo es un
un sistema real, eliminado las complejidades y Patrón de Referencia.
haciendo suposiciones pertinentes, se aplican
técnicas matemáticas y se obtiene una Un Modelo es una
representación simbólica del mismo. abstracción selectiva de
la realidad .

Sistema Real El modelo se define
Autor: Natasha Sánchez como una función objetiva
y restricciones que se
Sistema Supuesto expresan en términos de
Modelo las variables (alternativas)
de decisión del problema.

Que es un Modelo

Un modelo matemático son representaciones Un modelo de decisión
matemáticas de situaciones reales que se debe considerarse como un
podrían usar para tomar mejores decisiones, o vehículo para resumir un
bien, simplemente para entender mejor la problema de decisión en
situacional real. forma tal que haga posible
la identificación y
Un modelo matemático es una ecuación, evaluación sistemática de
desigualdad o sistema de ecuaciones o todas las alternativas de
desigualdades, que representan determinados decisión del problema.
aspectos del sistema físico representado en el Después se llega a una
modelo. Los modelos de este tipo se utilizan en decisión seleccionando la
gran medida en las ciencias físicas, en el campo alternativa que se juzgue
de la ingeniería los negocios y la economía. sea la mejor entre todas las
opciones disponible.

Tipos de Modelo

Modelo de Simulación:
Por lo general, toma la forma de
Modelos Determinísticos: un conjunto de suposiciones
Cuando se conoce con certeza el comportamiento de acerca de la operación del sistema,
los parámetros involucrados en el Modelo, por lo expresado como relaciones
tanto tienen un bajo nivel de incertidumbre. matemáticas o lógicas entre los
objetos de interés en el sistema. A
diferencia de las soluciones
matemáticas exactas disponibles
con la mayor parte de los modelos
Autor: Natasha Sánchez analíticos, el proceso de
simulación tiene que ver con
Modelo Probabilístico o Estocástico: ejecutar el modelo a través del
En los que parte de la información necesaria no se tiempo, por lo común en una
conoce con certeza sino más bien se comporta de una computadora, para generar
manera probabilística , poseen por lo tanto un alto muestras representativas de las
nivel de incertidumbre. medidas de desempeño.

Modelos de Programación Lineal

Un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las
variables de decisión tienen un comportamiento lineal,
tanto en la función objetivo como restricciones del
problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de
las herramientas más utilizadas en la Investigación de
Operaciones debido a que por su naturaleza se facilitan los
cálculos y en general permite una buena aproximación de la
realidad.


Decisiones de Planeación de
Fabricación o Producción
Compra Agregada

Problemas de Problemas de
Dietas Aplicaciones Mezclas

Administración Decisiones de
de Cartera de Mezcla de
Valores Productos

Elementos de un Modelo de Programación Lineal

Función Objetivo:
Variable de Decisión /variable/variable
El objetivo Global de un problema
controlable:
de decisión expresado en una forma
Valores que se buscan determinar con
matemática en términos de los
la solución del modelo
datos y de las variables de decisión.

Restricciones (limitaciones):
Requerimientos o Limitaciones Condiciones de No Negatividad:
sobre los valores de variables en Condiciones del modelo que
estipulan que las variables de
un modelo matemático
decisión deben tener sólo valores
típicamente impuesto por
no negativos (positivos).
condiciones externas.

Elementos de un Modelo de Programación Lineal

Vector Disponibilidad (valor del lado derecho):
Aún el cambio más pequeño en el valor del lado derecho de una restricción puede ocasionar que la
solución óptima cambie. Sin embrago, mientras el valor cambia dentro de algún intervalo alrededor
de su valor original, el valor óptimo de la función objetivo cambia en forma lineal en proporción con
el cambio en el valor del lado derecho, de acuerdo al precio sombra. Incluso fuera de este intervalo,
para cada valor del lado derecho respecto del cual el programa lineal es factible, existe un precio
sombra, que puede usarse para obtener el nuevo valor óptimo de la función objetivo.

Coeficientes Objetivos:
Coeficientes tecnológicos: Coeficientes que acompañan a
Coeficientes que acompañan a las variables en la Ecuación
las variables en las restricciones. Objetivo.

Pasos para formular un Modelo de Programación Lineal

Paso 1: Identificación de las variables de Decisión:

El primer paso en la formulación del problema es identificar las
variables de decisión, a menudo simplemente llamadas variables.
Los valores de estas variables, una vez determinados, proporcionan
la solución al problema.

Cuando los valores de los elementos no se conocen todavía, a cada
variable de decisión se le da un nombre simbólico. Se puede elegir el
nombre simbólico que recuerde la cantidad que la variable de
decisión representa.


Paso 2: Identificación de los datos del problema:
La finalidad de resolver un problema es proporcionar los valores para las
variables de decisión que ha identificado. Se requiere conocer cierta
información para ayuda a determinar esos valores.
A diferencia de las variables de decisión, cuyos valores usted puede controlar,
usted no puede controlar directamente los valores de los datos.
Paso 3: Identificación de la función objetivo:
En este paso en la formulación del problema es expresar el objetivo organizacional global en
forma matemática usando las variables de decisión y los datos conocidos del problema. La
función objetivo, generalmente se crea en tres etapas:
Establecer el objetivo en forma verbal
Donde sea adecuado descomponer el objetivo en una suma, diferencia o producto de
cantidades individuales.
Expresar las cantidades individuales matemáticamente usando las variables de decisión y
otros datos conocidos en el problema.


Paso 4. Identificación de las restricciones :
El paso final en la formulación del problema es identificar estas
restricciones y escribirlas en forma matemática.
Las restricciones son condiciones que las variables de decisión deben
satisfacer para construir una solución “aceptable”. Estas restricciones
por lo general surgen de:
Limitaciones físicas
Restricciones impuestas por la administración
Restricciones externas
Relaciones implicadas entre variables
Restricciones lógicas sobre las variables individuales


Decisiones de Mezcla de Productos

Ejemplo: EL PROBLEMA DE MEZCLA DE PRODUCTOS DE BLUBBERMAID, INC.

