1) O documento discute o sistema massa-mola e como derivar sua equação dinâmica a partir da segunda lei de Newton.
2) A equação dinâmica encontrada é mẍ + kx = 0, cuja solução é x(t) = x0sen(ωt) + x0'cos(ωt).
3) O sistema massa-mola oscila com período T = 2π√(m/k) segundos e frequência ω = √(k/m) rad/s.
1. Cap´tulo 1 - Fundamentos de Sinais e Sistemas
ı
Eduardo Mendes (baseado nas notas de aula ECE 222)
emmendes@cpdee.ufmg.br
Departamento de Engenharia Eletrˆ nica
o
Universidade Federal de Minas Gerais
Av. Antˆ nio Carlos 6627, Belo Horizonte, MG, Brasil
o
– p.1/143
2. ¸˜
Motivacao
Um dos problemas mais simples discutidos na literatura de
´
sistemas e o sistema massa-mola. Considere, portanto, o
seguinte sistema massa-mola.
´ ¸˜
Qual e a equacao dinˆ mica de sistema?
a
– p.2/143
3. ¸˜
Motivacao
Um dos problemas mais simples discutidos na literatura de
´
sistemas e o sistema massa-mola. Considere, portanto, o
seguinte sistema massa-mola.
´ ¸˜
Qual e a equacao dinˆ mica de sistema?
a
¸˜
Que tipo de informacao ela possui?
– p.2/143
4. Massa-Mola
¸˜ ´
Para encontrar a equacao dinˆ mica do sistema e preciso
a
aplicar a segunda Lei de Newton, ou seja:
m¨ =
y forcas = −ky + mg
¸
m¨ + ky
y = mg
– p.3/143
5. Massa-Mola
¸˜ ´
Para encontrar a equacao dinˆ mica do sistema e preciso
a
aplicar a segunda Lei de Newton, ou seja:
m¨ =
y forcas = −ky + mg
¸
m¨ + ky
y = mg
´
A forca gravitacional e compensada pelo deslocalamento
¸
˜ ¸˜
δ. Podemos, entao, escrever a equacao como:
m¨ + k(x + δ) = mg
x
– p.3/143
6. Massa-Mola
¸˜ ´
Para encontrar a equacao dinˆ mica do sistema e preciso
a
aplicar a segunda Lei de Newton, ou seja:
m¨ =
y forcas = −ky + mg
¸
m¨ + ky
y = mg
´
A forca gravitacional e compensada pelo deslocalamento
¸
˜ ¸˜
δ. Podemos, entao, escrever a equacao como:
m¨ + k(x + δ) = mg
x
¸˜ ˙
Na equacao acima y = x + δ, logo y = x + δ = x e
˙ ˙
¨ ¨
y =x+δ =x¨
– p.3/143
7. Massa-Mola
¸˜ ´
Para encontrar a equacao dinˆ mica do sistema e preciso
a
aplicar a segunda Lei de Newton, ou seja:
m¨ =
y forcas = −ky + mg
¸
m¨ + ky
y = mg
´
A forca gravitacional e compensada pelo deslocalamento
¸
˜ ¸˜
δ. Podemos, entao, escrever a equacao como:
m¨ + k(x + δ) = mg
x
¸˜ ˙
Na equacao acima y = x + δ, logo y = x + δ = x e
˙ ˙
¨ ¨
y =x+δ =x¨
Finalmente
m¨ + kx = 0
x
– p.3/143
8. ´ ¸˜ ¸˜
Precisamos saber qual e a solucao para a equacao
ˆ
encontrada. Entre outros assuntos de grande importancia
que estudaremos neste curso, encontra-se a Transformada
de Laplace.
m s2 X(s) − sx(0) − x(0) + kX(s) = 0
˙
(ms2 + k)X(s) = mx(0) + msx(0)
˙
– p.4/143
9. ´ ¸˜ ¸˜
Precisamos saber qual e a solucao para a equacao
ˆ
encontrada. Entre outros assuntos de grande importancia
que estudaremos neste curso, encontra-se a Transformada
de Laplace.
m s2 X(s) − sx(0) − x(0) + kX(s) = 0
˙
(ms2 + k)X(s) = mx(0) + msx(0)
˙
Isolando X(s)
x(0)
˙ sx(0)
X(s) = k
+ 2 k
s2 + m s +m
m k/m s
= x(0)
˙ + x(0)
k s2 + ( k/m)2 s2 + ( k/m)2
– p.4/143
10. ´ ¸˜ ¸˜
Precisamos saber qual e a solucao para a equacao
ˆ
encontrada. Entre outros assuntos de grande importancia
que estudaremos neste curso, encontra-se a Transformada
de Laplace.
m s2 X(s) − sx(0) − x(0) + kX(s) = 0
˙
(ms2 + k)X(s) = mx(0) + msx(0)
˙
Isolando X(s)
x(0)
˙ sx(0)
X(s) = k
+ 2 k
s2 + m s +m
m k/m s
= x(0)
˙ + x(0)
k s2 + ( k/m)2 s2 + ( k/m)2
¸˜ ´
A solucao e:
m
x(t) = x(0)sin
˙ k/mt + x(0)cos k/mt – p.4/143
k
11. ¸˜
Informacoes sobre o sistema Massa-Mola
¸˜
Da equacao x(t) = m
k x(0)sin
˙ k/mt + x(0)cos k/mt
sabemos que o sistema oscila com per´odo T = √ k
ı 2π
√k m
segundos, f = T = 2π hertz e ωn = 2πf = m rad/s.
1 m k
– p.5/143
12. ¸˜
Informacoes sobre o sistema Massa-Mola
¸˜
Da equacao x(t) = m
k x(0)sin
˙ k/mt + x(0)cos k/mt
sabemos que o sistema oscila com per´odo T = √ k
ı 2π
√k m
segundos, f = T = 2π hertz e ωn = 2πf = m rad/s.
1 m k
¸˜ ¨
Podemos escrever a equacao x + k
mx = 0 na forma
2
x + ωn x = 0
¨
– p.5/143
13. ¸˜ ´
Aplicacao dos resultados na pratica
¸˜ ´
Podemos utilizar a informacao para obter o momento de inercia
do seguinte corpo
Assume-se que:
´ ı
o corpo e r´gido e homogˆ neo;
e
– p.6/143
14. ¸˜ ´
Aplicacao dos resultados na pratica
¸˜ ´
Podemos utilizar a informacao para obter o momento de inercia
do seguinte corpo
Assume-se que:
´ ı
o corpo e r´gido e homogˆ neo;
e
˜
os rolamentos nao possuem atrito;
– p.6/143
15. ¸˜ ´
Aplicacao dos resultados na pratica
¸˜ ´
Podemos utilizar a informacao para obter o momento de inercia
do seguinte corpo
Assume-se que:
´ ı
o corpo e r´gido e homogˆ neo;
e
˜
os rolamentos nao possuem atrito;
´
o valor da constante da mola e conhecido;
– p.6/143
16. ¸˜ ´
Aplicacao dos resultados na pratica
¸˜ ´
Podemos utilizar a informacao para obter o momento de inercia
do seguinte corpo
Assume-se que:
´ ı
o corpo e r´gido e homogˆ neo;
e
˜
os rolamentos nao possuem atrito;
´
o valor da constante da mola e conhecido;
´
a mola e torcida levemente;
– p.6/143
17. ¸˜ ´
Aplicacao dos resultados na pratica
¸˜ ´
Podemos utilizar a informacao para obter o momento de inercia
do seguinte corpo
Assume-se que:
´ ı
o corpo e r´gido e homogˆ neo;
e
˜
os rolamentos nao possuem atrito;
´
o valor da constante da mola e conhecido;
´
a mola e torcida levemente;
´
o sinal resultante e colhido.
