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CAPITULO   8
                       HIDRAULICA DE POZOS
                               LEONARDO DAVID DONADO GARZON

                                   TABLA DE CONTENIDO
                                                                   Pág.

1 INTRODUCCION                                                       2



2 CONCEPTOS BASICOS                                                  2



3 MOVIMIENTO NO PERMANENTE                                           3

3.1   POZOS DE PEQUEÑO DIÁMETRO                                      4
3.2   POZOS DE GRAN DIÁMETRO                                        20

4 MOVIMIENTO PERMANENTE                                             23

4.1   ACUÍFEROS CONFINADOS                                          23
4.2   ACUÍFEROS SEMICONFINADOS                                      26
4.3   ACUÍFEROS LIBRES                                              30

5 PRINCIPIO DE SUPERPOSICION                                        34

5.1   CASO DE DOS POZOS                                             34
5.2   MÉTODO DE LAS IMÁGENES                                        35

6 APLICACIONES                                                      38

6.1   USO DE LA ECUACIÓN DE THEIS                                   38
6.2   USO DE LA ECUACIÓN DE JACOB                                   39
6.3   USO DE LA ECUACIÓN DE CHEN                                    39
6.4   USO DE LA ECUACIÓN DE PAPADOPULOS & COOPER                    39
6.5   USO DE LA ECUACIÓN DE THIEM                                   40
6.6   USO DE LA ECUACIÓN DE DE GLEE - JACOB                         40
6.7   USO DE LA ECUACIÓN DE DUPUIT - FORCHHEIMER                    41

7 REFERENCIAS                                                       41
2                                                          CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS




1 I NT RO D U C CI O N
1 I NT RO D U C CI O N

Una vez determinadas las posibilidades de producción de agua subterránea en una determinada zona, el
siguiente proceso es determinar su adecuada explotación.

Para una adecuada producción de los pozos de explotación de los acuíferos fuente, es necesario determinar el
uso y así caracterizar de manera económica el beneficio de la explotación del recurso.

A continuación, se presentan los diferentes métodos de análisis de pozos en los diferentes tipos de acuíferos
existentes. La intención es mostrar el desarrollo matemático de todas las ecuaciones que gobiernan el
movimiento del agua subterránea en explotación, ya sea bombeo o recarga de acuíferos.

La principal aplicación planteada en este capítulo es la de determinar los radios de influencia de los pozos para
así se necesita determinar que interferencia pueden tener entre ellos. Además con los conceptos explicados, se
tendrá la capacidad de determinar el abatimiento del nivel freático del acuífero en cualquier punto cuando se esta
extrayendo agua.


2 CO N CE P T O S B A SI CO S
2 CO N CE P T O S B A SI CO S

La Figura 1 ilustra un pozo en una formación acuífera. En ella se detallan cada uno de los conceptos definidos a
continuación:

    Nivel Estático

Es el nivel de agua presente en la formación acuífera antes de comenzar el bombeo. Este nivel se ve afectado
por efectos meteorológicos (precipitación, infiltración) estacionales o por cargas adicionales (edificaciones), o por
la descarga producida por pozos cercanos.

    Nivel Dinámico

También llamada nivel de bombeo, por que es producido cuando comienza la descarga de l acuífero por el pozo.
Este nivel depende del caudal de bombeo, del tiempo de bombeo y de las características hidrogeológicas del
acuífero. También se debe tener en cuenta la técnica desarrollada en el diseño de pozo.

    Abatimiento

Bajo condiciones de extracción o inyección de un pozo, la carga hidráulica inicial en cualquier punto del acuífero
cambia. En condiciones de extracción de un pozo, la distancia vertical entre la carga hidráulica inicial en un
punto en el acuífero y la posición baja de la carga hidráulica para el mismo punto es llamado abatimiento. Para
un acuífero libre el nivel del agua en el nivel freático está determinado por la distancia s(x,y,z,t), la cual es el
abatimiento. Para el caso del acuífero confinado, el abatimiento es definido con respecto a la superficie
piezométrica. Este descenso de niveles, define la curva de abatimiento, por lo tanto es claro que el abatimiento
presente su menor valor en lejanías del pozo y el mayor valor en el pozo. La dimensión del abatimiento es la
longitud [L]. El abatimiento es generalmente expresado en metros de agua
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS                                                                                               3


                                                                                        Cono de depresión
                                       Pozo
                                 Q            Superficie piezométrica
                                              antes del bombeo                                Al producirse el descenso del nivel estático
                                z
      Superficie del terreno
                                                          Superficie piezométrica
                                                          al tiempo t
                                                                                              del pozo, se establece un gradiente
                                                                                              hidráulico entre cualquier punto de la
                                                                                              formación y el pozo, originándose un
                                                                                              movimiento radial desde todas las
                                                                                              direcciones hacia el pozo en una forma
                                                                                              simétrica y de tal manera que el caudal Q
      Abatimiento
                                                                                              que se extrae del pozo es igual al caudal
         Acuífero libre                            Superficie piezométrica
                                                   al tiempo t +∆t
                                                                                              que pasa por cualquier sección del acuífero.
                                                                                              A medida que la velocidad aumenta mayor
      Capa filtrante confinate
                                                                                   h
                                                                                    0
                                                                                              será el gradiente hidráulico ya que aumenta
                                                                                              la fricción existente entre el fluido y las
                                                                                       h(r,t)



             Acuífero confinado                  r                  ∆r
                                                                                              partículas sólidas en contacto; es por eso
     b
                                                                                              que lo que se forma alrededor del pozo se le
                                                         Q(r)              Q(r+∆r)            conoce como cono de depresión que sobre
                              2rw                                                             un plano vertical presenta una curva
         Lecho impermeable
                                                                                   Datum      conocida con el nombre de curva de
                                                                                              abatimiento.      La forma, alcance y
                Figura 1 Esquema representativo del bombeo de un pozo.                        profundidad de este cono de depresión
                                                                                              dependerá        de      las     condiciones
hidrogeológicas (transmisividad y coeficiente de almacenamiento del acuífero), del caudal y el tiempo de bombeo
o inyección. En el acuífero confinado el cono de depresión es la representación de la variación de los niveles
piezométricos en tanto que en el acuífero libre es además la forma real de la superficie piezométrica.

     Capacidad Específica

Es la relación que existe entre el caudal que se obtiene de un pozo y el abatimiento producido y se expresa en
unidades de caudal por longitud, [L3/T/L]. Este valor es contante para acuíferos confinados y variables para los
acuíferos libres; es un término que representa el grado de eficiencia de un pozo ya que de dos pozos perforados
en una misma formación acuífera, el de menor capacidad específica tendrá menos eficiencia. El grado de
eficiencia de un pozo lo determinaremos con base en la transmisividad y el coeficiente de almacenamiento de la
formación acuífera, (con la cual podremos calcular un valor de la capacidad específica teórica) el valor de la
capacidad específica real medida en el pozo.


3 M O V I M I EN T O N O PE R M A N E N T E
3 M O V I M I EN T O N O PE R M A N E N T E

En 1935 Theis planteó el modelo matemático para describir el movimiento de agua subterránea en acuíferos
homogéneos e isotrópicos. Este modelo describe el flujo transiente en acuíferos bajo condiciones constantes de
extracción de un pozo en acuíferos. A pesar de sus limitaciones tiene muchas aplicaciones en la hidráulica de
pozos. Trata el pozo como una línea origen y no toma en consideración el agua obtenida del almacenamiento
dentro del pozo. Papadopulos y Cooper generalizaron la ecuación de Theis considerando los efectos de
almacenamiento.
4                                                                        CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS


3.1 POZOS DE PEQUEÑO DIÁMETRO

3.1.1 Acuíferos confinados

3.1.1.1 Consideraciones Básicas
Para el cumplimiento del Modelo de Theis hay que tener en cuenta las siguientes consideraciones
esquematizadas en la Figura 2.

    Acuífero homogéneo e isotrópico
    Acuífero horizontal y de espesor constante, b
    Descarga contante, Q
    No hay goteo
    Acuífero de extensión infinita
    El diámetro del pozo es infinitesimalmente pequeño, es decir que no existe almacenamiento en el pozo
    El pozo penetra todo el acuífero
    Antes del bombeo la carga piezométrica en el acuífero en la misma en cada punto del acuífero
    La descarga del pozo es obtenida exclusivamente del almacenamiento del acuífero
    El agua es inmediatamente liberada del almacenamiento del acuífero al declinar la carga hidráulica
    El almacenamiento en el acuífero es proporcional a la carga hidráulica


                                                             Pozo
                                                         Q          Superficie piezométrica
                                                                    antes del bombeo
                                                     z
                                                                                Superficie piezométrica
                          Superficie del terreno                                al tiempo t




                                                                          Superficie piezométrica
                                                                          al tiempo t +∆t

                                                                                                              h
                               Capa confinate                                                                 0
                                                                                                                  h(r,t)


                                                                      r
                                Acuífero confinado                                      ∆r

                          b
                                                                             Q(r)                   Q(r+∆r)
                                             2rw

                                                                                                              Datum
                              Lecho impermeable


                        Figura 2. Flujo inestable en un pozo que penetra totalmente en un acuífero
                                          confinado. Sección transversal vertical.


3.1.1.2 Ecuación de Movimiento
Utilizando la Ecuación de Movimiento que gobierna en flujo en acuíferos isotrópicos:

                                       ∂ 2h ∂ 2h  ∂ 2 h S ∂h
                                     K 2 + 2  + K 2 =
                                       ∂x                                                                                 [3.1]
                                            ∂y   ∂z    T ∂t

Donde T es la transmisividad, S el coeficiente de almacenamiento y K es la conductividad hidráulica.
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS                                                                          5


Sabiendo que T = K b y             S = S s b , analizando el problema bidimensional, se obtiene la siguiente
ecuación:
                                           ∂ 2h ∂ 2h S ∂ h
                                               +    =                                                        [3.2]
                                           ∂x 2 ∂y 2 T ∂t

Utilizando coordenadas polares, donde r =          x 2 + y 2 y considerando la ley de Darcy, que en términos de
                                                   ∂h(r, z, t )
caudal es definida por v r = v r (r, z, t ) = −K                , donde K es la conductividad hidráulica en dirección
                                                      ∂r
radial.

La tasa total del flujo a una distancia r del pozo es:
                                                                            ∂h
                            Q(r ) = A r v r = −(2 π r b ) qr = 2 π r T                                       [3.3]
                                                                            ∂r

La carga piezométrica una distancia r es h(r,t); luego de un tiempo ∆t, la carga piezométrica es será h(r,t+∆t) y la
disminución de la carga piezométrica es:

                                       ∆h = h(r, t + ∆t ) - h(r, t )                                         [3.4]

Usando la figura 3.1, y aplicando la ecuación de continuidad:

                               [Q(r ) − Q(r + ∆r )]∆t = 2 π r ∆r ∆h S                                        [3.5]

                                               ∂Q         ∂h
y como ∆r → 0 y ∆t → 0                            =2π r S                                                    [3.6]
                                               ∂r         ∂t

Reemplazando la ecuación 3.3 en la ecuación 3.6, se obtiene:

                                              1 ∂  ∂h  S ∂h
                                                   r  =
                                              r ∂r  ∂r  T ∂t
                                                                                                             [3.7]
                                              ∂ 2h 1 ∂ h S ∂ h
                                                  +     =
                                              ∂r 2 r ∂r T ∂t

Si el abatimiento está definido por: s = h0 − h
                                         ∂ 2 s 1 ∂s S ∂s
                                              +    =                                                         [3.8]
                                         ∂r 2 r ∂r T ∂t

Que es la ecuación de movimiento en flujo transitorio radial.

3.1.1.3 Condiciones de Frontera

Según las suposiciones de Theis, las condiciones son las siguientes:
6                                                                 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS


    Para el Abatimiento

Cuando no se está extrayendo agua en cualquier punto del acuífero el abatimiento es nulo; es decir:
∀ r, en t=0, s(r,t) = s(r,0) = 0

En condiciones de extracción de agua, se supone que en la distancia más lejana del pozo, el abatimiento es nulo;
es decir: ∀ t>0, en un radio r = ∞ , s(r,t) = s(r, ∞ ) = 0.