BlubberMaid, Inc, fabrica tres TABLA. INGREDIENTES USADOS EN LA PRODUCCIÓN DE AIRTEX, EXTENDEX Y
productos de caucho: Airtex (material RESISTEX

INGREDIENTE (oz/lb de producto)
esponjoso), Extendex (material elástico)
PRODUCTO POLÍMERO A POLÍMERO B POLÍMERO C BASE
y Resistex (material rígido). Los tres
Airtex 4 2 4 6
productos requieren los mismos tres
Extendex 3 2 2 9
polímeros químicos y una base. La
Resistex 6 3 5 2
cantidad de cada ingrediente usada por
libra del producto final se muestra en
la tabla…


BlubberMaid, Inc, tiene el compromiso de producir al menos 1000 libras de Airtex, 500 libras de Extendex y 400 libras
de Resistex para la próxima semana, pero la gerencia de la compañía sabe que puede vender más de cada uno de los
tres productos. Los inventarios actuales de los ingredientes son 500 libras del polímero A, 425 libras del polímero B,
650 libras del polímero C y 1100 libras de base. Cada libra de Airtex produce a la compañía una ganancia de $7, cada
libra de Extendex una ganancia de $7 y cada libra de Resistex una ganancia de $6. Como gerente del departamento de
producción, usted necesita determinar un plan de producción óptimo para esta semana.

Solución:

Identificación de las variables de decisión.
Siguiendo los pasos de la formulación de problemas, primero identifique las variables de decisión. Pregúntese lo que
puede controlar y la información que constituye un plan de producción, esto lo debe llevar a identificar las siguientes
variables:
A: el número de libras de Airtex por producir esta semana
E: el número de libras de Extendex por producir esta semana
R: el número de libras de Resistex por producir esta semana


Identificación de la función objetivo.
Para BlubberMaid, el objetivo lógico es determinar cuánto fabricar de cada producto para
maximizar la ganancia total. Al aplicar la técnica de descomposición se llega a:

Ganancia Total=ganancia de Airtex+ ganancia de Extendex+ ganancia de Resistex

Como cada libra de Airtex produce una ganancia de $7, A libras de Airtex produce $7 A. De
manera similar, Extendex y Resistex contribuyen con $7E y $6R, respectivamente, a la
ganancia total. En términos de las variables de decisión y de los datos de ganancia, la función
objetivo es:

Maximizar 7A+7E+6R


Identificación de las restricciones
Aplicar la técnica de agrupamiento lo debe conducir a identificar los siguientes tres grupos de
restricciones:

1. Restricciones de recursos para asegurar que no se usen más de los tres polímeros y la base que
están disponibles.
2. Restricciones de demanda para asegurar que se cumplan los compromisos de la compañía.
3. Restricciones lógicas para especificar que todas las cantidades de producción son no negativas.

RESTRICCIONES DE RECURSOS
Este grupo consiste en cuatro restricciones: una para cada uno de los tres polímeros y una para
la base. Para la disponibilidad limitada de 500 libras del polímero A:

Cantidad empleada del polímero A ≤ 500 libras


El uso de la descomposición lleva a:

Cantidad empleada del polímero A= (cantidad empleada para producir A libras de Airtex) + (cantidad
empleada para producir E libras de Extendex) + (cantidad empleada para producir R libras de Resistex)

Para determinar la cantidad del polímero A usada en la fabricación de cada producto, trabaje con un ejemplo
específico. Por ejemplo, fije A=100, E=300 y R=200. De acuerdo con los datos de la tabla 1:

Cantidad del polímero A empleada en Airtex = 4(100) = 400
Cantidad del polímero A empleada en Extendex = 3(300) = 900
Cantidad del polímero A empleada en Resistex = 6(200) = 1200

Entonces, en términos de las variables de decisión, podría pensar que la restricción apropiada para el
polímero A es:
4 A + 3 E + 6 R ≤ 500


Sin embargo, esta restricción no es correcta. La razón es que las unidades en la expresión de la
izquierda están en onzas, pero las unidades de la derecha están en libras. Esta discrepancia puede
corregirse convirtiendo las unidades de cualquier lada a las del otro lado. Por ejemplo, al
convertir las 500 libras disponibles del polímero A a 800 onzas (1 libra es igual a 16 onzas) se
obtiene la siguiente restricción:

4 A + 3 E + 6 R ≤ 8000 (polímero A)

Siguiendo una lógica similar para los tres resultados de recursos restantes en estas restricciones:

2 A + 2 E + 3 R ≤ 6800 (polímero B)
4 A + 2 E + 5 R ≤ 10400 (polímero C)
6 A + 9 E + 2 R ≤ 17600 (base)


RESTRICCIONES DE DEMANDA
Este grupo consiste en tres restricciones: una para el requerimiento mínimo sobre la
cantidad de cada uno de los tres productos. Estas restricciones son

A ≥ 1000 (Airtex)
E ≥ 500 (Extendex)
R ≥ 400 (Resistex)
RESTRICCIONES LÓGICAS
Como todas las cantidades de producción deben ser no negativas, se necesitan las siguientes
restricciones lógicas:
A, E, R ≥ 0


Formulación completa y solución del problema de mezcla de productos de BlubberMaid, Inc.
Como gerente del departamento de producción, usted junta todas las piezas, lo que resulta en el
siguiente modelo matemático del problema de programación lineal de BlubberMaid, Inc.

Maximizar 7A+7E+6R
Dependiendo de
A ≥ 1000 (Airtex)
E ≥ 500 (Extendex)
R ≥ 400 (Resistex)

A E R ≥0


La solución óptima a este problema, calculada usando cualquier paquete de software de
programación lineal, es

A= 1000.00
E= 533.33
R= 400.00

Con una valor de función objetivo de 13 333.33. En otras palabras, el plan semanal óptimo
es producir 1000 libras de Airtex, 533.33 libras de Extendex y 400 libras de Resistex,
dando como resultado una ganancia neta de $13 333.33.


Decisiones de Fabricación o Compra
Ejemplo: EL PROBLEMA DE HACER O COMPRAR DE MTV STEEL COMPANY
MTV Steel Company produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10,
$12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren 0.5 minutos de tiempo de procesamiento
sobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada pie del tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie
del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere
1 onza de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por pie de los tubos A, B y C,
respectivamente.
Para la siguiente semana, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan 2000
pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. Como sólo se disponen de 40 horas de tiempo
de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5500 onzas de material de soldar, el departamento
de producción no podrá satisfacer esta demanda, que requiere un total de 97 horas de tiempo de máquina
y 11000 onzas de material de soldar.


