Este documento fornece uma introdução aos principais conceitos de cristalografia e mineralogia, incluindo: 1) A definição de mineral e cristal, e a diferença entre eles. 2) Os principais conceitos de cristalografia como anisotropia, isotropia e simetria. 3) As operações de simetria fundamentais como reflexão, rotação e inversão. 4) As leis fundamentais da cristalografia como a constância dos ângulos diedros e a racionalidade dos índices

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Disciplina deDisciplina de
Cristalografia e MineralogiaCristalografia e Mineralogia
IntroduIntroduçção a Cristalografia,ão a Cristalografia,
Principais Conceitos ePrincipais Conceitos e
Sistemas CristalinosSistemas Cristalinos
Curso de Geologia
Geól. Andrea Sander
Principais Conceitos
CONCEITOS BÁSICOS DE CRISTALOGRAFIA
• Mineral
• “Um mineral é um corpo natural, formado normalmente
por processos inorgânicos, sólido e homogêneo, com a
composição química definida, dentro de certos limites e
com arranjo atômico ordenado.”
• Cristal
• Em condições favoráveis os minerais desenvolvem
superfícies planas e lisas denominadas faces. As faces
fazem com que o mineral assuma formas geométricas
conhecidas como cristais. O estudo dos cristais e das
leis que governam o crescimento, forma externa e
estrutura interna dos cristais é a Cristalografia.
Cristalografia
(Do grego: kristallis – gelo)
• Cristal de quartzo - (SiO2)
Formas cristalinas familiares
Floco de neve e cristal de gelo - H2O
Mineral X Cristal
Mineral Sistema cristalino
(Estrutura)
Fórmula química
Diamante Cúbico C
Grafite Hexagonal C
Série dos
Plágioclásios
Triclínicos NaAlSi3O8 – NaAl2Si2O8

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cristal ordenação estrutural forma exterior
poliédrica
ANISOTROPIA
corpo
amorfo
estrutura caótica forma exterior
qualquer
ISOTROPIA
Mineral X Cristal
• ANISOTROPIA é a variação das reações nas
diferentes direções que oferece um corpo quando
solicitado a um agente exterior físico ou mecânico.
Ex.: experiência de Senarmont.
• ISOTROPIA é a igualdade das propriedades nas
diferentes direções do espaço.
SIMETRIA
(Do grego: sin – com; metria – medida)
“Em cada um dos reinos naturais existe um aperfeiçoamento
das formas inferiores às superiores. A esse avanço de um
domínio ao seguinte corresponde uma perda de simetria. No
ser menos perfeito, mais primitivo o total é mais ou menos
igual às partes. No mais perfeito, mais evoluído, o total não é
parecido com as partes”
Göethe
Yin-iang, símbolo do princípio dialético do
taoismo, datando provavelmente do período
ente 2950 a 2830aC.
SIMETRIA
• A simetria é a propriedade pela qual um ente, objeto ou
forma exibe partes correspondentes quando submetida
a uma operação de específica de simetria. A simetria,
portanto, é uma operação que mantém uma forma
invariante. Assim, um objeto que possui simetria pode
ser convertido nele próprio, a partir de uma de suas
partes, ficando uma posição indiscernível da outra. A
simetria das formas naturais espelha uma estruturação
interna, um ritmo, uma morfologia regular ou a função de
um determinado ser.
• Todos os minerais bem cristalizados (cristais) mostram
um arranjo das faces, isto permite agrupá-los em
sistemas cristalinos de acordo com suas simetrias.
OPERAÇÕES DE SIMETRIA
• A partir da definição de simetria conclui-se que o
conceito de simetria implica sempre uma repetição em
que estão presentes duas entidades fundamentais:
– 1. o motivo: aquilo que se repete; no caso dos cristais é uma
face;
– 2. o período ou ritmo: como ocorre a repetição, a lei de
repetição.
• O ritmo é constante e resulta da aplicação de operações
de simetria. estas operações são numerosas e variadas,
mas três delas são particularmente importantes em
cristalografia.

