Uma pequena publicação sobre congruências

1. Congruˆencias
Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos
Congruˆencias
SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAC¸ ˜AO
6 de outubro de 2015
Congruˆencias
Congruˆencias

2. Congruˆencias
1 Congruˆencias
Congruˆencias

3. Congruˆencias
Defini¸c˜ao
Sejam a, b e m inteiros, com m > 1. Ent˜ao diz-se que a ´e
congruente com b m´odulo m e escreve-se a ≡ b (mod m) se
m|(b − a).
Existe outra forma correta de se definir congruˆencia: Dados a, b e
m inteiros, com m > 1. Dizemos que a ≡ b (mod m) se, e
somente se, a e b deixam o mesmo resto na divis˜ao por m.
Exemplo
a) 3 ≡ 11 (mod 4), pois 4|(11 − 3)
b) a ≡ b (mod 2), se s˜ao ambos pares ou ambos ´ımpares.
Congruˆencias

4. Congruˆencias
A congruˆencia define uma rela¸c˜ao de equivalˆencia, pois atende `as
propriedades reflexiva, sim´etrica e transitiva.
Demonstra¸c˜ao: Sejam a, b, c, m ∈ Z, com m > 1.
1 m|0 ⇒ m|(a − a) ⇒ a ≡ a (modm), o que mostra, ser
reflexiva a congruˆencia.
2 Suponha que a ≡ b (modm). Ent˜ao m divide (b − a), ou seja,
b − a = km, para algum k ∈ Z. Logo, a − b = (−k)m, ent˜ao
b ≡ a (mod m). Isso mostra que a congruˆencia ´e sim´etrica.
3 Suponha que a ≡ b (modm) e que b ≡ c (modm). Ent˜ao
m|(b − a) e m|(c − b). Logo, m|((b − a) + (c − b))⇒
m|(c − a). Assim, a ≡ c (modm), donde conclu´ımos, que a
congruˆencia ´e transitiva.
Congruˆencias

5. Congruˆencias
Teorema
Sejam a, b, c, d, m ∈ Z, com m > 1.
i) Se a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m), ent˜ao a + c ≡ b + d
(mod m).
ii) Se a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m), ent˜ao ac ≡ bd (mod m)
iii) Se b ´e o resto da divis˜ao de a por m, ent˜ao a ≡ b (mod m).
Demonstra¸c˜ao: Demonstraremos apenas os itens i e ii, deixando iii
a cargo do leitor. Suponhamos que a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod
m). Logo, temos que m|(b − a) e m|(d − c). Assim,
i) m|(b − a) + (d − c) ⇒ m|(b + d) − (a + c), o que prova essa
parte do resultado.
ii) De m|(b − a) e m|(d − c), temos que m|d(b − a) e
m|a(d − c) o que implica em m|d(b − a) + a(d − c), isto ´e,
m|(bd − ac), o que conclui a demonstra¸c˜ao.
Congruˆencias

6. Congruˆencias
Corol´ario
Para todos n ∈ N, a, b, m ∈ Z, se a ≡ b (mod m), ent˜ao an ≡ bn
(mod m)
Demonstra¸c˜ao: A demonstra¸c˜ao ´e feita por indu¸c˜ao sobre n e fica
a cargo do leitor.
Exemplo
Demonstre que o resto da divis˜ao de 62009 por 37 ´e 6.
Congruˆencias

7. Congruˆencias
Solu¸c˜ao
Temos que
36 ≡ −1(mod37) ⇔ 62
≡ −1(mod37)
⇔ 62 1004
≡ (−1)1004
(mod37)
⇔ 6.62008
≡ 6.1(mod37) ⇔ 62009
≡ 6(mod37)
O que conclui a demonstra¸c˜ao.
Problema
Qual o resto da divis˜ao de:
1 230 por 17?
2 1311 por 7?
Congruˆencias

8. Congruˆencias
Os restos da divis˜ao das potˆencias de 2 por 7
Observe que
21
≡ 2 mod7,
22
≡ 4 mod7,
23
≡ 1 mod7.
Dado um n´umero inteiro n, pelo algoritmo da divis˜ao, podemos
escrevˆe-lo na forma n = 3q + r, onde r = 0, 1 ou 2. Assim,
2n
= 23q+r
= (23
)q
.2r
≡ 1q
.2r
mod7
⇔
2n
≡ 2r
mod7.
Congruˆencias

9. Congruˆencias
Exemplo
1 Se n = 135 = 3.45, ent˜ao 2135 ≡ 1 mod 7, pois r = 0.
2 Se n = 136 = 3.45 + 1, ent˜ao 2136 ≡ 2 mod 7, pois r = 1.
3 Se n = 137 = 3.45 + 2, ent˜ao 2137 ≡ 4 mod 7, pois r = 2.
Problema
Ache o resto da divis˜ao por 7 dos seguintes n´umeros 25345,
23765839.
Problema
Sabendo que 24 = 16 ≡ −1 mod 17, ache o resto da divis˜ao de 230
por 17.
Congruˆencias

