La Importancia de la Hidráulica Fluvial en los Proyectos de Infraestructura d...
Hidraulica de pozos
1. CAPITULO 8
HIDRAULICA DE POZOS
LEONARDO DAVID DONADO GARZON
TABLA DE CONTENIDO
Pág.
1 INTRODUCCION 2
2 CONCEPTOS BASICOS 2
3 MOVIMIENTO NO PERMANENTE 3
3.1 POZOS DE PEQUEÑO DIÁMETRO 4
3.2 POZOS DE GRAN DIÁMETRO 20
4 MOVIMIENTO PERMANENTE 23
4.1 ACUÍFEROS CONFINADOS 23
4.2 ACUÍFEROS SEMICONFINADOS 26
4.3 ACUÍFEROS LIBRES 30
5 PRINCIPIO DE SUPERPOSICION 34
5.1 CASO DE DOS POZOS 34
5.2 MÉTODO DE LAS IMÁGENES 35
6 APLICACIONES 38
6.1 USO DE LA ECUACIÓN DE THEIS 38
6.2 USO DE LA ECUACIÓN DE JACOB 39
6.3 USO DE LA ECUACIÓN DE CHEN 39
6.4 USO DE LA ECUACIÓN DE PAPADOPULOS & COOPER 39
6.5 USO DE LA ECUACIÓN DE THIEM 40
6.6 USO DE LA ECUACIÓN DE DE GLEE - JACOB 40
6.7 USO DE LA ECUACIÓN DE DUPUIT - FORCHHEIMER 41
7 REFERENCIAS 41
2. 2 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS
1 I NT RO D U C CI O N
1 I NT RO D U C CI O N
Una vez determinadas las posibilidades de producción de agua subterránea en una determinada zona, el
siguiente proceso es determinar su adecuada explotación.
Para una adecuada producción de los pozos de explotación de los acuíferos fuente, es necesario determinar el
uso y así caracterizar de manera económica el beneficio de la explotación del recurso.
A continuación, se presentan los diferentes métodos de análisis de pozos en los diferentes tipos de acuíferos
existentes. La intención es mostrar el desarrollo matemático de todas las ecuaciones que gobiernan el
movimiento del agua subterránea en explotación, ya sea bombeo o recarga de acuíferos.
La principal aplicación planteada en este capítulo es la de determinar los radios de influencia de los pozos para
así se necesita determinar que interferencia pueden tener entre ellos. Además con los conceptos explicados, se
tendrá la capacidad de determinar el abatimiento del nivel freático del acuífero en cualquier punto cuando se esta
extrayendo agua.
2 CO N CE P T O S B A SI CO S
2 CO N CE P T O S B A SI CO S
La Figura 1 ilustra un pozo en una formación acuífera. En ella se detallan cada uno de los conceptos definidos a
continuación:
Nivel Estático
Es el nivel de agua presente en la formación acuífera antes de comenzar el bombeo. Este nivel se ve afectado
por efectos meteorológicos (precipitación, infiltración) estacionales o por cargas adicionales (edificaciones), o por
la descarga producida por pozos cercanos.
Nivel Dinámico
También llamada nivel de bombeo, por que es producido cuando comienza la descarga de l acuífero por el pozo.
Este nivel depende del caudal de bombeo, del tiempo de bombeo y de las características hidrogeológicas del
acuífero. También se debe tener en cuenta la técnica desarrollada en el diseño de pozo.
Abatimiento
Bajo condiciones de extracción o inyección de un pozo, la carga hidráulica inicial en cualquier punto del acuífero
cambia. En condiciones de extracción de un pozo, la distancia vertical entre la carga hidráulica inicial en un
punto en el acuífero y la posición baja de la carga hidráulica para el mismo punto es llamado abatimiento. Para
un acuífero libre el nivel del agua en el nivel freático está determinado por la distancia s(x,y,z,t), la cual es el
abatimiento. Para el caso del acuífero confinado, el abatimiento es definido con respecto a la superficie
piezométrica. Este descenso de niveles, define la curva de abatimiento, por lo tanto es claro que el abatimiento
presente su menor valor en lejanías del pozo y el mayor valor en el pozo. La dimensión del abatimiento es la
longitud [L]. El abatimiento es generalmente expresado en metros de agua
3. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 3
Cono de depresión
Pozo
Q Superficie piezométrica
antes del bombeo Al producirse el descenso del nivel estático
z
Superficie del terreno
Superficie piezométrica
al tiempo t
del pozo, se establece un gradiente
hidráulico entre cualquier punto de la
formación y el pozo, originándose un
movimiento radial desde todas las
direcciones hacia el pozo en una forma
simétrica y de tal manera que el caudal Q
Abatimiento
que se extrae del pozo es igual al caudal
Acuífero libre Superficie piezométrica
al tiempo t +∆t
que pasa por cualquier sección del acuífero.
A medida que la velocidad aumenta mayor
Capa filtrante confinate
h
0
será el gradiente hidráulico ya que aumenta
la fricción existente entre el fluido y las
h(r,t)
Acuífero confinado r ∆r
partículas sólidas en contacto; es por eso
b
que lo que se forma alrededor del pozo se le
Q(r) Q(r+∆r) conoce como cono de depresión que sobre
2rw un plano vertical presenta una curva
Lecho impermeable
Datum conocida con el nombre de curva de
abatimiento. La forma, alcance y
Figura 1 Esquema representativo del bombeo de un pozo. profundidad de este cono de depresión
dependerá de las condiciones
hidrogeológicas (transmisividad y coeficiente de almacenamiento del acuífero), del caudal y el tiempo de bombeo
o inyección. En el acuífero confinado el cono de depresión es la representación de la variación de los niveles
piezométricos en tanto que en el acuífero libre es además la forma real de la superficie piezométrica.
Capacidad Específica
Es la relación que existe entre el caudal que se obtiene de un pozo y el abatimiento producido y se expresa en
unidades de caudal por longitud, [L3/T/L]. Este valor es contante para acuíferos confinados y variables para los
acuíferos libres; es un término que representa el grado de eficiencia de un pozo ya que de dos pozos perforados
en una misma formación acuífera, el de menor capacidad específica tendrá menos eficiencia. El grado de
eficiencia de un pozo lo determinaremos con base en la transmisividad y el coeficiente de almacenamiento de la
formación acuífera, (con la cual podremos calcular un valor de la capacidad específica teórica) el valor de la
capacidad específica real medida en el pozo.