– p.6/143
18. ´
Analogo ao movimento translacional, o movimento
´ ¸˜
rotacional e governado pela seguinte equacao diferencial:
¨ k
θ+ θ=0
J
– p.7/143
19. ´
Analogo ao movimento translacional, o movimento
´ ¸˜
rotacional e governado pela seguinte equacao diferencial:
¨ k
θ+ θ=0
J
´
A frequˆ ncia natural e portanto:
¨e
k
ωn =
J
e o per´odo:
ı
2π
T =
k
J
– p.7/143
20. ´
Analogo ao movimento translacional, o movimento
´ ¸˜
rotacional e governado pela seguinte equacao diferencial:
¨ k
θ+ θ=0
J
´
A frequˆ ncia natural e portanto:
¨e
k
ωn =
J
e o per´odo:
ı
2π
T =
k
J
´
O momento de inercia pode ser obtido como:
kT 2
J=
4π 2
– p.7/143
22. ¸˜
Solucao
´
Usando a mesma estrategia do sistema Massa-Mola, temos:
m¨
x = forcas = −kx − bx
¸ ˙
m¨ + bx + kx
x ˙ = 0
– p.9/143
23. ¸˜
Solucao
´
Usando a mesma estrategia do sistema Massa-Mola, temos:
m¨
x = forcas = −kx − bx
¸ ˙
m¨ + bx + kx
x ˙ = 0
Considerando m = 0.1 kg, b = 0.4 Ns
m ek=4 m,
N
temos:
0.1¨ + 0.4x + 4x = 0
x ˙
x + 4x + 40x = 0
¨ ˙
– p.9/143
24. ¸˜
Solucao
´
Usando a mesma estrategia do sistema Massa-Mola, temos:
m¨
x = forcas = −kx − bx
¸ ˙
m¨ + bx + kx
x ˙ = 0
Considerando m = 0.1 kg, b = 0.4 Ns
m ek=4 m,
N
temos:
0.1¨ + 0.4x + 4x = 0
x ˙
x + 4x + 40x = 0
¨ ˙
¸˜ ´
A solucao para x(0) = x0 e x(0) = 0 e:
˙
1
x(t) = e−3t sin(6t) + cos(6t) x0
3
– p.9/143
25. Cilindro
¸˜
Determinar a equacao de movimento do seguinte sistema
– p.10/143
26. ¸˜
Solucao
´ ´
A energia cinetica do sistema e:
1 1 ˙
mx2 + J θ2
˙
2 2
– p.11/143
27. ¸˜
Solucao
´ ´
A energia cinetica do sistema e:
1 1 ˙
mx2 + J θ2
˙
2 2
´
A energia potencial e:
1 2
kx
2
– p.11/143
28. ¸˜
Solucao
´ ´
A energia cinetica do sistema e:
1 1 ˙
mx2 + J θ2
˙
2 2
´
A energia potencial e:
1 2
kx
2
´
Portanto, a energia total e:
1 1 ˙ 1
mx2 + J θ2 + kx2 = constante
˙
2 2 2
– p.11/143
29. ¸˜
Solucao
´ ´
A energia cinetica do sistema e:
1 1 ˙
mx2 + J θ2
˙
2 2
´
A energia potencial e:
1 2
kx
2
´
Portanto, a energia total e:
1 1 ˙ 1
mx2 + J θ2 + kx2 = constante
˙
2 2 2
Considerando que o cilindro rola sem deslizamento x = Rθ e
notanto que J = 1 mR2 , podemos escrever:
2
3 1
mx2 + kx2 = constante
˙
2 2
– p.11/143
30. ¸˜ ¸˜
Derivando, em relacao a t, os dois lados na ultima equacao:
´
3
mx¨ + kxx
˙x ˙ = 0
2
2
m¨ + kx x
x ˙ = 0
3
– p.12/143
31. ¸˜ ¸˜
Derivando, em relacao a t, os dois lados na ultima equacao:
´
3
mx¨ + kxx
˙x ˙ = 0
2
2
m¨ + kx x
x ˙ = 0
3
˜
x = 0 nao pode ser zero o tempo todo, logo
˙
2
m¨ + kx = 0
x
3
– p.12/143
33. Modelagem Baseada na F´sica do Pro-
ı
cesso
¸˜
Consideracoes simplificadoras:
´ ˆ
o sistema sera considerado a parametros concentrados;
– p.14/143
34. Modelagem Baseada na F´sica do Pro-
ı
cesso
¸˜
Consideracoes simplificadoras:
´ ˆ
o sistema sera considerado a parametros concentrados;
´
a perda de carga dentro dos dutos sera desprezada;
– p.14/143
35. Modelagem Baseada na F´sica do Pro-
ı
cesso
¸˜
Consideracoes simplificadoras:
´ ˆ
o sistema sera considerado a parametros concentrados;
´
a perda de carga dentro dos dutos sera desprezada;
´ ´
a area do tanque e constante;
– p.14/143
36. Modelagem Baseada na F´sica do Pro-
ı
cesso
¸˜
Consideracoes simplificadoras:
´ ˆ
o sistema sera considerado a parametros concentrados;
´
a perda de carga dentro dos dutos sera desprezada;
´ ´
a area do tanque e constante;
a dinˆ mica do inversor e do conjunto moto-bomba pode
a
ser desprezada;
– p.14/143
37. Modelagem Baseada na F´sica do Pro-
ı
cesso
¸˜
Consideracoes simplificadoras:
´ ˆ
o sistema sera considerado a parametros concentrados;
´
a perda de carga dentro dos dutos sera desprezada;
´ ´
a area do tanque e constante;
a dinˆ mica do inversor e do conjunto moto-bomba pode
a
ser desprezada;
´ ´ ˜
a agua e incompress´vel e seu peso espec´fico nao varia;
ı ı
– p.14/143
38. Modelagem Baseada na F´sica do Pro-
ı
cesso
¸˜
Consideracoes simplificadoras:
´ ˆ
o sistema sera considerado a parametros concentrados;
´
a perda de carga dentro dos dutos sera desprezada;
´ ´
a area do tanque e constante;
a dinˆ mica do inversor e do conjunto moto-bomba pode
a
ser desprezada;
´ ´ ˜
a agua e incompress´vel e seu peso espec´fico nao varia;
ı ı
˜ ´ ´
a pressao atmosferica em cada ponto da planta piloto e a
mesma.