No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las
instalaciones de producción, la gerencia de MTV Steel está considerando la compra de algunos
de estos tubos a pro-veedores de Japón a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por
pie del tubo B y $7 por pie del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla 2. Como
gerente del departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a
la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para
satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la compañía.
TABLA2. DATOS PARA EL PROBLEMA DE HACER O COMPRAR DE MTV STEEL
TIEMPO DE MATERIAL COSTO DE COSTO
PRECIO DE DEMANDA
TIPO MÁQUINA PARA SOLDAR PRODUCCIÓN COMPRA
VENTA ($/ft) (ft)
(min/ft) (oz/ft) ($/ft) ($/ft)

A 10 2000 0.50 1 3 6
B 12 4000 0.45 1 4 6
C 9 5000 0.60 1 4 7
Cantidad Disponible 40 hr 5500 oz


Solución:

Identificación de las variables de decisión
En este problema, tiene libertad para elegir cuántos pies de cada tipo de tubo producir y cuántos
pies comprar a Japón. Esto da como resultado las siguientes seis variables de decisión:

AP= el número de pies de tubo de tipo A por producir
BP= el número de pies de tubo de tipo B por producir
CP= el número de pies de tubo de tipo C por producir

AJ= el número de pies de tubo de tipo A que comprar a Japón
BJ= el número de pies de tubo de tipo B que comprar a Japón
CJ= el número de pies de tubo de tipo C que comprar a Japón


Como se estableció en la descripción del problema, el objetivo global es maximizar las
ganancias totales. Si aplicamos la descomposición se obtiene:

Ganancias Totales= (ganancias de la producción)+ (ganancias de los productos comprados a
Japón)

Si aplicamos la descomposición a las ganancias de la producción tenemos:

Ganancias de la producción= (ganancias de producir el tubo de tipo A)+
(ganancias de producir el tubo de tipo B)+
(ganancias de producir el tubo de tipo C)


Cada una de estas ganancias, a su vez, se calcula como el ingreso menos el costo por pie. Por
ejemplo, como los tubos del tipo A se venden a $10 por pie pero su producción cuesta $3, la
ganancia neta es $7 por pie. Por tanto, la ganancia por producir AP pies de tubo del tipo A es 7 AP.
Un cálculo similar para los tubos de los tipos B y C tiene como resultado:
Ganancias de la producción= 7 AP+ 8 BP + 5 CP

Aplicando una descomposición y lógica similares a los productos comprados a Japón se tiene:
Ganancias de los productos comprados a Japón= 4 AJ+ 6 BJ+ 2 CJ

Como esperaría, cada pie de tubo producido tiene como resultado una ganancia más alta que cada
pie de tubo comprado del proveedor externo. La combinación de estos dos componentes de
ganancia resulta en la siguiente función objetivo global:
Maximizar 7 AP+ 8 BP+ 5 CP+ 4 AJ+ 6 BJ+ 2 CJ


La aplicación de la descomposición lleva a:

Tiempo de máquina= (tiempo de máquina usado para producir tubo de tipo A)+
total usado (tiempo de máquina usado para producir tubo de tipo B)+
(tiempo de máquina usado para producir tubo de tipo C)

Recuerde de la tabla 2 que cada pie del tubo A requiere 0.5 minutos de tiempo de máquina. Por tanto, para
producir AP pies se requiere 0.5AP minutos. De manera análoga, cada pie de tubo B requiere 0.45 minutos y cada
pie de tubo C requiere 0.6 minutos. La restricción es:
0.5AP+ 0.45BP+ 0.6CP ≤ 40

Sin embargo, observe que la cantidad del lado izquierdo se expresa en minutos, mientras que la de la derecha se
expresa en horas. Una forma de corregir esta inconsistencia es convertir 40 horas en 40 * 60= 2400 minutos:
0.5AP+ 0.45BP+ 0.6CP ≤ 2400 (tiempo de máquina)


Regresando a la disponibilidad de material para soldar, la restricción asociada es:

El material para soldar total no debe exceder las 5500 onzas

Aplicando la descomposición y recordando que cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere
1 onza de material para soldar, esta restricción de recursos es:
AP+ BP+ CP ≤ 5500 (material para soldar)

Este grupo está constituido por tres restricciones, una para la demanda asociada con cada tipo
de tubo. Para el tubo A:
Número total de pies del tubo de tipo A= 2000 pies


Aplicando la descomposición:

Número total de pies =(número de pies de tipo A producidos)+
del tubo de tipo A (número de pies de tipo A comprados a Japón)
= AP+ AJ

En consecuencia, la restricción de demanda del tubo de tipo A es:
AP+ AJ = 2000 (demanda del tipo A)

Una lógica similar da como resultado las siguientes restricciones de demanda para los tubos de
tipo B y C:
BP+ BJ = 4000 (demanda del tipo B)
CP+ CJ = 5500 (demanda del tipo C)


La única restricción lógica en este problema es que todas las variables deben ser no negativas.

Formulación completa y solución del problema de fabricación o compra de MTV Steel
Company
Una vez que se unen todas las piezas, da por resultado el modelo de programación lineal
siguiente para el problema de MTV Steel Company:
Maximizar 7AP+ 8BP+ 5CP+ 4AJ+ 6BJ+ 2CJ
Dependiendo de
AP + AJ = 2000 (demanda del tipo A)
BP + BJ = 4000 (demanda del tipo B)
CP +CJ = 5500 (demanda del tipo C)



0.5AP+ 0.45BP+ 0.6CP ≤ 2400 (tiempo de máquina)
AP+ BP+ CP ≤ 5500 (tiempo para soldar)

AP , BP , CP , AJ , BJ , CJ ≥ 0

La solución óptima a este problema, obtenida con un paquete de software de programación lineal, es:
AP = 2000.000
BP = 0.000
CP = 2333.333
AJ = 0.000
BJ = 4000.000
CJ = 2666.667

Con una ganancia neta de $55000. En otras palabras, MTV Steel debería producir 2000 pies de tubo de tipo A y 2333.333 pies de
tubo C e importar 4000 pies de tubo de tipo B y 2666.667 pies de tubo de tipo C de Japón.


Problemas de dietas
Ejemplo: EL PROBLEMA DE DIETAS DEL HOSPITAL GENERAL MOUNTAIN VIEW
El Departamento de Nutrición del Hospital General Mountain View prepara 30 menús de cena, uno para cada día del
mes. Una comida consiste en espagueti, pavo, papas en escalope, espinacas y pastel de manzana. Como director del
Departamento de Nutrición, usted ha determinado que esta comida debe proporcionar 63000 miligramos (mg) de
proteínas, 10 mg de hierro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina y 50 mg de vitamina C. Cada 100 gramos de esta
comida proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas indicadas en la tabla 3.
TABLA 3. NUTRIENTES PROPORCIONADOS POR LAS DISTINTAS COMIDAS
NUTRIENTE (mg/100g)
PROTEÍNAS HIERRO TIACINA TIAMINA VITAMINA C GRASA
Espagueti 5000 1.1 1.4 0.18 0.0 5000
Pavo 29300 1.8 5.4 0.06 0.0 5000
Papas 5300 0.5 0.9 0.06 10.0 7900
Espinacas 3000 2.2 0.5 0.07 28.0 300
Pastel de Manzana 4000 1.2 0.6 0.15 3.0 14300


Para evitar la demasiada cantidad de un tipo de comida, no debe incluirse en ella más de 300 gramos de espagueti, 300
gramos de pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y 100 gramos de pastel de manzana. Como director del
departamento de nutrición, usted desea determinar la composición de una comida que satisface los requerimientos
nutricionales y proporciona la mínima cantidad de grasas.

