1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matem´tica
a
´
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCION DEL
PROBLEMA DE BRINKMAN.
´
SEMINARIO DE MATEMATICA PURA Y APLICADA II
Alumno: Soto Rivera, Joel Richard
C´digo: 20071155A
o Nota:
Asesor: Dra. Irla Mantilla N.
´
LIMA-PERU
2012

2. Resumen
La presente informe simula num´ricamente mediante el M´todo del Elemento Finito, las
e e
cargas radiales a las que puede someterse un cojinete deslizante sin que ocurra un contacto
entre sus componentes s´lidos. Asimismo, se considera el fen´meno de la cavitaci´n, el
o o o
cual se modela mediante la inecuaci´n variacional de Reynolds. Se considera un r´gimen
o e
estacionario, un lubricante incompresible e isoviscoso y dos grados de libertad en el des-
plazamiento del eje. Este ultimo resulta desconocido una vez que al sistema se le imponen
´
cargas, cuesti´n que manifiesta junto a la determinaci´n de las presiones en el lubricante.
o o
Su resoluci´n num´rica constituye el principal aporte. Se concluye, que para el problema
o e
tratado, la excentricidad es el principal factor que influye en el modelo f´ısico.
Palabras claves:
2010 Mathematics Subject Classification:35A15-37A01-35A02

3. ´
Indice general
1. Conceptos Preliminares. 4
1.1. Nociones de Lubricaci´n en cilindros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 4
1.1.1. Excentricidad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Ecuaciones de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Definici´n del Modelo Matem´tico.
o a 6
2.1. Problema F´ısico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Condiciones del Problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1. Sobre su dominio y frontera: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2. Sobre el fluido: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Resoluci´n Num´rica.
o e 8
3.1. Formulaci´n Variacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 8
3.2. Resoluci´n Num´rica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o e 9
Referencias 16
1

4. ´
Indice de figuras
1. Componentes de un cojinete deslizante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Posicionamiento relativo entre piezas mec´nicas con distintas excentricidades.
a 5
2.1. Geometr´ (mu˜on cil´
ıa n´ ındrico) que muestra la direcci´n de la velocidad con
o
flechas negras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1. Mallado por elementos triangules sobre el cilindro. . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.02, H=0.07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.04, H=0.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.5. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.6. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.7. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.8. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.9. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.10. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.11. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.12. Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.13. Espesor de la pelicula del lubricante para R=0.03, H=0.05 y ε = 0,6 . . . . 15
2

5. Introducci´n
o
Desde la antig¨edad, el hombre se ha preocupado por la p´rdida de potencia en las
u e
m´quinas y el desgaste de las piezas en movimiento relativo. Tal es el caso que a´n, en
a u
nuestros d´ la investigaci´n de estos fen´menos tiene gran vigencia dada su complejidad
ıas, o o
multifactorial. La maquinaria moderna se proyecta para trabajar a velocidades y tensiones
cada vez mayores, lo cual obliga a una cuidadosa consideraci´n de los fen´menos que
o o
se presentan en las superficies con movimiento relativo,espec´ ıficamente en los nudos de
fricci´n. Un caso especial lo constituyen los cojinetes, como elementos de m´quinas cuya
o a
finalidad es servir de apoyo a los ´rboles(d´
a ıcese de una barra sujeta a torsi´n.) y ejes que
o
giran en el espacio, de manera que estos puedan rotar libremente y soportar as´ las cargas
ı
que act´an sobre ellos. El t´rmino cojinete deslizante hace referencia al conjunto formado
u e
por el eje, el casquillo y el lubricante, tal y como muestra la figura en un corte transversal
practicado a este tipo de elemento. De manera general, permiten el movimiento relativo
de los componentes s´lidos en una o dos direcciones con un m´
o ınimo de fricci´n. Adem´s,
o a
prev´n el movimiento en el sentido de la carga aplicada.
e
Figura 1: Componentes de un cojinete deslizante.
Journal Bearing: Es un dispositivo de antifricci´n en el que un eje cil´
o ındrico, al que se
llama mu˜on, se apoya en una pieza estacionaria, a la que se llama cojinete. se utilizan
n´
para llevar cargas radiales, por ejemplo, para soportar un eje giratorio. Un cojinete
simple consta de dos cilindros r´ ıgidos. El cilindro exterior (cojinete) envuelve el mu˜´n
no
interno giratoria (eje). Normalmente, la posici´n del centro del mu˜on es exc´ntrico con
o n´ e
el centro del rodamiento. Un lubricante llena el peque˜o espacio anular u holgura entre
n
el mu˜´n y el rodamiento. La cantidad de excentricidad de la revista est´ relacionada
no a
con la presi´n que se genera en el cojinete para equilibrar la carga radial.
o
3