    Descarga

Si se tiene que en cuenta que sólo se produce abatimiento cuando se extrae agua, se concluye que:

Cuando t < 0,    Q=0
Cuando t ≥ 0,    Q = constante

Ahora, como la tasa de bombeo es constante en el pozo, de la ecuación 3.6, se tiene que para t ≥ 0 :

                                               ∂s    Q
                                         lim r  = −                                                   [3.9]
                                         r →0  ∂ r  2π T

3.1.1.4 Solución de la Ecuación de Movimiento
Para encontrar la solución se aplica el método de separación de variables (Piskunov, 1977); es decir se busca la
solución particular de la ecuación 3.8 en forma de un producto de dos funciones:

                                         s(r, t ) = f (r ) ⋅ g(t )                                      [3.10]

Remplazando está función en la ecuación 3.8 se obtiene:

                                               1        S
                                         f ′′g + f ′g = fg′
                                               r        T
                                                                                                        [3.11]
                                         f ′′ 1 f ′ S g′
                                             +      =
                                          f r f        T g

Al demostrar que son separables, estás funciones son iguales a una constante, que se llamará λ . Entonces
igualando λ al lado izquierdo de la ecuación 3.11:

                                                       f ′′ 1 f ′
                                                            +      =λ
                                                        f r f
                                                              1
                                                       f ′′ + f ′ = fλ
                                                              r
                                                            1
                                                   f ′′ + f ′ − fλ = 0
                                                            r

Al solucionar por operador cuadrático:
                                                       1
                                                   D2 + D − λ = 0
                                                       r
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS                                                                                                                         7



                                                           D=−
                                                                             1
                                                                             2r
                                                                                  [
                                                                                1 ± 1 + 4 λr 2                    ]
Pero dependiendo del valor que tome el discriminante, se obtendrán las diferentes raíces, así:


i)       Si 1 + 4λr 2 > 0 , existen 2 raíces reales diferentes: D = −
                                                                                                                     1
                                                                                                                     2r
                                                                                                                         [
                                                                                                                        1 ± 1 + 4 λr 2 .          ]
                                                                       − 2 r 1 + 1 + 4 λr 2                   − 2 r 1 − 1 + 4 λr 2 
Entonces la solución particular es: f (r ) = C1e
                                                                         1                                        1
                                                                                                                                   
                                                                                            
                                                                                                   + C 2e                            



                                                                                                                1
ii)      Sí 1 + 4λr 2 = 0 , existen 2 raíces reales iguales: D = −
                                                                                                                2r
Entonces la solución particular es: f (r ) = C1e
                                                                        1                         1
                                                                      − 2r                      − 2r
                                                                             + C2 r e                  .


iii)     Si 1 + 4λr 2 < 0 , existen 2 raíces imaginarias diferentes: D = −
                                                                                                                             1
                                                                                                                             2r
                                                                                                                                 [            (
                                                                                                                                1 ± i − 1 + 4 λr 2    )]
Entonces                               la                                     solución                                            particular                    es:

f (r ) = e
               1
             − 2r          1
                                             (
                                           2           1
                                                                )
                    C1 cos − 2r − 1 + 4λr  + C 2 sen − 2r − 1 + 4λr
                                                                        2
                                                                                                                 (                   )  .
                                                                                                                                       
                                                                                                                                  

Igualando ahora al lado izquierdo de la ecuación 3.11 a λ: λ
                                                                              S g′
                                                                                   =λ
                                                                              T g     ,
                     S g′
                    ∫T g ∫ , y luego despejando g(t) se llega a:
                          = λ
Integrando:
                                              S
                                                 ln(g) = λt + M
                                              T
                                            g(t ) = P e S , donde P = e M = constante
                                                                λTt




Por lo tanto, como de f se obtienen tres soluciones, la solución de la ecuación 3.8 puede tener tres formas:

                                  − 2 r 1 +    1 + 4 λr 2                          − 2 r 1 − 1 + 4 λr 2     λSTt
             s(r , t ) =  C1 (λ )e                            + C 2 (λ )e
                                     1                                                  1
                                                                                                          
i)                       
                                                                                                         
                                                                                                                e
                                                                                                                
                                                                                                               
ii)                      (
             s(r , t ) = C1 (λ )e
                                       1
                                     − 2r
                                            + C 2 (λ ) r e
                                                                   1
                                                                 − 2r
                                                                        )e    λTt
                                                                               S



                             (λSTt − 21r ) 
iii)         s(r , t ) = e
                                                        1             2 
                                                                              (          1
                                                                                                   )
                                           C1 (λ ) cos − 2r − 1 + 4λr  + C 2 (λ ) sen − 2r − 1 + 4λr
                                                                                                         2
                                                                                                                                                  (    ) 
                                                                                                                                                         
                                                                                                                                                       

Para cada valor de λ , las constantes arbitrarias C1, C2 y P tienen valores determinado; por eso C1 y C2; son
funciones de λ y absorben el valor de P. También se aclara que la suma de las tres formas de solución son
soluciones de la ecuación 3.8, debido a su linealidad..
8                                                                          CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS


3.1.1.5 Solución de Theis
Para encontrar la solución y el valor de las constantes, Theis reemplazó las condiciones iniciales y de frontera en
las anteriores combinaciones, y así encontró la función de abatimiento por analogía de transferencia de calor en
sólidos:
                                                       A
                                             s(r, t ) = e −u                                               [3.12]
                                                       t

                                   r 2S
Donde A es una constante y u =          . Para t>0, el volumen total V, de agua tomado del acuífero es:
                                   4tT
                                                                     ∞
                                                            V=   ∫
                                                                 0
                                                                         2 π r s S dr                      [3.13]

Reemplazando 3.12 en 3.13:

                                                        ∞                A −u
                                    V=              ∫0
                                                             2 πr
                                                                         t
                                                                           e S dr
                                                                                                           [3.14]
                                                                            r2s
                                                        ∞         A −
                                    V=              ∫0
                                                             2 π r e 4tT S dr
                                                                  t


Al solucionar esta integral se tiene que:

                                                                                                   r=∞
                                                                                 r 2s         
                                                    r 2s
                                                                            2   −
                                                            r dr = 2 π S − Tt e 4tT           
                           A            ∞       −                       A
                    V =2πS          ∫       e       4tT
                                                                        t  S                              [3.15]
                           t         0
                                                                                               
                                                                                                 r =0


De donde:

                                                            V =4πTA
                                                                V
                                                            A=                                             [3.16]
                                                               4πT


Reemplazando 3.16 en 3.12 se tiene que:

                                                                               r 2S 
                                                             −                     
                                                        V
                                            s(r, t ) =
                                                                4Tt                                       [3.17]
                                                            e  
                                                       4πTt


El Volumen de agua V, del acuífero es removido durante el período de tiempo dt. Así que V=Q t. y dV=Q dt, y
entonces:
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS                                                                     9


                                                                r 2S 
                                                          −         
                                                     dV
                                       ds (r, t ) =
                                                             4Tt                                     [3.18]
                                                         e  
                                                    4πTt

Si el agua es bombeada a una tasa de Q por unidad de tiempo de t=0 a t=t en el origen por integración se
obtiene:

                                                                 r 2S 
                                                                      
                                                 Q dt −  4Tt 
                                   ds (r, t ) =       e                                             [3.19]
                                                4πT t
                                                                 r 2S 
                                                        t             
                                              Q    dt −  4Tt 
                                  s(r, t ) =     ∫t e                                               [3.20]
                                             4πT 0

                  r 2S
Reemplazando: u =      , entonces:
                  4Tt
                                                                  ∞
                                                             Q   e -u
                             s(r, t ) = h0 - h(r, t ) =
                                                            4πT∫ u
                                                                      du                              [3.21]
                                                               u


Donde:

                                   ∞
                                     e −u
                                   ∫ u du = −Ei(− u) = W(u)
                                   u
                                                                                                      [3.22]


La integral exponencial se conoce como la función de pozo de Theis, y su solución está dada por una serie de
potencias:

                                                  u2     u3   u4
                   W (u) = −0.5772 − ln(u) + u −      +     −    +K
                                                 2.2! 3.3! 4.4!                                       [3.23]
                                                         n
                                                     n u
                                              ∞
                   W (u) = −0.5772 − ln(u) − ∑ (− 1)
                                             n=1       n.n!

Ahora se puede definir el abatimiento en términos de la curva de Theis:

                                                       Q
                                         s(r, t ) =       W (u)                                       [3.24]
                                                      4πT

La Figura 3 muestra la curva típica de Theis, útil para determinar las parámetros hidrogeológicos de acuíferos
confinados usando datos de pruebas de bombeo. También se pueden trazar isolíneas de tiempo graficando el
abatimiento en función del radio e isolíneas de radio, graficando el abatimiento en función del tiempo.
10                                                                CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS




                                                   Figura 3 Curva de Theis. (Batu, 1998)


La ecuación es aplicable a acuíferos libres si el abatimiento es pequeño comparado con el espesor b de la
formación. (Batu, 1998)
                                                                           2
                                                          r
La ecuación se cumple para la siguiente condición: t > 250 c , donde rc es el radio del pozo, por no tener en
                                                           T
cuenta el almacenamiento en el pozo. Si los parámetros K, b, S y Q son conocidos, se puede determinar el
abatimiento de la carga hidráulica en el acuífero confinado a cualquier distancia r del pozo, en cualquier tiempo.
Lo único necesario es determinar el valor del parámetro u y así encontrar el valor de la función del pozo de Theis,
W(u).




                          Figura 4 Isolíneas de tiempo y de radio en función del abatimiento. (Batu, 1998)
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS                                                                      11


3.1.1.6 Ecuación de Jacob

Cooper & Jacob, 1946, tomaron en cuenta que cuando u,u < 0.01, la suma de los términos más allá de ln (u), en
la ecuación 3.23, no es significativa. Los valores de u decrecen cuando el tiempo se incrementa y cuando la
distancia radial r decrece. Bajo esas condiciones:

                                               Q
                                 s(r, t ) ≅       [− 0.5772 − ln(u)]                                     [3.25]
                                              4πT


                  s(r, t ) ≅
                                Q
                                   [ln(0.5614) − ln(u)] = Q ln (0.5614)                                [3.26]
                               4πT                       4 πT 
                                                                   u   
                                                                        

                                                                r 2S
                                              Reemplazando, u =
                                                                4 Tt

                                               
                                  Q    (0.5614)  Q                   2.25 Tt 
                      s(r, t ) ≅      ln   2   =                    ln r 2 S                         [3.27]
                                 4 πT     r S  4 πT                          
                                      
                                          4Tt 

La ecuación 3.27 es conocida como la ecuación de Jacob. Que expresada en términos del logaritmo en base 10
es igual a:

                                              2.302 Q  2.25 Tt 
                                 s(r, t ) ≅            log                                               [3.28]
                                                4πT      r 2S 
                                                                

Como primera aplicación de la ecuación de Jacob se puede usar para obtener el radio se influencia, cuando el
abatimiento es nulo. Entonces despejando el Radio se obtiene
                                                    Q    2.25 Tt 
                                              0=        ln R 2 S 
                                                   4πT           
                                                     2.25 Tt
                                              0 = ln
                                                       R 2S
                                                              1
                                                      Tt        2
                                                                                                         [3.29]
                                              R = 1.5 
                                                     S

La ecuación de Jacob tiene la ventaja, respecto a la ecuación de Theis, de no requerir la consulta o tablas de la
función de pozo de Theis.

3.1.1.7 Capacidad Específica y Estimación de Transmisividad

La capacidad específica, CE de un pozo es definida como la relación de su descarga con su abatimiento total
[CE=Q/s]; en otras palabras es el caudal por unidad de abatimiento. Se puede desarrollar una muy simple
ecuación para estimar la transmisividad a partir de la capacidad específica, usando la ecuación de Jacob. Esta
derivación está basada en un diámetro medio del pozo en un período promedio de bombeo, y valores típicos del
coeficiente de almacenamiento y producción específica.
12                                                                CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS



Para acuíferos confinados, Driscoll en 1986 (Batu, 1998) asumió los siguientes valores típicos:

                      Tabla 1 Valores típicos para acuíferos confinados según Driscoll. (Batu, 1998)

                               Parámetro                     Valor              Unidades
                                Tiempo, t                      1                   Día
                            Radio del pozo, rw               0.152                  m
                              Producción, S                  0.001             Adimensional
                            Transmisividad, T                 373                 m2/día

Sustituyendo estos valores en la ecuación de Jacob, se obtiene:

                                 [ s ] = CE [m ] = T [m día]
                               Q m
                                   3
                                                         2
                                                                           2

                                                                                                         [3.30]
                                s [m]
                                  w
                                              día   1.385

                                   T m[2

                                              día
                                                    ] = 1.385 CE [m día]
                                                                       2

                                                                                                         [3.31]

Para un acuífero libre, con producción específica Sy=0.075, como valor típico, y el resto de valores mostrados en
la tabla 1, se produce la siguiente relación:

                                 [ s ] = CE [m ] = T [m día]
                               Q m
                                   3
                                                         2
                                                                           2

                                                                                                         [3.32]
                                s [m]
                                  w
                                              día   1.042

                                   T m[2

                                              día
                                                  ] = 1.042 CE [m día] 2

                                                                                                         [3.31]

Si se tienen múltiples pozos, la información obtenida de las anteriores ecuaciones puede usarse para estimar la
conductividad hidráulica promedio (Kmed [m/d]) del acuífero, mediante la siguiente relación:


                                              K med =
                                                         ∑K L  n n
                                                                                                         [3.32]
                                                         ∑L     n


Donde K es la conductividad de cada pozo, n es el número del pozo y L es la longitud del filtro.

3.1.1.8 Ecuación de Chen

En 1984, Chen extendió la ecuación de Theis, para acuíferos de extensión lateral finita, como islas o meandros.
Determinó que la distancia en la cual el abatimiento es nulo, en condiciones de bombeo, es conocida, y la llama
R. Es decir: s(R,t) = 0, donde R es la es la distancia radial donde la energía es cero. La solución encontrada se
conoce como la Ecuación de Chen (Batú, 1998):

                                                 Q
                                 s(r, t ) =            [W(u) − W(U) + 2I]                                [3.33]
                                              4π T
Donde:
                                                               R 2S
                                                         U=
                                                               4Tt
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS                                                                     13


                                           u  12 
                                       J0   χn   U χ2 (1 − x ) 
                                    ∞      U 
                                                     1  − x − n 4U  dx
                                                      e
                                 I=∑                   ∫ 
                                                                      
                                                                      

                                   n=0    χn J1 (χn ) 0                  x
                                                     χn = R βn
Donde:
J0, J1: función de Bessel de orden cero y uno.
βn:     es la enésima raíz que satisface J0(R χn) = 0.

                                        4π T s
La Figura 5 muestra la gráfica u contra   Q , que es la usada para efectos prácticos. Se nota que cuando
                                                                              R 2S
U ≥ 4, la solución es igual a la de Theis. En otras palabras, sólo cuando t ≤      , se justifica usar este
                                                                              16T
modelo.