3 M O V I M I EN T O N O PE R M A N E N T E
3 M O V I M I EN T O N O PE R M A N E N T E
En 1935 Theis planteó el modelo matemático para describir el movimiento de agua subterránea en acuíferos
homogéneos e isotrópicos. Este modelo describe el flujo transiente en acuíferos bajo condiciones constantes de
extracción de un pozo en acuíferos. A pesar de sus limitaciones tiene muchas aplicaciones en la hidráulica de
pozos. Trata el pozo como una línea origen y no toma en consideración el agua obtenida del almacenamiento
dentro del pozo. Papadopulos y Cooper generalizaron la ecuación de Theis considerando los efectos de
almacenamiento.
4. 4 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS
3.1 POZOS DE PEQUEÑO DIÁMETRO
3.1.1 Acuíferos confinados
3.1.1.1 Consideraciones Básicas
Para el cumplimiento del Modelo de Theis hay que tener en cuenta las siguientes consideraciones
esquematizadas en la Figura 2.
Acuífero homogéneo e isotrópico
Acuífero horizontal y de espesor constante, b
Descarga contante, Q
No hay goteo
Acuífero de extensión infinita
El diámetro del pozo es infinitesimalmente pequeño, es decir que no existe almacenamiento en el pozo
El pozo penetra todo el acuífero
Antes del bombeo la carga piezométrica en el acuífero en la misma en cada punto del acuífero
La descarga del pozo es obtenida exclusivamente del almacenamiento del acuífero
El agua es inmediatamente liberada del almacenamiento del acuífero al declinar la carga hidráulica
El almacenamiento en el acuífero es proporcional a la carga hidráulica
Pozo
Q Superficie piezométrica
antes del bombeo
z
Superficie piezométrica
Superficie del terreno al tiempo t
Superficie piezométrica
al tiempo t +∆t
h
Capa confinate 0
h(r,t)
r
Acuífero confinado ∆r
b
Q(r) Q(r+∆r)
2rw
Datum
Lecho impermeable
Figura 2. Flujo inestable en un pozo que penetra totalmente en un acuífero
confinado. Sección transversal vertical.
3.1.1.2 Ecuación de Movimiento
Utilizando la Ecuación de Movimiento que gobierna en flujo en acuíferos isotrópicos:
∂ 2h ∂ 2h ∂ 2 h S ∂h
K 2 + 2 + K 2 =
∂x [3.1]
∂y ∂z T ∂t
Donde T es la transmisividad, S el coeficiente de almacenamiento y K es la conductividad hidráulica.
5. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 5
Sabiendo que T = K b y S = S s b , analizando el problema bidimensional, se obtiene la siguiente
ecuación:
∂ 2h ∂ 2h S ∂ h
+ = [3.2]
∂x 2 ∂y 2 T ∂t
Utilizando coordenadas polares, donde r = x 2 + y 2 y considerando la ley de Darcy, que en términos de
∂h(r, z, t )
caudal es definida por v r = v r (r, z, t ) = −K , donde K es la conductividad hidráulica en dirección
∂r
radial.
La tasa total del flujo a una distancia r del pozo es:
∂h
Q(r ) = A r v r = −(2 π r b ) qr = 2 π r T [3.3]
∂r
La carga piezométrica una distancia r es h(r,t); luego de un tiempo ∆t, la carga piezométrica es será h(r,t+∆t) y la
disminución de la carga piezométrica es:
∆h = h(r, t + ∆t ) - h(r, t ) [3.4]
Usando la figura 3.1, y aplicando la ecuación de continuidad:
[Q(r ) − Q(r + ∆r )]∆t = 2 π r ∆r ∆h S [3.5]
∂Q ∂h
y como ∆r → 0 y ∆t → 0 =2π r S [3.6]
∂r ∂t
Reemplazando la ecuación 3.3 en la ecuación 3.6, se obtiene:
1 ∂ ∂h S ∂h
r =
r ∂r ∂r T ∂t
[3.7]
∂ 2h 1 ∂ h S ∂ h
+ =
∂r 2 r ∂r T ∂t
Si el abatimiento está definido por: s = h0 − h
∂ 2 s 1 ∂s S ∂s
+ = [3.8]
∂r 2 r ∂r T ∂t
Que es la ecuación de movimiento en flujo transitorio radial.
3.1.1.3 Condiciones de Frontera
Según las suposiciones de Theis, las condiciones son las siguientes:
6. 6 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS
Para el Abatimiento
Cuando no se está extrayendo agua en cualquier punto del acuífero el abatimiento es nulo; es decir:
∀ r, en t=0, s(r,t) = s(r,0) = 0
En condiciones de extracción de agua, se supone que en la distancia más lejana del pozo, el abatimiento es nulo;
es decir: ∀ t>0, en un radio r = ∞ , s(r,t) = s(r, ∞ ) = 0.
Descarga
Si se tiene que en cuenta que sólo se produce abatimiento cuando se extrae agua, se concluye que:
Cuando t < 0, Q=0
Cuando t ≥ 0, Q = constante
Ahora, como la tasa de bombeo es constante en el pozo, de la ecuación 3.6, se tiene que para t ≥ 0 :
∂s Q
lim r = − [3.9]
r →0 ∂ r 2π T
3.1.1.4 Solución de la Ecuación de Movimiento
Para encontrar la solución se aplica el método de separación de variables (Piskunov, 1977); es decir se busca la
solución particular de la ecuación 3.8 en forma de un producto de dos funciones:
s(r, t ) = f (r ) ⋅ g(t ) [3.10]
Remplazando está función en la ecuación 3.8 se obtiene:
1 S
f ′′g + f ′g = fg′
r T
[3.11]
f ′′ 1 f ′ S g′
+ =
f r f T g
Al demostrar que son separables, estás funciones son iguales a una constante, que se llamará λ . Entonces
igualando λ al lado izquierdo de la ecuación 3.11:
f ′′ 1 f ′
+ =λ
f r f
1
f ′′ + f ′ = fλ
r
1
f ′′ + f ′ − fλ = 0
r
Al solucionar por operador cuadrático:
1
D2 + D − λ = 0
r
7. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 7
D=−
1
2r
[
1 ± 1 + 4 λr 2 ]
Pero dependiendo del valor que tome el discriminante, se obtendrán las diferentes raíces, así:
i) Si 1 + 4λr 2 > 0 , existen 2 raíces reales diferentes: D = −
1
2r
[
1 ± 1 + 4 λr 2 . ]
− 2 r 1 + 1 + 4 λr 2 − 2 r 1 − 1 + 4 λr 2
Entonces la solución particular es: f (r ) = C1e
1 1
+ C 2e
1
ii) Sí 1 + 4λr 2 = 0 , existen 2 raíces reales iguales: D = −
2r
Entonces la solución particular es: f (r ) = C1e
1 1
− 2r − 2r
+ C2 r e .
iii) Si 1 + 4λr 2 < 0 , existen 2 raíces imaginarias diferentes: D = −
1
2r
[ (
1 ± i − 1 + 4 λr 2 )]
Entonces la solución particular es:
f (r ) = e
1
− 2r 1
(
2 1
)
C1 cos − 2r − 1 + 4λr + C 2 sen − 2r − 1 + 4λr
2
( ) .