– p.14/143
39. ¸˜
A equacao diferencial
´
O ponto de partida na modelagem deste sistema e
dm
= ωi − ωo ,
dt
– p.15/143
40. ¸˜
A equacao diferencial
´
O ponto de partida na modelagem deste sistema e
dm
= ωi − ωo ,
dt
´ ´
Como m = V ρ e a area do tanque e constante, tem-se
m = Ahρ,
´ ´
ρ e a massa espec´fica e h e a altura.
ı
– p.15/143
41. ¸˜
A equacao diferencial
´
O ponto de partida na modelagem deste sistema e
dm
= ωi − ωo ,
dt
´ ´
Como m = V ρ e a area do tanque e constante, tem-se
m = Ahρ,
´ ´
ρ e a massa espec´fica e h e a altura.
ı
Podemos escrever
dh
ρA = qi ρ − q o ρ
dt
dh qi − q o
= ,
dt A
˜ ´
qi e qo : vazoes volumetricas. – p.15/143
42. ¸˜ ´
Relacoes algebricas
Usando a lei de Bernoulli, tem-se
√
q = k ∆P .
– p.16/143
43. ¸˜ ´
Relacoes algebricas
Usando a lei de Bernoulli, tem-se
√
q = k ∆P .
¸˜ ´
Para a tubulacao de sa´da de agua, tem-se
ı
qo = k o P − Patm .
– p.16/143
44. ¸˜ ´
Relacoes algebricas
Usando a lei de Bernoulli, tem-se
√
q = k ∆P .
¸˜ ´
Para a tubulacao de sa´da de agua, tem-se
ı
qo = k o P − Patm .
Para o duto de recalque, tem-se
qi = k i Pb − P .
– p.16/143
45. ´
Usando-se o peso espec´fico da agua γ, tem-se
ı
P = γh + Patm ,
√ √
dh ki Pb − γh − Patm − ko γh
= .
dt A
– p.17/143
46. Sunspots
˜ ˆ
Sunspots sao manchas escuras de diametro em torno de 50.000
milhas que movem na superf´cie do sol. As manchas contraem e
ı
`
expandem a medida que desaparecem.
¸˜
Como saber o ciclo de aumentos e diminuicoes das manchas
– p.18/143
solares?
47. ´ ¸˜
Colocando em um grafico o numero de observacoes das
´
manchas solares no ano, temos:
– p.19/143
48. Fast Fourier Transform
Utilizando a FFT (Fast Fourier Transform) podemos determinar
que existe um ciclo de aproximadamente 11 anos!
– p.20/143
49. Fast Fourier Transform
Utilizando a FFT (Fast Fourier Transform) podemos determinar
que existe um ciclo de aproximadamente 11 anos!
Para entendermos o comportamento de sistemas e analisar
´
sinais e que estudamos Fourier, Laplace e Z.
– p.20/143
55. Fundamentos de Sinais
¸˜
Definicao
Exemplos
Energia e Potˆ ncia
e
¸˜
Transformacoes de Sinais
– p.23/143
56. Fundamentos de Sinais
¸˜
Definicao
Exemplos
Energia e Potˆ ncia
e
¸˜
Transformacoes de Sinais
´
Sinais Periodicos
– p.23/143
57. Fundamentos de Sinais
¸˜
Definicao
Exemplos
Energia e Potˆ ncia
e
¸˜
Transformacoes de Sinais
´
Sinais Periodicos
Simetria
– p.23/143
58. Fundamentos de Sinais
¸˜
Definicao
Exemplos
Energia e Potˆ ncia
e
¸˜
Transformacoes de Sinais
´
Sinais Periodicos
Simetria
Sinais Exponenciais e Senoidais
– p.23/143
59. Fundamentos de Sinais
¸˜
Definicao
Exemplos
Energia e Potˆ ncia
e
¸˜
Transformacoes de Sinais
´
Sinais Periodicos
Simetria
Sinais Exponenciais e Senoidais
¸˜
Funcoes ”Base”
– p.23/143
60. Exemplos de Sinais
´ ¸˜
Defini¸˜o:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquer
ca
´ ´ ¸˜
quantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou mais
´
variaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) e
¸
¸˜
que carrega informacao da natureza de um fenˆ meno.
o
Exemplo:
˜
Tensao ou corrente em um circuito
– p.24/143
61. Exemplos de Sinais
´ ¸˜
Defini¸˜o:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquer
ca
´ ´ ¸˜
quantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou mais
´
variaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) e
¸
¸˜
que carrega informacao da natureza de um fenˆ meno.
o
Exemplo:
˜
Tensao ou corrente em um circuito
´
V´deo e audio
ı
– p.24/143
62. Exemplos de Sinais
´ ¸˜
Defini¸˜o:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquer
ca
´ ´ ¸˜
quantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou mais
´
variaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) e
¸
¸˜
que carrega informacao da natureza de um fenˆ meno.
o
Exemplo:
˜
Tensao ou corrente em um circuito
´
V´deo e audio
ı
´ndice Bovespa
I
– p.24/143
63. Exemplos de Sinais
´ ¸˜
Defini¸˜o:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquer
ca
´ ´ ¸˜
quantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou mais
´
variaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) e
¸
¸˜
que carrega informacao da natureza de um fenˆ meno.
o
Exemplo:
˜
Tensao ou corrente em um circuito
´
V´deo e audio
ı
´ndice Bovespa
I
Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc.
– p.24/143
64. Exemplos de Sinais
´ ¸˜
Defini¸˜o:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquer
ca
´ ´ ¸˜
quantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou mais
´
variaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) e
¸
¸˜
que carrega informacao da natureza de um fenˆ meno.
o
Exemplo:
˜
Tensao ou corrente em um circuito
´
V´deo e audio
ı
´ndice Bovespa
I
Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc.
Asin(ωt)
– p.24/143
65. Exemplos de Sinais
´ ¸˜
Defini¸˜o:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquer
ca
´ ´ ¸˜
quantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou mais
´
variaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) e
¸
¸˜
que carrega informacao da natureza de um fenˆ meno.
o
Exemplo:
˜
Tensao ou corrente em um circuito
´
V´deo e audio
ı
´ndice Bovespa
I
Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc.
Asin(ωt)
¸˜
Vibracao no volante do carro
– p.24/143
66. Exemplos de Sinais
´ ¸˜
Defini¸˜o:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquer
ca
´ ´ ¸˜
quantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou mais
´
variaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) e
¸
¸˜
que carrega informacao da natureza de um fenˆ meno.
o
Exemplo:
˜
Tensao ou corrente em um circuito
´
V´deo e audio
ı
´ndice Bovespa
I
Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc.
Asin(ωt)
¸˜
Vibracao no volante do carro
¸˜ ´
Concentracao de cloro na agua
– p.24/143
67. Exemplos de Sinais
´ ¸˜
Defini¸˜o:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquer
ca
´ ´ ¸˜
quantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou mais
´
variaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) e
¸
¸˜
que carrega informacao da natureza de um fenˆ meno.
o
Exemplo:
˜
Tensao ou corrente em um circuito
´
V´deo e audio
ı
´ndice Bovespa
I
Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc.
