Este documento discute la importancia de considerar las caras de un gráfico de pliegues para contar el número de asignaciones MV válidas cuando el gráfico contiene más de un vértice interior. Hull desarrolló un algoritmo para un único vértice interior, pero cuando hay múltiples vértices, no solo se necesitan los ángulos alrededor de cada vértice, sino también conocer las caras del gráfico. El documento ilustra esto con el ejemplo del "torcedura de un cuadrado", donde de las 212 posibles asignaciones MV,

1. La importancia de las caras para una
MV-asignaci´no
Fco. Javier Cobos Gavala
Resumen
En [1] T. Hull desarrolla un algoritmo lineal que permite contar
el n´mero de MV-asignaciones v´lidas para un mapa de pliegues que
u a
contiene un unico v´rtice en su interior. Para ello es necesario conocer
´ e
la medida de los ´ngulos alrededor de dicho v´rtice. En caso de existir
a e
m´s de un v´rtice en el interior del mapa de pliegues el problema
a e
se complica y, en el mismo art´ ıculo, T. Hull presenta los ejemplos
del torcido del cuadrado y del torcido del oct´gono para mostrar su
o
dificultad.
En este trabajo se muestra que para contar el n´mero de MV-
u
asignaciones de un mapa de pliegues con m´s de un v´rtice en su
a e
interior no s´lo es necesario conocer la medida de los ´ngulos alrededor
o a
de cada v´rtice sino que tambi´n es fundamental conocer las caras del
e e
grafo del mapa.
1 Introducci´n
o
El estudio del origami o papiroflexia (el arte y el proceso del doblado del
papel) incluye muchos e interesantes problemas geom´tricos y combinatorios
e
(v´anse [2, 6]). En las matem´ticas del origami un modelo indica cualquier ob-
e a
jeto de papel doblado, independientemente del n´mero de pliegues necesarios
u
para su realizaci´n. El mapa de pliegues de un modelo es una representaci´n
o o
plana de un grafo que representa los pliegues necesarios para la realizaci´no
del modelo.
1

2. Al realizar un pliegue en una hoja de papel, ´ste puede realizarse de dos
e
formas diferentes, de forma convexa o en montana y de forma c´ncava o en
˜ o
valle. Es general el uso de la notaci´n
o
− · · − · · − · ·− para los pliegues en monta˜a
n
−−−−−−− para los pliegues en valle
Figura 1: Un pliegue en monta˜a (izquierda) y otro en valle (derecha)
n
Si deshacemos los pliegues realizados para obtener un modelo de papiro-
flexia, nos quedan en la hoja de partida las marcas de los pliegues que se han
realizado. As´ por ejemplo, si desplegamos la grulla tradicional nos queda el
ı,
mapa que aparece en la Figura 2.
Figura 2: El mapa de los pliegues de la grulla tradicional
Definici´n 1 Un origami plano es un par (C, f ), donde C es el conjunto de
o
pliegues y f : C → {M,V} es tal que la representaci´n de (C, f ) inducida de
o
3
[0, 1] × [0, 1] en R es biyectiva.
2