6. Cap´
ıtulo 1
Conceptos Preliminares.
A continuaci´n presentamos las definiciones y conceptos f´
o ısicos usados a lo largo del
presente trabajo.
1.1. Nociones de Lubricaci´n en cilindros.
o
El desgaste es la mayor causa de p´rdida de materiales, por lo que cualquier reducci´n
e o
del mismo puede aportar grandes beneficios.
La fricci´n o rozamiento es una de las principales causas de disipaci´n de energ´ por lo
o o ıa,
que su control puede traducirse en un importante ahorro energ´tico.
e
La lubricaci´n es el modo m´s efectivo de reducir la fricci´n y controlar el desgaste.
o a o
El proposito de la lubricaci´n o engrase es el interponer una pel´
o ıcula de un material
f´cilmente cizallable, de modo que el deslizamiento se realice en su seno, entre movimiento
a
de m´quinas con movimiento relativo y cargados.
a
1.1.1. Excentricidad:
La excentricidad se define como la no coincidencia entre el eje de rotaci´n y el eje de
o
simetr´ La excentricidad puede tener lugar en diferentes tipos de elementos mec´nicos,
ıa. a
como son las poleas, las ruedas dentadas y en el posicionamiento relativo entre dos piezas
conc´ntricas, caso del rotor y el est´tor de un motor.
e a
4

7. Figura 1.1: Posicionamiento relativo entre piezas mec´nicas con distintas excentricidades.
a
1.1.2. Ecuaciones de Reynolds.
Las variaciones de la velocidad pueden concebirse como las desviaciones de la velocidad
con respecto a su valor medio temporal; de tal manera que las variaciones de la veloci-
dad se vean como una variable aleatoria de media nula. En tanto la presi´n, tambi´n,
o e
puede descomponerse en una forma similar, ecuaci´n (1.1). Esta variable aleatoria es es-
o
tacionaria, en amplio sentido, porque su media o esperanza matem´tica es constante,
a
independiente de su par´metro ´
a ındice, el tiempo; y la funci´on de correlaci´n depende
o o
s´lo de las variaciones de este par´metro,
o a
∂vi = vi − vi , ∂pi = pi − pi . (1.1)
Por tanto, cuando la velocidad y la presi´n se descomponen en la media m´s las desvia-
o a
ciones, para luego expandir la ecuaci´n de Navier-Stokes, y tamizarla con el promedio
o
temporal sobre la base de la hip´tesis erg´dica, entonces se obtienen las ecuaciones de
o o
Reynolds, ( )
∂ ∂ ∂ ∂2 ∂
ρ vi + ⟨vi vj ⟩ = − p + ρν 2 vi − ρ ⟨∂vi ∂vj ⟩. (1.2)
∂t ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj
En la construcci´n del modelo se supone que la velocidad angular es constante, se des-
o
precian los efectos de la tensi´n supercial y se asume que el aire se comporta como un
o
gas perfecto, en el sentido de que la densidad es proporcional a la presi´n. Se considera
o
que la anchura de la capa del fluido es muy peque˜a comparada con las otras dimensio-
n
nes. Adem´s, se desprecian las fuerzas inerciales comparadas con las fuerzas debidas a la
a
viscosidad.
5