Solución:
En este problema, usted puede controlar la cantidad de cada uno de los cinco alimentos que incluir en la comida, lo que
lo lleva a definir las siguientes cinco variables:
SPAG= el número de 100 gramos de espagueti que incluir
PAVO= el número de 100 gramos de pavo que incluir
PAPA= el número de 100 gramos de papas que incluir
SPIN= el número de 100 gramos de espinacas que incluir
MANZ= el número de 100 gramos de espinacas que incluir

Por conveniencia, se ha escogido que las unidades de las variables se den en cientos de gramos porque ésas son las
unidades usadas en la tabla 3.


Como se estableció en la descripción del problema, el objetivo global es minimizar el contenido de
grasas totales de la dieta. Aplicando los resultados de descomposición en lo siguiente:

Contenido de grasas totales= (grasa aportada por el espagueti)+
(grasa aportada por el pavo)+
(grasa aportada por las papas)+
(grasa aportada por las espinacas)+
(grasa aportada por el pastel de manzana)

Si usa los datos de la última columna de la tabla 3 y trabaja con un ejemplo específico debe llegar
a identificar el siguiente objetivo global:
Minimizar 5000SPAG+ 5000PAVO+ 7900PAPA+ 300SPIN+ 14300MANZ


La aplicación de la técnica de agrupamiento lo conduce a los siguientes tres grupos de
restricciones:
1. Restricciones de nutrientes para asegurar que la comida proporciona la cantidad mínima
de cada nutriente.
2. Restricciones de límite para asegurar que no se incluya demasiada cantidad de un tipo de
comida (por ejemplo, solicitar a un paciente que coma 1000 gramos de espinacas).
3. Restricciones lógicas para asegurar que todas las variables sean no negativas.

REQUERIMIENTOS DE NUTRIENTES
Este grupo consiste en cinco restricciones, una para asegurar la cantidad mínima de cada uno de
los cinco nutrientes. Considere el requerimiento de proteínas:
Cantidad total de proteínas en la comida ≥ 63000 mg


Aplicando la descomposición:

Cantidad total de = (cantidad de proteínas del espagueti)+
Proteínas en la comida (cantidad de proteínas del pavo)+
(cantidad de proteínas de las papas)+
(cantidad de proteínas de las espinacas)+
(cantidad de proteínas del pastel de manzana)

Refiérase a la primera columna de la tabla 3. Cada 100 gramos de espagueti contienen 5000 mg
de proteínas. Por tanto, SPAG cien gramos de esta comida proporciona 5000SPAG mg de
proteínas a la comida. De manera similar, usando los datos restantes de la primera columna de la
tabla 3 da como resultado la siguiente restricción para proteínas:
5000SPAG+ 29300PAVO+ 5300PAPA+ 3000SPIN+ 4000MANZ ≥ 63000 (proteínas)


Aunque las unidades de las variables se expresan en cientos de gramos, las unidades de ambos
lados de la restricción anterior están en miligramos.

Usando las siguientes cuatro columnas de datos de la tabla 3 obtenemos las siguientes
restricciones similares para cada uno de los siguientes cuatro nutrientes:

1.1SPAG + 1.8PAVO + 0.5PAPA + 2.2SPIN + 1.2MANZ ≥ 10 (hierro)
1.4SPAG + 5.4PAVO + 0.9PAPA + 0.5SPIN + 0.6MANZ ≥ 15 (niacina)
0.18SPAG+ 0.06PAVO+ 0.06PAPA+ 0.07SPIN+ 0.15MANZ ≥ 1 (tiamina)
10PAPA+ 28SPIN+ 3MANZ ≥ 50 (vitamina C)


RESTRICCIONES DE LÍMITE
Estas restricciones limitan la cantidad máxima de cada tipo de alimento en la comida.
Teniendo en mente que las unidades de las variables están en cientos de gramos, surgen las
siguientes restricciones de límite:
SPAG ≤ 3
PAVO ≤ 3
PAPA ≤ 2
SPIN ≤ 1
MANZ ≤ 1

La única restricción lógica en este problema es que todas las variables son no negativas.


Formulación completa y solución del problema de dietas del Hospital General Mountain View
Toda esta información da como resultado el siguiente modelo de programación lineal para el
problema del Hospital General Mountian View:
Minimizar
5000SPAG+ 5000PAVO+ 7900PAPA+ 300SPIN+ 14300MANZ

Dependiendo de
REQUERIMIENTOS DE NUTRIENTES
5000SPAG+ 29300PAVO+ 5300PAPA+ 3000SPIN+ 4000MANZ ≥ 63000 (proteínas)
1.1SPAG+ 1.8PAVO+ 0.5PAPA+ 2.2SPIN+ 1.2MANZ ≥ 10 (hierro)
1.4SPAG+ 5.4PAVO+ 0.9PAPA+ 0.5SPIN+ 0.6MANZ ≥ 15 (niacina)
0.18SPAG+ 0.06PAVO+ 0.06PAPA+ 0.07SPIN+ 0.15MANZ ≥ 1 (tiamina)
10PAPA+ 28SPIN+ 3MANZ ≥ 50 (vitamina C)


RESTRICCIONES DEL LÍMITE
SPAG ≤ 3
PAVO ≤ 3
PAPA ≤ 2
SPIN ≤ 1
MANZ ≤ 1

SPAG, PAVO, PAPA, SPIN, MANZ ≥ 0

Con un contenido de grasa de 54800 miligramos. En otras palabras, la comida debería consistir
en 300 gramos de espagueti, 283.3 gramos de pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de
espinacas y 66.7 gramos de pastel de manzana.


Administración de cartera de valores
Ejemplo: EL PROBLEMA DE INVERSIÓN DE PENSION PLANNERS, INC.
Al gerente de cartera de PensionvPlanners, Inc. se le ha pedido invertir $1 000 000 de un gran fondo
de pensiones. El departamento de investigación de Inversiones ha identificado seis fondos mutuos
con estrategias de inversión variables, resultando en diferencia rendimientos potenciales y riesgos
asociados, como se resume en la tabla 4.