Asin(ωt)
¸˜
Vibracao no volante do carro
¸˜ ´
Concentracao de cloro na agua
¸˜ ¸˜
Solucao de uma equacao diferencial – p.24/143
68. Sinais Cont´nuos
ı
¸˜
Normalmente podem ser escritos com uma funcao da
´
variavel t
– p.25/143
69. Sinais Cont´nuos
ı
¸˜
Normalmente podem ser escritos com uma funcao da
´
variavel t
¸˜
No curso procuraremos usar parˆ ntesis para funcoes
e
cont´nuas no tempo
ı
– p.25/143
70. Sinais Cont´nuos
ı
¸˜
Normalmente podem ser escritos com uma funcao da
´
variavel t
¸˜
No curso procuraremos usar parˆ ntesis para funcoes
e
cont´nuas no tempo
ı
Exemplo: x(t)
– p.25/143
71. Sinais Cont´nuos
ı
¸˜
Normalmente podem ser escritos com uma funcao da
´
variavel t
¸˜
No curso procuraremos usar parˆ ntesis para funcoes
e
cont´nuas no tempo
ı
Exemplo: x(t)
´ ´
t e variavel independente cont´nua (conjunto dos reais).
ı
– p.25/143
72. Sinais Discretos
¸˜
Normalmente podem ser escritos com uma funcao da
´
variavel n
– p.26/143
73. Sinais Discretos
¸˜
Normalmente podem ser escritos com uma funcao da
´
variavel n
¸˜
No curso procuraremos usar colchetes para funcoes
discretas no tempo
– p.26/143
74. Sinais Discretos
¸˜
Normalmente podem ser escritos com uma funcao da
´
variavel n
¸˜
No curso procuraremos usar colchetes para funcoes
discretas no tempo
Exemplo: x[n]
– p.26/143
75. Sinais Discretos
¸˜
Normalmente podem ser escritos com uma funcao da
´
variavel n
¸˜
No curso procuraremos usar colchetes para funcoes
discretas no tempo
Exemplo: x[n]
´ ´
n e variavel independente discreta (conjunto dos inteiros).
– p.26/143
82. Potˆ ncia e Energia de um Sinal
e
Potˆ ncia Instantˆ nea de um sinal
e a
P = |x(t)|2 P = |x[n]|2
– p.33/143
83. Potˆ ncia e Energia de um Sinal
e
Potˆ ncia Instantˆ nea de um sinal
e a
P = |x(t)|2 P = |x[n]|2
Energia de um sinal
t1 n1
E= |x(t)|2 dt E= |x[n]|2
t0 n=n0
– p.33/143
84. Potˆ ncia e Energia de um Sinal
e
Potˆ ncia Instantˆ nea de um sinal
e a
P = |x(t)|2 P = |x[n]|2
Energia de um sinal
t1 n1
E= |x(t)|2 dt E= |x[n]|2
t0 n=n0
´
Potˆ ncia Media de um sinal
e
t1 n1
1 1
P = |x(t)|2 dt P = |x[n]|2
t1 − t 0 t0 n1 − n 0 n=n0
– p.33/143
85. Potˆ ncia e Energia de um Sinal ∞
e
¸˜
Normalmente usamos os limites de integracao (soma) sobre
todo o conjunto dos reais (inteiros), logo:
∞ ∞
E∞ = |x(t)|2 dt E∞ = |x[n]|2
−∞ n=−∞
T N
1 1
P∞ = lim |x(t)|2 dt P∞ = lim |x[n]|2
T →∞ 2T −T N →∞ 2N + 1
n=−N
– p.34/143
86. Exemplo
Considere o sinal
t,
0≤t≤1
x(t) = 2 − t, 1 ≤ t ≤ 2
´
caso contrario
0
Calcule a energia do sistema
– p.35/143
88. ´
Comentarios
´
Sinais de energia finita tem potˆ ncia media zero:
e
E∞ < ∞ → P ∞ = 0
– p.37/143
89. ´
Comentarios
´
Sinais de energia finita tem potˆ ncia media zero:
e
E∞ < ∞ → P ∞ = 0
¸˜
Sinais de duracao e amplitude finitas tem energia finita:
x(t) = 0 para |t| > c → E∞ < ∞
– p.37/143
90. ´
Comentarios
´
Sinais de energia finita tem potˆ ncia media zero:
e
E∞ < ∞ → P ∞ = 0
¸˜
Sinais de duracao e amplitude finitas tem energia finita:
x(t) = 0 para |t| > c → E∞ < ∞
´
Sinais com potˆ ncia media finita tem energia infinita:
e
P∞ > 0 → E ∞ = ∞
– p.37/143
92. ¸˜
Transformacoes de Sinais
Deslocamento no tempo: x(t − t0 ) e x[n − n0 ]
˜ ´
Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para a
direita
– p.38/143
93. ¸˜
Transformacoes de Sinais
Deslocamento no tempo: x(t − t0 ) e x[n − n0 ]
˜ ´
Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para a
direita
˜ ´
Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para a
esquerda
– p.38/143
94. ¸˜
Transformacoes de Sinais
Deslocamento no tempo: x(t − t0 ) e x[n − n0 ]
˜ ´
Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para a
direita
˜ ´
Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para a
esquerda
˜
Reflexao temporal: x(−t) e x[−n]
– p.38/143
95. ¸˜
Transformacoes de Sinais
Deslocamento no tempo: x(t − t0 ) e x[n − n0 ]
˜ ´
Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para a
direita
˜ ´
Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para a
esquerda
˜
Reflexao temporal: x(−t) e x[−n]
Mudanca da escala de tempo: x(αt) ou x[αn]
¸
– p.38/143
96. ¸˜
Transformacoes de Sinais
Deslocamento no tempo: x(t − t0 ) e x[n − n0 ]
˜ ´
Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para a
direita
˜ ´
Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para a
esquerda
˜
Reflexao temporal: x(−t) e x[−n]
Mudanca da escala de tempo: x(αt) ou x[αn]
¸
´
Se α > 1 o sinal e comprimido
– p.38/143
97. ¸˜
Transformacoes de Sinais
Deslocamento no tempo: x(t − t0 ) e x[n − n0 ]
˜ ´
Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para a
direita
˜ ´
Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para a
esquerda
˜
Reflexao temporal: x(−t) e x[−n]
Mudanca da escala de tempo: x(αt) ou x[αn]
¸
´
Se α > 1 o sinal e comprimido
´
Se 1 > α > 0 o sinal e expandido
– p.38/143
98. Exemplo 1
Considere o sinal mostrado na figura abaixo. Esboce
t
y(t) = x 1 − 2
– p.39/143
99. ¸˜
Solucao Exemplo 1
Obs.: O deslocamento deve ser aplicado primeiramente.
¸˜
Considere a transformacao
y(t) = x(at + b)
Deseja-se saber y(t):
Troque t por τ
– p.40/143
100. ¸˜
Solucao Exemplo 1
Obs.: O deslocamento deve ser aplicado primeiramente.
¸˜
Considere a transformacao
y(t) = x(at + b)
Deseja-se saber y(t):
Troque t por τ
Encontre o valor t considerando τ = at + b, ou seja:
τ b
t= −
a a
– p.40/143
101. ¸˜
Solucao Exemplo 1
Obs.: O deslocamento deve ser aplicado primeiramente.