                                         Solución de Theis




                                           Figura 5 Curva de Chen. (Batu, 1998)

3.1.2 Acuíferos Semiconfinados

Hantush y Jacob en 1955 (Batu, 1998), desarrollaron el modelo aplicable a acuíferos semiconfinados, isotrópicos
y homogéneos, ilustrado en la Figura 6. Estos dos investigadores tuvieron en cuenta las siguientes suposiciones:
14                                                                      CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS

                                                                            Superficie piezométrica
                                                                            antes del bombeo
                                                                       Q

                                                                                                 Superficie piezométrica
                                                                                                 durante el bombeo
                Superficie del terreno                                                           (cono de depresión)
                                                                  z




                          Nivel Estático


                                                                                                s
                                                                  sw


                                                                                      r



                                                                                          Superficie piezométrica
                                                                                          al tiempo t +∆t
               Qv




                             Capa confinante



                                                                                                                           H
                                                                                 hw
                                         Acuífero
                                         confinado
                              b


                                                     2rw




                    Lecho impermeable



                                                           Figura 6. Acuífero semiconfinado


    Acuífero homogéneo e isotrópico
    Acuífero horizontal y de espesor constante, b, y su capa confinante posee un espesor constante b’ y una
    conductividad hidráulica vertical K’.
    Descarga contante, Q
    Acuífero de extensión infinita
    El diámetro del pozo es infinitesimalmente pequeño, es decir que no existe almacenamiento en el pozo
    El pozo penetra todo el acuífero
    La capa confinante no almacena agua
    El flujo en el acuífero es horizontal y el goteo es vertical
    Inicialmente, la tabla de agua posee la misma altura de la carga hidráulica del acuífero y es igual a h0.

La ecuación diferencial parcial para flujo radial, fue obtenido por Jacob en 1946, es la ecuación que gobierna el
movimiento en este tipo de acuíferos. Aplicando el principio de continuidad, par el anillo dado, se tiene:

                           [Q(r ) − Q(r + ∆r )]∆t + Q v ∆t = (2πr )∆r ∆h S                                                     [3.34]

                                         Q v = A v = (2πr∆rb )v v                                                              [3.35]
                                                                  h −h
                                  Usando la Ley de Darcy: v v = K' 0                                                           [3.36]
                                                                    b'
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS                                                                         15


Y combinado las anteriores ecuaciones, se concluye que:


                  [Q(r ) − Q(r + ∆r )]∆t + (2πr∆r )K' h0 − h ∆t = (2πr )S∆r∆h                              [3.37]
                                                            b'

Como ∆r y ∆s, tienden a cero y aplicando la definición de la derivada, se llaga a:

                                  ∂Q            h −h            ∂h
                                     + (2πr )K ' 0    = (2πr )S                                            [3.38]
                                  ∂r               b'           ∂t

Y sabiendo que el abatimiento es el la diferencia de niveles, s=h0-h y que el caudal en el acuífero está dado por:
                                                           ∂h
                                            Q(r ) = 2πrT                                                   [3.39]
                                                           ∂r

La ecuación es igual a:
                                    ∂ 2 s 1 ∂s K '      S ∂s
                                        2
                                          +     −    s=                                                    [3.40]
                                    ∂r      r ∂r Tb'    T ∂t

                           Tb'
Y sí se reemplaza: B =         , la ecuación toma la forma:
                           K'
                                     ∂ 2 s 1 ∂s       s     S ∂s
                                         2
                                           +      − 2 =                                                    [3.41]
                                     ∂r      r ∂r B         T ∂t

Las condiciones iniciales y de frontera planteadas, para la cabeza y el abatimiento son:

    h(r ,0 ) = h0 , para todo r
    s(r ,0 ) = 0 , para todo r

    h(∞, t ) = h0 , para todo t
    s (∞, t ) = 0 , para todo t

Las condiciones de descarga son:

    Q = 0, cuando t=0
    Q = constante, cuando t ≥ 0
         ∂h   Q
    lim r  =
    r→0
         ∂r  2πT , para t ≥ 0
         ∂h     Q
    lim s  = −
    r→0
         ∂r    2πT , para t ≥ 0

Al igual que Theis, Hantush y Jacob encontraron la solución a la ecuación de movimiento, la cual es:
                                                      Q    r
                                       s(r , t ) =       W u,                                            [3.42]
                                                     4 πT  B 
16                                                              CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS


        r
      W u, 
Donde   B  es la función de pozo para acuíferos semiconfinados de Hantush y Jacob. Está función
describe una serie, cuya expresión es:

                                                              r 
                                                                    2
                                                                
                                                         −u −  B  
                                                                u 
                                                ∞                                                      [3.43]
                                     r      1                      
                                     u,  = ∫ e                     
                                                                          du
                                     B u u

               r 2S
Además, u =         . La Figura 7 tabula los valores de la función de pozo, que también están en tablas en libros
               4 Tt
de matemáticas avanzadas e hidráulica de pozos.




                                     Figura 7. Curva de Hantush y Jacob. (Batu, 1998)



3.1.3 Acuíferos Libres
En 1972, Neuman, aprovechando desarrollos realizados por Boulton (1954), (Batu, 1998) simplifico la ecuación
de movimiento en acuíferos libre, ilustrados en la Figura 8. Las consideraciones que él tuvo en cuenta son:
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS                                                                                 17


                                                             Q


              Superficie del terreno
                                                        z



                        Nivel Estático

                                                                                       s
                                                        sw
                                                                                                  FS
                                                                             r
               Superficie piezométrica
               antes del bombeo
                                                                                 Superficie piezométrica
                                                                                 al tiempo t +∆t
                 Superficie piezométrica
                 durante el bombeo
                 (cono de depresión)
                                                                                           Kz
                                                                        A1

                                                                                                           Kr

                                     Acuífero                       ξ                                           H
                             b       libre

                                                2rw
                                                                                           A2   Datum

                  Lecho impermeable


                                   Figura 3.7 Flujo a un pozo en un acuífero libre
                                   infinito
    La tasa de bombeo es contante, Q
    El diámetro del pozo es infinitamente pequeño
    El pozo penetra completamente en el acuífero
    En la zona saturada del acuífero , la ley de Darcy se cumple siempre
    El acuífero tiene extensión lateral infinita
    El material del acuífero es homogéneo pero anisotrópico, y su principal conductividad hidráulica está
    orientada paralela a los ejes coordenados
    El agua es bombeada por compactación del acuífero, expansión del aguay drena por gravedad de la
    superficie libre
    El pozo puede ser tratados como una línea hundida
    El abatimiento de la tabla de agua es pequeño comparado con el espesor de la zona saturada
    Los efectos de capilaridad son despreciables

La ecuación de movimiento fue plantada en el capítulo 7 y es:

                          ∂ 2 s K r ∂s     ∂ 2 s S ∂s
                        Kr 2 +         + Kz 2 =       ,                          0<z<ξ                              [3.44]
                          ∂r    r ∂r       ∂z    T ∂t

La posición de la superficie libre de los acuíferos libres cambia en el espacio bajo condiciones de flujo transiente,
por este motivo, la superficie libre es tratada como una frontera en movimiento. Bajo esta concepción, la frontera
de la región de flujo, consiste de tres partes complementarias, mostradas en la Figura 8: La frontera de carga
prescrita, A1, la frontera de flujo prescrito, A2 y frontera de la superficie libre, FS. Las otras fronteras tienden al
infinito. La pared del pozo se incluye en A1. Las condiciones iniciales para abatimiento, s(r,z,t) y espesor
saturado ξ(r,t), respectivamente son:
18                                                                         CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS



    s(r,z,0) = 0
    ξ(r,0) = b
                                                                                                                  ∂s(r ,0, t )
La condición de frontera del abatimiento en el infinito es s (∞, z, t ) = 0 y en la frontera A2 es                             = 0.
                                                                                                                     ∂z
La condición de tasa de bombeo constante Q en el pozo está dada por la siguiente expresión:

                                                  ∞
                                                      ∂s         Q
                                           lim ∫ r       dz = −                                                            [3.45]
                                           r →0
                                                  0
                                                      ∂r        2πK r

Neuman, simplificó la ecuación de movimiento, llegando a la siguiente expresión:

                        ∂ 2 s 1 ∂s       ∂ 2s 1 ∂s
                            2
                              +      + KD 2 =        ,                                    0<z<b                            [3.46]
                        ∂r      r ∂r     ∂z   α s ∂t

Donde:
                                            Kz       K         K
                                     KD =      , αs = r , α y = z                                                          [3.47]
                                            Kr       Ss        Sy
                                       ∂s(r , b, t )    1 ∂s(r , b, t )
                                                     =−                                                                    [3.48]
                                          ∂z            αy    ∂t

La solución encontrada por Neuman, para el abatimiento es:

                                                      [               ]
                                            ∞
                                      Q                                 ∞
                                                                                 
                    s(r , z, t ) =        ∫ 4 xJ0 x (K D ) 2 ω0 (x ) + ∑ ωn (x )dx
                                                          1
                                                                                                                           [3.49]
                                     4 πT 0                            n =1     

Donde J0 es la función de Bessel de primera clase de orden cero y


                      ω0 (x ) =
                                           {1 − exp[− t K (x      s   D
                                                                          2
                                                                              − β0
                                                                                     2
                                                                                         )]}cosh(β z b )
                                                                                                    0 D D


                                           − (1 + σ )β − (x                             ) bσ   cosh(β b )
                                     
                                      2                     2           2          2 2
                                                                                                
                                                                                                2

                                     x                   0                   + β0          D
                                                                                                          0 D
                                     
                                                                                             
                                                                                                

                      ω0 (x ) =
                                           {1 − exp[− t K (x      s   D
                                                                          2
                                                                              − βn
                                                                                     2
                                                                                         )]}cosh(β z b )
                                                                                                    n D D


                                           − (1 + σ )β − (x                             ) bσ   cosh(β b )
                                 
                                  2            2        
                                                         2      2 2 D
                                                                                                
                                                                                                2

                                 x           n            + βn               n                             D
                                 
                                                                                            
                                   Tt       Tt              b         z    S
                             ts = 2 , ty =       2
                                                   , b D = , zD = , σ =
                                  Sr       S yr             r         b    Sy

Las Figura 9 y 10 muestran la función de pozo de Neuman, en función del abatimiento relativo y el tiempo
relativo.
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS                                        19




                                        is
                                    The
                               a de
                          Curv




                    Figura 9 Función de Pozo de Neuman. (Batu, 1998)



                                                                  de
                                                          Th e is
                                                          C u rva




                    Figura 10 Función de Pozo de Neuman. (Batu, 1998)
20                                                                  CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS


3.2 POZOS DE GRAN DIÁMETRO

Los pozos de pequeño diámetro generalmente varían entre 0.05 m y 0.25 m. Como se mostró anteriormente,
esos son representados por una línea en los modelos matemáticos. Esta aproximación es válida para los pozos
en este rango de diámetros, pero inapropiada para pozos con un diámetro mayor. En particular, los radios de
                                                                          pozos excavados pueden ser de
                                           Superficie piezométrica
                                           antes del bombeo
                                                                          0.5 m a 2 m o más.
                                              Q

                                                                 Superficie piezométrica   La teoría de Theis asume que el
                                                                 durante el bombeo
        Superficie del terreno
                                         z
                                                                 (cono de depresión)       pozo es una línea en el origen.
                                                                                           Esta suposición no tiene en
                                                                                           cuenta los efectos significativos
                Nivel Estático                                                             de almacenamiento. Los efectos
                                                                 s
                                                                                           de este almacenamiento en el
                                         sw                                                pozo, llegan a ser importantes
                                                                                           cuando la transmisividad y el
                                                       r
                                                                                           coeficiente de almacenamiento
                                                           Superficie piezométrica
                                                                                           del acuífero son pequeños o
                                                  rc
                                                           al tiempo t +∆t                 cuando diámetro del pozo de
                                                                                           bombeo         es        grande.
                                                                                           Papadopulos y Cooper (1967)
        Capa confinante
                                                                                           desarrollaron         soluciones
                                                                                           analíticas en y alrededor de
              Acuífero confinado
                                                                                           pozos de gran diámetro en
                                                                                           acuíferos             confinados
        b                                                                                  homogéneos e isotrópicos,
                                   2rw                                                     tomando en cuenta los efectos
                                                                                           del almacenamiento dentro del
                                                                                           pozo. Después, Moensch (1985)
            Lecho impermeable
                                                                                           presentó modelos matemáticos
                                                                                           que combinaron los acuíferos
                Figura 11 Esquema representativa de un pozo de gran diámetro.              semiconfinados de Hantush
                                                                                           (1985) con la teoría antes
mencionada del flujo en pozos de gran diámetro.

3.2.1 Consideraciones Básicas
La Figura 11 muestra la sección transversal de un pozo de gran diámetro que penetra totalmente un acuífero
confinado. Papadopulos y Cooper (1967) desarrollaron una solución analítica bajo condiciones de explotación
con las siguientes suposiciones:

    El acuífero es un homogéneo e isotrópico
    El acuífero es horizontal y tiene un espesor constante (b)
    La tasa de descarga (Q) del pozo es constante
    El acuífero no tiene goteo y es horizontalmente infinito
    El pozo penetra totalmente el acuífero
    Las pérdidas en el pozo son despreciables
    Antes del bombeo, la carga hidráulica en el acuífero es la misma en todos los puntos del acuífero
    La descarga de los pozos es derivada exclusivamente del volumen almacenado en el acuífero
    El agua es inmediatamente tomada en el bombeo, lo que hace decaer la carga hidráulica
    El almacenamiento en el acuífero es proporcional a la carga hidráulica
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS                                                                            21


La Ecuación de Movimiento es la misma ecuación 3.8, con la condición de que el radio, r ≥ rw .
                                         ∂ 2 s 1 ∂s S ∂s
                                              +    =                                                        [3.34]
                                         ∂r 2 r ∂r T ∂t

Donde s es el abatimiento en el acuífero a una distancia r en un tiempo t; r es la distancia radial desde el centro
del pozo; S es el coeficiente de almacenamiento del acuífero; T es la transmisividad y rw es el radio efectivo de
la pared del pozo.