8. Cap´
ıtulo 2
Definici´n del Modelo Matem´tico.
o a
2.1. Problema F´
ısico.
La presi´n en el lubricante (SAE 10 a 70◦ C.) se rige por la ecuaci´n de Reynolds.
o o
Para un fluido incompresible con condici´n de ausencia de deslizamiento, la ecuaci´n de
o o
Reynolds estacionaria en el rango continuo est´ dada por:
a
∇T · −ρ (∇T b · vb − ∇T a · va ) = 0. (2.1)
En esta ecuaci´n, ρ es la densidad en Kg , h es el espesor de lubricante (m), η es la
o m3
viscosidad (P a · s), p es la presi´n (P a), a es la ubicaci´n (m) de la base del canal, va es la
o o
velocidad tangencial ( m ) de la base del canal, b es la ubicaci´n (m) de la pared s´lida, y
s
o o
m
vb es la velocidad tangencial ( s ) de la pared s´lida. Aqu´ el mu˜on giratorio se considera
o ı n
que es la pared s´lida. La figura siguiente muestra la pared y el mu˜on giratorio en el
o n
que se resuelve la ecuaci´n de Reynolds. Debido a que la presi´n es constante a trav´s del
o o e
espesor de la pel´ ıcula lubricante, COMSOL utiliza la proyecci´n tangencial del operador
o
gradiente. Notar que en este caso el t´rmino ρ (∇T b · vb − ∇T a · va ) es igual a cero de aqui
e
se simplifica la ecuaci´n (1.1) de la siguiente forma:
o
( )
−ρh3 ρh
∇T · ∇T p + (va + vb ) = 0. (2.2)
12η 2
El espesor de lubricante, h, se define como:
h = c(1 + ε cos θ)
Donde c ≡ RB − RJ es la diferencia entre el radio y el radio de rodamiento del mu˜´n, ε
no
es la excentricidad, y θ es la coordenada polar angular de un punto sobre el lubricante.
6

9. Figura 2.1: Geometr´ (mu˜on cil´
ıa n´ ındrico) que muestra la direcci´n de la velocidad con
o
flechas negras.
2.2. Condiciones del Problema.
Ahora enunciaremos que propiedades f´
ısicas y que condiciones sobre su contorno posee el
problema.
2.2.1. Sobre su dominio y frontera:
Consideremos un cilindro de altura H y radio R con su base centrada en el punto (0,0,0),
con una excentricidad de 0.03mm (la cual variaremos despu´s para observar como influye
e
la excentricidad en el problema). La presi´n en los extremos del mu˜on cil´
o n´ ındrico se supone
que es similar a la presi´n del ambiente. Por lo tanto, las condiciones de frontera son:
o
p=0 para z=0,L. (2.3)
Donde L es la longitud del mu˜´n cilindrico. Adem´s de ello gira a una velocidad angular
no a
de 50π rad/s,
2.2.2. Sobre el fluido:
Consideremos un fluido incompresible con una viscosidad din´mica de 0.01 P a · s y una
a
3
densidad de 860 Kg/m .
7

10. Cap´
ıtulo 3
Resoluci´n Num´rica.
o e
Para abordar la resoluci´n num´rica del problema, primeramente realizamos un algo-
o e
ritmo para su resoluci´n num´rica, que incluye una discretizaci´n mediante el m´todo de
o e o e
caracter´
ısticas combinado con elementos f´ ınitos, para la cual se debe hallar su formulaci´n
o
variacional para luego a partir de ella se aproxime su soluci´n mediante M.E.F.
o
3.1. Formulaci´n Variacional.
o
La formulaci´n variacional del denominado problema de lubricaci´n consiste en encon-
o o
trar p ∈ Va tal que:
∫ ∫ ∫
∂ ∂
(γh ∇p + h p∇p)∇φ + 6η
2 3
(ph)φ + 6η (ph)φ = 0, ∀φ ∈ V0 (3.1)
Ω Ω ∂x Ω ∂y
Donde Ω = (0, H) × (0, H), representa el dominio rectangular bidimensional de nuestro
problema() y los espacios y conjuntos funcionales son:
Va = {φ ∈ H 1 (Ω)/φ = pa en ∂Ω}.
V = {φ ∈ H 1 (Ω)/φ = 0 en ∂Ω}.
Bajo ciertas hip´tesis, se puede probar la existencia y unicidad de soluci´n de nuestro
o o
problema hidrodin´mico, as´ como la existencia de cotas de la misma[1].
a ı
El presente trabajo persigue como objetivo general desarrollar una aplicaci´n, basada en
o
el M´todo del Elemento Finito, para la simulaci´n num´rica de las cargas radiales a las
e o e
que puede someterse un cojinete deslizante sin que ocurra un contacto entre sus com-
ponentes s´lidos y considerando la posible ocurrenciade la cavitaci´n. El alcance de esta
o o
investigaci´n se limita a un r´gimen estacionario y se contemplan unicamente dos grados
o e ´
de libertad en la funci´n de holgura h. Como la variaci´n de la densidad con la presi´n en
o o o
los aceites m´s usuales es muy peque˜a, se supondr´ un lubricante incompresible (ρ=cte).
a n a
En adici´n, se asume un lubricante isoviscoso. Debido a lo fina que resulta la pel´
o ıcula de
aceite en estos dispositivos, dicha suposici´n puede hacerse sin una p´rdida considerable
o e
en la precisi´n de los resultados [2, p´g. 25]. Se consideran sin rugosidades las superficies
o a
s´lidas del cojinete deslizante as´ como un r´gimen de lubricaci´n hidrodin´mica.
o ı e o a
8

