Nos conceitos iniciais da Teoria de Grupos é possível classificar os grupos cíclicos de forma fácil. Também podemos trabalhar com grupos gerados por dois elementos, apesar de poderem ser mais complexos. O documento classifica os grupos de ordem menor ou igual a 11, mostrando que os grupos cíclicos, diédricos e o grupo de permutações S3 são os únicos possíveis nestas ordens.

1. Classifica¸˜o dos Grupos de Ordem ≤ 11
ca
Jos´ S´rgio Domingues
e e
Departamento de Pesquisa e P´s-gradua¸˜o, Cefet-MG
o ca
30480-000, Campus II, Belo Horizonte, MG
E-mail: jsergio− mat@yahoo.com.br
1 Grupos Finitos Gerados por Teorema 1.1 Sejam n, m, s, n´meros inteiros
u
dois Elementos a e b com positivos.
ba = as b (a) Existe um grupo G de ordem nm que possui
elementos a, b tais que
Resumo: Nos conceitos iniciais da Teoria
de Grupos ´ poss´ classificar com uma certa
e ıvel 
facilidade os grupos c´ıclicos, que s˜o os grupos
a  G
 n = a, b
a = e

gerados por um unico elemento. Tamb´m
´ e (∗)
 bm = au
podemos trabalhar com grupos gerados por dois

ba = as b

elementos, por´m estes grupos podem apresen-
e
tar uma complexidade elevada. Estudaremos
se e somente se, sm ≡ 1 mod n e
ent˜o aqui, os grupos finitos gerados por dois
a
u(s − 1) ≡ 0 mod n.
elementos a e b, ou seja, G = a, b onde a
e b satisfazem uma rela¸˜o do tipo ba = as b,
ca
(b) Quando existir um grupo de ordem nm sa-
s ∈ N. Veremos que os resultados j´ conhecidos
a
tisfazendo as condi¸˜es (∗) , ele ´ unico a
co e´
de Teoria de Grupos e tamb´m os resultados
e
menos de isomorfismo.
mencionados na primeira parte desse artigo,
ser˜o de grande ajuda na determina¸ao dos
a c˜
grupos de ordem pequena, em particular, dos A demonstra¸˜o desse teorema pode ser
ca
grupos de ordem ≤ 11. encontrada em [2].
Inicialmente, podemos perceber que o grupo Obs: Se n, m, s s˜o n´meros inteiros positivos
a u
(S3 , ◦), das permuta¸˜es de grau 3, ´ um exem- e u = 0, o Teorema 1.1 se resume a:
co e
plo de grupo com essa propriedade, onde:
(a) Existir´ um grupo G de ordem nm que
a
e = Id α = (1 2 3) β = (1 2) possui elementos a, b tais que
γ = (2 3) δ = (1 3 2) = (1 3) 
 G
 n = a, b
a = e

De fato, S3 ´ um grupo de ordem seis, ou
e (∗)
 m
 b = e
seja, |S3 | = 6. Al´m disso, pode-se verificar
e ba = as b

facilmente que:
se e somente se, sm ≡ 1 mod n.

 S3
 3 = α, β
α = e

 2
 β = e

βα = α2 β
(b) Quando existir um grupo de ordem nm sa-
tisfazendo as condi¸˜es (∗), ele ´ unico a
co e ´
menos de isomorfismo.

