aprenda haciendo

1. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013
1. MANEJO DE SUMATORIOS. PROPIEDADES Y EJERCICIOS.
El sumatorio (o sumatoria) es un operador matem´atico, representado por la letra griega sigma
may´uscula (Σ) que permite representar de manera abreviada sumas con muchos sumandos, con un
n´umero indeterminado (representado por alguna letra) de ellos, o incluso con infinitos sumandos.
Los sumandos de un sumatorio se expresan generalmente como una variable (habitualmente x, y, z, . . .)
cuyos valores dependen de un ´ındice (habitualmente i, j, k . . .) que toma valores enteros. El ´ındice
empieza tomando el valor que aparece en la parte inferior del sumatorio y se va incrementando en
una unidad hasta llegar al valor que aparece en la parte superior del sumatorio. As´ı por ejemplo,
3
i=1
xi = x1 + x2 + x3
representa la suma de los valores de la variable x desde el primero hasta el tercero. En general,
n
i=1
xi = x1 + x2 + . . . + xn−1 + xn
representa la suma de los primeros n valores de la variable x. La expresi´on anterior se lee: “sumatorio
de x sub-i desde i igual a 1 hasta n”.
El ´ındice del sumatorio puede tomar cualquier conjunto de n´umeros enteros, es decir, no tiene por-
qu´e empezar en 1, (aunque en las expresiones que aparecen a continuaci´on casi siempre sea as´ı para
simplificar la notaci´on). La ´unica condici´on que se tiene que cumplir es que el primer valor del ´ındice,
el que aparece abajo, sea menor o igual que el ´ultimo valor del ´ındice, el que aparece arriba. Es decir,
en la suma n
i=k xi k tiene que ser menor o igual que n para que la suma tenga sentido. Si k fuera
mayor que n, por ejemplo, k = 5 y n = 3, estar´ıamos sumando los de x empezando en 5 hasta llegar a
3, es decir, no estar´ıamos sumando nada, y la suma ser´ıa igual a cero. Si queremos sumar los valores
de x desde 3 hasta 5, deberemos tomar n = 5 y k = 3, es decir, hacer 5
i=3 xi.
1.1. Propiedades.
El sumatorio es simplemente una manera abreviada de representar una suma, y por lo tanto, cumple
todas las propiedades de ´esta:
Propiedad conmutativa:
n
i=1
(xi + yi) = x1 + y1 + x2 + y2 + . . . + xn + yn
= y1 + x1 + y2 + x2 + . . . + yn + xn =
n
i=1
(yi + xi)
Propiedad asociativa:
n
i=1
(xi + yi) +
n
i=1
zi = x1 + y1 + x2 + y2 + . . . + xn + yn + z1 + z2 + . . . + zn
= x1 + x2 + . . . + xn + y1 + z1 + y2 + z2 + . . . + yn + zn =
n
i=1
xi +
n
i=1
(yi + zi) =
n
i=1
(xi + yi + zi)
1

2. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013
Propiedad distributiva:
a ·
n
i=1
xi = a · (x1 + x2 + . . . + xn)
= ax1 + ax2 + . . . + axn =
n
i=1
(axi), a ∈ R
Otras propiedades:
1. El sumatorio de una constante (no depende de ning´un ´ındice) es igual a la constante mul-
tiplicada por el n´umero de sumandos:
n
i=1
b =
n veces
b + b + . . . + b= nb, b ∈ R
2. Propiedad asociativa + propiedad distributiva + (1):
n
i=1
(axi + b) =
n
i=1
axi +
n
i=1
b = a
n
i=1
xi + nb, a, b ∈ R
Nota: ¡¡¡a · n
i=1 xi + nb = a · n
i=1(xi + nb)!!! En un sumatorio, los sumandos vienen
indicados por el primer s´ımbolo despu´es de Σ. Si cada sumando involucra m´as de un t´ermino,
tendremos que escribir la expresi´on del sumando entre par´entesis. Por ejemplo:
3
i=1
i2
+ 5 = 12
+ 22
+ 32
+ 5 = 1 + 4 + 9 + 5 = 19,
mientras que
3
i=1
(i2
+ 5) = 12
+ 5 + 22
+ 5 + 32
+ 5 = 1 + 5 + 4 + 5 + 9 + 5 = 29.
3. Los valores recorridos por el ´ındice se pueden separar en varios sumatorios:
n
i=1
xi =
n0
i=1
xi +
n
i=n0+1
xi, n0 ≤ n
En efecto:
x1 + x2 + ... + xn = (x1 + x2 + ... + xn0 ) + (xn0+1 + . . . xn)
Por ejemplo:
4
i=1
log(i) = log(1) + log(2) + log(3) + log(4) = (log(1) + log(2)) + (log(3) + log(4))
=
2
i=1
log(i) +
4
i=3
log(i) (aqu´ı n = 4 y n0 = 2).
Nota: Todas las propiedades descritas son v´alidas independientemente del conjunto de valores que
tome el ´ındice del sumatorio. Es decir, sin en vez de n
i=1 tenemos n
i=k, para cualquier valor de
k ≤ n, las propiedades anteriores se aplican exactamente igual.
2

3. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013
1.1.1. Igualdades que NO cumplen los sumatorios.
A continuaci´on se enumeran algunas de las igualdades que NO son ciertas al operar con sumatorios
(y que constituyen errores muy habituales):
1.
n
i=1
xiyi =
n
i=1
xi
n
i=1
yi ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando
los valores de x multiplicados por su correspondiente valor de y:
x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn,
y en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x multiplicados
por todos los valores de y:
(x1+x2+. . .+xn)·(y1+y2+. . .+yn) = x1y1+x1y2+. . .+x1yn+x2y1+x2y2+. . .+x2yn+xny1+xny2+. . .+xnyn.
2.
n
i=1
x2
i =
n
i=1
xi
2
ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando los valores
de x elevados al cuadrado:
x2
1 + x2
2 + . . . + x2
n,
mientras que en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x y
luego estamos elevando toda la suma al cuadrado:
(x1+x2+. . .+xn)2
= x2
1+x2
2+. . .+x2
n+2x1x2+2x1x3+. . .+2x1xn+2x2x3+. . .+2x2xn+. . .+2xn−1xn.
3. En general, si f : R −→ R es una funci´on no lineal (es decir, no es una recta, involucra operaciones
distintas de la suma y el producto por escalares), entonces
n
i=1
f(xi) = f
n
i=1
xi .
Por ejemplo:
5
i=1
i3
=
5
i=1
i
3
10
n=1
ln(n) = ln
10
n=1
n
7
k=1
√
zk =
7
k=1
zk.
1.2. Sumatorios dobles (o triples, cu´adruples, etc.).
Si la variable cuyos valores queremos sumar depende de dos (o tres, cuatro, etc.) ´ındices utilizaremos
un sumatorio doble (o triple, cu´adruple, etc.). Por ejemplo, dada una matriz cuadrada n × n
A = (aij)i,j=1,...,n =











a11 a12 a13 . . . a1,(n−2) a1,(n−1) a1n
a21 a22 a23 . . . a2,(n−2) a2,(n−1) a2n
a31 a32 a33 . . . a3,(n−2) a3,(n−1) a3n
...
...
...
...
...
...
...
a(n−2),1 a(n−2),2 a(n−2),3 . . . a(n−2),(n−2) a(n−2),(n−1) a(n−2),n
a(n−1),1 a(n−1),2 a(n−1),3 . . . a(n−1),(n−2) a(n−1),(n−1) a(n−1),n
an1 an2 an,3 . . . an,(n−2) an,(n−1) ann