Las condiciones iniciales en el acuífero y el pozo, respectivamente, son:

    r ≥ rw , cuando s(r,0) = 0, sw (0) = 0

Las condiciones de frontera son:

    s(rw,t) = sw(t)
    s( ∞ ,t)= 0
                                                    ∂s(rw , t )       2 ∂s w (t )
    Almacenamiento dentro del pozo: 2πrw T                      − πrc             = −Q         t≥0
                                                       ∂t                 ∂t

Donde sw(t) es el abatimiento en el pozo a un tiempo t y rc el radio del pozo en el intervalo sobre el cual el nivel de
agua decae. Las condiciones iniciales muestran que en un comienzo el abatimiento en el acuífero y en el pozo
es cero. La primera condición de frontera indica que el abatimiento en el acuífero, en una cara del pozo es igual
al abatimiento en el pozo. La segunda señala que el abatimiento en el acuífero en el infinito es cero. Finalmente,
se expresa el efecto que tiene la tasa de descarga del pozo, que es iguala la suma de la tasa de flujo de agua
del pozo y la tasa de descenso en el volumen de agua dentro del pozo.

3.2.2 Ecuación de Papadopulos & Cooper
El problema planteado fue resuelto por Papadopulos & Cooper, mediante la transformada de Laplace (Batu,
1998).
                                                     Q
                                       s(r, t ) =        F (u, α, ρ )                                         [3.35]
                                                    4 πT

Donde
                                                   8α C (β)
                                                            ∞
                                    F (u, α, ρ ) =
                                                    π ∫ D(β )β2
                                                                dβ                                            [3.36]
                                                      0

                                             
                                        2 ρ2 
                                        −β
                         C(β) = 1 − e  4u  [J0 (βρ )A (β) − Y0 (βρ )B(β )]
                                             

                                                                                                            [3.37]
                                               
                                    A (β) = βY0 (β ) − 2αY1 (β )                                              [3.38]
                                    B(β) = βJ0 (β ) − 2αJ1 (β )                                               [3.39]

                                      D(β ) = [A (β)] + [B(β )] −                                             [3.40]
                                                        2          2

                                                            2
                                      r 2S     r S        r
                                   u=      , α= w2 , ρ =                                                      [3.41]
                                      4Tt       rc       rw
J0 y Y0 son las funciones de Bessel de orden cero y primera clase. Y1 es la función de Bessel de primer orden y
de segunda clase.
22                                                              CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS




    Abatimiento dentro del Pozo

El abatimiento dentro del pozo es obtenido cuando r = rw y puede ser expresado como:

                                                       Q
                                         s(r, t ) =        F (u w , α)                                            [3.42]
                                                      4 πT
Donde:
                                          F (u w , α) = F (u, α,1)                                                [3.43]
                                                           2
                                                        rw S
                                                uw =                                                              [3.44]
                                                         4Tt

Los valores de F (u, α, ρ) son tabulados por integración numérica de la ecuación 3.36. En la Figura 12, los
                                                                             sw
valores son representados como una familia de cinco curvas de                         contra 1/uw; una curva para cada uno
                                                                         Q
                                                                             4πT
de los cinco valores del parámetro α. La curva de Theis, es también mostrada en la Figura 12, de la que se
obtienen importantes características de F (u, α, ρ) :

El abatimiento predicho por la ecuación de Theis, se aproxima al abatimiento en el pozo de diámetro finito sólo
para valores de tiempo relativamente grandes. Papadopulos (1967) comparó su aproximación con la Theis, así:
                                                           10 3 rc   αρ 2
                     F (u, α, ρ ) ≈ W (u)     para t > 2.5         ,      > 10 4                                  [3.45]
                                                             T        u

                                                                10 2 rc   α
                     F (u w , α ) ≈ W (u w ) para t > 2.5               ,    > 10 3                               [3.46]
                                                                  T       uw


Las aproximaciones en las ecuaciones 3.38 y 3.39, son válidas para ambas condiciones: Para pozos que tienen
un pequeño diámetro o acuíferos de transmisividad relativamente alta, el período definido en las anteriores
ecuaciones es muy pequeño. Así pues, para pozos de gran diámetro y acuíferos de baja transmisividad, este
período es considerablemente largo.

Sí 1/uw llega a ser suficientemente pequeño, las curvas se aproximan a líneas rectas que satisfacen la ecuación:
                         Qt           Volumen de agua descargada                       Q α
                 sw =             =                                               =                               [3.47]
                        πrc
                              2
                                              Área del pozo                           4 πT u w
o
                                                               α
                                             F (u w , α ) =                                                       [3.48]
                                                               uw
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS                                                                        23




                        Curva de Theis




                                     Figura 12. Curvas de Papadopulos y Cooper (Batu, 1998)

En los primeros períodos, las líneas rectas representan las condiciones bajo la cual todo el agua bombeada es
obtenida del almacenamiento dentro del pozo. Como resultado, los datos que están dentro del tramo de línea
recta, de las curvas tipo, no dan información acerca de las características hidrogeológicas del acuífero.


4 M O V I M I EN T O PE R M A N E N T E
4 M O V I M I EN T O PE R M A N E N T E

Después de largos períodos de bombeo o recarga de un pozo, el flujo de aguas subterráneas alrededor de un
pozo se aproxima al estado estable. Esto significa que la carga hidráulica del pozo en cualquier punto del
acuífero no cambia con el tiempo. El período requerido para alcanzar el estado estable depende de las
características hidráulicas del acuífero. Para los acuíferos menos permeables el período es más largo que para
los altamente permeables.

Las soluciones de estado estable juegan un papel muy importante en el análisis de datos de abatimiento para la
determinación de las características hidráulicas del acuífero y hacer el avalúo de la zona de influencia de un pozo
o una batería de pozos.

4.1 ACUÍFEROS CONFINADOS

4.1.1 Consideraciones Básicas

Thiem (1906) fue el primero en derivar una solución para el flujo hacia un pozo en condiciones estables para
acuíferos confinados con base en las siguientes suposiciones:
24                                                          CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS


    Acuífero horizontal y con espesor constante
    Acuífero homogéneo e isotrópico y de extensión lateral infinita
    La carga hidráulica tiene una superficie horizontal antes del bombeo
    La ley de Darcy es válida en el acuífero
    El agua es instantáneamente removida del almacenamiento proporcionalmente con el decaimiento de la
    carga hidráulica
    La tasa del bombeo del pozo es contante
    El flujo es simétrico con respecto al eje del pozo
    La ecuación de movimiento (3.8), en flujo estable se reduce a:

                                                           Superficie piezométrica
                                                      Q    antes del bombeo
                                                                             Superficie piezométrica
           Superficie del terreno                                            durante el bombeo
                                                  z                          (cono de depresión)


                   Nivel Estático

                                                                             s
                                                  sw

                                                                    r

                                                                        Superficie piezométrica
                                                                        al tiempo t +∆t


                       Capa confinante


                                                               hw                                 H
                             Acuífero
                             confinado
                      b                                                          K
                                     2rw


              Lecho impermeable


                          Figura 13 Esquema representativa de un pozo en un acuífero confinado



                               ∂ 2h 1 ∂h S ∂h
                                   +    =                       T = K rb                               [4.1]
                               ∂r 2 r ∂r T ∂t

Para condiciones de flujo estable, el término de la derecha tiende a cero, entonces:
                                           ∂ 2h 1 ∂ h
                                               +      =0                                               [4.2]
                                           ∂r 2 r ∂r
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS                                                                           25


Es necesario conocer las condiciones de frontera de Dirichlet (primer tipo), con referencia en la Figura 13:

    h = hw        Carga piezométrica conocida en la frontera del pozo
    r = rw        Radio del pozo
    h=H           Nivel de la carga piezométrica antes del bombeo
    r=R           Radio de influencia del pozo en el cual el abatimiento es cero

4.1.2 Ecuación de Thiem

Utilizando la ecuación de continuidad, a cualquier anillo concéntrico al pozo y teniendo en cuenta que se analiza
el proceso de bombeo, el caudal es negativo (si el pozo fuera de inyección el caudal sería positivo), se tiene que:
                                       − Q = AV = (2πrb ) v r                                                [4.3]

Donde vr es la velocidad radial dada por la Ley de Darcy:

                                                                ∂h(r , z, t )
                                    v r = v r (r, z, t ) = -K                                                  [4.4]
                                                                   ∂r
Entonces:
                                                               ∂h
                                               Q = 2πrbK                                                       [4.5]
                                                               ∂r
Resolviendo por variables separables:
                                                           Q
                                               K∂h =           ∂r                                              [4.6]
                                                          2πrb

                                                        Q ln(r )
                                             h(r ) =             +C                                            [4.7]
                                                        2πT

Para evaluar C, se aplican las condiciones de frontera:

Si h = hw, entonces r = rw; por lo tanto:

                                                           Q ln(rw )
                                                  hw =               +C
                                                            2πT
                                                               Q ln(rw )
                                                      C = hw −
                                                                2π T

Reemplazando la ecuación 4.5, se obtiene la Ecuación de Thiem
                                                 Q ln(r )         Q ln(rw )
                                            h(r ) =       + hw −
                                                  2π T              2π T
                                                       Q
                                       h(r ) − h w =         [ln(r ) − ln(rw )]
                                                     2π T
                                                     Q   r 
                                     h(r ) − hw =          ln                                              [4.8]
                                                   2 π T   rw 
                                                               

Analizando la Ecuación de Thiem se puede concluir que:
26                                                         CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS


    La carga piezométrica h se incrementa asintóticamente con el incremento de la distancia radial r
    La superficie piezométrica no puede ascender sobre h(r).
    Es válida sólo en la proximidad de un pozo donde el flujo estable ha sido definido.

Con la Ecuación de Thiem, se puede predecir el Radio de Influencia de un pozo, en términos del abatimiento en
el mismo cuando h = H, r = R,
                                         Q     R             Q                   R 
                       h(R ) − h w =         ln  ∴ H − hw =
                                                r                                ln 
                                                                                       
                                       2 π T   w            2π T                 rw 
                                                         Q     R 
                                s = h(R ) − h(rw ) =         ln                                          [4.9]
                                                       2 π T   rw 
                                                                 

Esta forma de la ecuación de Thiem, posee las siguientes características:

    La distancia R, para la cual el abatimiento es cero, es el radio de influencia del pozo.
    El parámetro R tiene que ser estimado antes de la predicción de los abatimientos.

4.2 ACUÍFEROS SEMICONFINADOS

La Figura 14 muestra un pozo que penetra totalmente un acuífero semiconfinado, a través del cual la filtración
proviene de un acuitardo superior. La solución propuesta independientemente por De Glee & Jacob, se basa en
las siguientes suposiciones:

    El acuífero es limitado abajo por un lecho impermeable, y arriba por una capa semiconfinate.
    Sobre la capa semiconfinante, existe un acuífero libre que tiene una tabla de aguas horizontal, cuya carga
    hidráulica es constante (h0). El suministro de agua al acuífero libre es suficiente para mantener h0 constante.
    El flujo en la capa semiconfinante es vertical
    Las mismas suposiciones del acuífero confinado

Aplicando la ecuación de continuidad a cualquier anillo de radio r, mostrado en la Figura 14 se tiene que:

                                Q(r + ∆r ) − Q(r ) + (2πr∆r )v v = 0                                         [4.10]

Donde vv es la velocidad de goteo desde la capa semiconfinate. Si se divide por ∆r y como ∆r tiende a cero, se
llega a:

                                           Q(r + ∆r ) − Q(r )             
                                   lim                        + (2πr )v v  = 0
                                   ∆r → 0
                                                 ∆r                       

                                           ∂Q
                                              + 2πrv v = 0                                                   [4.11]
                                           ∂r


La Ley de Darcy por el acuífero semiconfinado, conduce a:
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS                                                                           27



                                                        Superficie piezométrica
                                                  Q     antes del bombeo
                                                                         Superficie piezométrica
         Superficie del terreno                                          durante el bombeo
                                              z                          (cono de depresión)


                Nivel Estático

                                                                         s
                                               sw

                                                                r

                                                                    Superficie piezométrica
                  K’                vv                              al tiempo t +∆t

                                                                                                       Capa
    b’                                                                                             semiconfinante



                           Acuífero                        hw
                    b                                                         K               H0
                           semiconfinado
                                  2rw
                                                                                  Datum

           Lecho impermeable


                Figura 14. Esquema representativa de un pozo en un acuífero semiconfinado.




                                     Q(r + ∆r ) − Q(r )
                                                        + (2πr )v v = 0
                                           ∆r
                                                             ∂h
                                           Q(r ) = (2πrb )K
                                                             ∂r
                                                      ∂h
                                        Q(r ) = 2πrT                                                          [4.12]
                                                       ∂r



La Ley de Darcy también controla la velocidad de goteo:

                                                      h0 − h
                                           v v = K'                                                           [4.13]
                                                        b'
28                                                        CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS


Donde K’ y b’ son la conductividad hidráulica y el espesor de la capa confinante (acuitardo).

Reemplazando 4.12 y 4.13 en 4.10, se obtiene:

                                        ∂h 
                                ∂  2πrT 
                                        ∂r         h −h
                                              + 2πr  K' 0   =0
                                      ∂r                 b'    ∴                                   [4.14]
                    ∂  ∂h   h 0 − h       1 ∂  ∂h  h 0 − h
                        r  + r
                                       = 0∴
                                                  r  +        =0
                    ∂r  ∂r   B 2
                                              r ∂r  ∂r   B2

               b ⋅ b'⋅K
Donde B 2 =             , es llamado factor de filtración. En la misma ecuación b'/K' es conocida como la
                  K'
resistencia hidráulica.