¸˜
Considere a transformacao
y(t) = x(at + b)
Deseja-se saber y(t):
Troque t por τ
Encontre o valor t considerando τ = at + b, ou seja:
τ b
t= −
a a
Esboce o eixo t transformado logo abaixo do eixo τ
– p.40/143
102. ¸˜
Solucao Exemplo 1
Obs.: O deslocamento deve ser aplicado primeiramente.
¸˜
Considere a transformacao
y(t) = x(at + b)
Deseja-se saber y(t):
Troque t por τ
Encontre o valor t considerando τ = at + b, ou seja:
τ b
t= −
a a
Esboce o eixo t transformado logo abaixo do eixo τ
Esboce y(t)
– p.40/143
104. Exemplo 2
Considere o sinal do exemplo anterior. Esboce y(t) = 3x 1 − t
2 −2
– p.42/143
105. Simetria Par e ´mpar
I
1
xp (t) = (x(t) + x(−t))
2
1
xi (t) = (x(t) − x(−t))
2
xo (t) + xi (t) = x(t)
´
Um sinal e par se e somente se x(t) = x(−t)
– p.43/143
106. Simetria Par e ´mpar
I
1
xp (t) = (x(t) + x(−t))
2
1
xi (t) = (x(t) − x(−t))
2
xo (t) + xi (t) = x(t)
´
Um sinal e par se e somente se x(t) = x(−t)
´ ı
Um sinal e ´mpar se e somente se x(t) = −x(−t)
– p.43/143
107. Simetria Par e ´mpar
I
1
xp (t) = (x(t) + x(−t))
2
1
xi (t) = (x(t) − x(−t))
2
xo (t) + xi (t) = x(t)
´
Um sinal e par se e somente se x(t) = x(−t)
´ ı
Um sinal e ´mpar se e somente se x(t) = −x(−t)
Qualquer sinal pode ser escrito como uma soma de um sinal
par e ´mpar
ı
– p.43/143
108. Simetria Par e ´mpar
I
1
xp (t) = (x(t) + x(−t))
2
1
xi (t) = (x(t) − x(−t))
2
xo (t) + xi (t) = x(t)
´
Um sinal e par se e somente se x(t) = x(−t)
´ ı
Um sinal e ´mpar se e somente se x(t) = −x(−t)
Qualquer sinal pode ser escrito como uma soma de um sinal
par e ´mpar
ı
´
cos(kω0 t) e uma sinal par
– p.43/143
109. Simetria Par e ´mpar
I
1
xp (t) = (x(t) + x(−t))
2
1
xi (t) = (x(t) − x(−t))
2
xo (t) + xi (t) = x(t)
´
Um sinal e par se e somente se x(t) = x(−t)
´ ı
Um sinal e ´mpar se e somente se x(t) = −x(−t)
Qualquer sinal pode ser escrito como uma soma de um sinal
par e ´mpar
ı
´
cos(kω0 t) e uma sinal par
´
sin(kω0 t) e uma sinal ´mpar
ı
– p.43/143
110. Exemplo 1
Considere o sinal mostrado na figura abaixo. Esboce a parte
par e ´mpar do sinal.
ı
– p.44/143
112. Sinais Exponenciais e Senoidais
Sinais Exponenciais
x(t) = Ceαt x[n] = Cr n = C(eα )n
˜
onde C e a sao numeros complexos.
´
Sinais exponenciais e senoidais aparecem como resultado
da analise de sistemas lineares
´
x = Ax
˙
x(t) = eAt x(0)
– p.46/143
113. Sinais Exponenciais e Senoidais
Sinais Exponenciais
x(t) = Ceαt x[n] = Cr n = C(eα )n
˜
onde C e a sao numeros complexos.
´
Sinais exponenciais e senoidais aparecem como resultado
da analise de sistemas lineares
´
x = Ax
˙
x(t) = eAt x(0)
Exemplo: Sistema Massa-Mola
– p.46/143
116. ´
Existem varios “tipos” de sinais (sistemas) exponenciais:
C e a reais
C real e a complexo
– p.47/143
117. ´
Existem varios “tipos” de sinais (sistemas) exponenciais:
C e a reais
C real e a complexo
C e a complexos
– p.47/143
118. ´
Existem varios “tipos” de sinais (sistemas) exponenciais:
C e a reais
C real e a complexo
C e a complexos
No caso discreto, podemos ter ainda:
x[n] = Cr n com r < 0
– p.47/143
121. ´
Sinais Periodicos
´ ´
Um sinal e periodico se existe um valor positivo de T ou N tal
que:
x(t) = x(t + T ), ∀t x[n] = x[n + N ], ∀n
´
O per´odo fundamental, T0 ou N0 , e o menor valor positivo
ı
¸˜ ´ ´
para o qual a equacao e valida.
– p.50/143
122. ´
Comentarios
x(t) = Ceαt x[n] = Ceαn
´ ´
Quando α e imaginario, podemos escrever as exponenciais na
forma de Euler:
ejω0 t = cos(ω0 t) + jsin(ω0 t)
ejω0 t = cos[ω0 n] + jsin[ω0 n]
´
Como |ejω0 t | = 1, o grafico parece com uma ”mola”quando
esbocado no plano complexo versus tempo.
¸
– p.51/143
123. ´
Comentarios
x(t) = Ceαt x[n] = Ceαn
´ ´
Quando α e imaginario, podemos escrever as exponenciais na
forma de Euler:
ejω0 t = cos(ω0 t) + jsin(ω0 t)
ejω0 t = cos[ω0 n] + jsin[ω0 n]
´
Como |ejω0 t | = 1, o grafico parece com uma ”mola”quando
esbocado no plano complexo versus tempo.
¸
´ ´
ejω0 t e periodico com per´odo fundamental T0 =
ı 2π
ω0
– p.51/143
124. ´
Comentarios
x(t) = Ceαt x[n] = Ceαn
´ ´
Quando α e imaginario, podemos escrever as exponenciais na
forma de Euler:
ejω0 t = cos(ω0 t) + jsin(ω0 t)
ejω0 t = cos[ω0 n] + jsin[ω0 n]
´
Como |ejω0 t | = 1, o grafico parece com uma ”mola”quando
esbocado no plano complexo versus tempo.
¸
´ ´
ejω0 t e periodico com per´odo fundamental T0 =
ı 2π
ω0
´ ´
A parte real e uma cossenoide e a parte complexa e uma
senoide.
– p.51/143
125. ´
Comentarios
x(t) = Ceαt x[n] = Ceαn
´ ´
Quando α e imaginario, podemos escrever as exponenciais na
forma de Euler:
ejω0 t = cos(ω0 t) + jsin(ω0 t)
ejω0 t = cos[ω0 n] + jsin[ω0 n]
´
Como |ejω0 t | = 1, o grafico parece com uma ”mola”quando
esbocado no plano complexo versus tempo.
¸
´ ´
ejω0 t e periodico com per´odo fundamental T0 =
ı 2π
ω0
´ ´
A parte real e uma cossenoide e a parte complexa e uma
senoide.
e e ´
Os sinais tˆ m energia infinita, mas potˆ ncia media finita.