TABLA 4. RIESGOS Y TASA ESPERADA DE RENDIMIENTOS DE SEIS FONDOS DE INVERSIÓN
FONDO
1 2 3 4 5 6
Precio ($/acción 45 76 110 17 23 22
Devolución esperada (%) 30 20 15 12 10 7
Categoría de riesgo Alto Alto Alto Mediano Mediano Bajo


Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diversos fondos.
Para ese fin, la administración de Pension Planners, Inc. ha especificado las siguientes pautas:
1. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75% de la cartera.
2. La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de la
cartera.
3. La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 5% de la cartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo en
muchas alternativas diferentes. La gerencia de Pension Planners, Inc, ha especificado que la
cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1, 2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3,
respectivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2.
Con estas pautas, ¿qué cartera debería usted, gerente de cartera, recomendar para maximizar la
tasa esperada de retorno?


Solución:
En este problema, usted puede controlar cuánto invertir en cada uno de los seis fondos mutuos, dando así
origen a seis variables de decisión. Como siempre, debe especificar las unidades asociadas con cada
variable. Por ejemplo, para el fondo 1, podría definir cualquiera de las siguientes variables:
F1 = el número de acciones del fondo 1 por comprar
F1 = el número de dólares por invertir en el fondo 1
F1 = la fracción de la agenda por invertir en el fondo 1

Cada opción conduce a un modelo matemático diferente pero equivalente. Aquí se utiliza la última opción. Así
que, para cada uno de los fondos restantes, defina:
F2 = la fracción de la cartera por invertir en el fondo 2



Como se estableció en la descripción del problema, el objetivo global es maximizar la tasa esperada de
rendimiento, esto es:

Si aplicamos la descomposición al numerador obtenemos:
Rendimiento total esperado: (rendimiento esperado del fondo 1)+
(rendimiento esperado del fondo 2)+
(rendimiento esperado del fondo 6)


Para determinar el rendimiento esperado del fondo 1, trabaje con un ejemplo específico en el que
10% de la cartera se invierte en el fondo 1, es decir, F1=0.10. En este caso, 0.10*1 000
000=$100 000 de la cartera se invierte en el fondo 1. De acuerdo con los datos de la tabla 4,
se espera que este dinero devuelva 30% o 0.30*100000= $30 000. Por tanto, en términos de
F1,
Rendimiento esperado del fondo 1= (cantidad invertida en el fondo 1)*
(tasa de rendimiento del fondo 1)
= (F1* 1 000 000)* 0.30
= 300 000F1

Usando una lógica similar para los cinco fondos restantes, llegamos a
Rendimiento total esperado= 300 000F1 + 200 000F2 + 150 000F3 +
120 000F4 + 100 000F5 + 70 000F6


Dividiendo esto entre la inversión total de $1 000 000 obtenemos la tasa de rendimiento y por
tanto la siguiente función objetivo:
Maximizar 0.30F1 + 0.20F2 + 0.15F3 + 0.12F4 + 0.10F5 + 0.07F6

Aplicando la técnica de agrupamiento debe llegar a identificar los siguientes tres grupos de
restricciones:

1. Limitaciones de inversión para controlar la cantidad invertida en cada una de las tres
categorías de riesgo.
2. Restricciones de diversificación para extender la inversión dentro de cada categoría de
riesgo.
3. Restricciones lógicas.


RESTRICCIONES DE LIMITACIÓN DE INVERSIÓN
Este grupo consiste en tres subgrupos de restricciones, uno para cada categoría de riesgo, a saber:
1. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75% de la cartera. Como F1, F2
y F3 representan la fracción de la cartera por invertir en fondos de alto riesgo, la fracción de la
cartera total invertida en fondos de alto riesgo es F1 + F2 + F3. Estas restricciones son
F1 + F2 + F3 ≥ 0.50 (mínimo en alto riesgo)
F1 + F2 + F3 ≥ 0.75 (máximo en alto riesgo)

2. La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de la cartera. Como F4 y
F5 representan la fracción de cartera por invertir en fondos de mediano riesgo, la fracción de la
cartera total invertida en fondos de mediano riesgo es F4 + F5. Estas restricciones son:
F4 + F5 ≥ 0.20 (mínimo en mediano riesgo)
F4 + F5 ≤ 0.30 (máximo en alto riesgo)


3. La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos 5% de la cartera. Como
F6 es la fracción de la cartera invertida en fondos de bajo riesgo, esta restricción es:
F6 ≥ 0.05 (mínimo en bajo riesgo)

RESTRICCIONES DE DIVERSIFICACIÓN
Este grupo de restricciones se utiliza para controlar el riesgo asegurando que la cantidad
invertida en los fondos pertenecientes a una categoría de riesgo dada esté dentro de la
tasa especificada, de la manera siguiente:

1. La cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1, 2 y 3 debe estar en la tasa 1:2:3. Esta
restricción específica que la cantidad invertida en el fondo 2 sea el doble de la cantidad
invertida en el fondo 1:
F2 = 2F1


Si cambiamos el orden para que todas las variables estén a la derecha, se obtiene:
- 2F1 + F2 = 0 (proporción de F1 a F2)

De manera similar, la cantidad invertida en el fondo 3 debe ser tres veces la invertida en el fondo 1:
F2 = 3F1
-3F1 + F3 = 0 (proporción de F1 a F3)

2. La cantidad invertida en los fondos 4 y 5 de mediano riesgo debe estar en la proporción de 1:2, esto es, la
cantidad invertida en el fondo 5 debe ser el doble de la del fondo 4:
F5 = 2F4

Si cambiamos el orden para que todas las variables estén a la derecha, se obtiene:



Claro está que un conjunto de restricciones lógicas es que cada variable sea no negativa.
Asimismo, como es posible comprar acciones fraccionales de un fondo mutuo, a estas
variables se les permite tener cualquier valor fraccional, lo que resulta en un problema
de programación lineal. Más aún, se requiere otra restricción lógica para asegurar que se
invierta la cartera total de precisamente $1 000 000. Como las variables de decisión
representan la fracción de esta cartera por invertir en los diversos fondos, esta
restricción es:

La fracción total de $1 000 000 invertida debe ser igual a 1 , o

F1+ F2+ F3+ F4+ F5+ F6 = 1.0 (agenda total)


Formulación completa y solución del problema de inversión de Pension Planners, Inc.
A continuación se muestra el modelo de programación lineal completo para los socios generales
de Pension Planners, Inc:
Maximizar 0.30F1+ 0.20F2+ 0.15F3+ 0.12F4+ 0.10F5+ 0.07F6
Dependiendo de