11. 3.2. Resoluci´n Num´rica.
o e
Veamos los resultados para los siguientes parametros R=0.03m y H=0.05m, utilazando
esos parametros y considerando el siguiente mallado:
Figura 3.1: Mallado por elementos triangules sobre el cilindro.
A partir de aquel mallado mediante una aproximaci´n con elemtos finitos se obtiene:
o
Figura 3.2: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05
.
9

12. Ahora si consideramos variar la altura(H) y el radio(R) del cilindro observaremos que su
comportamiento es similar que el caso previo.
Veamos para R=0.02, H=0.07.
Figura 3.3: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.02, H=0.07
.
Veamos para R=0.04, H=0.04.
Figura 3.4: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.04, H=0.04
.
Claramente el comportamiento de la soluci´n es el mismo en los tres cilindros solo que
o
estos se expande o contrae seg´n la dimensi´n del cilindro.
u o
10

13. Pero veremos que ese comportamiento difiere un poco si variamos el parametro de
excentricidad(ε) considerando como el caso original R=0.03, H=0.05 y para este caso
ε variando desde 0 hasta 0.99 veremos como cambia el comportamiento de la presi´n a o
lo largo se la superficie del cilindro: Empecemos con una excentricidad de 0.99 y luego la
iremos disminuyendo gradualmente hasta llegar a 0.
Figura 3.5: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,99
.
Figura 3.6: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,9
.
11

14. Figura 3.7: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,8
.
Figura 3.8: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,6
.
Observamos que mientras disminuye la los puntos donde se concentra la presi´n tienden
o
alejarse entre si proporcional a la excentricidad.
12

15. Figura 3.9: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,5
.
Figura 3.10: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,3
.
13

16. Figura 3.11: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0,1
.
Figura 3.12: Comportamiento de la presi´n sobre la superficie lateral del cilindro para
o
R=0.03, H=0.05 y ε = 0
.
Hay que tener en cuenta que para el caso ε = 0 se tiene un espesor de lubricante h
constante la cual origina soluciones periodicas a lo largo de la superficie.
14

17. Figura 3.13: Espesor de la pelicula del lubricante para R=0.03, H=0.05 y ε = 0,6
.
De manera similar se comportan los otros casos a partir de aqui podemos que la excen-
tricidad es el principal factor que influye en el comportamiento de la presi´n.
o
15

18. Bibliograf´
ıa
[1] Hass´n Lombera Rodr´
a ıguez Simulaci´n Num´rica de un Cojinete Deslizante
o e
Radial con Desplazamiento Desconocido. Inc.(2011)
[2] Hannukainen, Petri Non-linear journal bearing model for analysis of
superhar-monic vibrations of rotor systems. Tesis doctoral, University of
Technology, Lappeen-ranta, Finland, 2008.
[3] Dowson, D., Higginson, G. R Elasto-Hydrodynamic Lubrication. 1983. pp.
409-430 Printed in Great Britain
[4] Pinkus, O., Sternlicht, B., Theory of Hydrodynamic Lubrication . McGraw
Hill Book Company, 1961. pp. 41 -46-New York
[5] Irla Mantilla, Salom´ Gonz´les Simulaci´n num´rica de la cavitaci´n en co-
e a o e o
jinetes mediante elementos finitos y el algoritmo de Uzawa. UPGC- Espa˜a.
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16