– p.51/143
128. ´
Exemplo 1 - Soma de Sinais Periodicos
´
Considere trˆ s sinais periodicos:
e
x1 (t) = cos(3.5t)
x2 (t) = sin(2t)
7t
x3 (t) = 2cos
6
´ ´ ´
Verifique se a soma deles e um sinal periodico. Se for, qual e o
per´odo fundamental?
ı
– p.54/143
136. ´
Exemplo 2 - Soma de Sinais Periodicos
´
Considere quatro sinais periodicos:
x1 (t) = cos(3.5t)
x2 (t) = sin(2t)
7t
x3 (t) = 2cos
6
x4 (t) = 3sin(5πt)
´ ´ ´
Verifique se a soma deles e um sinal periodico. Se for, qual e o
per´odo fundamental?
ı
– p.58/143
143. ¸˜
Exemplo 3 - Outra Solucao
¸˜ ˜
Vamos aplicar a definicao, ou seja, x(t=x(t+T). Temos, entao
´
que verificar se a seguinte igualdade e verdadeira.
cos2 (5t) = cos2 (5(t + T ))
– p.63/143
144. ¸˜
Exemplo 3 - Outra Solucao
¸˜ ˜
Vamos aplicar a definicao, ou seja, x(t=x(t+T). Temos, entao
´
que verificar se a seguinte igualdade e verdadeira.
cos2 (5t) = cos2 (5(t + T ))
Sabemos que cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), logo
cos(5(t + T )) = cos(5t + 5T ) = cos(5t)cos(5T ) − sin(5t)sin(5T )
– p.63/143
145. ¸˜
Exemplo 3 - Outra Solucao
¸˜ ˜
Vamos aplicar a definicao, ou seja, x(t=x(t+T). Temos, entao
´
que verificar se a seguinte igualdade e verdadeira.
cos2 (5t) = cos2 (5(t + T ))
Sabemos que cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), logo
cos(5(t + T )) = cos(5t + 5T ) = cos(5t)cos(5T ) − sin(5t)sin(5T )
Elevando ao quadrado, temos:
cos2 (5t + 5T ) = cos2 (5t)cos2 (5T ) + sin2 (5t)sin2 (5T ) −
2cos(5t)cos(5T )sin(5t)sin(5T )
– p.63/143
146. ´
Para que a igualdade seja verdadeira, e preciso que:
cos2 (5T ) = 1
sin2 (5T ) = 0
Isso acontece para 5T = kπ e para k = 1 (Fundamental),
temos T = π .
5
– p.64/143
147. Exemplo 4 - Discreto
´ ´
Determine se o sinal x[n] = (−1)n e periodico.
– p.65/143
148. ¸˜
Exemplo 4 - Solucao
¸˜
Usando a definicao, temos
(−1)n = (−1)n+N
= (−1)n (−1)N
´ ´
Isso so sera verdade se N for par. O menor valor de N ,
´
diferente de zero, e 2.
– p.66/143
149. ¸˜
Exemplo 4 - Outra Solucao
¸˜
Sabemos que ejπ = −1. Usando a definicao
(ejπ )n = (ejπ )n+N
= (ejπ )n (ejπ )N
– p.67/143
150. ¸˜
Exemplo 4 - Outra Solucao
¸˜
Sabemos que ejπ = −1. Usando a definicao
(ejπ )n = (ejπ )n+N
= (ejπ )n (ejπ )N
O segundo termo deve ser 1, ou seja
πN = 2kπ
´
O menor valor de k, diferente de zero, e 1, logo N = 2
– p.67/143
151. Exemplo 5 - Discreto
´ ´
Determine se o sinal x[n] = cos(2n) e periodico.
– p.68/143
153. ¸˜
Exemplo 5 - solucao
¸˜
Usando a definicao, temos:
cos(2n) = cos(2(n + N ))
= cos(2n)cos(2N ) − sin(2n)sin(2N )
¸˜ ´
A condicao para que a igualdade seja verdadeira e:
cos(2N ) = 1
sin(2N ) = 0
´ ˜ ´
Logo 2N = 2kπ → N = kπ. Mas N e inteiro, logo x[n] nao e
´
periodico.
– p.69/143
154. Exemplo 6 - Discreto
´ ´
Determine se o sinal x[n] = cos(2πn) e periodico.
– p.70/143
156. ¸˜
Exemplo 6 - solucao
¸˜
Usando a definicao, temos:
cos(2πn) = cos(2π(n + N ))
= cos(2πn)cos(2πN ) − sin(2πn)sin(2πN )
¸˜ ´
A condicao para que a igualdade seja verdadeira e:
cos(2πN ) = 1
sin(2πN ) = 0
´
Logo 2πN = 2kπ → N = k. O menor k = 0 e 1, logo N = 1 e
´ ´
x[n] e periodico.
– p.71/143
157. Exemplo 7 - Discreto
Determine se o sinal x[n] = (−1) n2 ´ ´
e periodico.
– p.72/143
159. ¸˜
Exemplo 7 - solucao
¸˜
Usando a definicao, temos:
n2 (n+N )2
(−1) = (−1)
n2 +N 2 +2nN
= (−1)
n2 N2 nN
= (−1) (−1) (−1)2
n2 N2
= (−1) (−1)
Logo N 2 tem que ser par e isso acontece para N = 2.
– p.73/143
160. ¸˜
Exemplo 7 - Outra solucao
¸˜
Usando a definicao e lembrando que x[n] = (−1) n2
= (e ) ,
jπ n2
temos:
2 2
(ejπ )n = (ejπ )(n+N )
2
+N 2 +2nN
= (ejπ )n
jπ n2 jπ N 2 j2π nN
= (e ) (e ) e
2 2
= (ejπ )n (ejπ )N
– p.74/143
161. ¸˜
Exemplo 7 - Outra solucao
¸˜
Usando a definicao e lembrando que x[n] = (−1) n2
= (e ) ,
jπ n2
temos:
2 2
(ejπ )n = (ejπ )(n+N )
2
+N 2 +2nN
= (ejπ )n
jπ n2 jπ N 2 j2π nN
= (e ) (e ) e
2 2
= (ejπ )n (ejπ )N
√
´
Logo πN = 2kπ → N = 2k. Para N inteiro, o menor k = 0 e
2
´ ´
2, logo N = 2 e x[n] e periodico.
– p.74/143
162. Harmˆ nicos
o
´ ´
Para que o sinal ejωt seja periodico com per´odo T0 , e
ı
preciso que:
ejωt |t=0 = ejωt |t=T0
– p.75/143
163. Harmˆ nicos
o
´ ´
Para que o sinal ejωt seja periodico com per´odo T0 , e
ı
preciso que:
ejωt |t=0 = ejωt |t=T0
Como ej0 = 1 logo ejωT0 = 1
– p.75/143
164. Harmˆ nicos
o
´ ´
Para que o sinal ejωt seja periodico com per´odo T0 , e
ı
preciso que:
ejωt |t=0 = ejωt |t=T0
Como ej0 = 1 logo ejωT0 = 1
´
Temos tambem
ωT0 = 2πk onde k = 0, ±1, ±2, . . .
– p.75/143
165. Harmˆ nicos
o
´ ´
Para que o sinal ejωt seja periodico com per´odo T0 , e
ı
preciso que:
ejωt |t=0 = ejωt |t=T0
Como ej0 = 1 logo ejωT0 = 1
´
Temos tambem
ωT0 = 2πk onde k = 0, ±1, ±2, . . .