3. Obs´rvese que para que el origami sea plano (pueda ser guardado entre
e
las hojas de un libro) los pliegues han de ser, necesariamente de ±180 grados,
por lo que les asignaremos los valores M si el pliegue es en monta˜a o V si
n
es en valle.
Como vamos a tratar de los origamis planos, la funci´n f : C → {M,V}
o
la llamaremos MV-asignaci´n y diremos que es una asignaci´n v´lida si el
o o a
mapa C con dicha asignaci´n permite la construcci´n de un modelo plano sin
o o
romper el papel. En caso contrario diremos que se trata de una asignaci´n
o
no v´lida. Un mapa C para el que ninguna MV-asignaci´n sea v´lida diremos
a o a
que corresponde a un origami irrealizable.
1.1 Propiedades locales del origami plano
Diremos que un v´rtice v es un v´rtice interior plano si corresponde a un
e e
v´rtice del interior del mapa en el que confluyen pliegues, de tal forma que
e
un disco centrado en v y que no contenga a ning´n otro v´rtice del mapa
u e
admita un plegado plano. Para ello es necesario que se verifiquen una serie
de condiciones b´sicas sin las cuales no ser´ posible su plegado.
a a
Teorema 1 [Maekawa-Justin [5, 7]] Sea M el n´mero de pliegues en
u
monta˜a y V el de pliegues en valle que confluyen en un v´rtice interior
n e
plano. Se verifica entonces que M − V = ±2.
El resultado obtenido para doblar una hoja de papel tambi´n es v´lido
e a
para doblar un cono (la suma de los ´ngulos alrededor del v´rtice es menor
a e
de 360 grados). En este caso, el v´rtice al que nos referimos es el v´rtice del
e e
cono. En otras palabras, si en vez de partir de una hoja plana de papel con
un v´rtice en su interior, partimos de un cono en el que se han marcado varias
e
generatrices (l´ıneas de pliegue), no admitir´ un plegado plano si no verifica
a
la condici´n anterior, es decir, que M − V = ±2. Si M − V = 2 diremos que
o
el v´rtice est´ orientado hacia arriba, mientras que si M − V = −2 lo est´
e a a
hacia abajo.
Corolario 1 El grado de un v´rtice interior plano (o de un cono que admita
e
plegado plano) es siempre par.
3

4. Teorema 2 [Kawasaki-Justin [4, 5, 8]] La suma de los ´ngulos alternos
a
en un v´rtice interior plano de C es 180 grados.
e
Si en vez de partir de un v´rtice interior plano partimos de un cono,
e
la suma de los ´ngulos que definen las l´
a ıneas de pliegue (cortemos por una
generatriz y despleguemos el cono) no es de 360 grados, por lo que lo unico
´
que nos asegura el teorema de Kawasaki-Justin en el caso de un cono es que
los ´ngulos de sub´
a ındice par suman lo mismo que los de sub´ ındice impar.
α1 + α3 + · · · + α2n−1 = α2 + α4 + · · · + α2n (1)
El rec´
ıproco del teorema de Kawasaki-Justin tambi´n es cierto, es decir,
e
si la suma de los 2n ´ngulos alternos de un v´rtice interior es 180 grados (o
a e
en el caso de un cono se da la condici´n (1)), admite un plegado plano.
o
Sin embargo, el hecho de que todos los v´rtices interiores existentes en
e
el mapa de un modelo verifiquen la condici´n de Kawasaki-Justin no quiere
o
decir que globalmente se pueda realizar un plegado plano del modelo. Veamos,
para ello, el siguiente teorema.
Teorema 3 Sea v un v´rtice interior plano (o un cono) y denotemos por
e
α1 , . . . , α2n los ´ngulos definidos por las l´neas de pliegue. Si αi < αi−1 y
a ı
αi < αi+1 entonces las aristas li y li+1 han de tener diferente asignaci´n, es
o
decir si una es en valle la otra ha de ser, necesariamente, en monta˜a. n
Teniendo en cuenta el teorema anterior podemos ver que el origami re-
presentado en la Figura 3 no admite ninguna MV-asignaci´n v´lida a pesar
o a
de cumplir los requisitos de teorema de Kawasaki-Justin. Se trata de lo que
llamamos un origami irrealizable.
En efecto, si nos fijamos en uno de los v´rtices del tri´ngulo equil´tero
e a a
central (60 grados) podremos observar que los pliegues que lo definen tienen
a
´ngulos adyacentes de 90 grados, por lo que ambos pliegues tienen que tener
diferente asignaci´n, es decir, si uno se realiza en monta˜a el otro hay que
o n
realizarlo en valle. Al darse la misma circunstancia en los tres v´rtices del
e
4

