Lógica proposicional: Conceptos básicos

Temas a tratar
Conceptos de lógica Proposiciones Conectores Tablas de Verdad Interpretación Ejemplos

 Concepto de lógica.
 Proposiciones.
 Conectores.
 Tablas de Verdad.
 Interpretación del lenguaje simbólico al lenguaje natural.
 Ejemplos y ejercicios.

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Universidad Tecnológica de Bolívar Docente: Joaquin Lara Sierra

Concepto de lógica

Cuando hablamos de lógica lo asociamos con la razón. Esta nos
muestra con sus leyes y principios una forma coherente de pensar
y actuar. Alguna definiciones puntuales de este termino son:

Es una disciplina que estudia la estructura o formas del pensamiento
tales como conceptos, proposiciones y razonamiento con el objetivo
de establecer razonamientos validos.
Es la ciencia de las leyes y de las formas del pensamiento que nos da
normas para la investigación científica y nos suministrara un criterio
de verdad.

Ejemplo:
Cuando vemos una película, leemos un material o escuchamos una
conversación, de acuerdo a lo que vemos u oímos lo aprobamos o
desaprobamos . Es decir que al aprobar esto, estamos de acuerdo .
Si estamos en desacuerdo expresamos cierta molestia al respecto,
lo vemos como algo absurdo, algo ilógico.
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Tipos de lógica

El ejemplo anterior describe un proceso de reflexión. En donde pones a
prueba tu conocimiento pero este tipo de conocimiento es el que se
conoce como empírico, es muy superficial, es un conocimiento que te
ayuda en la cotidianidad a dar soluciones a problemas cotidianos y esa
solución la expresas a través del lenguaje ( oral, escrito, corporal etc)

Pensar y comunicarte son dos procesos que desarrolla el ser humano.
Ese tipo de actividades humanas que te permiten razonar algo son los
que hacen posible el objeto de la lógica.

Ya teniendo claro que es lógica, hay que resaltar que existen diversos
tipos de lógica.

1. Acabamos de mencionar una, que es la empírica también conocida
2. como Lógica Natural cuando un individuo hace uso de su razón
3. porque es innato en el .

2. Existe la lógica científica. Donde debes demostrar la validez de ese
conocimiento a través de técnicas, métodos etc.

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Proposiciones

Hablemos nuevamente del lenguaje como el medio de comunicación que
tiene una persona, como actividad cotidiana del ser humano. Ese lenguaje
puede estar constituido por frases interrogativas, declarativas e imperativas.

A través de las frases declarativas es posible una descripción del
conocimiento.

Estamos hablando de La lógica proposicional como aquella que permite
la interpretación de frases declarativas simples
(proposiciones y enunciados).

Siendo una proposición matemática es un enunciado, frase o expresión
que tiene un significado determinado y que mediante un criterio definido
puede ser clasificado inequívocamente como falso o verdadero.
Por ejemplo:

1. Maria estudia un doctorado.
2. La ciudad esta progresando.
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Proposiciones

A veces, las proposiciones están ligadas a su significado por decir:

Esta llorando el niño
El niño esta llorando.

Ambas tienen el mismo significado y se le consideran proposiciones iguales.
Pero existen enunciados u oraciones que no son proposiciones como es el
caso de las preguntas o expresiones de admiración.
En la lógica proposicional se puede determinar la validez de la expresiones
únicamente desde el punto de vista de su estructura sin tener en cuenta
el significado semántico de tales expresiones.

Por ejemplo:

Juan vive en Cartagena. En esta expresión no se sabe q Juan es una
persona, una animal o cualquier otro concepto. Y analizando la expresión
podemos clasificar esta como verdadera o falsa ya q su objetivo no
especifica un hecho.
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Valor de las proposiciones

Tradicionalmente las proposiciones se representan mediante las letras
minúsculas del alfabeto. Y cada una de estas recibe le nombre del átomo.
La forma de representación para proposiciones sera mediante un átomo
seguido del símbolo dos puntos (:) y posteriormente el enunciado,
por decir

p: enunciado o proposición.

Cuando se dice que una proposición matemática es verdadera o falsa se
esta estableciendo su valor de verdad. Estamos interpretando una
proposición.

Por lo que es aconsejable siempre asignar valores de verdad a los
enunciados. Y esta interpretación se representa mediante la letra v,
por ejemplo:

v (atomo) = valor de verdad por decir siguiendo la proposición
anterior tendriamos: v(p)= V o v(p)= F
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Negación de una proposición

Negar una proposición es convertir esta en falsa si es verdadera y si era
verdadera en falsa.

En lenguaje matemático la negación se expresa anteponiendo a una
proposición el símbolo ¬ y la interpretación de este símbolo es no.
Ejemplo tenemos la siguiente proposición:

q: el motor esta encendido. La negación de esta seria No el motor no
esta encendido.