3. 3
OPERAÇÕES DE SIMETRIA
• 1. Reflexão: é a
simetria bilateral obtida
pela reflexão em um
plano imaginário que o
divide em partes
idênticas especulares
(enantiomórficas). A
notação usada para
plano é P ( de plane)
precedida do número de
planos que a forma
possui.
• Ex.: 6P – seis planos.
A notação
estereográfica de plano
é um linha dupla.
• 2. Rotação: é a operação de simetria em que uma forma
repete-se n vezes em um giro de 360o ao redor de um eixo. A
notação de eixo é A (axes) e é seguida pelo número de ordem
do eixo e precedida pelo número de eixos que existem na
forma. Nos cristais existem quatro tipos de eixos:
• A2 – eixo binário, repete as formas a cada 180o
• A3 - eixo ternário, repete as formas a cada 120o
• A4 – eixo quaternário, repete as formas a cada 90o
• A6 – eixo senário, repete as formas a cada 60º
OPERAÇÕES DE SIMETRIA
Notação dos eixos
de simetria
• 3. Inversão: é a operação de simetria que relaciona duas
figuras tais que cada ponto de uma corresponde, na outra,
um ponto oposto, relativamente a um dado ponto no espaço.
este ponto do espaço denomina-se centro de inversão e este
operador é também designado de centro de simetria quando
trata-se de poliedros. A notação para centro de simetria é C
(centre).
OPERAÇÕES DE SIMETRIA

4. 4
Resumindo
Existem regras que dizem respeito a coexistência de simetrias.
As principais são:
• 1a. A existência de um eixo de simetria de ordem par e um centro
de simetria numa forma implica na existência de um plano
principal de simetria perpendicular ao eixo. Simplificando: A2, A4
e A6 com C exigem P perpendicular. Ex.: 2A2C2P; A62A4C3P
• 2a. A existência de um eixo de simetria de ordem ímpar e um
centro de simetria numa forma exclui a existência de um eixo de
simetria perpendicular ao plano. Ex.: A3C; A3P; 2A2A3C2P
• 3a. Existindo dois eixos perpendiculares de ordem par num forma
implica que haverá um terceiro eixo de ordem par perpendicular
aos outros dois. OU A existência de dois eixos binários
perpendiculares entre si acarreta a existência de um terceiro eixo
binário perpendicular ao plano formado pelos dois primeiros
planos. Ex.: A2A2’A2”
REGRAS DE SIMETRIA
(ou Interdependências de Simetria)
LEIS FUNDAMENTAIS DA
CRISTALOGRAFIA
1a. Lei da constância dos ângulos diedros
(Lei de Steno, 1669):
• A lei da constância dos ângulos diedros diz que faces
correspondentes em diferentes cristais da mesma substância,
independentemente de sua forma, em temperaturas constantes,
definem ângulos diedros iguais.
• OBS.: ângulos diedros são aqueles formados entre dois planos que se
cortam.
• A lei da constância dos ângulos diedros implica que uma forma
cristalográfica é caracterizada pelos ângulos que suas faces definem e
não pela sua forma geométrica. A forma geométrica depende do
desenvolvimento relativo das diversas faces, isto possibilita o uso da
projeção estereográfica.
A lei da constância dos
ângulos diedros
Steno (1669) Quartzo
120o
120o
120o
120o
120o
120o
120o

5. 5
LEIS FUNDAMENTAIS DA
CRISTALOGRAFIA
2a. Lei da racionalidade dos índices ou
Lei de Haüy (1784):
Segundo esta lei todos os cristais são formados por
unidades estruturais minúsculas, que por sua vez
permitem definir um sistema de eixos de coordenadas.
A posição no espaço de cada uma das faces desta
unidade estrutural (ou seja: o comprimento de cada
coordenada x, y e z) é um número inteiro. Portanto as
unidades estruturais dos diferentes cristais têm no
mínimo três índices x:y:z.
Lembre-se que:
Nos cristais:
• toda face é um plano reticular
• todo plano reticular é uma face possível
• toda aresta é uma fileira reticular
• todo vértice é um plano reticular