La ecuación puede ser escrita como una Ecuación de Movimiento ordinaria porque h sólo depende del radio r.
Reemplazando s = h - h0,, en la ecuación:

             1 d  dh  h0 − h      1 d  ds  s        1 ds d2 s s
                  r   +   2
                               =0        r  + 2 = 0       + 2 − 2 =0
             r dr  dr   B       ∴ r dr  dr  B     ∴ r dr dr   B    ∴
                                  2
                                ds     ds 2 s
                              r2 2 + r    −r 2 = 0                                                   [4.15]
                                dr     dr     B

Si r/B=x, entonces r = B x, y dr = B dx,

                        d2 s         ds          s          d2 s   ds
              (Bx )2    2    2
                               + Bx     − B2 x 2 2 = 0 ∴ x 2 2 + x    − x 2s = 0                     [4.16]
                       B dx         Bdx         B           dx     dx

4.2.1.1 Ecuación de De Glee - Jacob
La ecuación 4.16 es un a ecuación diferencial no lineal no homogénea que se puede solucionar por el método de
Cauchy – Euler. Este método consiste en aplicar la regla de la cadena luego de hacer el siguiente reemplazo:
u = ln(x ) .
Entonces:
                                             e u = x ∴ e 2u = x 2
Ahora se encontrarán las derivadas:
                                                    du 1
                                                         =
                                                    dx x
                                           ds ds du 1 ds
                                                =           =
                                           dx du dx x du

                                d2 s   d  1 ds    1 ds 1 d2 s                 du
                                     =         =− 2    +
                                dx 2 dx  x du    x du x du2                   dx
                               d2 s     1 ds 1 d2 s     1  d2 s               ds 
                                     =− 2     + 2     = 2 2 −                    
                               dx 2    x du x du2 x  du                      du 
                                                                                  
Reemplazando en la ecuación 4.16, se llega a:
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS                                                                          29




                             d2 s ds ds
                                2
                                  −   +   = e 2u s ∴ s ′′ − x 2 s = 0                                       [4.17]
                             du     du du

Ahora se soluciona esta ecuación por medio del operador cuadrático, explicado en el numeral 3.1.1.4,
obteniendo las raíces D = ± x .

Entonces, la solución es igual a:
                                               s = C1 e x + C 2 e − x
                                                                    r          r
                                 r                               −
Que al reemplazar el valor de x = , se obtiene: s = C1e B + C 2 e B . Para encontrar el valor de las
                                 B
constantes, se sabe que cuando el radio tiende al infinito, el abatimiento es nulo, y que cuando el radio es igual al
radio del pozo, el caudal es constante. Entonces: si s(r) = s( ∞ ) = 0, entonces 0 = C1 (∞ ) , pero esto es
indeterminado, lo cual no permite concluir el valor de C1. Es decir que la solución planteada no es compatible
con las condiciones de frontera dadas. Sólo se sabe que las soluciones son linealmente independientes, por lo
que usando las función de Bessel se pueda encontrar la solución compatible.

                                               r            r
                                     s = C1I 0   + C 2 I 0  −                                           [4.18]
                                               B            B

Donde:
    r
I 0   : es el modificador de la función de Bessel de orden 0, de primera clase.
    B
     r         r
I 0  −  = K 0   : es el modificador de la función de Bessel de orden 0, de segunda clase, así que la
     B         B
solución queda definida como:
                                                 r          r
                                     s = C 1 I 0   + C 2K 0                                             [4.19]
                                                 B          B

Los valores de los modificadores de Bessel están ya tabulados, y se pueden encontrar en libros de Cálculo
Avanzado.

Con las condiciones de frontera antes mencionadas, se concluye que: I 0 (∞ ) = ∞, K 0 (∞ ) = 0 , así que C1 es
igual a cero.

Ahora cuando r = rw:
                                                         ∂s
                                                Q = −2πrwbK
                                                         dr
                   r           ∂s      ∂   r         1 r                r
Si s (r ) = C 2K 0   entonces,    = C 2  K 0    = C 2 K 1   , donde K 1   , es el operador de
                                                   
                   B           ∂r      ∂r   B        B B                B
la función de Bessel de primer orden de segunda clase.
30                                                      CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS


                                   1       r                       Q
                        Q = 2πrw T  C 2K 1  w
                                   B                ∴ C2 =
                                                     
                                           B                     1 r         
                                                              2πrw T  K 1  w
                                                                     B            
                                                                                    
                                                                          B      
Y reemplazando el valor de la constante, se tiene que:

                                                   r
                                                K0  
                                           Q       B
                                       s=                                                              [4.20]
                                          2πT rw  rw 
                                                 K1  
                                              B B

La ecuación 4.20 representa la Ecuación de DeGlee – Jacob, para acuíferos semiconfinados. Está ecuación
                                              rw                                        r     r 
puede simplificarse para usos prácticos; si      < 0.01 , se puede aproximar el factor: w K 1  w  ≅ 1 , y
                                              B                                         B B
entonces la ecuación 4.18 se puede escribir como:
                                               Q   r
                                         s=      K0                                                  [4.21]
                                              2πT  B 

                                 r
Según Hantush (Batu, 1998), si     ≤ 0.05 la ecuación de De Glee - Jacob se puede escribir como:
                                 B
                                          2.303 Q      1.12 B 
                                  s(r ) ≅         log                                              [4.22]
                                           2πT         r 


4.3 ACUÍFEROS LIBRES

Dupuit y Forchheimer derivaron la expresión sin reconocer quien la hizo primero, por esta razón lleva ambos
nombres. Esta ecuación es la simple ecuación para acuíferos libres.

4.3.1 Consideraciones Básicas

La Figura 15 muestra un pozo que penetra completamente el acuífero libre. Dupuit y Forchheimer encontraron
independientemente la solución para la carga piezométrica con base en las siguientes suposiciones:

    El acuífero es homogéneo e isotrópico y de extensión infinita
    La tabla de aguas es horizontal antes del bombeo
    La ley de Darcy es valida para el flujo en el acuífero
    El agua es instantáneamente removida del almacenamiento, como la carga piezométrica decae.
    La tasa de bombeo del pozo es constante
    Las condiciones de Dupuit son validas.
    El flujo es simétrico, respecto al eje del pozo. La filtración de las paredes del pozo es despreciable y el
    acuífero recibe una tasa constante de recarga.
    Se desprecian las pérdidas en el pozo, H0 =Hw
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  • 1. CAPITULO 8 HIDRAULICA DE POZOS LEONARDO DAVID DONADO GARZON TABLA DE CONTENIDO Pág. 1 INTRODUCCION 2 2 CONCEPTOS BASICOS 2 3 MOVIMIENTO NO PERMANENTE 3 3.1 POZOS DE PEQUEÑO DIÁMETRO 4 3.2 POZOS DE GRAN DIÁMETRO 20 4 MOVIMIENTO PERMANENTE 23 4.1 ACUÍFEROS CONFINADOS 23 4.2 ACUÍFEROS SEMICONFINADOS 26 4.3 ACUÍFEROS LIBRES 30 5 PRINCIPIO DE SUPERPOSICION 34 5.1 CASO DE DOS POZOS 34 5.2 MÉTODO DE LAS IMÁGENES 35 6 APLICACIONES 38 6.1 USO DE LA ECUACIÓN DE THEIS 38 6.2 USO DE LA ECUACIÓN DE JACOB 39 6.3 USO DE LA ECUACIÓN DE CHEN 39 6.4 USO DE LA ECUACIÓN DE PAPADOPULOS & COOPER 39 6.5 USO DE LA ECUACIÓN DE THIEM 40 6.6 USO DE LA ECUACIÓN DE DE GLEE - JACOB 40 6.7 USO DE LA ECUACIÓN DE DUPUIT - FORCHHEIMER 41 7 REFERENCIAS 41
  • 2. 2 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 1 I NT RO D U C CI O N 1 I NT RO D U C CI O N Una vez determinadas las posibilidades de producción de agua subterránea en una determinada zona, el siguiente proceso es determinar su adecuada explotación. Para una adecuada producción de los pozos de explotación de los acuíferos fuente, es necesario determinar el uso y así caracterizar de manera económica el beneficio de la explotación del recurso. A continuación, se presentan los diferentes métodos de análisis de pozos en los diferentes tipos de acuíferos existentes. La intención es mostrar el desarrollo matemático de todas las ecuaciones que gobiernan el movimiento del agua subterránea en explotación, ya sea bombeo o recarga de acuíferos. La principal aplicación planteada en este capítulo es la de determinar los radios de influencia de los pozos para así se necesita determinar que interferencia pueden tener entre ellos. Además con los conceptos explicados, se tendrá la capacidad de determinar el abatimiento del nivel freático del acuífero en cualquier punto cuando se esta extrayendo agua. 2 CO N CE P T O S B A SI CO S 2 CO N CE P T O S B A SI CO S La Figura 1 ilustra un pozo en una formación acuífera. En ella se detallan cada uno de los conceptos definidos a continuación: Nivel Estático Es el nivel de agua presente en la formación acuífera antes de comenzar el bombeo. Este nivel se ve afectado por efectos meteorológicos (precipitación, infiltración) estacionales o por cargas adicionales (edificaciones), o por la descarga producida por pozos cercanos. Nivel Dinámico También llamada nivel de bombeo, por que es producido cuando comienza la descarga de l acuífero por el pozo. Este nivel depende del caudal de bombeo, del tiempo de bombeo y de las características hidrogeológicas del acuífero. También se debe tener en cuenta la técnica desarrollada en el diseño de pozo. Abatimiento Bajo condiciones de extracción o inyección de un pozo, la carga hidráulica inicial en cualquier punto del acuífero cambia. En condiciones de extracción de un pozo, la distancia vertical entre la carga hidráulica inicial en un punto en el acuífero y la posición baja de la carga hidráulica para el mismo punto es llamado abatimiento. Para un acuífero libre el nivel del agua en el nivel freático está determinado por la distancia s(x,y,z,t), la cual es el abatimiento. Para el caso del acuífero confinado, el abatimiento es definido con respecto a la superficie piezométrica. Este descenso de niveles, define la curva de abatimiento, por lo tanto es claro que el abatimiento presente su menor valor en lejanías del pozo y el mayor valor en el pozo. La dimensión del abatimiento es la longitud [L]. El abatimiento es generalmente expresado en metros de agua
  • 3. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 3 Cono de depresión Pozo Q Superficie piezométrica antes del bombeo Al producirse el descenso del nivel estático z Superficie del terreno Superficie piezométrica al tiempo t del pozo, se establece un gradiente hidráulico entre cualquier punto de la formación y el pozo, originándose un movimiento radial desde todas las direcciones hacia el pozo en una forma simétrica y de tal manera que el caudal Q Abatimiento que se extrae del pozo es igual al caudal Acuífero libre Superficie piezométrica al tiempo t +∆t que pasa por cualquier sección del acuífero. A medida que la velocidad aumenta mayor Capa filtrante confinate h 0 será el gradiente hidráulico ya que aumenta la fricción existente entre el fluido y las h(r,t) Acuífero confinado r ∆r partículas sólidas en contacto; es por eso b que lo que se forma alrededor del pozo se le Q(r) Q(r+∆r) conoce como cono de depresión que sobre 2rw un plano vertical presenta una curva Lecho impermeable Datum conocida con el nombre de curva de abatimiento. La forma, alcance y Figura 1 Esquema representativo del bombeo de un pozo. profundidad de este cono de depresión dependerá de las condiciones hidrogeológicas (transmisividad y coeficiente de almacenamiento del acuífero), del caudal y el tiempo de bombeo o inyección. En el acuífero confinado el cono de depresión es la representación de la variación de los niveles piezométricos en tanto que en el acuífero libre es además la forma real de la superficie piezométrica. Capacidad Específica Es la relación que existe entre el caudal que se obtiene de un pozo y el abatimiento producido y se expresa en unidades de caudal por longitud, [L3/T/L]. Este valor es contante para acuíferos confinados y variables para los acuíferos libres; es un término que representa el grado de eficiencia de un pozo ya que de dos pozos perforados en una misma formación acuífera, el de menor capacidad específica tendrá menos eficiencia. El grado de eficiencia de un pozo lo determinaremos con base en la transmisividad y el coeficiente de almacenamiento de la formación acuífera, (con la cual podremos calcular un valor de la capacidad específica teórica) el valor de la capacidad específica real medida en el pozo. 3 M O V I M I EN T O N O PE R M A N E N T E 3 M O V I M I EN T O N O PE R M A N E N T E En 1935 Theis planteó el modelo matemático para describir el movimiento de agua subterránea en acuíferos homogéneos e isotrópicos. Este modelo describe el flujo transiente en acuíferos bajo condiciones constantes de extracción de un pozo en acuíferos. A pesar de sus limitaciones tiene muchas aplicaciones en la hidráulica de pozos. Trata el pozo como una línea origen y no toma en consideración el agua obtenida del almacenamiento dentro del pozo. Papadopulos y Cooper generalizaron la ecuación de Theis considerando los efectos de almacenamiento.
  • 4. 4 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 3.1 POZOS DE PEQUEÑO DIÁMETRO 3.1.1 Acuíferos confinados 3.1.1.1 Consideraciones Básicas Para el cumplimiento del Modelo de Theis hay que tener en cuenta las siguientes consideraciones esquematizadas en la Figura 2. Acuífero homogéneo e isotrópico Acuífero horizontal y de espesor constante, b Descarga contante, Q No hay goteo Acuífero de extensión infinita El diámetro del pozo es infinitesimalmente pequeño, es decir que no existe almacenamiento en el pozo El pozo penetra todo el acuífero Antes del bombeo la carga piezométrica en el acuífero en la misma en cada punto del acuífero La descarga del pozo es obtenida exclusivamente del almacenamiento del acuífero El agua es inmediatamente liberada del almacenamiento del acuífero al declinar la carga hidráulica El almacenamiento en el acuífero es proporcional a la carga hidráulica Pozo Q Superficie piezométrica antes del bombeo z Superficie piezométrica Superficie del terreno al tiempo t Superficie piezométrica al tiempo t +∆t h Capa confinate 0 h(r,t) r Acuífero confinado ∆r b Q(r) Q(r+∆r) 2rw Datum Lecho impermeable Figura 2. Flujo inestable en un pozo que penetra totalmente en un acuífero confinado. Sección transversal vertical. 3.1.1.2 Ecuación de Movimiento Utilizando la Ecuación de Movimiento que gobierna en flujo en acuíferos isotrópicos:  ∂ 2h ∂ 2h  ∂ 2 h S ∂h K 2 + 2  + K 2 =  ∂x [3.1]  ∂y   ∂z T ∂t Donde T es la transmisividad, S el coeficiente de almacenamiento y K es la conductividad hidráulica.
  • 5. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 5 Sabiendo que T = K b y S = S s b , analizando el problema bidimensional, se obtiene la siguiente ecuación: ∂ 2h ∂ 2h S ∂ h + = [3.2] ∂x 2 ∂y 2 T ∂t Utilizando coordenadas polares, donde r = x 2 + y 2 y considerando la ley de Darcy, que en términos de ∂h(r, z, t ) caudal es definida por v r = v r (r, z, t ) = −K , donde K es la conductividad hidráulica en dirección ∂r radial. La tasa total del flujo a una distancia r del pozo es: ∂h Q(r ) = A r v r = −(2 π r b ) qr = 2 π r T [3.3] ∂r La carga piezométrica una distancia r es h(r,t); luego de un tiempo ∆t, la carga piezométrica es será h(r,t+∆t) y la disminución de la carga piezométrica es: ∆h = h(r, t + ∆t ) - h(r, t ) [3.4] Usando la figura 3.1, y aplicando la ecuación de continuidad: [Q(r ) − Q(r + ∆r )]∆t = 2 π r ∆r ∆h S [3.5] ∂Q ∂h y como ∆r → 0 y ∆t → 0 =2π r S [3.6] ∂r ∂t Reemplazando la ecuación 3.3 en la ecuación 3.6, se obtiene: 1 ∂  ∂h  S ∂h r  = r ∂r  ∂r  T ∂t [3.7] ∂ 2h 1 ∂ h S ∂ h + = ∂r 2 r ∂r T ∂t Si el abatimiento está definido por: s = h0 − h ∂ 2 s 1 ∂s S ∂s + = [3.8] ∂r 2 r ∂r T ∂t Que es la ecuación de movimiento en flujo transitorio radial. 3.1.1.3 Condiciones de Frontera Según las suposiciones de Theis, las condiciones son las siguientes:
  • 6. 6 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS Para el Abatimiento Cuando no se está extrayendo agua en cualquier punto del acuífero el abatimiento es nulo; es decir: ∀ r, en t=0, s(r,t) = s(r,0) = 0 En condiciones de extracción de agua, se supone que en la distancia más lejana del pozo, el abatimiento es nulo; es decir: ∀ t>0, en un radio r = ∞ , s(r,t) = s(r, ∞ ) = 0. Descarga Si se tiene que en cuenta que sólo se produce abatimiento cuando se extrae agua, se concluye que: Cuando t < 0, Q=0 Cuando t ≥ 0, Q = constante Ahora, como la tasa de bombeo es constante en el pozo, de la ecuación 3.6, se tiene que para t ≥ 0 :  ∂s  Q lim r  = − [3.9] r →0  ∂ r  2π T 3.1.1.4 Solución de la Ecuación de Movimiento Para encontrar la solución se aplica el método de separación de variables (Piskunov, 1977); es decir se busca la solución particular de la ecuación 3.8 en forma de un producto de dos funciones: s(r, t ) = f (r ) ⋅ g(t ) [3.10] Remplazando está función en la ecuación 3.8 se obtiene: 1 S f ′′g + f ′g = fg′ r T [3.11] f ′′ 1 f ′ S g′ + = f r f T g Al demostrar que son separables, estás funciones son iguales a una constante, que se llamará λ . Entonces igualando λ al lado izquierdo de la ecuación 3.11: f ′′ 1 f ′ + =λ f r f 1 f ′′ + f ′ = fλ r 1 f ′′ + f ′ − fλ = 0 r Al solucionar por operador cuadrático: 1 D2 + D − λ = 0 r
  • 7. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 7 D=− 1 2r [ 1 ± 1 + 4 λr 2 ] Pero dependiendo del valor que tome el discriminante, se obtendrán las diferentes raíces, así: i) Si 1 + 4λr 2 > 0 , existen 2 raíces reales diferentes: D = − 1 2r [ 1 ± 1 + 4 λr 2 . ] − 2 r 1 + 1 + 4 λr 2  − 2 r 1 − 1 + 4 λr 2  Entonces la solución particular es: f (r ) = C1e 1 1       + C 2e   1 ii) Sí 1 + 4λr 2 = 0 , existen 2 raíces reales iguales: D = − 2r Entonces la solución particular es: f (r ) = C1e 1 1 − 2r − 2r + C2 r e . iii) Si 1 + 4λr 2 < 0 , existen 2 raíces imaginarias diferentes: D = − 1 2r [ ( 1 ± i − 1 + 4 λr 2 )] Entonces la solución particular es: f (r ) = e 1 − 2r   1 ( 2   1 ) C1 cos − 2r − 1 + 4λr  + C 2 sen − 2r − 1 + 4λr 2 ( )  .       Igualando ahora al lado izquierdo de la ecuación 3.11 a λ: λ S g′ =λ T g , S g′ ∫T g ∫ , y luego despejando g(t) se llega a: = λ Integrando: S ln(g) = λt + M T g(t ) = P e S , donde P = e M = constante λTt Por lo tanto, como de f se obtienen tres soluciones, la solución de la ecuación 3.8 puede tener tres formas:  − 2 r 1 + 1 + 4 λr 2  − 2 r 1 − 1 + 4 λr 2   λSTt s(r , t ) =  C1 (λ )e  + C 2 (λ )e 1 1    i)      e    ii) ( s(r , t ) = C1 (λ )e 1 − 2r + C 2 (λ ) r e 1 − 2r )e λTt S (λSTt − 21r )  iii) s(r , t ) = e  1 2  (  1 ) C1 (λ ) cos − 2r − 1 + 4λr  + C 2 (λ ) sen − 2r − 1 + 4λr 2 ( )        Para cada valor de λ , las constantes arbitrarias C1, C2 y P tienen valores determinado; por eso C1 y C2; son funciones de λ y absorben el valor de P. También se aclara que la suma de las tres formas de solución son soluciones de la ecuación 3.8, debido a su linealidad..
  • 8. 8 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 3.1.1.5 Solución de Theis Para encontrar la solución y el valor de las constantes, Theis reemplazó las condiciones iniciales y de frontera en las anteriores combinaciones, y así encontró la función de abatimiento por analogía de transferencia de calor en sólidos: A s(r, t ) = e −u [3.12] t r 2S Donde A es una constante y u = . Para t>0, el volumen total V, de agua tomado del acuífero es: 4tT ∞ V= ∫ 0 2 π r s S dr [3.13] Reemplazando 3.12 en 3.13: ∞ A −u V= ∫0 2 πr t e S dr [3.14] r2s ∞ A − V= ∫0 2 π r e 4tT S dr t Al solucionar esta integral se tiene que: r=∞  r 2s  r 2s 2 − r dr = 2 π S − Tt e 4tT  A ∞ − A V =2πS ∫ e 4tT t  S [3.15] t 0    r =0 De donde: V =4πTA V A= [3.16] 4πT Reemplazando 3.16 en 3.12 se tiene que:  r 2S  −   V s(r, t ) = 4Tt  [3.17] e   4πTt El Volumen de agua V, del acuífero es removido durante el período de tiempo dt. Así que V=Q t. y dV=Q dt, y entonces:
  • 9. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 9  r 2S  −   dV ds (r, t ) = 4Tt  [3.18] e   4πTt Si el agua es bombeada a una tasa de Q por unidad de tiempo de t=0 a t=t en el origen por integración se obtiene:  r 2S    Q dt −  4Tt  ds (r, t ) = e   [3.19] 4πT t  r 2S  t   Q dt −  4Tt  s(r, t ) = ∫t e  [3.20] 4πT 0 r 2S Reemplazando: u = , entonces: 4Tt ∞ Q e -u s(r, t ) = h0 - h(r, t ) = 4πT∫ u du [3.21] u Donde: ∞ e −u ∫ u du = −Ei(− u) = W(u) u [3.22] La integral exponencial se conoce como la función de pozo de Theis, y su solución está dada por una serie de potencias: u2 u3 u4 W (u) = −0.5772 − ln(u) + u − + − +K 2.2! 3.3! 4.4! [3.23] n n u ∞ W (u) = −0.5772 − ln(u) − ∑ (− 1) n=1 n.n! Ahora se puede definir el abatimiento en términos de la curva de Theis: Q s(r, t ) = W (u) [3.24] 4πT La Figura 3 muestra la curva típica de Theis, útil para determinar las parámetros hidrogeológicos de acuíferos confinados usando datos de pruebas de bombeo. También se pueden trazar isolíneas de tiempo graficando el abatimiento en función del radio e isolíneas de radio, graficando el abatimiento en función del tiempo.