Igualando ahora al lado izquierdo de la ecuación 3.11 a λ: λ
S g′
=λ
T g ,
S g′
∫T g ∫ , y luego despejando g(t) se llega a:
= λ
Integrando:
S
ln(g) = λt + M
T
g(t ) = P e S , donde P = e M = constante
λTt
Por lo tanto, como de f se obtienen tres soluciones, la solución de la ecuación 3.8 puede tener tres formas:
− 2 r 1 + 1 + 4 λr 2 − 2 r 1 − 1 + 4 λr 2 λSTt
s(r , t ) = C1 (λ )e + C 2 (λ )e
1 1
i)
e
ii) (
s(r , t ) = C1 (λ )e
1
− 2r
+ C 2 (λ ) r e
1
− 2r
)e λTt
S
(λSTt − 21r )
iii) s(r , t ) = e
1 2
( 1
)
C1 (λ ) cos − 2r − 1 + 4λr + C 2 (λ ) sen − 2r − 1 + 4λr
2
( )
Para cada valor de λ , las constantes arbitrarias C1, C2 y P tienen valores determinado; por eso C1 y C2; son
funciones de λ y absorben el valor de P. También se aclara que la suma de las tres formas de solución son
soluciones de la ecuación 3.8, debido a su linealidad..
8. 8 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS
3.1.1.5 Solución de Theis
Para encontrar la solución y el valor de las constantes, Theis reemplazó las condiciones iniciales y de frontera en
las anteriores combinaciones, y así encontró la función de abatimiento por analogía de transferencia de calor en
sólidos:
A
s(r, t ) = e −u [3.12]
t
r 2S
Donde A es una constante y u = . Para t>0, el volumen total V, de agua tomado del acuífero es:
4tT
∞
V= ∫
0
2 π r s S dr [3.13]
Reemplazando 3.12 en 3.13:
∞ A −u
V= ∫0
2 πr
t
e S dr
[3.14]
r2s
∞ A −
V= ∫0
2 π r e 4tT S dr
t
Al solucionar esta integral se tiene que:
r=∞
r 2s
r 2s
2 −
r dr = 2 π S − Tt e 4tT
A ∞ − A
V =2πS ∫ e 4tT
t S [3.15]
t 0
r =0
De donde:
V =4πTA
V
A= [3.16]
4πT
Reemplazando 3.16 en 3.12 se tiene que:
r 2S
−
V
s(r, t ) =
4Tt [3.17]
e
4πTt
El Volumen de agua V, del acuífero es removido durante el período de tiempo dt. Así que V=Q t. y dV=Q dt, y
entonces:
9. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 9
r 2S
−
dV
ds (r, t ) =
4Tt [3.18]
e
4πTt
Si el agua es bombeada a una tasa de Q por unidad de tiempo de t=0 a t=t en el origen por integración se
obtiene:
r 2S
Q dt − 4Tt
ds (r, t ) = e [3.19]
4πT t
r 2S
t
Q dt − 4Tt
s(r, t ) = ∫t e [3.20]
4πT 0
r 2S
Reemplazando: u = , entonces:
4Tt
∞
Q e -u
s(r, t ) = h0 - h(r, t ) =
4πT∫ u
du [3.21]
u
Donde:
∞
e −u
∫ u du = −Ei(− u) = W(u)
u
[3.22]
La integral exponencial se conoce como la función de pozo de Theis, y su solución está dada por una serie de
potencias:
u2 u3 u4
W (u) = −0.5772 − ln(u) + u − + − +K
2.2! 3.3! 4.4! [3.23]
n
n u
∞
W (u) = −0.5772 − ln(u) − ∑ (− 1)
n=1 n.n!
Ahora se puede definir el abatimiento en términos de la curva de Theis:
Q
s(r, t ) = W (u) [3.24]
4πT
La Figura 3 muestra la curva típica de Theis, útil para determinar las parámetros hidrogeológicos de acuíferos
confinados usando datos de pruebas de bombeo. También se pueden trazar isolíneas de tiempo graficando el
abatimiento en función del radio e isolíneas de radio, graficando el abatimiento en función del tiempo.
10. 10 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS
Figura 3 Curva de Theis. (Batu, 1998)
La ecuación es aplicable a acuíferos libres si el abatimiento es pequeño comparado con el espesor b de la
formación. (Batu, 1998)
2
r
La ecuación se cumple para la siguiente condición: t > 250 c , donde rc es el radio del pozo, por no tener en
T
cuenta el almacenamiento en el pozo. Si los parámetros K, b, S y Q son conocidos, se puede determinar el
abatimiento de la carga hidráulica en el acuífero confinado a cualquier distancia r del pozo, en cualquier tiempo.
Lo único necesario es determinar el valor del parámetro u y así encontrar el valor de la función del pozo de Theis,
W(u).
Figura 4 Isolíneas de tiempo y de radio en función del abatimiento. (Batu, 1998)
11. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 11
3.1.1.6 Ecuación de Jacob
Cooper & Jacob, 1946, tomaron en cuenta que cuando u,u < 0.01, la suma de los términos más allá de ln (u), en
la ecuación 3.23, no es significativa. Los valores de u decrecen cuando el tiempo se incrementa y cuando la
distancia radial r decrece. Bajo esas condiciones:
Q
s(r, t ) ≅ [− 0.5772 − ln(u)] [3.25]
4πT
s(r, t ) ≅
Q
[ln(0.5614) − ln(u)] = Q ln (0.5614) [3.26]
4πT 4 πT
u
r 2S
Reemplazando, u =
4 Tt
Q (0.5614) Q 2.25 Tt
s(r, t ) ≅ ln 2 = ln r 2 S [3.27]
4 πT r S 4 πT
4Tt
La ecuación 3.27 es conocida como la ecuación de Jacob. Que expresada en términos del logaritmo en base 10
es igual a:
2.302 Q 2.25 Tt
s(r, t ) ≅ log [3.28]
4πT r 2S
Como primera aplicación de la ecuación de Jacob se puede usar para obtener el radio se influencia, cuando el
abatimiento es nulo. Entonces despejando el Radio se obtiene
Q 2.25 Tt
0= ln R 2 S
4πT
2.25 Tt
0 = ln
R 2S
1
Tt 2
[3.29]
R = 1.5
S
La ecuación de Jacob tiene la ventaja, respecto a la ecuación de Theis, de no requerir la consulta o tablas de la
función de pozo de Theis.