6. 6
Definições fundamentais e notação
cristalográfica
Para desenvolver as idéias da simetria externa dos cristais é
necessário conhecer algumas definições fundamentais e a
notação cristalográfica que serão abordadas a seguir:
• Grau de simetria – é a simetria completa de uma forma
cristalina, é tanto mais elevado quanto maior for o número de
elementos de simetria presentes em um cristal.
• Classe de simetria - é um conjunto de elementos de
simetria compatíveis de coexistência, uma classe possui
muitas formas cristalinas. Existem 32 classes de simetria.
• Zonas - zona é um grupo de faces cujas arestas são
mutuamente paralelas. A notação de zona é escrita entre
colchetes. Ex.: zona de y [(100)(001)]
Definições fundamentais e notação
cristalográfica
4. Eixos cristalográficos - ao descrever-se os cristais
convencionou-se tomar um a cruz axial. Esta cruz axial
é um conjunto de três eixos (quatro no sistemas
Hexagonal e Trigonal) que se interceptam no centro do
cristal ideal. Na cruz axial devem ser considerados dois
fatores:
a. inclinação mútua dos eixos (o ângulo que os eixos fazem entre si)
b. comprimento relativo dos eixos (que segundo a lei de Haüy devem
ser números inteiros)
Os eixos são denominados de x:y:z ou a:b:c.
Eixos
cristalográficos

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Definições fundamentais e notação
cristalográfica
5. Sistema cristalino – é um conjunto de formas que
possuem alguns eixos de simetria comuns entre si e que
podem ser considerados como derivando umas das outras
por modificações na simetria. Um sistema apresenta várias
classes de simetria. As 32 classes de simetria estão
agrupadas em 7 ou 6 (depende do autor consultado)
sistemas cristalinos:
1. Sistemas Cúbico,
2. Tetragonal,
3. Ortorrômbico,
4. Monoclínico,
5. Triclínico,
6. Hexagonal e Trigonal (ou Hexagonal com divisão Trigonal)
Eixos
cristalográficos
Definições fundamentais e notação
cristalográfica
6. Índices - vários métodos foram imaginados para definir as
intercessões das faces dos cristais com os eixos cristalográficos.
Os métodos mais simples e usados são os índices de Miller
(números) e de Weiss (letras).
Segundo estes métodos os índices de uma face são dados por
três números ou letras (quatro no sistemas Hexagonal e Trigonal)
que se referem aos eixo x, y, e z do seguinte modo:
Considerando-se a face (102) abaixo:
Definições fundamentais e notação
cristalográfica
Os índices de Miller correspondem aos valores recíprocos
das longitudes numéricas (nome do eixo/tamanho relativo
do eixo) e se necessário da redução destas frações:
eixo a a = 1a = 1
1
eixo b b = α = 0(como o infinito não pode ser
0 representado o valor do
índice é zero)
eixo c c = 1c = 2
2 2

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Definições fundamentais e notação
cristalográfica
• Os índices de Weiss são representados por letras, quando se
desconhecem as dimensões exatas dos sólidos ou quando a
dimensão não interessa. Para estes casos usa-se uma forma
geral (hkl), onde h, k e l representam um número inteiro
simples e são correspondentes aos três eixos a, b e c.
• A face (hkl) corta os três eixos, já a face (hk0) não corta o eixo
c ou z, sendo paralelo a ele. Ainda por convenção h é maior
que k que é maior que l (h>k>l). Quando uma face interceptar
um ou mais eixos negativos coloca-se uma barra sobre o
índice. Ex. (111) esta face intercepta o eixo -y.
• Os índices de Miller e Weiss são equivalentes:
Exemplo: a face (hkl) é igual a face (321); a face (h0l) é igual a
face (301); a face (hh0) é igual a (110); etc
Índices
de
Miller
Definições fundamentais e notação
cristalográfica
7. Formas - em cristalografia o termo “forma” refere-se a um
grupo de faces que tem a mesma relação com os
elementos de simetria e exibem as mesmas propriedades
físicas e químicas (a forma externa dos cristais é
denominada de hábito). As formas podem ser abertas e
fechadas.
as faces são indicadas pelos índices de Miller/Weiss
entre parênteses (hkl) ou (321)
as formas (figuras geométricas) são indicadas pelos
índices de Miller/Weiss entre chaves {hkl} ou {321}
Formas abertas e fechadas
Pinacóide
Prisma
Pirâmide
Bipirâmide