5. Figura 3: Un origami irrealizable
tri´ngulo central llegamos a una incompatibilidad, pues si hemos asignado a
a
dos de sus lados los valores M y V (monta˜a y valle) no podemos asignar al
n
tercero ninguno de los dos valores.
Buscar condiciones globales para determinar si un origami es plano es
un problema demasiado complejo, por lo que nos limitamos, de momento,
a estudiar condiciones locales. Si nos centramos en contar el n´mero de
u
MV-asignaciones v´lidas para un mapa de pliegues, el problema, al igual
a
que el anterior demasiado complejo, T. Hull en [1] se limita a estudiar casos
concretos, en particular aquel en el que el mapa de pliegues contiene a un
unico v´rtice.
´ e
Para ver la dificultad del problema en el caso general con varios v´rtices
e
podemos da el siguiente ejemplo. La figura 4 nos muestra el mapa de pliegues
del denominado torcido de un cuadrado, una MV-asignaci´n v´lida para dicho
o a
mapa y el modelo resultante. De las 212 posibles MV-asignaciones, s´lo 16
o
son v´lidas.
a
Figura 4: El torcido de un cuadrado
5

6. Se presentan, a continuaci´n las 16 MV-asignaciones v´lidas.
o a
Figura 5: Las 16 MV-asignaciones v´lidas del torcido del cuadrado
a
Estudiemos, en primer lugar, c´mo se obtienen las 16 MV-asignaciones
o
v´lidas para el torcido del cuadrado. En la figura 6 hemos numerado los
a
v´rtices y las aristas de su mapa de pliegues.
e
Evidentemente se verifican las condiciones de Kawasaki. En caso contra-
rio no ser´ posible un plegado plano.
ıa
Si comenzamos por el v´rtice v1 y lo orientamos hacia arriba (M-V=2),
e
por cada MV-asignaci´n que obtengamos tenemos tambi´n la correspondiente
o e
6

7. Figura 6: Mapa de pliegues del torcido del cuadrado
a cambiar todas las asignaciones realizadas, con lo que el v´rtice v1 se volver´
e ıa
hacia abajo. As´ pues, podemos buscar todas aquellas en que v1 es hacia
ı
arriba y obtener el resto invirtiendo las asignaciones.
El ´ngulo que forman las aristas 1 y 2 es menor que sus dos adyacentes,
a
por lo que dichas aristas han de tener asignaciones diferentes. Supongamos
que f (1) =M y f (2) =V (casos 1, 2, 3 y 4). Como la arista 2 tiene asignaci´n
o
V y v1 es hacia arriba, necesariamente 3 y 4 tienen que tener asignaci´n M.
o
Como el ´ngulo formado por las aristas 4 y 5 es menor que sus adyacentes,
a
dichas aristas deben tener asignaciones diferentes, por lo que f (5) =V. Nos
planteamos ahora si hacer del v´rtice v2 un v´rtice hacia arriba o uno hacia
e e
abajo. Si optamos por hacerlo hacia arriba (casos 1 y 2), las aristas 6 y 7
han de tener asignaci´n M. Si lo orientamos hacia abajo (casos 3 y 4), 6 y 7
o
deben tener asignaci´n V.
o
Las aristas 7 y 8 forman un ´ngulo menor que sus adyacentes, por lo que
a
8 ha de tener asignaci´n V. Disponemos ahora de la posibilidad de orientar a
o
v3 hacia arriba (caso 1) o hacia abajo (caso 2). Supongamos que se opta por
orientarla hacia arriba (caso 1), las aristas 9 y 10 tienen que tener asignaci´n
o
M. La arista 11 esta forzada a tener asignaci´n V porque el ´ngulo que forma
o a
con la 10 es menor que sus adyacentes y la 12 asignaci´n M porque v4 ya
o
tiene dos aristas M y una V, con lo que la cuarta no puede ser otra V (en ese
caso ser´ M-V=0 y no ser´ v´lida la asignaci´n). Es decir, para el cuarto
ıa ıa a o
v´rtice no tenemos opciones posibles.
e
7