3.1.1.7 Capacidad Específica y Estimación de Transmisividad
La capacidad específica, CE de un pozo es definida como la relación de su descarga con su abatimiento total
[CE=Q/s]; en otras palabras es el caudal por unidad de abatimiento. Se puede desarrollar una muy simple
ecuación para estimar la transmisividad a partir de la capacidad específica, usando la ecuación de Jacob. Esta
derivación está basada en un diámetro medio del pozo en un período promedio de bombeo, y valores típicos del
coeficiente de almacenamiento y producción específica.
12. 12 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS
Para acuíferos confinados, Driscoll en 1986 (Batu, 1998) asumió los siguientes valores típicos:
Tabla 1 Valores típicos para acuíferos confinados según Driscoll. (Batu, 1998)
Parámetro Valor Unidades
Tiempo, t 1 Día
Radio del pozo, rw 0.152 m
Producción, S 0.001 Adimensional
Transmisividad, T 373 m2/día
Sustituyendo estos valores en la ecuación de Jacob, se obtiene:
[ s ] = CE [m ] = T [m día]
Q m
3
2
2
[3.30]
s [m]
w
día 1.385
T m[2
día
] = 1.385 CE [m día]
2
[3.31]
Para un acuífero libre, con producción específica Sy=0.075, como valor típico, y el resto de valores mostrados en
la tabla 1, se produce la siguiente relación:
[ s ] = CE [m ] = T [m día]
Q m
3
2
2
[3.32]
s [m]
w
día 1.042
T m[2
día
] = 1.042 CE [m día] 2
[3.31]
Si se tienen múltiples pozos, la información obtenida de las anteriores ecuaciones puede usarse para estimar la
conductividad hidráulica promedio (Kmed [m/d]) del acuífero, mediante la siguiente relación:
K med =
∑K L n n
[3.32]
∑L n
Donde K es la conductividad de cada pozo, n es el número del pozo y L es la longitud del filtro.
3.1.1.8 Ecuación de Chen
En 1984, Chen extendió la ecuación de Theis, para acuíferos de extensión lateral finita, como islas o meandros.
Determinó que la distancia en la cual el abatimiento es nulo, en condiciones de bombeo, es conocida, y la llama
R. Es decir: s(R,t) = 0, donde R es la es la distancia radial donde la energía es cero. La solución encontrada se
conoce como la Ecuación de Chen (Batú, 1998):
Q
s(r, t ) = [W(u) − W(U) + 2I] [3.33]
4π T
Donde:
R 2S
U=
4Tt
13. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 13
u 12
J0 χn U χ2 (1 − x )
∞ U
1 − x − n 4U dx
e
I=∑ ∫
n=0 χn J1 (χn ) 0 x
χn = R βn
Donde:
J0, J1: función de Bessel de orden cero y uno.
βn: es la enésima raíz que satisface J0(R χn) = 0.
4π T s
La Figura 5 muestra la gráfica u contra Q , que es la usada para efectos prácticos. Se nota que cuando
R 2S
U ≥ 4, la solución es igual a la de Theis. En otras palabras, sólo cuando t ≤ , se justifica usar este
16T
modelo.
Solución de Theis
Figura 5 Curva de Chen. (Batu, 1998)
3.1.2 Acuíferos Semiconfinados
Hantush y Jacob en 1955 (Batu, 1998), desarrollaron el modelo aplicable a acuíferos semiconfinados, isotrópicos
y homogéneos, ilustrado en la Figura 6. Estos dos investigadores tuvieron en cuenta las siguientes suposiciones:
14. 14 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS
Superficie piezométrica
antes del bombeo
Q
Superficie piezométrica
durante el bombeo
Superficie del terreno (cono de depresión)
z
Nivel Estático
s
sw
r
Superficie piezométrica
al tiempo t +∆t
Qv
Capa confinante
H
hw
Acuífero
confinado
b
2rw
Lecho impermeable
Figura 6. Acuífero semiconfinado
Acuífero homogéneo e isotrópico
Acuífero horizontal y de espesor constante, b, y su capa confinante posee un espesor constante b’ y una
conductividad hidráulica vertical K’.
Descarga contante, Q
Acuífero de extensión infinita
El diámetro del pozo es infinitesimalmente pequeño, es decir que no existe almacenamiento en el pozo
El pozo penetra todo el acuífero
La capa confinante no almacena agua
El flujo en el acuífero es horizontal y el goteo es vertical
Inicialmente, la tabla de agua posee la misma altura de la carga hidráulica del acuífero y es igual a h0.
La ecuación diferencial parcial para flujo radial, fue obtenido por Jacob en 1946, es la ecuación que gobierna el
movimiento en este tipo de acuíferos. Aplicando el principio de continuidad, par el anillo dado, se tiene:
[Q(r ) − Q(r + ∆r )]∆t + Q v ∆t = (2πr )∆r ∆h S [3.34]
Q v = A v = (2πr∆rb )v v [3.35]
h −h
Usando la Ley de Darcy: v v = K' 0 [3.36]
b'
15. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 15
Y combinado las anteriores ecuaciones, se concluye que:
[Q(r ) − Q(r + ∆r )]∆t + (2πr∆r )K' h0 − h ∆t = (2πr )S∆r∆h [3.37]
b'
Como ∆r y ∆s, tienden a cero y aplicando la definición de la derivada, se llaga a:
∂Q h −h ∂h
+ (2πr )K ' 0 = (2πr )S [3.38]
∂r b' ∂t
Y sabiendo que el abatimiento es el la diferencia de niveles, s=h0-h y que el caudal en el acuífero está dado por:
∂h
Q(r ) = 2πrT [3.39]
∂r
La ecuación es igual a:
∂ 2 s 1 ∂s K ' S ∂s
2
+ − s= [3.40]
∂r r ∂r Tb' T ∂t
Tb'
Y sí se reemplaza: B = , la ecuación toma la forma:
K'
∂ 2 s 1 ∂s s S ∂s
2
+ − 2 = [3.41]
∂r r ∂r B T ∂t
Las condiciones iniciales y de frontera planteadas, para la cabeza y el abatimiento son:
h(r ,0 ) = h0 , para todo r
s(r ,0 ) = 0 , para todo r
h(∞, t ) = h0 , para todo t
s (∞, t ) = 0 , para todo t
Las condiciones de descarga son:
Q = 0, cuando t=0
Q = constante, cuando t ≥ 0
∂h Q
lim r =
r→0
∂r 2πT , para t ≥ 0
∂h Q
lim s = −
r→0
∂r 2πT , para t ≥ 0
Al igual que Theis, Hantush y Jacob encontraron la solución a la ecuación de movimiento, la cual es:
Q r
s(r , t ) = W u, [3.42]
4 πT B
16. 16 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS
r
W u,
Donde B es la función de pozo para acuíferos semiconfinados de Hantush y Jacob. Está función
describe una serie, cuya expresión es:
r
2
−u − B
u
∞ [3.43]
r 1
u, = ∫ e
du
B u u
r 2S
Además, u = . La Figura 7 tabula los valores de la función de pozo, que también están en tablas en libros
4 Tt
de matemáticas avanzadas e hidráulica de pozos.
