El documento demuestra que la inversa de una matriz triangular superior también es una matriz triangular superior. Explica dos caminos para probar esto: 1) construyendo la inversa de abajo hacia arriba, y 2) analizando el método para encontrar la inversa de una matriz y cómo las operaciones elementales solo afectan renglones superiores. Concluye que ambos caminos llevan a la conclusión de que la inversa de una matriz triangular superior es triangular superior.

1. PROBLEMA 14
Demuestra que la inversa de una matriz
triangular superior es también una matriz
triangular superior.
EJEMPLO

2. PROBLEMA 14
• Se puede resolver de dos maneras casi
distintas.
• CAMINO 1:
– construir la inversa de abajo para arriba.
• CAMINO 2:
– utilizar el método para encontrar la
inversa de una matriz.

3. PROBLEMA 14
CAMINO 1
• Supongamos que A es triangular superior y
que es invertible.
• Queremos encontrar la matriz B que sea su
inversa.
Matriz B (será la inversa de A) Matriz A

4. PROBLEMA 14
CAMINO 1
Podemos ir obteniendo información
de los coeficientes de B.

5. PROBLEMA 14
CAMINO 1
Aquí vemos que:

6. PROBLEMA 14
CAMINO 1
Aquí vemos que:

7. PROBLEMA 14
CAMINO 1
Conclusión:
Debajo de la diagonal
principal solo hay ceros en la
primera columna.

8. PROBLEMA 14
CAMINO 1
Idea:
Realizar el mismo análisis, pero
ahora con la siguiente columna.

9. PROBLEMA 14
CAMINO 2
• Para el camino 2, la idea es analizar
el método para encontrar la inversa
de una matriz:
– colocar la matriz a la izquierda y la
identidad a la derecha, y utilizar las
operaciones elementales para llegar a la
identidad.

10. PROBLEMA 14
CAMINO 2
• Como la matriz A es triangular
superior, entonces al momento de
llevar a A a la identidad, cada renglón
solo puede afectar a los renglones
que estén arriba de él.
• Como a la identidad se le hacen las
mismas operaciones, se llega a la
conclusión buscada.