8. En resumen disponemos de 2 posibilidades para elegir (siempre con v1
hacia arriba) si f (1, 2) = (M, V ) o f (1, 2) = (V, M ). Dos posibilidades para
optar porque v2 se oriente hacia arriba o hacia abajo y otras dos para orientar
a v3. En total 8 asignaciones posibles con v1 hacia arriba.
Cambiando todas las asignaciones obtenemos otras 8 (casos 9 a 16) en
que v1 est´ orientado hacia abajo. Hemos conseguido as´ las 16 asignaciones
a ı
v´lidas.
a
Hay que tener en cuenta que lo que hemos hecho es obligar, a cada uno
de los v´rtices, a que cumpla las condiciones de Maekawa y las impuestas
e
por el teorema 3 para que por s´ solos cada uno de ellos pueda ser doblado
ı
en plano. No hemos tenido en cuenta si globalmente son v´lidas todas las
a
opciones. En este caso no existe ninguna incompatibilidad y las 16 asignacio-
nes realizadas permiten un doblado en plano. Sin embargo, no disponemos
de ninguna herramienta que nos permita saber, sin realizar los plegados, qu´e
MV-asignaciones son globalmente v´lidas y cu´les no.
a a
Examinemos ahora el caso del torcido del oct´gono cuyo mapa se tiene en
o
la figura 7.
Figura 7: El mapa del torcido de un oct´gono
o
Podemos observar que de cada uno de los v´rtices del oct´gono parten
e o
dos aristas que forman un ´ngulo menor que sus adyacentes, por lo que
a
ambas deben tener diferente asignaci´n. Si fijamos la asignaci´n de una de
o o
8

9. las parejas y orientamos su v´rtice hacia arriba, los dos lados del oct´gono
e o
(las otras dos aristas que inciden en el v´rtice) deben tener asignaci´n M,
e o
lo que junto al hecho de que las aristas hacia afuera del siguiente v´rtice
e
tambi´n deben tener asignaci´n diferente nos dice que el siguiente lado del
e o
oct´gono tambi´n debe tener asignaci´n M. Podemos observar, por tanto
o e o
que los ocho lados del oct´gono deben tener asignaci´n M y cada pareja de
o o
aristas que sale hacia afuera orientaci´n diferente, es decir, (M,V) o (V,M).
o
Disponemos, por tanto de 28 posibilidades de elecci´n una vez orientado uno
o
de los v´rtices hacia arriba. Si ese mismo v´rtice lo hubi´semos orientado
e e e
hacia abajo hubi´semos obtenido otras 28 posibilidades todas ellas con los
e
lados del oct´gonos asignados a un pliegue en valle.
o
Existen, por tanto 29 MV-asignaciones localmente v´lidas. Sin embargo, y
a
a diferencia del caso del torcido del cuadrado s´lo dos de ellas son globalmente
o
v´lidas. La figura 8 nos muestra esas dos posibilidades. Evidentemente una
a
resulta de cambiar todas las asignaciones de la otra.
Figura 8: El torcido de un oct´gono
o
Se hace evidente la necesidad de buscar herramientas que nos permitan
distinguir cu´les son las MV-asignaciones globalmente v´lidas.
a a
2 La importancia del tama˜ o
n
Supongamos que recortamos nuestro papel y nos quedamos con al mapa
de la figura 9. Es evidente que volveremos a obtener 29 MV-asignaciones
9

10. localmente v´lidas. La diferencia estriba en que ahora todas lo son tambi´n
a e
globalmente.
Figura 9: El mapa recortado del torcido de un oct´gono
o
T. Hull en [1] establece un algoritmo lineal para contar el n´mero de
u
MV-asignaciones v´lidas para un v´rtice de plegado plano o, lo que es lo
a e
mismo, para un mapa que s´lo contiene un v´rtice en su interior. Para ello
o e
es fundamental conocer la amplitud de los ´ngulos que forman las aristas
a
que inciden en ´l, por lo que define el v´rtice de la forma v = (α1 , . . . , α2n )
e e
verific´ndose, evidentemente, la condici´n de que los v´rtices de sub´
a o e ındice par
han de sumar lo mismo que los de v´rtice par (Kawasaki) y que confluyen en
e
´l un n´mero par de aristas (y, por tanto, un n´mero par de ´ngulos) para
e u u a
que se pueda verificar el corolario 1 del teorema de Maekawa.
Es evidente que si queremos buscar un algoritmo que nos diga si una
MV-asignaci´n, localmente v´lida, lo es tambi´n globalmente en un mapa
o a e
que contenga a m´s de un v´rtice, no ser´ suficiente con definir los v´rtices a
a e a e
trav´s de los ´ngulos que inciden en ´l, sino que deberemos conocer las caras
e a e
del grafo que representa el mapa de pliegues.
Podemos entonces generalizar el teorema 3 en el siguiente sentido:
Teorema 4 Sean C el grafo que define un mapa de pliegues y c una de sus
caras. Consideremos dos caras c1 y c2 adyacentes a c y sean l1 y l2 las aristas
que las separan de c, respectivamente. Si la reflexi´n de c1 con eje l1 sobre c
o
10