Figura 7. Curva de Hantush y Jacob. (Batu, 1998)
3.1.3 Acuíferos Libres
En 1972, Neuman, aprovechando desarrollos realizados por Boulton (1954), (Batu, 1998) simplifico la ecuación
de movimiento en acuíferos libre, ilustrados en la Figura 8. Las consideraciones que él tuvo en cuenta son:
17. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 17
Q
Superficie del terreno
z
Nivel Estático
s
sw
FS
r
Superficie piezométrica
antes del bombeo
Superficie piezométrica
al tiempo t +∆t
Superficie piezométrica
durante el bombeo
(cono de depresión)
Kz
A1
Kr
Acuífero ξ H
b libre
2rw
A2 Datum
Lecho impermeable
Figura 3.7 Flujo a un pozo en un acuífero libre
infinito
La tasa de bombeo es contante, Q
El diámetro del pozo es infinitamente pequeño
El pozo penetra completamente en el acuífero
En la zona saturada del acuífero , la ley de Darcy se cumple siempre
El acuífero tiene extensión lateral infinita
El material del acuífero es homogéneo pero anisotrópico, y su principal conductividad hidráulica está
orientada paralela a los ejes coordenados
El agua es bombeada por compactación del acuífero, expansión del aguay drena por gravedad de la
superficie libre
El pozo puede ser tratados como una línea hundida
El abatimiento de la tabla de agua es pequeño comparado con el espesor de la zona saturada
Los efectos de capilaridad son despreciables
La ecuación de movimiento fue plantada en el capítulo 7 y es:
∂ 2 s K r ∂s ∂ 2 s S ∂s
Kr 2 + + Kz 2 = , 0<z<ξ [3.44]
∂r r ∂r ∂z T ∂t
La posición de la superficie libre de los acuíferos libres cambia en el espacio bajo condiciones de flujo transiente,
por este motivo, la superficie libre es tratada como una frontera en movimiento. Bajo esta concepción, la frontera
de la región de flujo, consiste de tres partes complementarias, mostradas en la Figura 8: La frontera de carga
prescrita, A1, la frontera de flujo prescrito, A2 y frontera de la superficie libre, FS. Las otras fronteras tienden al
infinito. La pared del pozo se incluye en A1. Las condiciones iniciales para abatimiento, s(r,z,t) y espesor
saturado ξ(r,t), respectivamente son:
18. 18 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS
s(r,z,0) = 0
ξ(r,0) = b
∂s(r ,0, t )
La condición de frontera del abatimiento en el infinito es s (∞, z, t ) = 0 y en la frontera A2 es = 0.
∂z
La condición de tasa de bombeo constante Q en el pozo está dada por la siguiente expresión:
∞
∂s Q
lim ∫ r dz = − [3.45]
r →0
0
∂r 2πK r
Neuman, simplificó la ecuación de movimiento, llegando a la siguiente expresión:
∂ 2 s 1 ∂s ∂ 2s 1 ∂s
2
+ + KD 2 = , 0<z<b [3.46]
∂r r ∂r ∂z α s ∂t
Donde:
Kz K K
KD = , αs = r , α y = z [3.47]
Kr Ss Sy
∂s(r , b, t ) 1 ∂s(r , b, t )
=− [3.48]
∂z αy ∂t
La solución encontrada por Neuman, para el abatimiento es:
[ ]
∞
Q ∞
s(r , z, t ) = ∫ 4 xJ0 x (K D ) 2 ω0 (x ) + ∑ ωn (x )dx
1
[3.49]
4 πT 0 n =1
Donde J0 es la función de Bessel de primera clase de orden cero y
ω0 (x ) =
{1 − exp[− t K (x s D
2
− β0
2
)]}cosh(β z b )
0 D D
− (1 + σ )β − (x ) bσ cosh(β b )
2 2 2 2 2
2
x 0 + β0 D
0 D
ω0 (x ) =
{1 − exp[− t K (x s D
2
− βn
2
)]}cosh(β z b )
n D D
− (1 + σ )β − (x ) bσ cosh(β b )
2 2
2 2 2 D
2
x n + βn n D
Tt Tt b z S
ts = 2 , ty = 2
, b D = , zD = , σ =
Sr S yr r b Sy
Las Figura 9 y 10 muestran la función de pozo de Neuman, en función del abatimiento relativo y el tiempo
relativo.
19. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 19
is
The
a de
Curv
Figura 9 Función de Pozo de Neuman. (Batu, 1998)
de
Th e is
C u rva
Figura 10 Función de Pozo de Neuman. (Batu, 1998)
20. 20 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS
3.2 POZOS DE GRAN DIÁMETRO
Los pozos de pequeño diámetro generalmente varían entre 0.05 m y 0.25 m. Como se mostró anteriormente,
esos son representados por una línea en los modelos matemáticos. Esta aproximación es válida para los pozos
en este rango de diámetros, pero inapropiada para pozos con un diámetro mayor. En particular, los radios de
pozos excavados pueden ser de
Superficie piezométrica
antes del bombeo
0.5 m a 2 m o más.
Q
Superficie piezométrica La teoría de Theis asume que el
durante el bombeo
Superficie del terreno
z
(cono de depresión) pozo es una línea en el origen.
