Este documento fornece informações sobre funções logarítmica. Discute definições, propriedades, representações gráficas e aplicações de logaritmos e funções logarítmicas.

1. Ensino Superior
Matemática Básica
Unidade 8 – Função Logarítmica
Amintas Paiva Afonso

2. LogaritmosLogaritmos
xab =log
Base do logaritmoBase do logaritmo
LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo
0>a 01 >≠ b
Condição de ExistênciaCondição de Existência

3. xab =log ⇔ abx
=
LogaritmosLogaritmos
xab =log
Base do logaritmoBase do logaritmo
LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo

4. LogaritmosLogaritmos
x=8log2
⇔ 82 =x
3=x
8log2
38log2 =
xab =log
Base do logaritmoBase do logaritmo
LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo

5. LogaritmosLogaritmos
Consequência da definiçãoConsequência da definição
01log1 =⇒ bP
1log2 =⇒ bP b
nbP n
b =⇒ log3
cacaP bb =⇔=⇒ loglog4
abP ab
=⇒ log
5

6. LogaritmosLogaritmos
Propriedades OperátóriasPropriedades Operátórias
( ) babaP ccc logloglog1 +=⋅⇒
ba
b
a
P ccc logloglog2 −=





⇒
( ) anaP b
n
b loglog3 ⋅=⇒

7. LogaritmosLogaritmos
Mudança de BaseMudança de Base
b
a
a
c
c
b
log
log
log =
ba
b
a
a cc
c
c
b loglog
log
log
log −≠=

8. LogaritmosLogaritmos
(UDESC 2006-1) Se , e ,(UDESC 2006-1) Se , e ,
pode-se afirmar que:pode-se afirmar que:
3log =ba 4log =ca
x
c
b
a =log
x
c
b
a =log cb
c
b
aaa logloglog −=
43log −=
c
b
a
1log −=
c
b
a
c
b
a =−1
b
c
a =

9. LogaritmosLogaritmos
(UDESC 2007-2) A expressão que representa a(UDESC 2007-2) A expressão que representa a
solução da equação 11solução da equação 11xx
– 130 = 0 é:– 130 = 0 é:
130
11x log=
11
130x log=
130
11
log
x =
130
11
x log
 
=  ÷
 
11
130x log=
a)
b)
c)
d)
e)
b
c
log a c b a= → =
11 130x
=
130
11
a
b
c x
=
=
=
11
130log x=
11
130x log=

10. Função LogarítmicaFunção Logarítmica
DefiniçãoDefinição
RRf →+
*
: ( ) xxf blog=
*
+RDomínioDomínio
( ) Rf =Im
ImagemImagem R
( ) *
+= RfD

11. Função LogarítmicaFunção Logarítmica
Representação GráficaRepresentação Gráfica
( ) xxf 2log=
1 x
y
1
2
1−
2
1
0

12. Função LogarítmicaFunção Logarítmica
( ) xxg
2
1log=
1
2
x
y
1−
1
0
Representação GráficaRepresentação Gráfica

13. Função LogarítmicaFunção Logarítmica
( ) xxg
2
1log=
1
2
x
y
1−
1
1 x
y
1
2
1−
2
1
0 0
( ) xxf 2log=
1>b
Crescente
10 << b
eDecrescent
Representação GráficaRepresentação Gráfica