  • 10. 10 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS Figura 3 Curva de Theis. (Batu, 1998) La ecuación es aplicable a acuíferos libres si el abatimiento es pequeño comparado con el espesor b de la formación. (Batu, 1998) 2 r La ecuación se cumple para la siguiente condición: t > 250 c , donde rc es el radio del pozo, por no tener en T cuenta el almacenamiento en el pozo. Si los parámetros K, b, S y Q son conocidos, se puede determinar el abatimiento de la carga hidráulica en el acuífero confinado a cualquier distancia r del pozo, en cualquier tiempo. Lo único necesario es determinar el valor del parámetro u y así encontrar el valor de la función del pozo de Theis, W(u). Figura 4 Isolíneas de tiempo y de radio en función del abatimiento. (Batu, 1998)
  • 11. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 11 3.1.1.6 Ecuación de Jacob Cooper & Jacob, 1946, tomaron en cuenta que cuando u,u < 0.01, la suma de los términos más allá de ln (u), en la ecuación 3.23, no es significativa. Los valores de u decrecen cuando el tiempo se incrementa y cuando la distancia radial r decrece. Bajo esas condiciones: Q s(r, t ) ≅ [− 0.5772 − ln(u)] [3.25] 4πT s(r, t ) ≅ Q [ln(0.5614) − ln(u)] = Q ln (0.5614) [3.26] 4πT 4 πT   u   r 2S Reemplazando, u = 4 Tt   Q  (0.5614) Q  2.25 Tt  s(r, t ) ≅ ln 2 = ln r 2 S  [3.27] 4 πT  r S  4 πT     4Tt  La ecuación 3.27 es conocida como la ecuación de Jacob. Que expresada en términos del logaritmo en base 10 es igual a: 2.302 Q  2.25 Tt  s(r, t ) ≅ log [3.28] 4πT   r 2S   Como primera aplicación de la ecuación de Jacob se puede usar para obtener el radio se influencia, cuando el abatimiento es nulo. Entonces despejando el Radio se obtiene Q  2.25 Tt  0= ln R 2 S  4πT   2.25 Tt 0 = ln R 2S 1  Tt  2 [3.29] R = 1.5  S La ecuación de Jacob tiene la ventaja, respecto a la ecuación de Theis, de no requerir la consulta o tablas de la función de pozo de Theis. 3.1.1.7 Capacidad Específica y Estimación de Transmisividad La capacidad específica, CE de un pozo es definida como la relación de su descarga con su abatimiento total [CE=Q/s]; en otras palabras es el caudal por unidad de abatimiento. Se puede desarrollar una muy simple ecuación para estimar la transmisividad a partir de la capacidad específica, usando la ecuación de Jacob. Esta derivación está basada en un diámetro medio del pozo en un período promedio de bombeo, y valores típicos del coeficiente de almacenamiento y producción específica.
  • 12. 12 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS Para acuíferos confinados, Driscoll en 1986 (Batu, 1998) asumió los siguientes valores típicos: Tabla 1 Valores típicos para acuíferos confinados según Driscoll. (Batu, 1998) Parámetro Valor Unidades Tiempo, t 1 Día Radio del pozo, rw 0.152 m Producción, S 0.001 Adimensional Transmisividad, T 373 m2/día Sustituyendo estos valores en la ecuación de Jacob, se obtiene: [ s ] = CE [m ] = T [m día] Q m 3 2 2 [3.30] s [m] w día 1.385 T m[2 día ] = 1.385 CE [m día] 2 [3.31] Para un acuífero libre, con producción específica Sy=0.075, como valor típico, y el resto de valores mostrados en la tabla 1, se produce la siguiente relación: [ s ] = CE [m ] = T [m día] Q m 3 2 2 [3.32] s [m] w día 1.042 T m[2 día ] = 1.042 CE [m día] 2 [3.31] Si se tienen múltiples pozos, la información obtenida de las anteriores ecuaciones puede usarse para estimar la conductividad hidráulica promedio (Kmed [m/d]) del acuífero, mediante la siguiente relación: K med = ∑K L n n [3.32] ∑L n Donde K es la conductividad de cada pozo, n es el número del pozo y L es la longitud del filtro. 3.1.1.8 Ecuación de Chen En 1984, Chen extendió la ecuación de Theis, para acuíferos de extensión lateral finita, como islas o meandros. Determinó que la distancia en la cual el abatimiento es nulo, en condiciones de bombeo, es conocida, y la llama R. Es decir: s(R,t) = 0, donde R es la es la distancia radial donde la energía es cero. La solución encontrada se conoce como la Ecuación de Chen (Batú, 1998): Q s(r, t ) = [W(u) − W(U) + 2I] [3.33] 4π T Donde: R 2S U= 4Tt
  • 13. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 13  u  12  J0   χn   U χ2 (1 − x )  ∞  U    1  − x − n 4U  dx  e I=∑ ∫    n=0 χn J1 (χn ) 0 x χn = R βn Donde: J0, J1: función de Bessel de orden cero y uno. βn: es la enésima raíz que satisface J0(R χn) = 0. 4π T s La Figura 5 muestra la gráfica u contra Q , que es la usada para efectos prácticos. Se nota que cuando R 2S U ≥ 4, la solución es igual a la de Theis. En otras palabras, sólo cuando t ≤ , se justifica usar este 16T modelo. Solución de Theis Figura 5 Curva de Chen. (Batu, 1998) 3.1.2 Acuíferos Semiconfinados Hantush y Jacob en 1955 (Batu, 1998), desarrollaron el modelo aplicable a acuíferos semiconfinados, isotrópicos y homogéneos, ilustrado en la Figura 6. Estos dos investigadores tuvieron en cuenta las siguientes suposiciones:
  • 14. 14 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS Superficie piezométrica antes del bombeo Q Superficie piezométrica durante el bombeo Superficie del terreno (cono de depresión) z Nivel Estático s sw r Superficie piezométrica al tiempo t +∆t Qv Capa confinante H hw Acuífero confinado b 2rw Lecho impermeable Figura 6. Acuífero semiconfinado Acuífero homogéneo e isotrópico Acuífero horizontal y de espesor constante, b, y su capa confinante posee un espesor constante b’ y una conductividad hidráulica vertical K’. Descarga contante, Q Acuífero de extensión infinita El diámetro del pozo es infinitesimalmente pequeño, es decir que no existe almacenamiento en el pozo El pozo penetra todo el acuífero La capa confinante no almacena agua El flujo en el acuífero es horizontal y el goteo es vertical Inicialmente, la tabla de agua posee la misma altura de la carga hidráulica del acuífero y es igual a h0. La ecuación diferencial parcial para flujo radial, fue obtenido por Jacob en 1946, es la ecuación que gobierna el movimiento en este tipo de acuíferos. Aplicando el principio de continuidad, par el anillo dado, se tiene: [Q(r ) − Q(r + ∆r )]∆t + Q v ∆t = (2πr )∆r ∆h S [3.34] Q v = A v = (2πr∆rb )v v [3.35] h −h Usando la Ley de Darcy: v v = K' 0 [3.36] b'
  • 15. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 15 Y combinado las anteriores ecuaciones, se concluye que: [Q(r ) − Q(r + ∆r )]∆t + (2πr∆r )K' h0 − h ∆t = (2πr )S∆r∆h [3.37] b' Como ∆r y ∆s, tienden a cero y aplicando la definición de la derivada, se llaga a: ∂Q h −h ∂h + (2πr )K ' 0 = (2πr )S [3.38] ∂r b' ∂t Y sabiendo que el abatimiento es el la diferencia de niveles, s=h0-h y que el caudal en el acuífero está dado por: ∂h Q(r ) = 2πrT [3.39] ∂r La ecuación es igual a: ∂ 2 s 1 ∂s K ' S ∂s 2 + − s= [3.40] ∂r r ∂r Tb' T ∂t Tb' Y sí se reemplaza: B = , la ecuación toma la forma: K' ∂ 2 s 1 ∂s s S ∂s 2 + − 2 = [3.41] ∂r r ∂r B T ∂t Las condiciones iniciales y de frontera planteadas, para la cabeza y el abatimiento son: h(r ,0 ) = h0 , para todo r s(r ,0 ) = 0 , para todo r h(∞, t ) = h0 , para todo t s (∞, t ) = 0 , para todo t Las condiciones de descarga son: Q = 0, cuando t=0 Q = constante, cuando t ≥ 0  ∂h  Q lim r  = r→0  ∂r  2πT , para t ≥ 0  ∂h  Q lim s  = − r→0  ∂r  2πT , para t ≥ 0 Al igual que Theis, Hantush y Jacob encontraron la solución a la ecuación de movimiento, la cual es: Q  r s(r , t ) = W u,  [3.42] 4 πT  B 
  • 16. 16 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS  r W u,  Donde  B  es la función de pozo para acuíferos semiconfinados de Hantush y Jacob. Está función describe una serie, cuya expresión es:  r  2      −u −  B    u  ∞   [3.43]  r 1    u,  = ∫ e   du  B u u r 2S Además, u = . La Figura 7 tabula los valores de la función de pozo, que también están en tablas en libros 4 Tt de matemáticas avanzadas e hidráulica de pozos. Figura 7. Curva de Hantush y Jacob. (Batu, 1998) 3.1.3 Acuíferos Libres En 1972, Neuman, aprovechando desarrollos realizados por Boulton (1954), (Batu, 1998) simplifico la ecuación de movimiento en acuíferos libre, ilustrados en la Figura 8. Las consideraciones que él tuvo en cuenta son:
  • 17. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 17 Q Superficie del terreno z Nivel Estático s sw FS r Superficie piezométrica antes del bombeo Superficie piezométrica al tiempo t +∆t Superficie piezométrica durante el bombeo (cono de depresión) Kz A1 Kr Acuífero ξ H b libre 2rw A2 Datum Lecho impermeable Figura 3.7 Flujo a un pozo en un acuífero libre infinito La tasa de bombeo es contante, Q El diámetro del pozo es infinitamente pequeño El pozo penetra completamente en el acuífero En la zona saturada del acuífero , la ley de Darcy se cumple siempre El acuífero tiene extensión lateral infinita El material del acuífero es homogéneo pero anisotrópico, y su principal conductividad hidráulica está orientada paralela a los ejes coordenados El agua es bombeada por compactación del acuífero, expansión del aguay drena por gravedad de la superficie libre El pozo puede ser tratados como una línea hundida El abatimiento de la tabla de agua es pequeño comparado con el espesor de la zona saturada Los efectos de capilaridad son despreciables La ecuación de movimiento fue plantada en el capítulo 7 y es: ∂ 2 s K r ∂s ∂ 2 s S ∂s Kr 2 + + Kz 2 = , 0<z<ξ [3.44] ∂r r ∂r ∂z T ∂t La posición de la superficie libre de los acuíferos libres cambia en el espacio bajo condiciones de flujo transiente, por este motivo, la superficie libre es tratada como una frontera en movimiento. Bajo esta concepción, la frontera de la región de flujo, consiste de tres partes complementarias, mostradas en la Figura 8: La frontera de carga prescrita, A1, la frontera de flujo prescrito, A2 y frontera de la superficie libre, FS. Las otras fronteras tienden al infinito. La pared del pozo se incluye en A1. Las condiciones iniciales para abatimiento, s(r,z,t) y espesor saturado ξ(r,t), respectivamente son:
  • 18. 18 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS s(r,z,0) = 0 ξ(r,0) = b ∂s(r ,0, t ) La condición de frontera del abatimiento en el infinito es s (∞, z, t ) = 0 y en la frontera A2 es = 0. ∂z La condición de tasa de bombeo constante Q en el pozo está dada por la siguiente expresión: ∞ ∂s Q lim ∫ r dz = − [3.45] r →0 0 ∂r 2πK r Neuman, simplificó la ecuación de movimiento, llegando a la siguiente expresión: ∂ 2 s 1 ∂s ∂ 2s 1 ∂s 2 + + KD 2 = , 0<z<b [3.46] ∂r r ∂r ∂z α s ∂t Donde: Kz K K KD = , αs = r , α y = z [3.47] Kr Ss Sy ∂s(r , b, t ) 1 ∂s(r , b, t ) =− [3.48] ∂z αy ∂t La solución encontrada por Neuman, para el abatimiento es: [ ] ∞ Q  ∞  s(r , z, t ) = ∫ 4 xJ0 x (K D ) 2 ω0 (x ) + ∑ ωn (x )dx 1 [3.49] 4 πT 0  n =1  Donde J0 es la función de Bessel de primera clase de orden cero y ω0 (x ) = {1 − exp[− t K (x s D 2 − β0 2 )]}cosh(β z b ) 0 D D − (1 + σ )β − (x ) bσ   cosh(β b )   2  2 2 2 2  2 x 0 + β0 D  0 D      ω0 (x ) = {1 − exp[− t K (x s D 2 − βn 2 )]}cosh(β z b ) n D D − (1 + σ )β − (x ) bσ   cosh(β b )   2 2  2 2 2 D  2 x n + βn n  D      Tt Tt b z S ts = 2 , ty = 2 , b D = , zD = , σ = Sr S yr r b Sy Las Figura 9 y 10 muestran la función de pozo de Neuman, en función del abatimiento relativo y el tiempo relativo.
  • 19. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 19 is The a de Curv Figura 9 Función de Pozo de Neuman. (Batu, 1998) de Th e is C u rva Figura 10 Función de Pozo de Neuman. (Batu, 1998)
  • 20. 20 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 3.2 POZOS DE GRAN DIÁMETRO Los pozos de pequeño diámetro generalmente varían entre 0.05 m y 0.25 m. Como se mostró anteriormente, esos son representados por una línea en los modelos matemáticos. Esta aproximación es válida para los pozos en este rango de diámetros, pero inapropiada para pozos con un diámetro mayor. En particular, los radios de pozos excavados pueden ser de Superficie piezométrica antes del bombeo 0.5 m a 2 m o más. Q Superficie piezométrica La teoría de Theis asume que el durante el bombeo Superficie del terreno z (cono de depresión) pozo es una línea en el origen. Esta suposición no tiene en cuenta los efectos significativos Nivel Estático de almacenamiento. Los efectos s de este almacenamiento en el sw pozo, llegan a ser importantes cuando la transmisividad y el r coeficiente de almacenamiento Superficie piezométrica del acuífero son pequeños o rc al tiempo t +∆t cuando diámetro del pozo de bombeo es grande. Papadopulos y Cooper (1967) Capa confinante desarrollaron soluciones analíticas en y alrededor de Acuífero confinado pozos de gran diámetro en acuíferos confinados b homogéneos e isotrópicos, 2rw tomando en cuenta los efectos del almacenamiento dentro del pozo. Después, Moensch (1985) Lecho impermeable presentó modelos matemáticos que combinaron los acuíferos Figura 11 Esquema representativa de un pozo de gran diámetro. semiconfinados de Hantush (1985) con la teoría antes mencionada del flujo en pozos de gran diámetro. 3.2.1 Consideraciones Básicas La Figura 11 muestra la sección transversal de un pozo de gran diámetro que penetra totalmente un acuífero confinado. Papadopulos y Cooper (1967) desarrollaron una solución analítica bajo condiciones de explotación con las siguientes suposiciones: El acuífero es un homogéneo e isotrópico El acuífero es horizontal y tiene un espesor constante (b) La tasa de descarga (Q) del pozo es constante El acuífero no tiene goteo y es horizontalmente infinito El pozo penetra totalmente el acuífero Las pérdidas en el pozo son despreciables Antes del bombeo, la carga hidráulica en el acuífero es la misma en todos los puntos del acuífero La descarga de los pozos es derivada exclusivamente del volumen almacenado en el acuífero El agua es inmediatamente tomada en el bombeo, lo que hace decaer la carga hidráulica El almacenamiento en el acuífero es proporcional a la carga hidráulica