Esta suposición no tiene en
cuenta los efectos significativos
Nivel Estático de almacenamiento. Los efectos
s
de este almacenamiento en el
sw pozo, llegan a ser importantes
cuando la transmisividad y el
r
coeficiente de almacenamiento
Superficie piezométrica
del acuífero son pequeños o
rc
al tiempo t +∆t cuando diámetro del pozo de
bombeo es grande.
Papadopulos y Cooper (1967)
Capa confinante
desarrollaron soluciones
analíticas en y alrededor de
Acuífero confinado
pozos de gran diámetro en
acuíferos confinados
b homogéneos e isotrópicos,
2rw tomando en cuenta los efectos
del almacenamiento dentro del
pozo. Después, Moensch (1985)
Lecho impermeable
presentó modelos matemáticos
que combinaron los acuíferos
Figura 11 Esquema representativa de un pozo de gran diámetro. semiconfinados de Hantush
(1985) con la teoría antes
mencionada del flujo en pozos de gran diámetro.
3.2.1 Consideraciones Básicas
La Figura 11 muestra la sección transversal de un pozo de gran diámetro que penetra totalmente un acuífero
confinado. Papadopulos y Cooper (1967) desarrollaron una solución analítica bajo condiciones de explotación
con las siguientes suposiciones:
El acuífero es un homogéneo e isotrópico
El acuífero es horizontal y tiene un espesor constante (b)
La tasa de descarga (Q) del pozo es constante
El acuífero no tiene goteo y es horizontalmente infinito
El pozo penetra totalmente el acuífero
Las pérdidas en el pozo son despreciables
Antes del bombeo, la carga hidráulica en el acuífero es la misma en todos los puntos del acuífero
La descarga de los pozos es derivada exclusivamente del volumen almacenado en el acuífero
El agua es inmediatamente tomada en el bombeo, lo que hace decaer la carga hidráulica
El almacenamiento en el acuífero es proporcional a la carga hidráulica
21. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 21
La Ecuación de Movimiento es la misma ecuación 3.8, con la condición de que el radio, r ≥ rw .
∂ 2 s 1 ∂s S ∂s
+ = [3.34]
∂r 2 r ∂r T ∂t
Donde s es el abatimiento en el acuífero a una distancia r en un tiempo t; r es la distancia radial desde el centro
del pozo; S es el coeficiente de almacenamiento del acuífero; T es la transmisividad y rw es el radio efectivo de
la pared del pozo.
Las condiciones iniciales en el acuífero y el pozo, respectivamente, son:
r ≥ rw , cuando s(r,0) = 0, sw (0) = 0
Las condiciones de frontera son:
s(rw,t) = sw(t)
s( ∞ ,t)= 0
∂s(rw , t ) 2 ∂s w (t )
Almacenamiento dentro del pozo: 2πrw T − πrc = −Q t≥0
∂t ∂t
Donde sw(t) es el abatimiento en el pozo a un tiempo t y rc el radio del pozo en el intervalo sobre el cual el nivel de
agua decae. Las condiciones iniciales muestran que en un comienzo el abatimiento en el acuífero y en el pozo
es cero. La primera condición de frontera indica que el abatimiento en el acuífero, en una cara del pozo es igual
al abatimiento en el pozo. La segunda señala que el abatimiento en el acuífero en el infinito es cero. Finalmente,
se expresa el efecto que tiene la tasa de descarga del pozo, que es iguala la suma de la tasa de flujo de agua
del pozo y la tasa de descenso en el volumen de agua dentro del pozo.
3.2.2 Ecuación de Papadopulos & Cooper
El problema planteado fue resuelto por Papadopulos & Cooper, mediante la transformada de Laplace (Batu,
1998).
Q
s(r, t ) = F (u, α, ρ ) [3.35]
4 πT
Donde
8α C (β)
∞
F (u, α, ρ ) =
π ∫ D(β )β2
dβ [3.36]
0
2 ρ2
−β
C(β) = 1 − e 4u [J0 (βρ )A (β) − Y0 (βρ )B(β )]
[3.37]
A (β) = βY0 (β ) − 2αY1 (β ) [3.38]
B(β) = βJ0 (β ) − 2αJ1 (β ) [3.39]
D(β ) = [A (β)] + [B(β )] − [3.40]
2 2
2
r 2S r S r
u= , α= w2 , ρ = [3.41]
4Tt rc rw
J0 y Y0 son las funciones de Bessel de orden cero y primera clase. Y1 es la función de Bessel de primer orden y
de segunda clase.
22. 22 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS
Abatimiento dentro del Pozo
El abatimiento dentro del pozo es obtenido cuando r = rw y puede ser expresado como:
Q
s(r, t ) = F (u w , α) [3.42]
4 πT
Donde:
F (u w , α) = F (u, α,1) [3.43]
2
rw S
uw = [3.44]
4Tt
Los valores de F (u, α, ρ) son tabulados por integración numérica de la ecuación 3.36. En la Figura 12, los
sw
valores son representados como una familia de cinco curvas de contra 1/uw; una curva para cada uno
Q
4πT
de los cinco valores del parámetro α. La curva de Theis, es también mostrada en la Figura 12, de la que se
obtienen importantes características de F (u, α, ρ) :
El abatimiento predicho por la ecuación de Theis, se aproxima al abatimiento en el pozo de diámetro finito sólo
para valores de tiempo relativamente grandes. Papadopulos (1967) comparó su aproximación con la Theis, así:
10 3 rc αρ 2
F (u, α, ρ ) ≈ W (u) para t > 2.5 , > 10 4 [3.45]
T u
10 2 rc α
F (u w , α ) ≈ W (u w ) para t > 2.5 , > 10 3 [3.46]
T uw
Las aproximaciones en las ecuaciones 3.38 y 3.39, son válidas para ambas condiciones: Para pozos que tienen
un pequeño diámetro o acuíferos de transmisividad relativamente alta, el período definido en las anteriores
ecuaciones es muy pequeño. Así pues, para pozos de gran diámetro y acuíferos de baja transmisividad, este
período es considerablemente largo.
Sí 1/uw llega a ser suficientemente pequeño, las curvas se aproximan a líneas rectas que satisfacen la ecuación:
Qt Volumen de agua descargada Q α
sw = = = [3.47]
πrc
2
Área del pozo 4 πT u w
o
α
F (u w , α ) = [3.48]
uw
23. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 23
Curva de Theis
Figura 12. Curvas de Papadopulos y Cooper (Batu, 1998)
En los primeros períodos, las líneas rectas representan las condiciones bajo la cual todo el agua bombeada es
obtenida del almacenamiento dentro del pozo. Como resultado, los datos que están dentro del tramo de línea
recta, de las curvas tipo, no dan información acerca de las características hidrogeológicas del acuífero.