9. 9
As formas podem ser abertas ou fechadas:
As formas abertas são aquelas que não delimitam
completamente o espaço. São elas:
• 1. Pédio - 1 face única.
• 2. Pinacóide - duas faces paralelas.
• 3. Doma - duas faces não paralelas simétricas em relação a um
plano.
• 4. Esfenóide - duas faces não paralelas simétricas
exclusivamente por rotação.
• 5. Prisma - conjunto de três ou mais faces interdependentes
pela simetria e paralelas a uma e somente uma direção. Os
prismas podem ter três faces (trigonal), quatro faces (tetragonal
ou rômbico), seis faces (hexagonal ou ditrigonal), oito
(ditetragonal) ou doze faces (diexagonal).
• Os prismas podem ser de 1a ou 2a ordem. Os prismas de 1a
ordem tem os eixos interceptando arestas e os de 2a ordem tem
os eixos interceptando faces.
• 6. Pirâmide - conjunto de três ou mais faces interdependentes
pela simetria cujas arestas convergem para o mesmo ponto.
Podem ter 3, 4, 6 , 8 ou 12 faces.
Formas
abertas
As formas podem ser combinadas:
• Prisma + pibipâmide
Formas fechadas
As formas fechadas são aquelas que delimitam o espaço. São
elas:
• 1. Trapezoedro - é uma forma simples fechada, cujas faces são
trapezoédricas obtendo-se as superiores alternando-se com as
inferiores e onde as arestas equatoriais formam um zigue-zague
(sendo o zigue diferente do zague). Podem ter 6, 8 ou 12 faces
e só exibem simetria de rotação.
• 2. Bipirâmide - é uma forma fechada a partir da reflexão de
pirâmides sobre um plano de simetria horizontal. Podem ter 6, 8,
12, 16 ou 24 faces.
• 3. Escalenoedro - forma fechada com faces agrupadas em pares
simétricos onde cada face é um triângulo escaleno (triângulo
escaleno é aquela com todos os lados e ângulos
diferentes).Podem ter 8 ou 12 faces.
• 4. Romboedro - forma fechada que apresenta seis faces
losangulares iguais em perfeita alternância das faces superiores
com as inferiores.
• 5. Esfenoedro - forma fechada com quatro faces onde duas
faces do esfenóide superior se alternam com duas do inferior.

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Formas
fechadas
Formas
fechadas
cúbicas
As formas cúbicas também podem ser
combinadas:
Cubo Octaedro
Dodecaedro
111
111
_
111
__
111
_
110
101 011
011
_
110
_
101
_
As três combinadas
110
101
011
011
_
110
_
101
_
100
001
010
111
111
__
111
_
111
_

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Projeção estereográfica
• Como representar este sólido em 2
dimensões?
É a forma de
as três
dimensões de
um cristal em
duas
dimensões no
Projeção estereográfica
Projeção estereográfica A rede Wulff
A rede de Wulf, também
chamada de
estereográfica, é o
sistema que permite a
projeção dos sólidos
mantendo-se os valores
angulares entre as
faces, embora as
dimensões reais do
sólido não sejam
consideradas.
A rede está graduada de
2o em 2o

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São plotadas as faces dos cristais e os ângulos
que elas fazem entre si, independente do seu
tamanho.
Projeção estereográfica
Sistema cSistema cúúbicobico
Projeção estereográfica