14. Função ExponencialFunção Exponencial
x
y
1
y = ax
a > 1
y = ax
0 < a ≠ 1
Ex:
y = 2 x
Ex:
y = (1/2 )x

15. Função LogarítmicaFunção Logarítmica
x
y
1
y = loga x
a > 1
y = loga x
0 < a ≠ 1
y = log2 x
y = log1/2 x

16. Função InversaFunção Inversa
x
y
1
y = loga x
y = ax
y = x
f(x) = ax
f -1
(x) = loga x
a > 1
Crescente
1

17. Função InversaFunção Inversa
x
y
1
y = loga x
y = ax
y = x
1
f(x) = ax
f -1
(x) = loga x
0 < a ≠ 1
Decrescente

18. ExercícioExercício
(UDESC 2007-2) A expressão que representa a(UDESC 2007-2) A expressão que representa a
inversa da funçãoinversa da função ( ) ( )3
1f x log x= + é:é:
( )1
3 1x
f x−
= +
( )1
3 1x
f x−
= −
( )1
3 1f x x−
= −
( ) ( )1
3 1
x
f x−
= −
( ) ( )1
1
3x
f x log +
−
=
a)
b)
c)
d)
e)
( )3
1y log x= +
3 1
3 1
3 1
y
x
x
x
y
y
= +
= +
− =
( )1
3 1x
f x−
= −

19. Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog
( ) 53log2 =−x
325
−= x
x=+ 332
35=x
03 >−x
3>x
{ }35=S

20. Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog
( ) ( ) 295log 1 =−− xx
( ) 951
2
−=− xx
95122
−=+− xxx
095 >−x
5
9
>⇒ x
01>−x 1>⇒ x
11≠−x 2≠⇒ x
01072
=+− xx
21 =x 51 =x
{ }5=S

21. Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog
( ) ( ) 8log4log3log 555 =++− xx
03 >−x 3>⇒ x
04 >+x 4−>⇒ x
41 =x
3>⇒ x
{ }4=S
( ) ( ) 8log43log 55 =+⋅− xx
8122
=−+ xx
0202
=−+ xx 52 −=x
0202
=−+ xx

22. ExercícioExercício
(UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão(UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão
( ) 25log
2
4
1 −=−x
( )2
2
5
4
1
−=





−
x
05 >−x
9=x
verdadeira é:verdadeira é:
( ) 25log
2
4
1 −=−x
251016 2
+−= xx
9102
+− xx
11 =x 92 =x
5>x
C.EC.E

23. ExercícioExercício
(UDESC 2006-1) Se , então o valor de(UDESC 2006-1) Se , então o valor de
x é:x é: 3
5
2loglog 88 =+ xx
23
5
28 x=
3
5
2loglog 88 =+ xx ( )
3
5
2log8 =⋅ xx
( ) 23
5
3
22 x=
25
22 x=
2
16 x=
2
232 x=
4±=x
0>x
C.EC.E
4=x

24. Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
( ) ( )xgxf bb loglog ≥
1>b
( ) ( )xgxf ≥
10 << b
( ) ( )xgxf ≤
( ) 5log3log 22 >−x
53 >−x
8>x
03 >−x
C.EC.E
3>x
{ }3/ >∈= xRxS
] [+∞= ,3S

25. Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
( ) ( )xgxf bb loglog ≥
1>b
( ) ( )xgxf ≥
10 << b
( ) ( )xgxf ≤
( ) ( )2log82log
3
2
3
2 −<− xx
282 −>− xx
6>x
082 >−x
C.EC.E
4>x
02 >−x
2>x
I II
4>=∩ xIII

26. Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx
8122
<−+ xx
( ) ( ) 3
22 2log43log <+⋅− xx
( ) ( ) 3
22 2log43log <+⋅− xx
0202
<−+ xx
51 −=x
42 =x
x5− – – – – – –– – – – – –
+ + ++ + +
4
+ + ++ + +
45 <<− x

27. Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx
x5− – – – – – –– – – – – –
+ + ++ + +
4
+ + ++ + +
45 <<− x
03 >−x
C.EC.E
3>x
04 >+x
4−>x
3>∴x
{ }43/ <<∈= xRxS
0202
<−+ xx

28. InversaInversa
Funções inversas
 De modo análogo, de todas as possíveis bases “a” para o logaritmo,
veremos que a escolha mais conveniente é a “e”.
 A função logarítmica y = logax é a inversa da função y = ax
. Seu gráfico é
a reflexão de y = ax
com relação a reta y = x.
 Enquanto y = ax
é uma função que cresce muito rapidamente, y = logax é
uma função de crescimento muito lento.