RESTRICCIONES DE LIMITACIÓN DE INVERSIÓN
F1+ F2+ F3 ≥ 0.50 (mínimo en alto riesgo)
F1+ F2+ F3 ≥ 0.75 (máximo en alto riesgo)
F4+ F5 ≥ 0.20 (mínimo en mediano riesgo)
F4+ F5 ≥ 0.30 (máximo en mediano riesgo)
F6 ≥ 0.05 (mínimo en bajo riesgo)


RESTRICCIONES DE DIVERSIFICACIÓN
-3F 1 + F3 = 0 (proporción de F1 a F3)

F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 = 1.0 (cartera total)
F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 ≥ 0

La solución óptima para este problema que cualquier paquete de software de programación lineal produce es:
F1 = 0.1250
F2 = 0.2500
F3 = 0.3750
F4 = 0.0667
F5 = 0.1333
F6 = 0.0500


Cada una tasa de rendimiento de 0.168583. En otras palabras, la cantidad de dinero invertido en cada uno de los seis
fondos es:
Cantidad en el fondo 1 = 0.1250 * 1 000 000 = $ 125 000
Inversión Total = $ 1 000 000

con una tasa de rendimiento esperado de 16. 86% (o $ 168 600).
Recuerde que las variables de decisión se definen como la fracción de la cartera a invertir, en vez de la cantidad de
dólares. Este enfoque tiene una ventaja clara. Si la cantidad de dólares de la cartera cambia, un evento
probable, el modelo actual permanece inalterado. Simplemente necesita multiplicar las fracciones obtenidas
en la solución anterior por el nuevo tamaño de la cartera para determinar las nuevas cantidades a invertir
en cada uno de los seis fondos.


Problemas de Mezclas
Ejemplo: EL PROBLEMA DE MEZCLADO DE GASOLINA DE HEXXON OIL COMPANY

Hexxon Oil Company obtiene tres tipos de petróleo crudo de sus pozos de Mississippi, Nuevo
México y Texas. La gasolina obtenida de estos petróleos crudos se mezcla junto con dos
aditivos para obtener el producto final. Estos petróleos crudos y aditivos contienen azufre,
plomo y fósforo, como se muestra en la tabla 5. El costo de cada componente también se
presenta. Debido a los residuos e impurezas, cada galón de petróleo crudo de Mississipi
resulta sólo en 0.35 de galón del producto final, que contiene 0.07% de azufre. De manera
similar, cada galón de crudo de Nuevo México produce 0.40 de galón del producto final que
contiene 0.08% de sulfuro y cada galón de crudo de Texas resulta en 0.30 de galón del
producto final que contiene 0.10% de azufre. La gerencia ha establecido las siguientes
especificaciones para controlar las cantidades de azufre, plomo y fósforo:


1. Cada galón debe tener a lo más 0.07% de azufre
2. Cada galón debe tener entre 1.25 y 2.5 gramos de plomo
3. Cada galón debe tener entre 0.0025 y 0.0045 gramos de fósforo
4. La cantidad total de los aditivos no puede exceder de 19% de la mezcla
TABLA 5. COMPOSICIÓN Y COSTO DE LOS COMPONENTES DE MEZCLA
PETROLEOS CRUDOS ADITIVOS
Mississipi Nuevos México Texas 1 2
Azufre /%) 0.07 0.08 0.10 - -
Plomo (g/gal) - - - 7 6
Fósforo (g/gal) - - - 0.025 0.02
Costo ($/gal) 0.55 0.47 0.33 0.08 0.12

Como gerente de producción, determine un plan de mezclado que produzca una gasolina
aceptable al mínimo costo.


Solución:
Usted puede controlar la cantidad de cada tipo de crudo y cada aditivo por mezclar al producir un
galón de gasolina. Esto lleva a las siguientes cinco variables de decisión:

XM = el número de galones de petróleo crudo de Mississippi usados para hacer un galón de
gasolina.
XN = el número de galones de petróleo crudo de Nuevo México usados para hacer un galón de
gasolina.
XT = el número de galones crudo de Texas usados para hacer un galón de gasolina.

A1 = el número de galones del aditivo 1 usados para hacer un galón de gasolina.
A2 = el número de galones del aditivo 2 usados para hacer un galón de gasolina.


Identificación de la función objetivo
Como se estableció en la descripción del problema, el objetivo global es minimizar el costo de los
componentes usados en la fabricación de cada galón de gasolina. La aplicación de la
descomposición nos lleva a:

Costo Total = (costo del petróleo crudo de Mississippi) +
(costo del petróleo crudo de Nuevo México) +
(costo del petróleo crudo de Texas) +
(costo del aditivo 1) + (costo del aditivo 2)

Usando las variables y los costos asociados de la tabla 5 obtenemos la siguiente función objetiva:

Minimizar 0.55XM + 0.47XN + 0.33X T + 0.08 A1 + 0.12 A2


Aplicando la técnica de agrupamiento debe llegar a la identificación de los siguientes tres grupos
de restricciones:

1. Una restricción de producción para asegurar la producción de 1 galón de gasolina, porque
el plan de mezcla es para cada galón.
2. Restricciones de composición de mezclado para asegurar que la gasolina resultante cumpla
con los requerimientos de azufre, plomo, fósforo y aditivos.
3. Restricciones lógicas.

RESTRICCIONES DE PRODUCCIÓN
Esta restricción asegura que se produzca precisamente 1 galón de gasolina:
Cantidad de gasolina producida = 1 galón


Si aplicamos la descomposición llegamos a

Cantidad de gasolina = (cantidad producida del petróleo crudo de Mississippi)+
(cantidad producida del petróleo crudo de Nuevo México)+
(cantidad producida del petróleo crudo de Texas)+
(cantidad del aditivo 1)+ (cantidad del aditivo 2)

Recuerde que cada galón de crudo de Mississippi produce sólo 0.35 de galón de gasolina. Por
tanto, XM galones de este crudo producen 0.35XM galones de gasolina. De manera similar,
como cada galón de petróleo crudo de Nuevo México produce 0.40 de galón de gasolina y
cada galón de petróleo crudo de Texas resulta en 0.30 de galón de gasolina, esta
restricción es
0.35XM + 0.40XN + 0.30XT + A1 + A2 = 1.0 (producción)


RESTRICCIONES DE COMPOSICION DE MEZCLADO
Este grupo consiste en tres conjuntos de restricciones, uno por cada una de las limitaciones de azufre, plomo y
fósforo en la mezcla final. Por ejemplo, para el azufre:

Proporción de azufre en la mezcla ≤ 0.0007 (esto es, ≤ 0.07%)