3

4. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013
los elementos de A dependen de dos ´ındices: el ´ındice i que denota las filas y el ´ındice j que representa
las columnas. As´ı, si queremos sumar todos los elementos de A, tendremos que sumar primero los
elementos de cada fila, y luego sumar los n valores resultantes. Es decir, la suma de todos los elementos
se puede escribir como: n
i=1
n
j=1 aij. En efecto, si desarrollamos primero el sumatorio en j y luego
el sumatorio en i se obtiene lo siguiente:
n
i=1
n
j=1
aij =
n
i=1
(ai1 + ai2 + . . . ain)
= (a11 + ai2 + . . . a1n) + (a21 + a22 + . . . a2n) + . . . + (an1 + an2 + . . . ann).
Nota: los ´ındices de los dos (o m´as) sumatorios no tienen porqu´e tomar los mismos valores. Por
ejemplo, si s´olo quiero sumar los elementos de la matriz A que est´an por encima de la diagonal (en
negrita)
A = (aij)i,j=1,...,n =











a11 a12 a13 . . . a1,(n−2) a1,(n−1) a1n
a21 a22 a23 . . . a2,(n−2) a2,(n−1) a2n
a31 a32 a33 . . . a3,(n−2) a3,(n−1) a3n
...
...
...
...
...
...
a(n−2),1 a(n−2),2 a(n−2),3 . . . a(n−2),(n−2) a(n−2),(n−1) a(n−2),n
a(n−1),1 a(n−1),2 a(n−1),3 . . . a(n−1),(n−2) a(n−1),(n−1) a(n−1),n
an1 an2 an3 . . . an,(n−2) an,(n−1) ann











,
en cada fila i tengo que considerar s´olo los elementos aij con j > i (´o j ≥ i + 1). Por lo tanto escribir´e:
n
i=1
n
j=i+1
aij =
n
i=1
(ai,i+1 + ai,i+2 + . . . ain)
= (a12 + ai3 + . . . a1n) + (a23 + a24 + . . . a2n) + . . . + +(a(n−2),(n−1) + a(n−2),n) + a(n−1),n.
OJO: Cuando i es igual a n, la suma n
j=i+1 aij no contiene ning´un sumando puesto que el ´ındice j
tendr´ıa que ir desde n + 1 hasta n, lo cual no es posible. Esto s´olo quiere decir, que en la ´ultima fila,
i = n, no tenemos ning´un elemento por encima de la diagonal.
An´alogamente, la suma de los elementos por debajo de la diagonal se escribe: n
i=1
i−1
j=1 aij. En este
caso, para i = 1 la suma i−1
j=1 aij no contiene ning´un sumando puesto que el ´ındice j tendr´ıa que ir
desde 1 hasta 0, lo cual no tiene sentido. Es decir, en la primera fila, i = 1, no hay elementos por
debajo de la diagonal.
La traza de A, o lo que es lo mismo, la suma de los elementos de la diagonal de A, se podr´ıa escribir
como: n
i=1 j=i aij, es decir, sumamos aquellos elementos para los cuales el n´umero de su fila y su
columna coinciden. En este sumatorio doble, para cada valor de i el segundo ´ındice, j, toma un ´unico
valor: j = i. En este caso, podemos prescindir de j y escribir la suma con un sumatorio simple de la
siguiente manera: n
i=1 aii.
Nota: Si los ´ındices de los dos sumatorios i y j toman los mismos valores, se escribir los dos ´ındices
en un ´unico s´ımbolo de sumatorio de la siguiente forma, n
i,j=1, indicando que tanto i como j van
desde 1 hasta n. As´ı, podemos escribir el doble sumatorio en forma compacta:
n
i=1
n
j=1
aij =
n
i,j=1
aij.
4

5. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013
1.2.1. Propiedades de los sumatorios dobles
Propiedad conmutativa:
n
i=1
n
j=1
(xij + yij) =
n
i=1
n
j=1
(yij + xij)
=
n
j=1
n
i=1
(yij + xij) =
n
j=1
n
i=1
(xij + yij)
Propiedad asociativa:
n
i=1


n
j=1
xij +
n
j=1
yij

 =
n
i=1
n
j=1
(xij + yij)
Propiedad distributiva:
a ·
n
i=1
n
j=1
xij = a ·
n
i=1
(xi1 + xi2 + . . . + xin)
= a · [(x11 + x12 + . . . + x1n) + . . . + (xn1 + xn2 + . . . + xnn)]
= (ax11 + ax12 + . . . + ax1n) + . . . + (axn1 + axn2 + . . . + axnn)
=
n
i=1
n
j=1
axij, a ∈ R
Otras propiedades:
1. El sumatorio doble de una constante (no depende de ning´un ´ındice) es igual a la constante
multiplicada por el n´umero de sumandos al cuadrado:
n
i=1
n
j=1
b =
n
i=1
(
n veces
b + b + . . . + b) =
n
i=1
nb
= (
n veces
nb + nb + . . . + nb) = n · nb = n2
b, b ∈ R
2. Propiedad asociativa + propiedad distributiva + (1):
n
i=1
n
j=1
(axij + b) =
n
i=1
n
j=1
axij +
n
i=1
n
j=1
b
= a
n
i=1
n
j=1
xij + n2
b, a, b ∈ R
3. Se verifica que
n
i=1
n
j=1
xiyj =
n
i=1
xi


n
j=1
yj

, ya que
n
i=1
n
j=1
xiyj =
n
i=1
(xiy1 + xiy2 + . . . + xiyn)
5

6. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013
= (x1y1 + x1y2 + . . . + x1yn) + (x2y1 + x2y2 + . . . + x2yn) + . . . + (xny1 + xny2 + . . . + xnyn)
= (x1 + x2 + . . . + xn) · (y1 + y2 + . . . + yn).
OJO: Esto se cumple porque x s´olo depende de i e y s´olo depende de j. Si ambas variables
dependieran de ambos ´ındices, esto no ser´ıa cierto (ver desigualdad 1 m´as abajo).
Nota: Todas las propiedades descritas son v´alidas independientemente de los conjuntos de valores
que tomen los dos ´ındices del sumatorio. Es decir, sin en vez de n
i=1
n
j=1 tenemos n
i=k
m
j=ℓ,
para cualquier valor de k ≤ n, y cualquier valor de m y ℓ ≤ m, las propiedades anteriores se aplican
exactamente igual.
1.2.2. Igualdades que NO cumplen los sumatorios dobles.
A continuaci´on se enumeran algunas de las igualdades que NO son ciertas al operar con sumatorios
dobles (y que constituyen errores muy habituales):
1.
n
i=1
n
j=1
xijyij =


n
i=1
n
j=1
xij




n
i=1
n
j=1
yij

 ya que en el lado izquierdo de la desigualdad esta-
mos sumando los valores de x multiplicados por sus correspondientes valores de y:
x11y11 +x12y12 +. . .+x1ny1n +x21y21 +x21y22 +. . .+x2ny2n +. . .+xn1yn1 +xn2yn2 +. . .+xnnynn,
pero en el lado derecho estamos sumando todos los valores de x multiplicados por todos los
valores de y:
(x11+x12+. . .+x1n+x21+x22+. . .+x2n+. . .+xn1+xn2+. . .+xnn)·(y11+y12+. . .+y1n+y21+y22+. . .+y2n+. . .+
2.
n
i=1
n
j=1
x2
ij =


n
i=1
n
j=1
xij


2
ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando los
valores de x elevados al cuadrado:
x2
11 + x2
12 + . . . + x2
1n + . . . + x2
n1 + x2
n2 + . . . + x2
nn,
mientras que en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x y
luego estamos elevando toda la suma al cuadrado:
(x11 + x12 + . . . + x1n + . . . + xn1 + xn2 + . . . + xnn)2
,
que involucra todos los t´erminos de la suma anterior y muchos m´as.
3. En general, si f : R −→ R es una funci´on no lineal (es decir, no es una recta, involucra operaciones
distintas de la suma y el producto por escalares), entonces
n
i=1
n
j=1
f(xij) = f


n
i=1
n
j=1
xij

 .
Por ejemplo:
3
i=1
6
j=2
(i + j)3
=


3
i=1
6
j=2
(i + j)