29. ExemploExemplo
Uma aplicação da função logarítmica
 A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da
energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas
que se propagam pela crosta terrestre. Nela é usado o
logaritmo decimal;
 Os valores desta escala são chamados de magnitudes;
 Durante um terremoto um sismógrafo registra essa
magnitude durante um certo intervalo de tempo;

30. ExemploExemplo
 Essa magnitude pode ser calculada a partir da seguinte equação:
 Onde:
Ms: magnitude na escala Richter;
A: amplitude do movimento da onda (registrada em micrômetros);
f: freqüência da onda (medida em hertz).
30,3).(log10 += fAMs

31. ExemploExemplo
 Suponha que para um certo terremoto foi registrada a amplitude
A = 1000 µm e uma freqüência de 0,1 Hz. A magnitude desse
terremoto é:
 Para se ter uma idéia, uma magnitude de 9 graus provocaria a
destruição total das construções de uma grande cidade.
 Como a escala é de base 10, um tremor de magnitude 8 seria 10
vezes menor em relação à magnitude de intensidade 9. Ou seja, a
cada grau a menos, a energia liberada diminui 10 vezes.
 O valor acima é considerado moderado.
33,5
30,32
30,3100log
30,3)1,0.1000(log
30,3).(log
10
10
10
=
+=
+=
+=
+=
s
s
s
s
s
M
M
M
M
fAM

32. ExemploExemplo
O record é de 9,5 graus, registrado no terremoto que atingiu o Chile, no
século XX.

33. ExemploExemplo
Funções inversas
 A vida média do estrôncio-90 90
Sr, é de 25 anos. Isso significa que
a metade de qualquer quantidade de 90
Sr vai se desintegrar em 25
anos.
 Considere que uma amostra de 90
Sr tem uma massa de 24 mg.
Como a massa de 24 mg se reduz a metade a cada 25 anos,
então:
)24.(2)24.(
2
1
....)(
)24(
2
1
)24(
2
1
.
2
1
)50(
2
1
)75(
)24(
2
1
)24(
2
1
.
2
1
)25(
2
1
)50(
)24(
2
1
)0(
2
1
)25(
24)0(
25
25
32
2
t
t
tm
mm
mm
mm
m
−
===
===
===
==
=

34. ExemploExemplo
Funções inversas
 Portanto, a função para este caso é:
 Como a função logarítmica inversa dessa função é:
 Se quisermos saber, por exemplo, o tempo necessário para que uma massa de 5
mg se desintegre, basta substituir m por 5 na fórmula:
25
2.24)(
t
tm
−
=
)ln24(ln
2ln
25
)(1
mmf −=−
anosf
f
mmf
6,56
693,0
225,39
693,0
)609,1178,3.(25
)5(
)5ln24(ln
2ln
25
)5(
)ln24(ln
2ln
25
)(
1
1
1
≅=
−
=
−=
−=
−
−
−

35. Funções Logaritmos NeperianosFunções Logaritmos Neperianos
Como todas as outras funções logarítmicas com base maior que 1, o
logaritmo neperiano é uma função crescente definida m (0,∞) tendo
o eixo y como assíntota vertical.
1) Construir o gráfico de y = lnx;
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-4
-2
0
2
4

36. Funções Logaritmos NeperianosFunções Logaritmos Neperianos
2) depois, deslocamos 2 unidades para a direita, obtendo o gráfico
y = ln(x-2);

37. Funções Logaritmos NeperianosFunções Logaritmos Neperianos
3) desloque novamente para baixo de uma unidade para obter
y = ln(x - 2) -1;