Aplicando la descomposición,

Sin embargo, de la restricción de producción anterior, la cantidad total de la mezcla es precisamente 1 galón, así
que lo único que se necesita calcular es la cantidad de azufre en la mezcla. Aplicando la descomposición,
Cantidad de azufre = (cantidad de azufre del petróleo crudo de Mississippi)+
en la mezcla (cantidad de azufre del petróleo crudo de Nuevo México)+
(cantidad de azufre del petróleo crudo de Texas)+
(cantidad de azufre del aditivo 1)+
(cantidad de azufre del aditivo 2)


De acuerdo con la tabla 5, cada galón de petróleo crudo de Mississippi produce 0.35 de galón
de gasolina que contiene 0.07% de azufre. Por tanto, XM galones de este petróleo crudo
produce 0.35 XM galones que contienen 0.07% de azufre. Así

Cantidad de azufre del petróleo crudo de Mississippi = 0.0007 * 0.35Xm
= 0.000245XM

Observando que los aditivos no aportan azufre, y aplicando una lógica similar a los otros dos
resultados de petróleos crudos en la siguiente restricción de azufre:

0.35 * 0.0007XM + 0.40 * 0.0008XN + 0.30 * 0.001XT ≤ 0.0007 o
0.000245XM + 0.00032XN + 0.0003XT ≤ 0.0007 (azufre)


Existen límites inferiores y superiores sobre las cantidades de plomo y azufre en la mezcla final.
Aplicando el mismo razonamiento usado en el desarrollo de la restricción de azufre, se
obtienen las siguientes cuatro restricciones para plomo y fósforo:

7 A1 + 6 A2 ≤ 2.50 (límite superior en plomo)
7 A1 + 6 A2 ≥ 1.25 (límite inferior en plomo)

0.025 A1 + 0.02 A2 ≤ 0.0045 (límite superior en fósforo)
0.025 A1 + 0.02 A2 ≥ 0.0025 (límite inferior en fósforo)

Finalmente, existe la limitación de que la mezcla contenga a lo más 19% de aditivos. Por tanto, el
total de A1 y A2 debe ser de a lo más 0.19 de galón, resultando la siguiente restricciones:

A1 + A2 ≤ 0.19 (límite superior en aditivos)


La única restricción lógica es que todas las variables sean no negativas.

Formulación completa y solución del problema de mezclas de la Hexxon Oil Company
Como gerente de producción de Hexxon Oil Company, reúne toda esta información en el siguiente
modelo de programación lineal:

Minimizar 0.55XM + 0.47XN + 0.33XT + 0.08 A1 + 0.12 A2
Dependiendo de

RESTRICCIONES DE PRODUCIÓN

0.35XM + 0.40XN + 0.30XT + A1 + A2 = 1.0 (producción)


RESTRICCIONES DE COMPOSICION DE MEZCLADO

0.000245XM + 0.00032XN + 0.0003XT ≤ 0.0007 (azufre)
7 A1 + 6 A2 ≤ 2.50 (límite superior en plomo)
7 A1 + 6 A2 ≥ 1.25 (límite inferior en plomo)
0.025 A1 + 0.02 A2 ≤ 0.0045 (límite superior en fósforo)
0.025 A1 + 0.02 A2 ≥ 0.0025 (límite inferior en fósforo)
A1 + A2 ≤ 0.19 (límite superior en aditivos)

RESTRICCIÓN LÓGICA

XM , XN , XT , A1 , A2 ≥ 0


La solución óptima a este problema, que resulta de usar cualquier paquete de software de
programación lineal, es

XM = 0.0000
XN = 1.3750
XT = 0.8667
A1 = 0.1400
A2 = 0.0500

con una valor de función objetivo de 0.94945. En otras palabras, cada galón de producto final se
fabrica mezclando y procesando 1.3750 galones de petróleo crudo de Nuevo México y 0.8667
de galón de petróleo crudo de Texas con 0.14 de galón de aditivo 1 y 0.05 de galón de aditivo
2, a un costo total de 94.945 centavos.


Planeación de Producción Agregada

Ejemplo: EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DE NATIONAL STEEL CORPORATION

National Steel Corporation (NSC) produce un acero especial usado en las industrias de aviación y aeroespaciales.
El departamento de ventas de NSC ha recibido pedidos de 2400, 2200, 2700 y 2500 toneladas de acero para cada
uno de los siguientes 4 meses. NSC puede satisfacer estas demandas produciendo el acero, extrayéndolo de su
inventario, o usando cualquier combinación de las dos alternativas.

Se proyecta que los costos de producción por tonelada de acero durante cada uno de los siguientes cuatro
meses sean de $7400, $7500, $7600 y $7650. Como los costos suben cada mes, debido a las presiones
inflacionarias, tal vez sea mejor que NSC produzca más acero del que necesita en un mes determinado y que
almacene el exceso. La capacidad de producción, sin embargo, no puede exceder las 4000 toneladas en ningún
mes. La producción mensual se termina al final del mes, cuando la demanda se satisface. Cualquier acero
remanente se almacena en inventario a un costo de $120 por tonelada por cada mes que permanece allí. Estos
datos se resumen en la tabla 6


TABLA 6. DATOS PARA EL PROBLEMA DE PRODUCCIÓN-PLANEACIÓN DE NSC
MES
1 2 3 4
Demanda (tons) 2400 2200 2700 2500
Costo de Producción ($/ton) 7400 7500 7600 7650
Costo de inventario ($/ton/mes) 120 120 120 120

Si el nivel de producción se incrementa de un mes al siguiente, entonces la compañía incurre
en un costo de $50 por tonelada de producción incrementada para cubrir la mano de obra
adicional y/o el tiempo extra. Cada tonelada de producción disminuida incurre en un costo de
$30 para cubrir los beneficios de empleados no utilizados.
El nivel de producción durante el mes anterior fue de 1800 toneladas, y el inventario que
comienza es de 1000 toneladas. El inventario al final del cuarto mes debe ser de al menos 1500
toneladas para cubrir la demanda anticipada. Formule un plan de producción para NSC que
minimice los costos totales en los siguientes 4 meses.