Al observar la negación de la proposición, esta no suena igual, por ello
es posible utilizar otras posibles expresiones de lectura como por ejemplo
El motor no esta encendido.

El símbolo ¬ es unario. A continuación se muestran algunos casos en las
cuales se aplica la negación a un enunciado o proposición:

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Proposición Valor Negación Valor
5 es múltiplo de 8 F 5 no es múltiplo de 8 V

37 es un número primo V 37 no es un número primo F

5 es mayor que 7 F 5 no es mayor que 7 V

3+7=15 F 3+7 ≠ 15 V

x es mayor que z V x no es mayor que z F

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Gráficamente la forma para negar un los átomos seria :

Valor de la proposición Valor de la negación de la proposición
v(q)=F (se asigna falso) v(¬q) = Verdadero (se asigna verdadero)

v(¬p)= V (se asigna verdadero) v(p) = Falso (se asigna falso)

v(s) =V (se asigna verdadero) v(¬s)= Falso (se asigna falso)

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Proposiciones Simples y Compuestas

Cuando una proposición o un atomo se encuentra en su forma mas sencilla es decir
expresando un solo enunciado se le considera proposición simple. Cuando esta se
costituye en mas de una proposición se le denomina proposición compuesta.

Las proposiciones simple continen un verbo, o un sujeto o un objeto.
Las proposición compuesta varios verbos, sujetos u objetos.

Por ejemplo:

Proposiciones simples
p: 7 es un número primo.
q: Bolivar no es una ciudad

Proposiciones compuestas
m: 5 es un número impar y 2 es un número par.
p: El árbol es de color verde o el árbol es de color café.

Teniendo en cuenta estos ultimos ejemplos prodiamos decir que una
proposición compuesta esta conformada por varias proposiciones simples las
cuales se unen a traves de los conectores.
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Conectores y Proposiciones

Los conectores lógicos mas conocidos son:

si
entonces
si y solo si
y
o
Un conectivo lógico es un elemento que permite la union de
proposiciones simples.

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Ejemplo:
• s: el carro es costoso
• t: el respuesto es de color verde.

Otros:
u: el carro es costoso y el respuesto es de color verde.
o: x2 -16=0 si y solo si x=4 .
v: si el parqueadero es pequeño entonces el carro es grande.

En pocas palabra los conectivos lógicos son operadores que
tambien te permiten combinar proposiciones para formar otras
proposiciones; a esto tambien se le conoce como operadores binarios.
Graficamente losconectivos lógicos principales son:

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Nombre Conectivo Lógico Símbolos
Conjución y

Disyución inclusiva o

Disyución exclusiva o
⊻

Condicional si...entonces ->

si y solo si
Bicondicional <->

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Operadores:
Los operadores son
simbolos que sirven
para conectar los
datos haciendo
diversas clases de
operaciones.
Tipos de operadores:
En función de las
operaciones a
realizar, los
operadores se
clasifican en:

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Conjunción

La conjucción se representa mediante el símbolo . Sean p y q dos
proposiciones, entonces p q se denomina la conjucción entre la
proposición p y la proposición q. Algunas frases en las que aparece la
conjucción son las siguientes:
pyq
p pero q
p aunque q
p sin embargo q
p no obstante q
La proposición p ⋀ q es verdadera
p a pesar de q
unicamente cuando p es verdadera y
p a menos q
q es verdadera.
p igualmente q
Es decir cuando ambas proposiciones
son verdaderas.

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Conjunción

Ejemplos de representación en lenguaje natural en los cuales se utiliza
la conjucción son:

En Haití hay inflacción y no hay crecimiento económico
La tia tiene buenas intenciones sin embargo no tiene presupuesto
La oferta es alta no obstante la demanda muy poca
El equipo gano a pesar de la poca asistencia del publico
Aunque está lloviendo es posible conducir
Está nevando pero es posibole navegar

Ejemplos de formulas proposicionales en donde se asignan
interpretraciones arbirtrarias a los átomos y finalmente se dará el
resultado de la evaluación de la proposición:

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Conjunción

Porposición Interpretación Evaluaciónde la
proposición
v(p)=F, v(¬q)=V
(p¬q) v(p¬q)=F

v(p)=V, v(s)=V
(ps) v(ps)=V

v(p)=F, v(q)=F
(pq) v(pq)=F

v(¬q)=V, v(q)=F
(¬qq) v(¬qq)=F

v(p)=V, v(¬q)=V ,v(r)=F
¬(p¬qr) v¬(p¬qr)=V

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Disyunción

Disyunción Inclusiva: El conectivo lógico que representa la disyunción
inclusiva es ᐯ.
La proposición p ᐯ q es llamada la disyunción inclusiva entre las
proposiones p y q.
Se considera la proposición p ᐯ q falsa, únicamente cuando la
proposición p y la proposición q son falsas a la vez.
Algunas frases en las que aparece la disyunción son las siguientes:

 poq
 p o q o ambos
 al menos p o q
 minimo p o q

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Disyunción

Algunas frases de representación en lenguaje natural en los cuales
se utiliza la disyunción son las siguientes:

El parcial estaba dificil o mal redactado
Hizo frio o la persona es nerviosa
La ciudad es pequeña o había demasiado tráfico
Para pagar el credito al menos se debe tener cuenta corriente
o cuenta de ahorro

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Disyunción

interpretraciones arbirtrarias a los átomos y finalmente se dará el
resultado de la evaluación de la proposición:

Proposición Interpretación Evaluación

(¬p¬q) v(¬p)=F, v(¬q)=V v(¬p¬q)=V

(ps) v(p)=V, v(s)=V v(ps)=V

(pqr) v(p)=F,v(q)=F, v(r)=F v(pqr)=F

¬(pqr) v(p)=F,v(q)=F, v(r)=F v¬(pqr)=V

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Disyunción

Disyunción Exclusiva.
El conectivo lógico que representa la disyunción inclusiva es ⊻ .
La proposición p ⊻ q se denomina la disyunción exclusiva. p ⊻ q
es verdadera, únicamente cuando una de las dos proposiciones
es verdadera, pero no ambas a la vez.
Ejemplos de respresentación en lenguaje natural en los cuales se
utiliza la disyunsión exclusiva:

Hoy voy a cine o a jugar futbol.
La tesis es laureada o meritoria
El mes en que se debe pagar impuesto es noviembre o diciembre.
El rector se elige por consulta popular o por una comisión del
consejo.

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Disyunción

interpretraciones arbirtrarias a los átomos y finalmente se dará
el resultado de la evaluación de la proposición:

(¬p ⊻ ¬q) v(¬p)=F, v(¬q)=V v(¬p ⊻ ¬q)=V
(p ⊻ q) v(p)=F, v(q)=F v(p ⊻ q)=F
(p ⊻ ¬q) v(p)=V, v(¬q)=V v(p ⊻ ¬q)=V
¬(p ⊻ q) v(p)=V, v(q)=V v¬(p ⊻ q)=F

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Condicional

El conectivo lógico que representa la condicional es →. Sea p y q
dos proposiciones : entonces la proposición , si p entonces q, se
representa mediante p → q.
La proposición p → q es falsa, si la primera proposición
(antecedente ) es verdadera y la segunda proposición
(consecuente) es falsa .
Algunos ejemplos de representación en lenguaje natural en los
cuales se utiliza la condicional son los siguientes:

Si p entonces q q cuando p
p implica q q es necesario para p
p solo si q Para p es necesario q
q si p p en consecuencia q
p es suficiente para q p se deduce q
Para q es suficiente p p por ende q
No p a menos q

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Condicional

Algunos ejemplos en lenguaje natural son:
 Si el sol esta brillando entonces se puede hacer deporte
 Si pedro es matematico entonces hace calculos
 Si un número es par entonces es divisible por 2
 Si un número tiene dos divisores es suficiente para que sea primo
 Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o 5
 Hoy es marte y por ende hay pico y placa para el carro
 José perdió la materia en consecuencia perdió el semestre.

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Disyunción

el resultado de la evaluación de la proposición:

Proposición Interpretación Evauación

(¬q→p) v(¬q)=F, v(p)=V v(¬q→p)=V

(p→s) v(p)=V, v(s)=F v(p→s)=F

¬(p→q) v(p)=V, v(q)=F v¬(p→q)=V

(p→s)→q v(p)=V, v(s)=F, v(q)=F v(p→s)→q=F

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Bicondicional

El conectico lógico que representa la bicondicional es ↔. Sea p y q
dos proposiciones , la proposición p si y solo si q, se representa
p ↔ q. El bicondicional es verdadero únicamente cuando tanto p
como q tienen los mismos valores de verdad.
Algunos ejemplos de representación en lenguaje natural en los
cuales se utiliza el bicondicional son los siguientes:

 p si y solo si q
 p es necesario y suficiente para q
 p es equivalente a q
 p cuando y solo cuando q
 p entonces y solo entonces q

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Disyunción

el resultado de la evaluación de la proposición: :

(¬q↔ p) v(q)=F, v(p)=F v(¬q↔ p)=V
(p↔ s) v(q)=V, v(s)=F v(p↔ s)=F
¬(p↔s) v(p)=F, v(s)=V v¬(p↔ s)=V
¬¬(p ↔ ¬q) v(p)=V, v(¬q)=F v¬¬(p ↔ ¬q)=F

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