2. 2 Determina¸˜o dos grupos de
ca
Ψ : Z2 × Z2 −→ G
ordem ≤ 11: (0, 0) −→ e
(1, 0) −→ a
Veremos agora que, aplicando os resultados (0, 1) −→ b
obtidos at´ aqui e conhecimentos pr´vios de
e e (1, 1) −→ c
teoria de grupos, podemos classicar e entender
melhor, todos os grupos de ordem ≤ 11. Verifica-se facilmente que Ψ ´ um isomor-
e
fismo. Logo, a menos de isomorfismos, Z4 e
Grupo de ordem 1: Z2 × Z2 s˜o os unicos grupos de ordem 4.
a ´
Todo grupo G, com |G| = 1 ´ tal que e
G {0}. Grupos de ordem 6:
Sabemos que Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e S3 s˜o a
Grupos de ordem p, com p ∈ {2, 3, 5, 7, 11}: grupos de ordem 6. Obviamente eles n˜o s˜o a a
Sendo |G| = p com p primo, temos que G ´ e isomorfos pois Z6 ´ abeliano e S3 n˜o. Mos-
e a
c´
ıclico com p elementos e portanto, G Zp . traremos agora que, estes dois grupos s˜o osa
unicos grupos de ordem 6, a menos de isomor-
´
Grupos de ordem 4: fismos. Seja G um grupo arbitr´rio de ordem
a
Tomemos os grupos de ordem 4 a seguir: 6.
Ent˜o, G possui um elemento α, com O(α) =
a
Z4 = {0, 1, 2, 3} e Z2 × Z2 = 3 e um elemento β, com O(β) = 2, logo,
{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} α, α2 ∈ G, β ∈ G e os novos elementos αβ e
Os dois grupos citados acima n˜o s˜o iso- α2 β tamb´m pertencem a G, e como |G| = 6
a a e
morfos pois Z4 possui elementos de ordem 4 conclu´ ımos que G = {e, α, α2 , β, αβ, α2 β}, por-
e Z2 × Z2 n˜o. Mostraremos agora que, estes tanto:
a
dois grupos s˜o os unicos grupos de ordem 4,
a ´ 
 |G| = 6
a menos de isomorfismos. Seja G um grupo de 

G = α, β
ordem 4. Se G possui um elemento de ordem  α3 = e
 2
4, G Z4 . Mas se G n˜o possui tal elemento,
a β = e

pelo Teorema de Lagrange, todos os seus
Agora, note que | α | = 3, ent˜o (G : α ) =
a
elementos diferentes do elemento neutro s˜o dea −1 = βαβ ∈ α =⇒
2 logo α G e assim, βαβ
ordem 2, uma vez que a ordem dos elementos
βαβ = α ou βαβ = α2 =⇒ βα = αβ ou βα =
deve dividir a ordem do grupo. Portanto, G ´ e
α2 β. Ent˜o, existem duas possibilidades:
a
um grupo abeliano.
Como |G| = 4, vamos escrever 
 |G| = 6 = 3 · 2

 |G| = 6 = 3 · 2
G = {e, a, b, c}, com O(a) = O(b) = O(c) = 2
 
 G

 = α, β  G

 = α, β
3
e com todos os elementos obviamente dis- (i) α = e (ii) α3 = e
 β2 = e
  β2 = e

tintos. Procuramos ent˜o na sua tabela
a 
 

βα = αβ βα = α2 β
 
de multiplica¸˜o, o resultado das poss´
ca ıveis
multiplica¸˜es de seus elementos. Ora:
co Logo, pela parte (b) do Teorema 1.1, em
• ab = e, pois caso contr´rio, a = b−1 , o que cada um dos casos, temos no m´ximo um
a a
´ um absurdo, j´ que O(b) = 2 implica em grupo, a menos de isomorfismos, satisfazendo
e a
b−1 = b; as condi¸˜es indicadas.
co Mas tais grupos
existem de fato? A resposta ´ sim.
e
Com racioc´ ınio an´logo ao que efetuamos
a
acima, verifica-se facilmente que ab = c, ac = b Basta tomar G = Z6 no caso (i) e G = S3 no
e bc = a, mas como o grupo ´ abeliano, tamb´m caso (ii).
e e
tem-se que ba = c, ca = b e cb = a. Observe que Z2 × Z3 tamb´m satisfaz as
e
Tome agora a fun¸˜o:
ca condi¸˜es do caso (i) e pela unicidade, temos
co

3. que Z2 × Z3 Z6 . 
 |Q3 |
 = 8
 Q3

= C, E
Grupos de ordem 8:

C4 = e
Tomemos os grupos de ordem 8 a seguir:  2
 E

 = C2
EC = C3E

Z8 , Z4 × Z2 , Z2 × Z2 × Z2 e D4 ,
Pela parte (b) do Teorema 1.1, sabemos que
onde D4 ´ o grupo das simetrias do quadrado.
e Q3 ´ caracterizado pelas rela¸˜es acima. Q3
e co
Esses grupos, n˜o s˜o isomorfos entre si, pois:
a a n˜o ´ isomorfo aos grupos Z8 , Z4 × Z2 , Z2 ×
a e
• Z8 possui quatro elementos de or- Z2 × Z2 . Para verificar que D4 e Q3 n˜o s˜oa a
dem 8 (a saber: 1, 3, 5, 7), enquanto isomorfos, basta verificar que D4 possui exata-
Z4 × Z2 , Z2 × Z2 × Z2 e D4 n˜o pos- a mente 5 elementos de ordem 2 enquanto que
suem tais elementos, o que possibilita afirmar Q3 possui somente 1 elemento de ordem 2.
que Z8 n˜o ´ isomorfo a nenhum dos grupos
a e Seja agora um grupo arbitr´rio G tal que
a
citados. |G| = 8. Temos pelo Teorema de Lagrange, que
as poss´ıveis ordens dos elementos de G−{e} s˜oa
• Z4 × Z2 possui quatro elementos de 2, 4 e 8.
ordem 4 (a saber: (1, 0); (1, 1); (3, 0) e (3, 1)),
Caso 1: G possui um elemento de ordem 8:
enquanto Z2 × Z2 × Z2 s´ possui elementos
o
Seja ent˜o γ ∈ G tal que O(γ) = 8; logo
a
de ordem 2 e D4 s´ possui dois elementos de
o
G = γ e G Z8 .
ordem 4, o que possibilita afirmar que Z4 × Z2
n˜o ´ isomorfo a nenhum dos grupos citados.
a e Caso 2: G n˜o possui nenhum elemento de
a
ordem 8:
• Z2 × Z2 × Z2 possui 8 elementos de ordem Ent˜o, as poss´
a ıveis ordens dos elementos = e
2 e D4 possui somente 5 desses elementos, logo s˜o 2 e 4.
a
esses dois grupos n˜o s˜o isomorfos.
a a Dividindo o Caso 2 em dois subcasos, temos:
Mostraremos agora que, o grupo dos Caso 2.1: G n˜o possui nenhum elemento de
a
quat´rnios, que ´ denotado por Q3 e os grupos ordem 4:
e e
citados acima s˜o os unicos grupos de ordem
a ´ Ent˜o, todos os elementos de G = e s˜o de
a a
8, a menos de isomorfismos. Q3 ´ dado por:
e ordem 2 e, consequentemente, G ´ um grupo
e
abeliano. Seja a = e; como O(a) = 2, temos
Q3 = {A, B, C, D, E, F, G, H} com que K = a = {e, a} ´ um subgrupo de G.
e
Tome agora b ∈ G − K; ent˜o R = {e, a, b, ab}
a
´ um subgrupo de G. Tomando c ∈ G − R;
e
−1 0 1 0
A= , B= temos:
0 −1 0 1
G = {e, a, b, ab, c, ac, bc, abc} =
C=
i 0
, D=
−i 0 {ai bj cw | i, j, w ∈ {0, 1}}.
0 −i 0 i
Logo, a fun¸˜o abaixo ´ um isomorfismo, de
ca e
grupos.
0 1 0 −1
E= , F =
−1 0 1 0
ϕ : Z2 × Z2 × Z2 −→ G
(i, j, w) −→ ai bj cw .
0 i 0 −i
G= , H=
i 0 −i 0
Caso 2.2: G possui um elemento de ordem 4:
Observe que |Q3 | = 8, pois todos os elemen- Seja a ∈ G tal que O(a) = 4 e seja K =
tos s˜o distintos. Al´m disso ´ f´cil demonstrar a . Tome b ∈ G − K e considere o subgrupo
a e e a
que, R de G gerado por a e b, isto ´, R = a, b .
e