10. Congruˆencias
Os n´umeros da forma 36n
− 26n
s˜ao divis´ıveis por 35
De fato, temos que
36
= 33
.33
≡ (−1).(−1) ≡ 1 mod7,
26
= 23
.23
≡ 1.1 ≡ 1 mod7.
Por outro lado,
36
= 33
.33
≡ 2.2 ≡ −1 mod5,
26
= 23
.23
≡ 3.3 ≡ −1 mod5.
Logo, 36n − 26n ≡ 0 mod7 e 36n − 26n ≡ 0 mod5.
Assim, 36n − 26n ´e divis´ıvel por 5 e por 7 e como mdc(5, 7) = 1,
segue que 36n − 26n ´e divis´ıvel por 35.
Congruˆencias

11. Congruˆencias
Exemplo
Mostre que todo n´umero da forma 198n − 1 ´e divis´ıvel por 17.
Solu¸c˜ao
Temos que,
19 ≡ 2 mod17 ⇒ 194
≡ 16 mod17 ⇒ 194
≡ −1 mod17
198
≡ 1 mod17 ⇒ 198n
≡ 1 mod17 ⇒ 17|(198n
− 1)
como quer´ıamos demonstrar.
Congruˆencias

12. Congruˆencias
Exemplo
Mostre que todo n´umero da forma 13n + 17n ´e divis´ıvel por 45,
quando n ´e ´ımpar.
Solu¸c˜ao
Temos que
13 ≡ −2 mod5 e 17 ≡ 2 mod5 ⇒ 133 ≡ −8 mod5 e 173 ≡ 8
mod5 ⇒ 133 ≡ 2 mod5 e 173 ≡ −2 mod5 ⇒ 133n ≡ 2n mod5 e
173n ≡ −2n mod5. Como, por hip´otese, n ´e ´ımpar, vem que
133n
+ 173n
≡ 0 mod5
Congruˆencias

13. Congruˆencias
Solu¸c˜ao
Por outro lado,
13 ≡ 4 mod9 e 17 ≡ −1 mod9 ⇒ 133 ≡ 64 mod9 e 173 ≡ −1
mod9 ⇒ 133 ≡ 1 mod9 e 173 ≡ −1 mod9. Sendo n ´ımpar, temos
133n ≡ 1 mod9 e 173n ≡ −1 mod9. Logo,
133n
+ 173n
≡ 0 mod9
Assim, 133n + 173n ´e divis´ıvel por 5 e por 9 e como mdc(5, 9) = 1,
segue que 133n + 173n ´e divis´ıvel por 45.
Congruˆencias

14. Congruˆencias
Pequeno Teorema de Fermat
Teorema
Se p ´e um n´umero primo e a ´e um inteiro n˜ao divis´ıvel por p ent˜ao
ap−1
≡ 1(modp)
Demonstra¸c˜ao.
Como p a tem-se:
a.(2a).(3a). . . . (p − 1)a ≡ 1.2.3. . . . (p − 1)(modp)
donde, ap−1.(1.2.3. . . . .(p − 1)) ≡ 1.2.3. . . . (p − 1)(modp) como
mdc(p, 1.2.3. . . . .(p − 1)) = 1 segue que
ap−1
≡ 1(modp)
Congruˆencias

15. Congruˆencias
Corol´ario
Se p ´e um primo e a ´e um inteiro qualquer ent˜ao
ap
≡ a(modp)
Demonstra¸c˜ao.
Caso p a, pelo Pequeno Teorema de Fermat, tem-se que
ap−1 ≡ 1(modp) e da´ı ap ≡ a(modp).
Supondo que p|a tem-se a ≡ 0(modp) e da´ı, trivialmente
ap
≡ a(modp)
Congruˆencias

16. Congruˆencias
Exemplo
Mostre que os inteiros k e k5 tˆem o mesmo algarismo das unidades.
Solu¸c˜ao
Devemos mostrar que a diferen¸ca k5 − k ´e divis´ıvel por 10, que
equivale a mostrar que a mesma ´e divis´ıvel por 2 e por 5.
Fatorando:
k5 − k = k(k4 − 1) = k(k2 + 1)(k2 − 1) = (k − 1)k(k + 1)(k2 + 1).
Da´ı, conclu´ımos que 2|(k5 − k), visto que, na fatora¸c˜ao, temos um
produto dois inteiros consecutivos (k(k + 1)).
Por outro lado, pelo corol´ario do Pequeno Teorema de Fermat,
temos que k5 ≡ k(mod5), logo k5 − k ≡ 0(mod5), portanto
5|(k5 − k).
Visto que o n´umero k5 − k ´e divis´ıvel por 2 e por 5, o mesmo ´e
divis´ıvel por 10, o que conclui a demonstra¸c˜ao.
Congruˆencias

17. Congruˆencias
Problema
1 Determinar o resta da divis˜ao de 23728 por 13;
2 (ENC 98) O resto da divis˜ao de 1212 por 5 ´e:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Congruˆencias

18. Congruˆencias
Bibliografia
OLIVEIRA, Maicon Costa., Disserta¸c˜ao de Mestrado Campo
Grande, (2013).
HEFEZ, Abramo, Inicia¸c˜ao `a aritm´etica Niter´oi, 2009.
MOREIRA, Felipe Rodrigues de S., Congruˆencias Lineates
Agosto, 2006.
Congruˆencias