38. Métodos de Cálculo I
Assíntotas
 Definição: A reta x=a é chamada assíntota vertical da curva y=f(x) se
pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:
∞=
→
)(lim xf
ax
∞=−
→
)(lim xf
ax
∞=+
→
)(lim xf
ax
−∞=
→
)(lim xf
ax
−∞=−
→
)(lim xf
ax
−∞=+
→
)(lim xf
ax

39. Métodos de Cálculo I
Exemplos
−∞=
→
)(lim xf
ax
x
y
x=a

40. Métodos de Cálculo I
 Um outro exemplo de uma função cujo gráfico tem uma assíntota vertical
é a função logaritmo natural y=lnx.
 O eixo y funciona como uma assíntota.
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-4
-2
0
2
4
−∞=+
→
)(lim
0
xf
x

41. Métodos de Cálculo I
 Em contrapartida, o gráfico da função exponencial y=ex
tem o eixo x como
assíntota horizontal.
 Para basta tomar t=1/x pois sabemos que quando
x → 0-
, t →- ∞, portanto:
0lim =
−∞→
x
x
e
0lim =
−∞→
x
x
e
0limlim
1
0
==
−∞→→ −
t
t
x
x
ee

42. Exercícios

43. Responda
a) Quando uma função logarítmica é considerada crescente? E
decrescente?
b) Qual o domínio? E qual a imagem de uma função logarítmica?
c) Em que quadrantes se localiza o gráfico de uma função
logarítmica?
d) Qual a condição de existência de uma função logarítmica?

44. Respostas
Decrescente se Crescente se
2y - 1

45. Exercícios
 O número de bactérias de uma cultura, t horas
após o início de certo experimento, é dado pela
expressão N = 1200.20,4.t
. Nessas condições,
quanto tempo após o início do experimento a
cultura terá 38400 bactérias?

46. Exercícios
 Numa certa cultura, há 1000 bactérias num
determinado instante. Após 10 min, existem 4000.
Quantas bactérias existirão em 1h, sabendo que
elas aumentam segundo a fórmula P = P0.ekt
, em
que P é o número de bactérias, t é o tempo em
horas e k é a taxa de crescimento?

47. Exercícios
 Estima-se que a população de uma certa cidade
cresça 3% a cada 8 anos. Qual será o crescimento
estimado para um período de 24 anos?

48. Exercícios
 Resolva a equação 3x
= 5.
 Dados log2 = 0,3; log3 = 0,48 e log5 = 0,7; resolva
a equação 52x
– 7 . 5x
+ 12 = 0.

49. Exercícios
 Sabemos que o número de bactérias numa
cultura, depois de um tempo t, é dado por N =
N0.er.t
, em que é o número inicial (quando t = 0) e r
a taxa de crescimento relativo. Em quanto tempo
o número de bactérias dobrará se a taxa
decrescimento é de 5% ao minuto?

50. Exercícios
 Em quantos anos 500g de uma substância
radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3%
ao ano, se reduzirão a 100g? Use Q = Q0.e-r.t
, em
que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o
tempo em anos.

51. Exercícios
 Segundo o Banco Mundial, a previsão do
crescimento demográfico na América Latina, no
período de 2004 à 2020, é de 1,2% ao ano,
aproximadamente. Em quantos anos a população
da América Latina vai dobrar se a taxa de
crescimento continuar a mesma?

52. Exercícios
 Uma pessoa coloca R$ 1.000,00 num fundo de
aplicação que rende, em média, 1,5% ao mês. Em
quantos meses essa pessoa terá no mínimo R$
1.300,00? Use uma calculadora para fazer os
cálculos.

53. Exercícios
 O dono de uma concessionária de veículos usa a
expressão V = 40 000.(0,96)t
para calcular, em
reais, o valor de um certo tipo de automóvel após t
anos de uso. Para o cálculo do valor de um
automóvel de outra marca, é usada a expressão V1
= 50000.(0.9)t
. Usando logaritmos, determine após
quanto tempo os veículos terão o mesmo valor de
mercado.