4. Como b ∈ K, temos |R| > 4 e, pelo Teorema
/ Ent˜o, pela parte (b) do Teorema 1.1, em
a
de Lagrange, |R| divide 8; portanto R = G = cada um dos casos, temos no m´ximo um
a
a, b = {e, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b}. grupo, a menos de isomorfismos, satisfazendo
Temos que b2 ∈ K pois, obviamente, b2 ∈ / as condi¸˜es indicadas. Tamb´m ´ f´cil verifi-
co e e a
{b, ab, a2 b, a3 b}. Temos tamb´m que ba ∈
e / car que tais grupos de fato existem, basta to-
{e, a, a 2 , a3 , b}. mar G = Z4 × Z2 no caso (v) e G = Q3 no caso
Desta forma, provamos que: (vi). Portanto:
 Z8 , Z4 × Z2 , Z2 × Z2 × Z2 , D4 e Q3
 |G|
 = 8
 G

= a, b
 s˜o os unicos cinco grupos de ordem 8, a
a ´
a4 = e
 2
 b
 = au (para algum u ∈ {0, 1, 2, 3}) menos de isomorfismos.

ba = as b (para algum s ∈ {1, 2, 3})

Grupos de ordem 9:
Vejamos agora quais as possibilidades para Tomemos os grupos de ordem 9 a seguir:
u ∈ {0, 1, 2, 3} e s ∈ {1, 2, 3}. Primeiramente,
Z9 e Z3 × Z3
O(bab−1 ) = O(a) = 4, portanto s = 1 ou
s = 3. Mas, b2 ∈ {a, a3 }, pois caso contr´rio a
/ a Eles n˜o s˜o isomorfos, pois Z9 possui ele-
a a
O(b 2 ) = 4, o que implicaria que O(b) seria um
mentos de ordem 9 enquanto Z3 ×Z3 n˜o. Mos-
a
m´ltiplo de 4 e conseq¨entemente O(b) = 8 traremos agora que, estes dois grupos s˜o os
u u a
(absurdo, pois por hip´tese, G n˜o possui ele- unicos grupos de ordem 9, a menos de isomor-
o a ´
mentos de ordem 8) ou que O(b) = 4 (absurdo, fismos.
pois ter´ıamos nesse caso O(b2 ) = 2). Portanto, Seja G um grupo de ordem 9, n˜o c´ a ıclico.
u = 0 ou u = 2 e como j´ foi visto, s = 1 ou Pelo Teorema de Lagrange, todos seus elemen-
a
s = 3. tos = e tem ordem igual a 3. Sejam ent˜o a
Considerando u = 0, temos dois casos corres- e = α ∈ G e β ∈ G α . Ent˜o, α = a
pondentes a s = 1 e s = 3: {α, α2 , α3 = e} ⊂ G, β = {β, β 2 , β 3 = e} ⊂
 
G e αi = β j ∀ i, j ∈ {1, 2}. Portanto, por
 |G|
 = 8  |G|
 = 8 raz˜es elementares, temos que
o
 G

 = a, b  G

 = a, b
(iii) a4 = e (iv) a4 = e G = {e, α, α2 , β, αβ, α2 β, β 2 , αβ 2 , α2 β 2 }
 2
 b  2

 = e  b

 = e
ba = ab ba = a3 b
 
e consequentemente que

Logo, pela parte (b) do Teorema 1.1, em = 9 |G|

= G
α, β

cada um dos casos, temos no m´ximo um
a = e α3
grupo, a menos de isomorfismos, satisfazendo

 3
= e β
´
as condi¸˜es indicadas. E claro que tais grupos
co
existem, basta tomar G = Z4 × Z2 no caso Podemos ent˜o nos perguntar: Quem ´ o
a e
(iii) e G = D4 no caso (iv). produto βα?
Ora, obviamente βα ∈ {e, α, α2 , β, β 2 }.
/
Considerando u = 2, temos dois casos corres- Falta ent˜o analisar os casos onde βα =
a
pondentes a s = 1 e s = 3: αβ, βα = α2 β, βα = αβ 2 , βα = α2 β 2 , ob-
servando sempre que pela parte (b) do Teorema
  9.4 temos no m´ximo um grupo a menos de iso-
a
 |G| = 8  |G| = 8

 G

 = a, b

 G

 = a, b morfismo em cada caso. Ser´ que tais grupos
a
(v) a4 = e (vi) a4 = e existem de fato?
 2
a2
 2
 b
 =  b
 = a2
(a) Se βα = αβ, existe, basta tomar G = Z3 ×
 
ba = ab ba = a3 b
 
Z3 .

