1. UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MONTES CLAROS - UNIMONTES
Curso de Licenciatura em Matemática
Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias / 2o semestre de 2010
Professor: J. Sérgio
LISTA DE EXERCÍCIOS I - Valor: 10,0 pontos
Data de entrega: 07/10/2010.
Data da Prova 1: 07/10/2010 (valor: 25,0 pontos).
OBS: Após a data combinada, cada dia de atraso implicará em 2,0 pontos a menos no valor total da lista.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
• EXERCÍCIOS SOBRE: Ordem, classicação e vericação de soluções de Equações Diferenciais.
1. Determine a ordem das equações diferenciais abaixo e classique-as em lineares e não-lineares.
2 2
a) t2 d 2 + t dy + 2y = sen t
dt
y
dt b) (1 + y 2 ) d 2 + t dy + y = et
dt
y
dt
d4 y d3 y d2 y dy dy
c) dt4
+ dt3
+ dt2
+ dt +y =1 d) dt + ty 2 = 0
d2 y d3 y
e) dx2
+ sen (x + y) = sen x f) dt3
+ t dy + (cos2 t) · y = t3
dt
2. Para cada equação diferencial abaixo, verique se as funções indicadas são soluções.
a) y − y = 0; y1 (x) = ex , y2 (x) = cosh x
b) y + 2y − 3y = 0; y1 (t) = e−3t , y2 (t) = et
c) ty − y = t2 ; y1 (t) = 2t, y2 (t) = 3t + t2
d) y (4) + 4y + 3y = t; y1 (t) = t/3, y2 (t) = e−t + t/3
e) 2t2 y + 3ty − y = 0, t 0; y1 (t) = t1/2 , y2 (t) = t−1
• EXERCÍCIOS SOBRE: Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem (Introdução ).
3. Com a primeira técnica que estudamos em Equações Diferenciais de Primeira Ordem encontre a solução
da equação y + y/3 = 1/3.
4. Sabendo que dy/dt = sen t, determine a função y .
5. Encontre a solução geral da equação diferencial dy/dt = 4t3 + 13.
dy
6. Construa o gráco da solução do P.V.I: dx = −y + 5, com y(0) = 2.
7. Resolva a equação diferencial dy/dt = −ay + b, onde a e b são números positivos.

2. • EXERCÍCIOS SOBRE: Fator Integrante.
8. Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
a) y − y = 2te2t , y(0) = 1
b) y + 2y = te−2t , y(1) = 0
d) ty + 2y = sen t, y(π/2) = 1
9. Determinar o valor de y0 para o qual a solução do problema de valor inicial permaneça nita quando
t → ∞, considerando y − y = 1 + 3 · sen t, y(0) = y0 .
10. Considere a equação diferencial
dy
dt + p(t)y = 0
Mostre que se y1 (t) e y2 (t) são soluções da equação, então y(t) = y1 (t) + y2 (t) também o é.
11. Resolva o problema de valor inicial abaixo:
y − 1 y = 2cos t
2
y(0) = a
• EXERCÍCIOS SOBRE: Equações Separáveis, Diferenças entre equações lineares e não-lineares.
12. Verique que as equações diferenciais abaixo são separáveis e as resolva.
a) y = x2 /y b) y = x2 /y(1 + x3 )
c) y + y 2 sen x = 0 d) y = (3x2 − 1)/(3 + 2y)
13. Determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado
certamente existe.
a) (t − 3)y + (ln t)y = 2t, y(1) = 2 b) (t − 2)y + y = 0, y(2) = 1
14. Mostre que φ(t) = e2t é uma solução de y − 2y = 0 e que y = c · φ(t) também é solução dessa equação
para qualquer valor da constante c.
15. Mostre que, se y = φ(t) é uma solução de y + p(t)y = 0, então y = c · φ(t) também é solução para
qualquer valor da constante c.
APLICAÇÕES DAS EDO's DE PRIMEIRA ORDEM
16. Uma determinada população, p, de ratos satisfaz a equação diferencial dp/dt = 0, 5p − 450, onde t é
o tempo em meses.
a) Encontre o instante em que a população é extinta se p(0) = 850.
b) Encontre o instante de extinção se p(0) = p0 , onde 0 p0 900.

3. 17. Um material radioativo, tal como um dos isótopos de tório, o tório-234, desintegra a uma taxa pro-
porcional à quantidade presente. Se Q(t) é a quantidade presente no instante t, então dQ/dt = −rQ,
onde r 0 é a taxa de decaimento.
a) Se 100 mg de tório-234 decaem a 82,04 mg em 1 semana, determine a taxa de decaimento r.
b) Encontre uma equação para a quantidade de tório-234 presente em qualquer instante t.
18. A proporção de carbono-14 (radioativo) em relação ao carbono-12 presente nos seres vivos é constante.
Quando um organismo morre a absorção de carbono-14 cessa e a partir de então, o carbono-14 vai se
transformando em carbono-12 a uma taxa que é proporcional à quantidade presente. Como a meia
vida do carbono-14 é longa (cerca de 5730 anos), podem ser medidas quantidades remanescentes do
mesmo, após milhares de anos.
a) Monte um PVI que descreva o problema de encontrar a quantidade de carbono-14 em função do
tempo, Q(t).
b) Determine o valor da constante de decaimento para o carbono-14.
c) Encontre uma expressão para Q(t) em qualquer instante t, se Q(0) = Q0 .
d) Suponha que sejam descobertos certos restos de plantas nos quais a quantidade residual atual de
carbono-14 é 20% da quantidade original. Determine a idade desses restos.
19. Um circuito RC é um circuito que tem um resistor de resistênca R, um capacitor de capacitância C e
um gerador que gera uma diferença de potencial V (t) ligados em série. Pode-se vericar que a carga
Q(t) no capacitor satisfaz a equação diferencial
dQ 1
R· dt + C · Q = V (t)
Considere que em um circuito RC uma bateria gera uma diferença de potencial de 10 volts enquanto
a resistência é de 103 ohms e a capacitância é de 10−4 farads. Encontre a carga Q(t) no capacitor em
cada instante t, se Q(0) = 0 e o limite de Q(t) quando t tende a mais innito.