3
6

7. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013
10
n=1
3
k=1
ln(nk
) = ln
10
n=1
3
k=1
nk
10
ℓ=1
ℓ
h=i
1
zℓh
=
1
10
ℓ=1
ℓ
h=i zℓh
.
2. Ejemplos.
Ejemplo 2.1 La suma de todos los n´umeros pares desde 1 hasta 100 se escribe:
50
i=1
2i.
Ejemplo 2.2 La suma de todos los n´umeros impares desde 1 hasta 100 se escribe:
50
i=1
(2i − 1).
Ejemplo 2.3 La suma de los 1000 primeros n´umeros se escribe:
1000
n=1
n,
adem´as, podemos calcular cu´anto vale esta suma:
1000
n=1
n =
1001 · 1000
2
= 500500.
En general, para cualquier n´umero natural n ∈ N se cumple:
n
i=1
i =
(n + 1) · n
2
.
Por ejemplo, para n = 1, 1
i=1 i = 1 y (n+1)·n
2 = 2·1
2 = 1.
Para n = 2, 2
i=1 i = 1 + 2 = 3 y (n+1)·n
2 = 3·2
2 = 3.
Comprueba la f´ormula para el resto de n´umeros naturales menores o iguales que 10.
3. Ejercicios.
Ejercicio 3.1 Calcula las siguientes sumas:
a)
5
i=1
i(i + 1)
b)
3
n=0
2n
c)
100
r=1
4r
7

8. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013
d)
10
h=−3
(6h − 1)
e)
4
z=2
log(z4
)
Ejercicio 3.2 Expresa con una frase el significado de las siguientes sumas:
Ejemplo:
5
p=1
3p es la suma de todos los m´ultiplos de 3 desde el 3 hasta el 15.
a)
10
s=1
s2
b)
n
q=1
xq
n
c)
49
˜n=0
(2˜n + 1)
Ejercicio 3.3 Expresa con un sumatorio las siguientes frases:
a) La suma de los 10 primeros n´umeros pares.
b) La suma de todos los m´ultiplos de 4 desde 36 hasta 80.
c) La suma de la ra´ız cuadrada de los 20 primeros n´umeros impares.
d) La suma de los cuadrados de todos los n´umeros naturales del 1 al 30.
e) El producto escalar de los vectores (t1, t2, . . . , tm) y (w1, w2, . . . , wm).
Ejercicio 3.4 La siguiente tabla recoge los valores de una variable f, indexada por dos ´ındices e y d:
e d 1 2 3
1 -4 4 -8
2 1 9 12
3 6 -3 5
4 0 6 2
5 -2 7 0
Calcula:
a)
5
e=1
3
d=1
fed
b)
5
e=1 d<e
fed
c)
5
e=1
3
d=e
fed
8

9. An´alisis Exploratorio de Datos Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013
d)
5
e=1
3
d=1
f2
ed
e)
3
e=1
3
d=1
(3f2
ed − 28)
f)
3
e=1
3
d=1
(2fed − 1)2
Ejercicio 3.5 La siguiente tabla recoge los valores de dos variables u y v medidas sobre 6 individuos:
Individuo u v
1 -4 2
2 -1 6
3 5 3
4 0 1
5 -2 -4
6 1 1
Calcula:
a)
6
a=1
6
b=1
uavb
b)
6
a=1
3
b=1
(ua + vb)
c)
3
a=1
6
b=a
(ua + vb)
d)
6
a=1
6
b=1
uava
e)
6
a=1
6
b=1
(2u2
a + vb)
f)
6
a=1
a
b=1
(ua − vb)
9