1. Universidad Arturo Michelena
Análisis Matemático I.
Material de apoyo Unidad I (tomado de Internet)
Prof. Juan Aguirre
1. Binomio de Suma al Cuadrado ) Diferencia de Cubos
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)
2. Binomio Diferencia al Cuadrado ) Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado
de un Trinomio
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
3. Diferencia de Cuadrados
= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
Producto de dos binomios que tienen un
4. Binomio Suma al Cubo término común
( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
= a3 + b3 + 3 ab (a + b) 7. Diferencia de dos Cubos
5. Binomio Diferencia al Cubo a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)
( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3
6. Suma de dos Cubos
a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Para factorizar polinomios hay varios métodos:
1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la
suma, Así, la propiedad distributiva dice:
a.( x + y ) = a.x + a. y
a. x + . y
Pues bien, si nos piden factorizar la expresión , basta aplicar la propiedad distributiva y
a
decir que
a. x + . y = .( x + )
a a y
Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores
comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden
36 x 2 − x 3 + x
factorizar la expresión 12 18
, será
36 x 2 − x 3 + x = x (6 x − x 2 + )
12 18 6 2 3

2. Donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18
Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación,
aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte
izquierda.
4 a 2 b + ab + ab 2
Otro ejemplo: Factorizar 2 6
4a 2 b + ab + ab 2 = ab( 2a + + b)
2 6 2 1 3
¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro
del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto
4a 2 b + ab + ab 2 = ab( 2a + b)
2 6 2 3
y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da
2ab ( 2a + b) = a 2 b + ab 2
3 4 6 4 a 2 b + ab + ab 2
pero no 2 6
como me tendría que haber dado.
2 ab( 2 a + + b ) = ab.2 a + ab.1 + ab.3b = a 2 b + ab + ab 2
1 3 2 2 2 4 2 6
Sin embargo si efectúo
Otros ejemplos:
3 x 2 − x + x 4 = x (x − + x 2 )
6 9 3 2 3
4 2  2 
2x 3 − x + 2 x = 2 x x 2 − x +1
3  3 
2. Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por diferencia.
Se basa en la siguiente fórmula
(a +b )(a −b ) =a 2 − 2
b
a 2 −b 2
Pero aplicada al revés, o sea que si me dicen que factorice escribo
a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b )
Otros ejemplos de factorización por este método:
4 x 2 − = 2 x + )(2 x − )
1 ( 1 1
x4 −16 = x 2 − )(x 2 + )
( 4 4
a 2 4b 2  a 2b  a 2b 
− = −  + 
4 9 2 3  2 3 
3. Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio
Se basa en las siguientes fórmulas
(a + )2
b =a 2 + ab + 2
2 b (a − )2
b =a 2 − ab + 2
2 b
y
a 2 + ab + 2
Así si nos dicen que factoricemos: 2 b
, basta aplicar la fórmula anterior y escribir que

3. a 2 + ab + 2 =(a + )
2
2 b b
Otros ejemplos de factorización por este método:
4 x 2 + + x =(2 x + )
2
9 12 3
x2 − x +
10 25 =( x − ) 2
5
2
1 1 
+ 2x + 4x 2 =  + 2x 
4 2 
4. Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de este tipo
ax 2 +bx +c
, siendo a, b y c números
− b ± b 2 − 4ac
x=
2
+bx + = 2a
Se iguala el trinomio a cero ax x 0
, se resuelve la ecuación , y si tiene
x1 x2 ax 2
+bx + = (x − 1 )( x − 2
c a x x )
dos soluciones distintas, y se aplica la siguiente fórmula:
2x 2 + x −
Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio 5 3
2x 2 + x − =
Igualamos a cero 5 3 0
− 5 ± 25 + 24 −5 ± 7
x= =
4 4
Resolvemos la ecuación , y separando las dos soluciones
2 1 − 12
x1 = = x2 = = −3
4 2 4
, , y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=2
 1
2 x 2 + 5 x − 3 = 2 x − ( x + 3)
 2
5. Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini:
Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que
al sustituirlos en el polinomio nos da cero.
ax 4 + 3 + 2 +dx +
Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado bx cx e
tiene cuatro raíces enteras,
x1 x2 x3 x4
, , y se factoriza así:
ax 4 + 3 + 2 +
bx cx dx + = (x − 1 )(x − 2
e a x x )(x − 3 )(x − 4 )
x x
Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini
x4 − x3 − 2 + x −
Ejemplo: Factorizar 4 x 16 12
.
Factorizar

4. x2 − 6x + 8 x2 − 9
x 2 + x − 72 x 4 − 16
x4 − 9x2 ax + ay
x5 − 8x 2 6x 2 + 6
2x + 8 81 − x 2
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones cuadráticas:
1 5
2 6
3 7
4 8
Definición de un conjunto
El criterio que permite decidir si un elemento pertenece o no al conjunto debe ser enunciado en forma clara,
de modo que la selección de los elementos no dependa de opiniones subjetivas (conjunto de personas
altas, bajas, etc.):
 Un conjunto está definido por extensión cuando se enumeran, uno a uno, todos los elementos
que pertenecen al conjunto.
 Un conjunto está definido por comprensión cuando se da una propiedad que caracteriza a los
elementos que pertenecen al conjunto, y sólo a éstos.
El conjunto A está formado por los elementos x tal que x es un color primario.
Diagramas de Venn

5.  Los conjuntos se representan gráficamente por una curva simple cerrada.
 Los elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la curva.
 Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la curva.
 Ningún elemento puede representarse sobre la curva.