11. interseca a l2 y la de c2 , con eje l2 sobre c interseca a l1 , las aristas l1 y l2
han de tener diferente asignaci´n.
o
Demostracion: La demostraci´n es similar a la del teorema 3.
´ o
La figura 10 representa un origami irrealizable [3] con dos v´rtices.
e
Figura 10: Un origami irrealizable con dos v´rtices
e
Si observamos la figura 11 vemos que al reflejar, con eje la arista A-2, la
cara C-1 sobre C-2, la arista A-1 interseca a la A-3 y si reflejamos, con eje
A-3, la cara C-3 sobre C-2, la arista A-4 corta a la arista A-2. Por teorema 4
sabemos que A-2 y A-3 han de tener diferente asignaci´n. o
An´logamente, reflejando C-4 y C-6 sobre C-5 observamos que A-5 y A-6
a
deben tener asignaciones diferentes.
As´ pues, si comenzamos a hacer una MV-asignaci´n desde el v´rtice
ı o e
de 45 grados, los pliegues A-4 y A-5 deben tener diferente asignaci´n, por
o
ejemplo M y V (ver Fig. 11). La siguiente arista A-6 debe tener asignaci´n
o
M por el teorema 4. La asignaci´n de A-1 debe ser V por formar con A-6
o
un ´ngulo menor que sus adyacentes. Si decidimos ahora que el v´rtice de
a e
o
45 est´ orientado hacia arriba, A-3 y A-7 han de tener asignaci´n M, no
a o
qued´ndonos opci´n alguna para A-2, ya que el teorema 4 nos dice que debe
a o
ser V (puesto que f (A-3)=M) pero entonces falla la condici´n de Maekawa,
o
11

12. Figura 11: Prueba de la imposibilidad
por lo que resulta ser un origami irrealizable.
Volvamos ahora al ejemplo del torcido del oct´gono (Fig.7).
o
Si aplicamos el teorema 4 vemos que la asignaci´n de las aristas exteriores
o
del oct´gono debe ser alternativa (ver Fig. 12), por lo que s´lo disponemos
o o
de la posibilidad de que la primera que asignemos sea M o V. Las aristas
del oct´gono pueden ser ahora todas M o todas V, seg´n sea la orientaci´n
o u o
de sus v´rtices, por lo que de 29 MV-asignaciones localmente v´lidas hemos
e a
pasado a s´lo 4 que puedan serlo globalmente.
o
Figura 12: Aplicaci´n del teorema 4 al torcido del oct´gono
o o
12

13. Sin embargo, sabemos que s´lo dos son globalmente v´lidas, por lo que
o a
el teorema 4 a´n resulta insuficiente.
u
Referencias
[1] Hull, T. Counting Mountain-Valley Assignments for Flat Folds To appear
in Ars Combinatoria, 2002.
[2] Hull, T. On the mathematics of flat origamis Congressus Numerantium,
100 (1994) 215-224.
[3] Hull, T. The Combinatorics of Flat Folds: a Survey In: AK Peters
ed., Proceedings of the Third International Meeting of Origami Science,
Mathematics and Education (2002).
[4] Justin, J. Aspects mathematiques du pliage de papier In: H. Huzita ed.,
Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and
Technology (Ferrara, 1989) 263-277.
[5] Justin, J. Mathematics of origami Part 9, British Origami (June 1986)
[6] Justin, J. Toward a mathematical theory of origami In: K. Miura ed.,
Origami Science and Art: Proceedings of the Second International Mee-
ting of Origami Science and Scientific Origami, (Seian University of Art
and Design, Otsu, 1997) 15-29.
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[8] Kawasaki, T. On the relation between mountain-creases and valley-
creases of a flat origami (abridged English translation) In: H. Huzita
ed., Proceedings of the First International Meeting of Origami Science
and Technology (Ferrara,1989) 229-237.
13