´ ¸˜
Ha mais de uma frequˆ ncia ω que satisfaz a restricao
¨e
x(t) = x(t + T0 )
– p.75/143
166. Harmˆ nicos
o
´ ´
Para que o sinal ejωt seja periodico com per´odo T0 , e
ı
preciso que:
ejωt |t=0 = ejωt |t=T0
Como ej0 = 1 logo ejωT0 = 1
´
Temos tambem
ωT0 = 2πk onde k = 0, ±1, ±2, . . .
´ ¸˜
Ha mais de uma frequˆ ncia ω que satisfaz a restricao
¨e
x(t) = x(t + T0 )
´
A frequˆ ncia fundamental e definida como o menor valor
¨e
¸˜
positivo de frequˆ ncia que satisfaz a restricao acima:
¨e
2π
ω0 =
T0
– p.75/143
167. φk (t) = ejkω0 t onde k = 0, ±1, ±2, . . .
´
Para k = 0, φk (t) e uma constante
– p.76/143
168. φk (t) = ejkω0 t onde k = 0, ±1, ±2, . . .
´
Para k = 0, φk (t) e uma constante
´ ´
Para todos os valores φk (t) e periodico com frequˆ ncia
¨e
fundamental |k|ω0
– p.76/143
169. φk (t) = ejkω0 t onde k = 0, ±1, ±2, . . .
´
Para k = 0, φk (t) e uma constante
´ ´
Para todos os valores φk (t) e periodico com frequˆ ncia
¨e
fundamental |k|ω0
˜
Os harmˆ nicos sao extremamente importante no estudo
o
´ ´
das series de Fourier e sinais periodicos.
– p.76/143
176. ¸˜
Funcoes Discretas - Resumo
¸˜
Existe uma relacao entre δ[n] e u[n]
δ[n] = u[n] − u[n − 1]
n
u[n] = δ[k]
k=−∞
∞
u[n] = δ[n − k]
k=0
– p.83/143
177. ¸˜
Funcoes Discretas - Resumo
¸˜
Existe uma relacao entre δ[n] e u[n]
δ[n] = u[n] − u[n − 1]
n
u[n] = δ[k]
k=−∞
∞
u[n] = δ[n − k]
k=0
´
O impulso unitario pode ser usado para amostrar um sinal no
tempo discreto x[n]
∞ ∞
x[0] = x[k]δ[k] x[n] = x[k]δ[n − k]
k=−∞ k=−∞
– p.83/143
178. ´
Degrau Unitario Cont´nuo
ı
0, t < 0
u(t) =
1, t > 0
´ ¸˜
Tambem chamado funcao de Heaviside
– p.84/143
183. ´
Impulso Unitario Cont´nuo
ı
duc (t)
δc (t) ≡ dt
Quando e → 0,
uc (t) → u(t)
δc (t) para t = 0 cresce muito
– p.86/143
184. ´
Impulso Unitario Cont´nuo
ı
duc (t)
δc (t) ≡ dt
Quando e → 0,
uc (t) → u(t)
δc (t) para t = 0 cresce muito
δc (t) para t = 0 vai para zero
– p.86/143
185. ´
Impulso Unitario Cont´nuo
ı
duc (t)
δc (t) ≡ dt
Quando e → 0,
uc (t) → u(t)
δc (t) para t = 0 cresce muito
δc (t) para t = 0 vai para zero
δ(t) ≡ limt→0 δc (t)
– p.86/143
186. ´
Impulso Unitario Cont´nuo
ı
0, t = 0
δ(t) =
∞ t=0
´ ¸˜
Conhecido tambem por funcao delta de Dirac
– p.87/143
187. ´
Impulso Unitario Cont´nuo
ı
0, t = 0
δ(t) =
∞ t=0
´ ¸˜
Conhecido tambem por funcao delta de Dirac
A integral do impulso serve como uma medida da
amplitude do impulso
– p.87/143
188. ´
Impulso Unitario Cont´nuo
ı
0, t = 0
δ(t) =
∞ t=0
´ ¸˜
Conhecido tambem por funcao delta de Dirac
A integral do impulso serve como uma medida da
amplitude do impulso
´
Esbocado como uma seta com altura unitaria
¸
– p.87/143
189. ´
Impulso Unitario Cont´nuo
ı
0, t = 0
δ(t) =
∞ t=0
´ ¸˜
Conhecido tambem por funcao delta de Dirac
A integral do impulso serve como uma medida da
amplitude do impulso
´
Esbocado como uma seta com altura unitaria
¸
´
5δ(t) e esbocado como uma seta de altura 5.
¸
– p.87/143
190. ´ ´
Impulso Unitario Cont´nuo - Comentarios
ı
´ ´
A propriedade mais importante e area do impulso:
e
−e
δ(t)dt = 1 para qualquer e > 0
– p.88/143
191. ´ ´
Impulso Unitario Cont´nuo - Comentarios
ı
´ ´
A propriedade mais importante e area do impulso:
e
−e
δ(t)dt = 1 para qualquer e > 0
δ(t)x(t) = δ(t)x(0)
– p.88/143
192. ´ ´
Impulso Unitario Cont´nuo - Comentarios
ı
´ ´
A propriedade mais importante e area do impulso:
e
−e
δ(t)dt = 1 para qualquer e > 0
δ(t)x(t) = δ(t)x(0)
∞
−∞
x(t)δ(t)dt = x(0)
– p.88/143
193. ´ ´
Impulso Unitario Cont´nuo - Comentarios
ı
´ ´
A propriedade mais importante e area do impulso:
e
−e
δ(t)dt = 1 para qualquer e > 0
δ(t)x(t) = δ(t)x(0)
∞
−∞
x(t)δ(t)dt = x(0)
∞
−∞
x(t)δ(t − t0 )dt = x(t0 )
– p.88/143
194. ´ ´
Impulso Unitario Cont´nuo - Comentarios
ı
´ ´
A propriedade mais importante e area do impulso:
e
−e
δ(t)dt = 1 para qualquer e > 0
δ(t)x(t) = δ(t)x(0)
∞
−∞
x(t)δ(t)dt = x(0)
∞
−∞
x(t)δ(t − t0 )dt = x(t0 )
1
δ(at) = |a| δ(t)
– p.88/143
195. ´ ´
Impulso Unitario Cont´nuo - Comentarios
ı
´ ´
A propriedade mais importante e area do impulso:
e
−e
δ(t)dt = 1 para qualquer e > 0
δ(t)x(t) = δ(t)x(0)
∞
−∞
x(t)δ(t)dt = x(0)
∞
−∞
x(t)δ(t − t0 )dt = x(t0 )
1
δ(at) = |a| δ(t)
δ(−t) = δ(t)
– p.88/143
196. ´ ´
Impulso Unitario Cont´nuo - Comentarios
ı
´ ´
A propriedade mais importante e area do impulso:
e
−e
δ(t)dt = 1 para qualquer e > 0
δ(t)x(t) = δ(t)x(0)
∞
−∞
x(t)δ(t)dt = x(0)
∞
−∞
x(t)δ(t − t0 )dt = x(t0 )
1
δ(at) = |a| δ(t)
δ(−t) = δ(t)
du(t)
δ(t) = dt
– p.88/143
197. ´ ´
Impulso Unitario Cont´nuo - Comentarios
ı
´ ´
A propriedade mais importante e area do impulso:
e
−e
δ(t)dt = 1 para qualquer e > 0
δ(t)x(t) = δ(t)x(0)
∞
−∞
x(t)δ(t)dt = x(0)
∞
−∞
x(t)δ(t − t0 )dt = x(t0 )
1
δ(at) = |a| δ(t)
δ(−t) = δ(t)
du(t)
δ(t) = dt
t
u(t) = −∞
δ(τ )dτ
– p.88/143
198. ´
Impulso Unitario Cont´nuo - Importante
ı
∞
x(t) = x(τ )δ(τ − t)dτ
−∞
¸˜
Note que podemos escrever x(t) como uma combinacao
linear de impulsos deslocados
– p.89/143
208. Fundamentos de Sistemas
Escopo
Propriedades
´
Memoria
Invertibilidade
Causalidade
Estabilidade
Invariˆ ncia no Tempo
a
– p.93/143
209. Fundamentos de Sistemas
Escopo
Propriedades
´
Memoria
Invertibilidade
Causalidade
Estabilidade
Invariˆ ncia no Tempo
a
Linearidade
– p.93/143
210. Escopo
¸˜
Objetivo: Estudo de sistemas que mapeam funcoes de entrada
¸˜
x(t) em funcoes de sa´da y(t).