4 M O V I M I EN T O PE R M A N E N T E
4 M O V I M I EN T O PE R M A N E N T E
Después de largos períodos de bombeo o recarga de un pozo, el flujo de aguas subterráneas alrededor de un
pozo se aproxima al estado estable. Esto significa que la carga hidráulica del pozo en cualquier punto del
acuífero no cambia con el tiempo. El período requerido para alcanzar el estado estable depende de las
características hidráulicas del acuífero. Para los acuíferos menos permeables el período es más largo que para
los altamente permeables.
Las soluciones de estado estable juegan un papel muy importante en el análisis de datos de abatimiento para la
determinación de las características hidráulicas del acuífero y hacer el avalúo de la zona de influencia de un pozo
o una batería de pozos.
4.1 ACUÍFEROS CONFINADOS
4.1.1 Consideraciones Básicas
Thiem (1906) fue el primero en derivar una solución para el flujo hacia un pozo en condiciones estables para
acuíferos confinados con base en las siguientes suposiciones:
24. 24 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS
Acuífero horizontal y con espesor constante
Acuífero homogéneo e isotrópico y de extensión lateral infinita
La carga hidráulica tiene una superficie horizontal antes del bombeo
La ley de Darcy es válida en el acuífero
El agua es instantáneamente removida del almacenamiento proporcionalmente con el decaimiento de la
carga hidráulica
La tasa del bombeo del pozo es contante
El flujo es simétrico con respecto al eje del pozo
La ecuación de movimiento (3.8), en flujo estable se reduce a:
Superficie piezométrica
Q antes del bombeo
Superficie piezométrica
Superficie del terreno durante el bombeo
z (cono de depresión)
Nivel Estático
s
sw
r
Superficie piezométrica
al tiempo t +∆t
Capa confinante
hw H
Acuífero
confinado
b K
2rw
Lecho impermeable
Figura 13 Esquema representativa de un pozo en un acuífero confinado
∂ 2h 1 ∂h S ∂h
+ = T = K rb [4.1]
∂r 2 r ∂r T ∂t
Para condiciones de flujo estable, el término de la derecha tiende a cero, entonces:
∂ 2h 1 ∂ h
+ =0 [4.2]
∂r 2 r ∂r
25. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 25
Es necesario conocer las condiciones de frontera de Dirichlet (primer tipo), con referencia en la Figura 13:
h = hw Carga piezométrica conocida en la frontera del pozo
r = rw Radio del pozo
h=H Nivel de la carga piezométrica antes del bombeo
r=R Radio de influencia del pozo en el cual el abatimiento es cero
4.1.2 Ecuación de Thiem
Utilizando la ecuación de continuidad, a cualquier anillo concéntrico al pozo y teniendo en cuenta que se analiza
el proceso de bombeo, el caudal es negativo (si el pozo fuera de inyección el caudal sería positivo), se tiene que:
− Q = AV = (2πrb ) v r [4.3]
Donde vr es la velocidad radial dada por la Ley de Darcy:
∂h(r , z, t )
v r = v r (r, z, t ) = -K [4.4]
∂r
Entonces:
∂h
Q = 2πrbK [4.5]
∂r
Resolviendo por variables separables:
Q
K∂h = ∂r [4.6]
2πrb
Q ln(r )
h(r ) = +C [4.7]
2πT
Para evaluar C, se aplican las condiciones de frontera:
Si h = hw, entonces r = rw; por lo tanto:
Q ln(rw )
hw = +C
2πT
Q ln(rw )
C = hw −
2π T
Reemplazando la ecuación 4.5, se obtiene la Ecuación de Thiem
Q ln(r ) Q ln(rw )
h(r ) = + hw −
2π T 2π T
Q
h(r ) − h w = [ln(r ) − ln(rw )]
2π T
Q r
h(r ) − hw = ln [4.8]
2 π T rw
Analizando la Ecuación de Thiem se puede concluir que:
26. 26 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS
La carga piezométrica h se incrementa asintóticamente con el incremento de la distancia radial r
La superficie piezométrica no puede ascender sobre h(r).
Es válida sólo en la proximidad de un pozo donde el flujo estable ha sido definido.
Con la Ecuación de Thiem, se puede predecir el Radio de Influencia de un pozo, en términos del abatimiento en
el mismo cuando h = H, r = R,
Q R Q R
h(R ) − h w = ln ∴ H − hw =
r ln
2 π T w 2π T rw
Q R
s = h(R ) − h(rw ) = ln [4.9]
2 π T rw
Esta forma de la ecuación de Thiem, posee las siguientes características:
La distancia R, para la cual el abatimiento es cero, es el radio de influencia del pozo.
El parámetro R tiene que ser estimado antes de la predicción de los abatimientos.
4.2 ACUÍFEROS SEMICONFINADOS
La Figura 14 muestra un pozo que penetra totalmente un acuífero semiconfinado, a través del cual la filtración
proviene de un acuitardo superior. La solución propuesta independientemente por De Glee & Jacob, se basa en
las siguientes suposiciones:
El acuífero es limitado abajo por un lecho impermeable, y arriba por una capa semiconfinate.
Sobre la capa semiconfinante, existe un acuífero libre que tiene una tabla de aguas horizontal, cuya carga
hidráulica es constante (h0). El suministro de agua al acuífero libre es suficiente para mantener h0 constante.
El flujo en la capa semiconfinante es vertical
Las mismas suposiciones del acuífero confinado
Aplicando la ecuación de continuidad a cualquier anillo de radio r, mostrado en la Figura 14 se tiene que:
Q(r + ∆r ) − Q(r ) + (2πr∆r )v v = 0 [4.10]
Donde vv es la velocidad de goteo desde la capa semiconfinate. Si se divide por ∆r y como ∆r tiende a cero, se
llega a:
Q(r + ∆r ) − Q(r )
lim + (2πr )v v = 0
∆r → 0
∆r
∂Q
+ 2πrv v = 0 [4.11]
∂r
La Ley de Darcy por el acuífero semiconfinado, conduce a:
27. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 27
Superficie piezométrica
Q antes del bombeo
Superficie piezométrica
Superficie del terreno durante el bombeo
z (cono de depresión)
Nivel Estático
s
sw
r
Superficie piezométrica
K’ vv al tiempo t +∆t
Capa
b’ semiconfinante
Acuífero hw
b K H0
semiconfinado
2rw
Datum
Lecho impermeable
Figura 14. Esquema representativa de un pozo en un acuífero semiconfinado.