5. (b) Se βα = α2 β, n˜o existe tal grupo, basta de fato, basta tomar G = Z10 no caso (i) e
a
observar a parte (a) do Teorema 9.4, uma G := D5 no caso (ii), onde D5 ´ o grupo das
e
vez que 23 = 8 ≡ 1 mod 3.
/ ´ a
simetrias do pent´gono regular. E f´cil veri-
a
ficar que o grupo Z2 × Z5 tamb´m satisfaz as
e
(c) Se βα = αβ 2 , n˜o existe tal grupo, pois condi¸˜es do caso (i) e que portanto pela uni-
a co
caso contr´rio, tomando A = β 2 e B = cidade estabelecida na parte (b) do Teorema
a
ıamos G = A, B , com A3 = B 3 = 1.1 temos que Z × Z
α,ter´ Z10 .
2 5
e, BA = αβ 2 = βα = A2 B o que ´ um e Desta forma, conclu´ ımos que os grupos
absurdo pela parte (a) do Teorema 1.1,
uma vez que 23 = 8 ≡ 1 mod 3.
/ Z10 e D5
(d) Se βα = α2 β 2 , n˜o existe tal grupo, pois s˜o os unicos dois grupos de ordem 10, a
a a ´
caso contr´rio ter´
a ıamos que menos de isomorfismos.
(αβ)2 = αβαβ = α(βα)β = α(α2 β 2 )β = e, Segue na tabela abaixo, a lista de todos os
grupos encontrados, a menos de isomorfismos,
e as suas respectivas ordens.
o que ´ um absurdo pois sabemos que
e
O(αβ) = 3.
Ordem Grupos
Portanto, a menos de isomorfismos 1 {0}
Z9 e Z3 × Z3 s˜o os unicos grupos de
a ´ 2 Z2
ordem 9. 3 Z3
4 Z4 , Z2 × Z2
Grupos de ordem 10 5 Z5
Tome G um grupo arbitr´rio com |G| = 10.
a 6 Z6 , S3
Temos que G possui um elemento α tal que 7 Z7
O(α) = 5 e um elemento β tal que O(β) = 2. 8 Z8 , Z4 × Z2 , Z2 × Z2 × Z2 , D4 , Q3
Logo, fica claro que 9 Z9 , Z3 × Z3
G = α, β = 10 Z10 , D5
{e, α, α2 , α3 , α4 , β, αβ, α2 β, α3 β, α4 β} 11 Z11
Podemos ent˜o nos perguntar: Quem ´ o
a e
produto βα?
Ora, por raz˜es elementares, temos que βα ∈
o /
{e, α, α 2 , α3 , α4 , β}. Portanto, pelo Teorema
1.1, βα = α2 β j´ que 22 = 4 / 1 mod
a ≡
5 e βα = α3 β pois 32 = 9 / 1 mod 5. ≡
Desta forma, temos duas possibilidades:
 
 |G|
 = 10 = 5 · 2  |G|
 = 10 = 5 · 2
 G

 = α, β  G

 = α, β
(i) α5 = e (ii) α5 = e
 2
 β  2

 = e  β

 = e
βα = αβ βα = α4 β
 
Portanto, pela parte (b) do Teorema 1.1,
em cada um dos casos, temos no m´ximo um
a
grupo, a menos de isomorfismos, que satisfaz
as condi¸˜es indicadas. E tais grupos existem
co

6. 3 Referˆncias
e
[1] Gon¸alves, Adilson: In-
c
ca a ´
trodu¸˜o ` Algebra, Projeto Euclides,
IMPA, 2006
[2] Garcia, Arnaldo & Lequain,
´
Yves: Elementos de Algebra, IMPA,
2003
[3] Simis, Aron: Introdu¸˜o `
ca a
´
Algebra, IMPA, 1976
[4] Domingues, Hygino H. &
´
Iezzi, Gelson: Algebra Moderna,
Atual, 1982
[5] Coutinho, S.C: N´meros Intei-
u
ros e Criptografia RSA, Computa¸˜o
ca
Matem´tica, IMPA, 2003
a