Solución:

En este problema, usted tiene la libertad para elegir cuántas toneladas de acero producir cada
mes para satisfacer la demanda. Surgen cuatro variables:
X1 = el número de toneladas de acero por producir durante el mes 1

A primera vista, usted podría pensar que éstas son todas las variables que se requieren. Con estas
variables, siempre puede determinar la cantidad en inventario. Por ejemplo, del diagrama
esquemático de la figura 1, el inventario al final del primer mes es


Inventario al final del mes 1 = inventario inicial + cantidad de producción – demanda
= 1000 + X1 – 2400

cantidad de producción
(X1)

Inventario de inicio Inventario de terminación
Mes 1
(l1=1000) (I2)

Demanda
(D1=2400)

Figura 1. Relación entre niveles de inventario, producción y demanda


Sin embargo, escribir el inventario al final del segundo, tercero y subsecuentes meses es más complicado.
Por ejemplo, para el mes 2:

Inventario al = inventario inicial+ cantidad de producción- demanda
final del mes 2 = (1000 + X1 – 2400) + X2 – 2200

Para simplificar, es conveniente crear otras cinco variables para representar los niveles de inventario al
principio de cada mes:

I1 = inventario en toneladas al principio del mes 1


Identificación de la función objetivo
Como se estableció en la descripción del problema, el objetivo global es minimizar los costos
totales sobre el horizonte de planeación de 4 meses. Si aplicamos la descomposición para
identificar tres componentes de costo diferentes llegamos a

Costos totales = costos de producción+ costos de inventario+ costos del cambio en
la producción

COSTOS DE PRODUCCIÓN
Aplicando nuevamente la descomposición se identifican los costos de producción como la suma
de los costos de producción en cada uno de los 4 meses. Usando las variables de producción X1, X2,
X3, X4, junto con los costos de producción por toneladas de la tabla 6, llegamos a
Costos de producción = 7400X1 + 7500X2 + 7600X3 + 7650X4


COSTOS DE INVENTARIO
Una descomposición similar produce un costo de inventario total como la suma de los costos de inventario
durante cada uno de los cuatro meses. Como los niveles de inventario cambian solamente al final del mes,
todos los inventarios al principio del mes incurren en un costo de $120 por tonelada para ese mes. Usando las
variables I1, I2, I3, I4 llegamos a
Costos de inventario = 120I1 + 120I2 + 120I3 + 120I4

Observe que I5 no se incluye en esta porción porque el objetivo es minimizar los costos totales solamente en
los siguientes 4 meses, e I5 incurre en costos durante el quinto mes.

COSTOS DEL CAMBIO EN LA PRODUCCION
Para determinar los costos del cambio en la producción de un mes al siguiente, trabaje con un ejemplo
específico en el que, digamos X1 = 100 y X2 = 300. En este caso, existe un incremento de 300 – 100 = 200
toneladas de acero del mes 1 al mes 2. Por tanto, a un costo de $50 por tonelada de incremento,


Costo del cambio en la producción = (300 – 100) * 50 = $10 000

Usando este ejemplo, podría escribir la siguiente expresión general:
Costo del cambio en la producción = (X2 – X1) * 50

Sin embargo, ¿qué sucede si X1=300 y X2=100? Esto es, ¿qué pasa si el nivel de producción disminuye? En este
caso, la expresión anterior resulta en un costo de (100 – 300) * 50= -$10 000, es decir, una ganancia de $10
000, que no tiene sentido. En vez de esto, a un costo de $30 por tonelada de decremento, la expresión
correcta es

Costo del cambio en la producción = (300 – 100) * 30
= $6000

En general, cuando el nivel de producción disminuye del mes 1 al mes 2, la expresión correcta es
Costo del cambio en la producción = (X1 – X2) * 30


combinando con las expresiones para resultados de incremento y decremento se obtienen los siguientes costos del cambio
en la producción del mes 1 al mes 2:

Costo del cambio en la producción = 50(X2 – X1), si X2 ≥ X1 (incremento)
30(X1 – X2), si X1 >X2 (decremento)

Como los valores de X1 y X2 son por ahora desconocidos, la cuestión es cómo combinar estos dos casos en una sola
expresión.

Una forma de abordar esto es creando variables de decisión adicionales cuyos valores son precisamente las cantidades de
producción incrementada y decrementada de un mes al siguiente. Esto es,

S1 = el número de toneladas de producción incrementada en el mes 1
D1 = el número de toneladas de producción decrementada en el mes 1





Los valores de estas variables dependen de los niveles de producción. Por ejemplo, cuando X2=300 y
X1=100, usted desea que S2 sea 200 y D2, 0. Si X2=100 y X1=300, desea que S2 sea 0 y D2, 200. Las
restricciones que aseguran las relaciones adecuadas entre estas variables se identifican en la siguiente
sección.

Con estas nuevas variables, cuando S1 es positiva, D1 debe ser 0. De manera similar, cuando D1 es positiva, S1
debe ser 0. Por tanto, los costos del cambio en la producción para el primer mes son 50S1+ 30D1. Por
consiguiente, los costos totales del cambio en la producción son:


Costos del cambio = (costo del cambio en la producción en el mes 1)+
en la producción (costo del cambio en la producción en el mes 2)+
(costo del cambio en la producción en el mes 3)+
(costo del cambio en la producción en el mes 4)+
= (50S1+ 30D1) + (50S2+ 30D2)+
(50S3+ 30D3) + (50S4+ 30D4)

FUNCIÓN OBJETIVO COMPLETA
La combinación de los tres componentes de costo da como resultado la siguiente función objetivo
global:
Minimizar costos totales = 7400X1 + 7500X2 + 7600X3 + 7650X4 +
120I1 + 120I2 + 120I3 + 120I4 +
50S1 + 30D1 + 50S2 + 30D2 + 50S3 + 30D3 + 50S4 + 30D4


Aplicando la técnica de agrupamiento debe llegar a identificar los siguientes seis grupos de
restricciones:

1. Restricciones de inventario inicial y final para asegurar los adecuados niveles de inventario de
inicio y fin
2. Restricciones de limitación de producción para asegurar que la producción de cualquier mes
dado no exceda de 4000 toneladas
3. Restricciones de equilibrio de inventario para asegurar la adecuada relación entre las
variables de producción y las de inventario
4. Las restricciones de cambio en la producción para asegurar la adecuada relación entre las
variables de producción y las de cambio en la producción
5. Restricciones de demanda para asegurar que se satisfagan las demandas cada mes
6. Restricciones lógicas para asegurar que todas las variables son no negativas


RESTRICCIONES DE INVENTARIO INICIAL Y FINAL
En palabras, las dos restricciones en este grupo son:

1. El nivel de inventario inicial es de 1000 toneladas
2. El nivel de inventario final debe ser al menos de 1500 toneladas

Como I1 e I5 representan los inventarios inicial y final al principio y final del período de planeación de 4 meses, respectivamente, estas
restricciones son:

I1 = 1000 (inventario de inicio)
I5 ≥ 1500 (inventario final)

RESTRICCIONES DE LIMITACIÓN DE PRODUCCIÓN
La producción en cualquier mes no puede exceder las 4000 toneladas, así que las cuatro restricciones en este grupo son
X1 ≤ 4000 (límite en el mes 1)

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