Q(r + ∆r ) − Q(r )
+ (2πr )v v = 0
∆r
∂h
Q(r ) = (2πrb )K
∂r
∂h
Q(r ) = 2πrT [4.12]
∂r
La Ley de Darcy también controla la velocidad de goteo:
h0 − h
v v = K' [4.13]
b'
28. 28 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS
Donde K’ y b’ son la conductividad hidráulica y el espesor de la capa confinante (acuitardo).
Reemplazando 4.12 y 4.13 en 4.10, se obtiene:
∂h
∂ 2πrT
∂r h −h
+ 2πr K' 0 =0
∂r b' ∴ [4.14]
∂ ∂h h 0 − h 1 ∂ ∂h h 0 − h
r + r
= 0∴
r + =0
∂r ∂r B 2
r ∂r ∂r B2
b ⋅ b'⋅K
Donde B 2 = , es llamado factor de filtración. En la misma ecuación b'/K' es conocida como la
K'
resistencia hidráulica.
La ecuación puede ser escrita como una Ecuación de Movimiento ordinaria porque h sólo depende del radio r.
Reemplazando s = h - h0,, en la ecuación:
1 d dh h0 − h 1 d ds s 1 ds d2 s s
r + 2
=0 r + 2 = 0 + 2 − 2 =0
r dr dr B ∴ r dr dr B ∴ r dr dr B ∴
2
ds ds 2 s
r2 2 + r −r 2 = 0 [4.15]
dr dr B
Si r/B=x, entonces r = B x, y dr = B dx,
d2 s ds s d2 s ds
(Bx )2 2 2
+ Bx − B2 x 2 2 = 0 ∴ x 2 2 + x − x 2s = 0 [4.16]
B dx Bdx B dx dx
4.2.1.1 Ecuación de De Glee - Jacob
La ecuación 4.16 es un a ecuación diferencial no lineal no homogénea que se puede solucionar por el método de
Cauchy – Euler. Este método consiste en aplicar la regla de la cadena luego de hacer el siguiente reemplazo:
u = ln(x ) .
Entonces:
e u = x ∴ e 2u = x 2
Ahora se encontrarán las derivadas:
du 1
=
dx x
ds ds du 1 ds
= =
dx du dx x du
d2 s d 1 ds 1 ds 1 d2 s du
= =− 2 +
dx 2 dx x du x du x du2 dx
d2 s 1 ds 1 d2 s 1 d2 s ds
=− 2 + 2 = 2 2 −
dx 2 x du x du2 x du du
Reemplazando en la ecuación 4.16, se llega a:
29. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 29
d2 s ds ds
2
− + = e 2u s ∴ s ′′ − x 2 s = 0 [4.17]
du du du
Ahora se soluciona esta ecuación por medio del operador cuadrático, explicado en el numeral 3.1.1.4,
obteniendo las raíces D = ± x .
Entonces, la solución es igual a:
s = C1 e x + C 2 e − x
r r
r −
Que al reemplazar el valor de x = , se obtiene: s = C1e B + C 2 e B . Para encontrar el valor de las
B
constantes, se sabe que cuando el radio tiende al infinito, el abatimiento es nulo, y que cuando el radio es igual al
radio del pozo, el caudal es constante. Entonces: si s(r) = s( ∞ ) = 0, entonces 0 = C1 (∞ ) , pero esto es
indeterminado, lo cual no permite concluir el valor de C1. Es decir que la solución planteada no es compatible
con las condiciones de frontera dadas. Sólo se sabe que las soluciones son linealmente independientes, por lo
que usando las función de Bessel se pueda encontrar la solución compatible.
r r
s = C1I 0 + C 2 I 0 − [4.18]
B B
Donde:
r
I 0 : es el modificador de la función de Bessel de orden 0, de primera clase.
B
r r
I 0 − = K 0 : es el modificador de la función de Bessel de orden 0, de segunda clase, así que la
B B
solución queda definida como:
r r
s = C 1 I 0 + C 2K 0 [4.19]
B B
Los valores de los modificadores de Bessel están ya tabulados, y se pueden encontrar en libros de Cálculo
Avanzado.
Con las condiciones de frontera antes mencionadas, se concluye que: I 0 (∞ ) = ∞, K 0 (∞ ) = 0 , así que C1 es
igual a cero.
Ahora cuando r = rw:
∂s
Q = −2πrwbK
dr
r ∂s ∂ r 1 r r
Si s (r ) = C 2K 0 entonces, = C 2 K 0 = C 2 K 1 , donde K 1 , es el operador de
B ∂r ∂r B B B B
la función de Bessel de primer orden de segunda clase.
30. 30 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS
1 r Q
Q = 2πrw T C 2K 1 w
B ∴ C2 =
B 1 r
2πrw T K 1 w
B
B
Y reemplazando el valor de la constante, se tiene que:
r
K0
Q B
s= [4.20]
2πT rw rw
K1
B B
La ecuación 4.20 representa la Ecuación de DeGlee – Jacob, para acuíferos semiconfinados. Está ecuación
rw r r
puede simplificarse para usos prácticos; si < 0.01 , se puede aproximar el factor: w K 1 w ≅ 1 , y
B B B
entonces la ecuación 4.18 se puede escribir como:
Q r
s= K0 [4.21]
2πT B
r
Según Hantush (Batu, 1998), si ≤ 0.05 la ecuación de De Glee - Jacob se puede escribir como:
B
2.303 Q 1.12 B
s(r ) ≅ log [4.22]
2πT r
4.3 ACUÍFEROS LIBRES
Dupuit y Forchheimer derivaron la expresión sin reconocer quien la hizo primero, por esta razón lleva ambos
nombres. Esta ecuación es la simple ecuación para acuíferos libres.
4.3.1 Consideraciones Básicas
La Figura 15 muestra un pozo que penetra completamente el acuífero libre. Dupuit y Forchheimer encontraron
independientemente la solución para la carga piezométrica con base en las siguientes suposiciones:
El acuífero es homogéneo e isotrópico y de extensión infinita
La tabla de aguas es horizontal antes del bombeo
La ley de Darcy es valida para el flujo en el acuífero
El agua es instantáneamente removida del almacenamiento, como la carga piezométrica decae.
La tasa de bombeo del pozo es constante
Las condiciones de Dupuit son validas.
El flujo es simétrico, respecto al eje del pozo. La filtración de las paredes del pozo es despreciable y el
acuífero recibe una tasa constante de recarga.
Se desprecian las pérdidas en el pozo, H0 =Hw