  • 21. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 21 La Ecuación de Movimiento es la misma ecuación 3.8, con la condición de que el radio, r ≥ rw . ∂ 2 s 1 ∂s S ∂s + = [3.34] ∂r 2 r ∂r T ∂t Donde s es el abatimiento en el acuífero a una distancia r en un tiempo t; r es la distancia radial desde el centro del pozo; S es el coeficiente de almacenamiento del acuífero; T es la transmisividad y rw es el radio efectivo de la pared del pozo. Las condiciones iniciales en el acuífero y el pozo, respectivamente, son: r ≥ rw , cuando s(r,0) = 0, sw (0) = 0 Las condiciones de frontera son: s(rw,t) = sw(t) s( ∞ ,t)= 0 ∂s(rw , t ) 2 ∂s w (t ) Almacenamiento dentro del pozo: 2πrw T − πrc = −Q t≥0 ∂t ∂t Donde sw(t) es el abatimiento en el pozo a un tiempo t y rc el radio del pozo en el intervalo sobre el cual el nivel de agua decae. Las condiciones iniciales muestran que en un comienzo el abatimiento en el acuífero y en el pozo es cero. La primera condición de frontera indica que el abatimiento en el acuífero, en una cara del pozo es igual al abatimiento en el pozo. La segunda señala que el abatimiento en el acuífero en el infinito es cero. Finalmente, se expresa el efecto que tiene la tasa de descarga del pozo, que es iguala la suma de la tasa de flujo de agua del pozo y la tasa de descenso en el volumen de agua dentro del pozo. 3.2.2 Ecuación de Papadopulos & Cooper El problema planteado fue resuelto por Papadopulos & Cooper, mediante la transformada de Laplace (Batu, 1998). Q s(r, t ) = F (u, α, ρ ) [3.35] 4 πT Donde 8α C (β) ∞ F (u, α, ρ ) = π ∫ D(β )β2 dβ [3.36] 0    2 ρ2   −β C(β) = 1 − e  4u  [J0 (βρ )A (β) − Y0 (βρ )B(β )]     [3.37]   A (β) = βY0 (β ) − 2αY1 (β ) [3.38] B(β) = βJ0 (β ) − 2αJ1 (β ) [3.39] D(β ) = [A (β)] + [B(β )] − [3.40] 2 2 2 r 2S r S r u= , α= w2 , ρ = [3.41] 4Tt rc rw J0 y Y0 son las funciones de Bessel de orden cero y primera clase. Y1 es la función de Bessel de primer orden y de segunda clase.
  • 22. 22 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS Abatimiento dentro del Pozo El abatimiento dentro del pozo es obtenido cuando r = rw y puede ser expresado como: Q s(r, t ) = F (u w , α) [3.42] 4 πT Donde: F (u w , α) = F (u, α,1) [3.43] 2 rw S uw = [3.44] 4Tt Los valores de F (u, α, ρ) son tabulados por integración numérica de la ecuación 3.36. En la Figura 12, los sw valores son representados como una familia de cinco curvas de contra 1/uw; una curva para cada uno Q 4πT de los cinco valores del parámetro α. La curva de Theis, es también mostrada en la Figura 12, de la que se obtienen importantes características de F (u, α, ρ) : El abatimiento predicho por la ecuación de Theis, se aproxima al abatimiento en el pozo de diámetro finito sólo para valores de tiempo relativamente grandes. Papadopulos (1967) comparó su aproximación con la Theis, así: 10 3 rc αρ 2 F (u, α, ρ ) ≈ W (u) para t > 2.5 , > 10 4 [3.45] T u 10 2 rc α F (u w , α ) ≈ W (u w ) para t > 2.5 , > 10 3 [3.46] T uw Las aproximaciones en las ecuaciones 3.38 y 3.39, son válidas para ambas condiciones: Para pozos que tienen un pequeño diámetro o acuíferos de transmisividad relativamente alta, el período definido en las anteriores ecuaciones es muy pequeño. Así pues, para pozos de gran diámetro y acuíferos de baja transmisividad, este período es considerablemente largo. Sí 1/uw llega a ser suficientemente pequeño, las curvas se aproximan a líneas rectas que satisfacen la ecuación: Qt Volumen de agua descargada Q α sw = = = [3.47] πrc 2 Área del pozo 4 πT u w o α F (u w , α ) = [3.48] uw
  • 23. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 23 Curva de Theis Figura 12. Curvas de Papadopulos y Cooper (Batu, 1998) En los primeros períodos, las líneas rectas representan las condiciones bajo la cual todo el agua bombeada es obtenida del almacenamiento dentro del pozo. Como resultado, los datos que están dentro del tramo de línea recta, de las curvas tipo, no dan información acerca de las características hidrogeológicas del acuífero. 4 M O V I M I EN T O PE R M A N E N T E 4 M O V I M I EN T O PE R M A N E N T E Después de largos períodos de bombeo o recarga de un pozo, el flujo de aguas subterráneas alrededor de un pozo se aproxima al estado estable. Esto significa que la carga hidráulica del pozo en cualquier punto del acuífero no cambia con el tiempo. El período requerido para alcanzar el estado estable depende de las características hidráulicas del acuífero. Para los acuíferos menos permeables el período es más largo que para los altamente permeables. Las soluciones de estado estable juegan un papel muy importante en el análisis de datos de abatimiento para la determinación de las características hidráulicas del acuífero y hacer el avalúo de la zona de influencia de un pozo o una batería de pozos. 4.1 ACUÍFEROS CONFINADOS 4.1.1 Consideraciones Básicas Thiem (1906) fue el primero en derivar una solución para el flujo hacia un pozo en condiciones estables para acuíferos confinados con base en las siguientes suposiciones:
  • 24. 24 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS Acuífero horizontal y con espesor constante Acuífero homogéneo e isotrópico y de extensión lateral infinita La carga hidráulica tiene una superficie horizontal antes del bombeo La ley de Darcy es válida en el acuífero El agua es instantáneamente removida del almacenamiento proporcionalmente con el decaimiento de la carga hidráulica La tasa del bombeo del pozo es contante El flujo es simétrico con respecto al eje del pozo La ecuación de movimiento (3.8), en flujo estable se reduce a: Superficie piezométrica Q antes del bombeo Superficie piezométrica Superficie del terreno durante el bombeo z (cono de depresión) Nivel Estático s sw r Superficie piezométrica al tiempo t +∆t Capa confinante hw H Acuífero confinado b K 2rw Lecho impermeable Figura 13 Esquema representativa de un pozo en un acuífero confinado ∂ 2h 1 ∂h S ∂h + = T = K rb [4.1] ∂r 2 r ∂r T ∂t Para condiciones de flujo estable, el término de la derecha tiende a cero, entonces: ∂ 2h 1 ∂ h + =0 [4.2] ∂r 2 r ∂r
  • 25. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 25 Es necesario conocer las condiciones de frontera de Dirichlet (primer tipo), con referencia en la Figura 13: h = hw Carga piezométrica conocida en la frontera del pozo r = rw Radio del pozo h=H Nivel de la carga piezométrica antes del bombeo r=R Radio de influencia del pozo en el cual el abatimiento es cero 4.1.2 Ecuación de Thiem Utilizando la ecuación de continuidad, a cualquier anillo concéntrico al pozo y teniendo en cuenta que se analiza el proceso de bombeo, el caudal es negativo (si el pozo fuera de inyección el caudal sería positivo), se tiene que: − Q = AV = (2πrb ) v r [4.3] Donde vr es la velocidad radial dada por la Ley de Darcy: ∂h(r , z, t ) v r = v r (r, z, t ) = -K [4.4] ∂r Entonces: ∂h Q = 2πrbK [4.5] ∂r Resolviendo por variables separables: Q K∂h = ∂r [4.6] 2πrb Q ln(r ) h(r ) = +C [4.7] 2πT Para evaluar C, se aplican las condiciones de frontera: Si h = hw, entonces r = rw; por lo tanto: Q ln(rw ) hw = +C 2πT Q ln(rw ) C = hw − 2π T Reemplazando la ecuación 4.5, se obtiene la Ecuación de Thiem Q ln(r ) Q ln(rw ) h(r ) = + hw − 2π T 2π T Q h(r ) − h w = [ln(r ) − ln(rw )] 2π T Q   r  h(r ) − hw = ln  [4.8] 2 π T   rw    Analizando la Ecuación de Thiem se puede concluir que:
  • 26. 26 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS La carga piezométrica h se incrementa asintóticamente con el incremento de la distancia radial r La superficie piezométrica no puede ascender sobre h(r). Es válida sólo en la proximidad de un pozo donde el flujo estable ha sido definido. Con la Ecuación de Thiem, se puede predecir el Radio de Influencia de un pozo, en términos del abatimiento en el mismo cuando h = H, r = R, Q   R  Q   R  h(R ) − h w = ln  ∴ H − hw = r  ln    2 π T   w  2π T   rw  Q   R  s = h(R ) − h(rw ) = ln  [4.9] 2 π T   rw    Esta forma de la ecuación de Thiem, posee las siguientes características: La distancia R, para la cual el abatimiento es cero, es el radio de influencia del pozo. El parámetro R tiene que ser estimado antes de la predicción de los abatimientos. 4.2 ACUÍFEROS SEMICONFINADOS La Figura 14 muestra un pozo que penetra totalmente un acuífero semiconfinado, a través del cual la filtración proviene de un acuitardo superior. La solución propuesta independientemente por De Glee & Jacob, se basa en las siguientes suposiciones: El acuífero es limitado abajo por un lecho impermeable, y arriba por una capa semiconfinate. Sobre la capa semiconfinante, existe un acuífero libre que tiene una tabla de aguas horizontal, cuya carga hidráulica es constante (h0). El suministro de agua al acuífero libre es suficiente para mantener h0 constante. El flujo en la capa semiconfinante es vertical Las mismas suposiciones del acuífero confinado Aplicando la ecuación de continuidad a cualquier anillo de radio r, mostrado en la Figura 14 se tiene que: Q(r + ∆r ) − Q(r ) + (2πr∆r )v v = 0 [4.10] Donde vv es la velocidad de goteo desde la capa semiconfinate. Si se divide por ∆r y como ∆r tiende a cero, se llega a:  Q(r + ∆r ) − Q(r )  lim  + (2πr )v v  = 0 ∆r → 0  ∆r  ∂Q + 2πrv v = 0 [4.11] ∂r La Ley de Darcy por el acuífero semiconfinado, conduce a:
  • 27. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 27 Superficie piezométrica Q antes del bombeo Superficie piezométrica Superficie del terreno durante el bombeo z (cono de depresión) Nivel Estático s sw r Superficie piezométrica K’ vv al tiempo t +∆t Capa b’ semiconfinante Acuífero hw b K H0 semiconfinado 2rw Datum Lecho impermeable Figura 14. Esquema representativa de un pozo en un acuífero semiconfinado. Q(r + ∆r ) − Q(r ) + (2πr )v v = 0 ∆r ∂h Q(r ) = (2πrb )K ∂r ∂h Q(r ) = 2πrT [4.12] ∂r La Ley de Darcy también controla la velocidad de goteo: h0 − h v v = K' [4.13] b'
  • 28. 28 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS Donde K’ y b’ son la conductividad hidráulica y el espesor de la capa confinante (acuitardo). Reemplazando 4.12 y 4.13 en 4.10, se obtiene:  ∂h  ∂  2πrT   ∂r   h −h + 2πr  K' 0 =0 ∂r  b'  ∴ [4.14] ∂  ∂h   h 0 − h  1 ∂  ∂h  h 0 − h  r  + r   = 0∴  r  + =0 ∂r  ∂r   B 2 r ∂r  ∂r  B2 b ⋅ b'⋅K Donde B 2 = , es llamado factor de filtración. En la misma ecuación b'/K' es conocida como la K' resistencia hidráulica. La ecuación puede ser escrita como una Ecuación de Movimiento ordinaria porque h sólo depende del radio r. Reemplazando s = h - h0,, en la ecuación: 1 d  dh  h0 − h 1 d  ds  s 1 ds d2 s s r + 2 =0 r  + 2 = 0 + 2 − 2 =0 r dr  dr  B ∴ r dr  dr  B ∴ r dr dr B ∴ 2 ds ds 2 s r2 2 + r −r 2 = 0 [4.15] dr dr B Si r/B=x, entonces r = B x, y dr = B dx, d2 s ds s d2 s ds (Bx )2 2 2 + Bx − B2 x 2 2 = 0 ∴ x 2 2 + x − x 2s = 0 [4.16] B dx Bdx B dx dx 4.2.1.1 Ecuación de De Glee - Jacob La ecuación 4.16 es un a ecuación diferencial no lineal no homogénea que se puede solucionar por el método de Cauchy – Euler. Este método consiste en aplicar la regla de la cadena luego de hacer el siguiente reemplazo: u = ln(x ) . Entonces: e u = x ∴ e 2u = x 2 Ahora se encontrarán las derivadas: du 1 = dx x ds ds du 1 ds = = dx du dx x du d2 s d  1 ds  1 ds 1 d2 s du =  =− 2 + dx 2 dx  x du  x du x du2 dx d2 s 1 ds 1 d2 s 1  d2 s ds  =− 2 + 2 = 2 2 −  dx 2 x du x du2 x  du  du   Reemplazando en la ecuación 4.16, se llega a:
  • 29. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 29 d2 s ds ds 2 − + = e 2u s ∴ s ′′ − x 2 s = 0 [4.17] du du du Ahora se soluciona esta ecuación por medio del operador cuadrático, explicado en el numeral 3.1.1.4, obteniendo las raíces D = ± x . Entonces, la solución es igual a: s = C1 e x + C 2 e − x r r r − Que al reemplazar el valor de x = , se obtiene: s = C1e B + C 2 e B . Para encontrar el valor de las B constantes, se sabe que cuando el radio tiende al infinito, el abatimiento es nulo, y que cuando el radio es igual al radio del pozo, el caudal es constante. Entonces: si s(r) = s( ∞ ) = 0, entonces 0 = C1 (∞ ) , pero esto es indeterminado, lo cual no permite concluir el valor de C1. Es decir que la solución planteada no es compatible con las condiciones de frontera dadas. Sólo se sabe que las soluciones son linealmente independientes, por lo que usando las función de Bessel se pueda encontrar la solución compatible. r  r s = C1I 0   + C 2 I 0  −  [4.18] B  B Donde: r I 0   : es el modificador de la función de Bessel de orden 0, de primera clase. B  r r I 0  −  = K 0   : es el modificador de la función de Bessel de orden 0, de segunda clase, así que la  B B solución queda definida como: r r s = C 1 I 0   + C 2K 0   [4.19] B B Los valores de los modificadores de Bessel están ya tabulados, y se pueden encontrar en libros de Cálculo Avanzado. Con las condiciones de frontera antes mencionadas, se concluye que: I 0 (∞ ) = ∞, K 0 (∞ ) = 0 , así que C1 es igual a cero. Ahora cuando r = rw: ∂s Q = −2πrwbK dr r ∂s ∂   r  1 r r Si s (r ) = C 2K 0   entonces, = C 2  K 0    = C 2 K 1   , donde K 1   , es el operador de   B ∂r ∂r   B   B B B la función de Bessel de primer orden de segunda clase.
  • 30. 30 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 1 r  Q Q = 2πrw T  C 2K 1  w B  ∴ C2 =   B  1 r  2πrw T  K 1  w B    B  Y reemplazando el valor de la constante, se tiene que: r K0   Q B s= [4.20] 2πT rw  rw  K1   B B La ecuación 4.20 representa la Ecuación de DeGlee – Jacob, para acuíferos semiconfinados. Está ecuación rw r r  puede simplificarse para usos prácticos; si < 0.01 , se puede aproximar el factor: w K 1  w  ≅ 1 , y B B B entonces la ecuación 4.18 se puede escribir como: Q r s= K0  [4.21] 2πT  B  r Según Hantush (Batu, 1998), si ≤ 0.05 la ecuación de De Glee - Jacob se puede escribir como: B 2.303 Q  1.12 B  s(r ) ≅ log  [4.22] 2πT  r  4.3 ACUÍFEROS LIBRES Dupuit y Forchheimer derivaron la expresión sin reconocer quien la hizo primero, por esta razón lleva ambos nombres. Esta ecuación es la simple ecuación para acuíferos libres. 4.3.1 Consideraciones Básicas La Figura 15 muestra un pozo que penetra completamente el acuífero libre. Dupuit y Forchheimer encontraron independientemente la solución para la carga piezométrica con base en las siguientes suposiciones: El acuífero es homogéneo e isotrópico y de extensión infinita La tabla de aguas es horizontal antes del bombeo La ley de Darcy es valida para el flujo en el acuífero El agua es instantáneamente removida del almacenamiento, como la carga piezométrica decae. La tasa de bombeo del pozo es constante Las condiciones de Dupuit son validas. El flujo es simétrico, respecto al eje del pozo. La filtración de las paredes del pozo es despreciable y el acuífero recibe una tasa constante de recarga. Se desprecian las pérdidas en el pozo, H0 =Hw