ı
´
Sistema e um entidade que manipula (transforma) um ou
mais sinais para realizar uma determinada tarefa. Novos
˜
sinais sao gerados.
– p.94/143
211. Escopo
¸˜
Objetivo: Estudo de sistemas que mapeam funcoes de entrada
¸˜
x(t) em funcoes de sa´da y(t).
ı
´
Sistema e um entidade que manipula (transforma) um ou
mais sinais para realizar uma determinada tarefa. Novos
˜
sinais sao gerados.
Consideraremos sistemas com uma unica entrada e uma
´
unica sa´da (SISO), Lineares e Invariantes no Tempo.
´ ı
– p.94/143
212. ´
h(t) e a resposta ao impulso do sistema de tempo cont´nuo:
ı
δ(t) → h(t).
– p.95/143
213. ´
h(t) e a resposta ao impulso do sistema de tempo cont´nuo:
ı
δ(t) → h(t).
´
h[n] e a resposta ao impulso do sistema de tempo discreto:
δ[n] → h[n].
– p.95/143
214. ´
h(t) e a resposta ao impulso do sistema de tempo cont´nuo:
ı
δ(t) → h(t).
´
h[n] e a resposta ao impulso do sistema de tempo discreto:
δ[n] → h[n].
A resposta ao impulso caracteriza um Sistema Linear e
Invariante no Tempo (LTI).
– p.95/143
215. ´
Memoria
´ ´
Um sistema e dito sem memoria se a sua sa´da y(t), em qualquer
ı
´
tempo, e dependente somente da entrada x(t) no mesmo
tempo t.
´
A memoria indica que o sistema tem como armazenar
¸˜
informacao da entrada/sa´da do presente ou futuro.
ı
– p.96/143
216. ´
Memoria
´ ´
Um sistema e dito sem memoria se a sua sa´da y(t), em qualquer
ı
´
tempo, e dependente somente da entrada x(t) no mesmo
tempo t.
´
A memoria indica que o sistema tem como armazenar
¸˜
informacao da entrada/sa´da do presente ou futuro.
ı
Capacitores e indutores armazenam energia, portanto
´
criam sistemas com memoria.
– p.96/143
217. ´
Memoria
´ ´
Um sistema e dito sem memoria se a sua sa´da y(t), em qualquer
ı
´
tempo, e dependente somente da entrada x(t) no mesmo
tempo t.
´
A memoria indica que o sistema tem como armazenar
¸˜
informacao da entrada/sa´da do presente ou futuro.
ı
Capacitores e indutores armazenam energia, portanto
´
criam sistemas com memoria.
˜
Resistores, em princ´pio, nao armazenam energia, portanto
ı
˜ ´
sao sistemas sem memoria: v(t) = Ri(t).
– p.96/143
218. Exemplos
˜ ´
Determine se os seguintes sistemas sao com ou sem memoria:
y[n] = x[n]2
y(t) = x(t − 2)
y[n] = x[n + 3]
y(t) = sin(2πx(t))
t
y(t) = −∞
x(τ )dτ
n
y[n] = k=−∞ x[k]
– p.97/143
219. Invertibilidade
´
Um sistema e invert´vel se entradas distintas causam sa´das
ı ı
distintas.
– p.98/143
220. Exemplos
Determine se os seguintes sistemas possuem o seu sistema
´
inverso. Em caso afirmativo, diga qual e o sistema inverso.
y[n] = x[n]2
y(t) = x(t − 2)
y[n] = x[n + 3]
y(t) = sin(2πx(t))
t
y(t) = −∞
x(τ )dτ
dx(t)
y(t) = dt
n
y[n] = k=−∞ x[k]
– p.99/143
221. t
¸˜
Solucao Exemplo y(t) = −∞ x(τ )dτ
t
Considere y(t) = −∞ x(τ )dτ . Pelo Teorema Fundamental do
´
Calculo podemos escrever
t
x(τ )dτ = X(t) − X(−∞)
−∞
– p.100/143
222. t
¸˜
Solucao Exemplo y(t) = −∞ x(τ )dτ
t
Considere y(t) = −∞ x(τ )dτ . Pelo Teorema Fundamental do
´
Calculo podemos escrever
t
x(τ )dτ = X(t) − X(−∞)
−∞
Aplicando a derivada dos dois lado e levando em conta o
TFC, temos
dy(t) d(X(t) − X(−∞))
=
dt dt
= x(t)
´
logo o sistema e invert´vel.
ı
– p.100/143
223. ¸˜
Solucao Exemplo y(t) = dx(t)
dt
´
A prova sera dada usando um contra-exemplo.
Considere y(t) = dx(t)
dt e que x(t) = z(t) + C. Logo:
dx(t) d(z(t) + C) dz(t)
y(t) = = =
dt dt dt
˜
O valor da constante C nao modifica o resultado, portanto
´ ˜
o sistema e nao-invert´vel.
ı
– p.101/143
224. Causalidade
´
Um sistema e dito causal se a sa´da em qualquer tempo
ı
depende somente dos valores entrada/sa´da naquele tempo e
ı
no passado.
´
Sistemas causais podem tambem serem chamados de
˜
nao-antecipativos.
– p.102/143
225. Causalidade
´
Um sistema e dito causal se a sa´da em qualquer tempo
ı
depende somente dos valores entrada/sa´da naquele tempo e
ı
no passado.
´
Sistemas causais podem tambem serem chamados de
˜
nao-antecipativos.
˜
Se duas entradas aplicadas a um sistema causal sao iguais
´
ate certo ponto no tempo, as sa´das devem ser iguais.
ı
– p.102/143
