ELE2611 Classe 5 - Filtres analogiques linéaires III

Introduction
ELE2611 - Circuits Actifs
3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5
https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756
Cours 5 - Filtres analogiques linéaires III
Synthèse globale de filtres passifs et actifs
Instructeur: Jerome Le Ny
jerome.le-ny@polymtl.ca
Version du 20 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/38

Introduction
Motivation pour ce cours
Contrairement à la synthèse en cascade, les méthodes de synthèse
“globale” ou “directe” réalisent une fonction de transfert entière en une
étape.
Diverses techniques de synthèse globable existent, tant pour les filtres
actifs que passifs (à la différence de l’approche en cascade, qui nécessite
des cellules actives). En particulier, des méthodes classiques permettent de
synthétiser une fonction de transfert par un circuit passif en échelle.
Pour l’ingénieur practicien, des prototypes passifs de filtres classiques
(Butterworth, Tchebychev, etc.) approximant le passe-bas normalisé sont
répertoriés dans des manuels et logiciels. On peut alors produire le filtre
désiré avec la dénormalisation en fréquence du circuit directement.
Un point fort des circuits passifs en échelle est leur faible sensibilité aux
variations des composants. Ils ont aussi des avantages aux hautes
fréquences, et pour le traitement des signaux de grande amplitude, mais ils
ne sont pas vraiment implémentables sous forme de circuits intégrés.
Une des méthodes de synthèse globale de filtres actifs consiste simplement
à remplacer les bobines problématiques dans un filtre passif par des
éléments actifs. Pour cela, on peut par exemple utiliser le gyrateur du
cours 2 ou le convertisseur d’impédance généralisé.

Introduction
Approches pour la conception de filtres
Choix du
gabarit du
filtre
Normalisation en
fréquence du gabarit
(vers le passe-bas
normalisé)
Détermination d'une
fonction de transfert
satisfaisant le gabarit
normalisé
Dénormalisation
en fréquence de
la fonction de
transfert
Réalisation par un circuit
de la fonction de
transfert dénormalisée
Filtre standards tabulés
(Butterworth, Tchebyshev, etc.)
Forme dévelopée et factorisée
Dénormalisation
en impédance
Réalisation par un circuit
de la fonction de
transfert normalisée
Tables de circuits
prototypes
disponibles (passifs,
à simuler si besoin)
Dénormalisation en
fréquence du circuit
(transformation de
composants)
Plutôt
synthèse en cascade
d'un circuit actif
approche de
synthèse globale
circuit final à vérifier et tester
ce cours

Introduction
Choix de type de filtre en fonction de la fréquence
1
Hz
10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 1011
1 MHz 1 GHz
Frequency, Hz
Discrete analog active RC filters
Switched-capacitor active RC filters
Integrated analog active filters
Passive filters
Distributed
(waveguide) filters
[D’après Schaumann et al., 2010]
Pour les filtres actifs, les limites dépendent des composants actifs utilisés
(AO et OTA : amplificateurs opérationnels à transconductance)

Introduction
Outline
Réalisations passives de fonctions de transfert
Prototypes passifs de filtres passe-bas en échelle et dénormalisation
Aper¸cu de synthèse de fonction de transfert par circuits passifs en échelle
Synthèse globale de filtre actifs
Convertisseur d’impédance généralisé et simulation de circuits en échelle
Synthèse globale par modèles d’état

Introduction
Outline

Introduction
Fonctions de transfert bilineaires
=
+
Z1, Y1
Z2, Y2
C1
R1
R2C2
Vi Vo
+
-
Vo(s)
Vi (s)
=
Z2
Z1 + Z2
=
Y1
Y1 + Y2
Yi = Gi + Ci s
⇒
Vo(s)
Vi (s)
=
G1 + C1s
(G1 + G2) + (C1 + C2)s
Zéro à −1/R1C1 (à gauche du plan s nécessairement).
Pôle à −(G1 + G2)/(C1 + C2) (stable nécessairement).

Introduction
Circuits en échelle
Z1
Z2
Z3
Z4
+
-
Vout
Vin
+
-
branches
en parallèle
branches
en série
Un certain nombre de techniques classiques existent pour synthétiser une
fonction de transfert Vout (s)/Vin(s) à partir de circuits passifs en échelle.
On augmente l’ordre du filtre en ajoutant des niveaux.
On crée des zéros de deux fa¸cons, qui coupent la transmission du signal :
Zi = ∞ dans une branche série.
Zi = 0 dans une branche parallèle.
=
+
Rs
C1
L2
C3
L4
C5
L6
C7 Rl Vout
+
-
Vin
Ex: Filtre
passe-bas
d'ordre 7

Introduction
Sections productrices de zéros
=
+Vin
Rs
C1
L2
C3
L4
C4
C5
L6 C7
L7
C8
Rl Vout
+
-
R9
C9
R6
A partir de l’expression de Zi (s) pour les sections élémentaires suivantes, on
voit immédiatement que
Un condensateur en parallèle ou une bobine en série créent un zéro à
l’infini
Un condensateur en série ou une bobine en parallèle créent un zéro à 0
Un circuit LC résonnant parallèle en série, ou série en parallèle créent une
paire de zéros imaginaires s = ±jω0, ou ω0 est la fréqence de résonnance.
Un circuit RC ou RL parallèle en série, ou série en parallèle créent un zéro
à s = a < 0.
[N.B. : l’impédance Z(s) d’un circuit RC a ses pôles et zéros réels négatifs, et
celle d’un circuit LC a ses pôles et zéros imaginaires purs].

Introduction
Circuits en LC échelle
=
+
Z1
Z2
Z3
Z4
Rs
Rl
+
-
Vout
Vin
Circuit LC en échelle
Sidney Darlington a publié en 1939 un ensemble de méthodes qui
permettent de réaliser une large gamme de fonctions de transfert à partir
d’un quadripôle LC (donc sans perte) en échelle, terminé par une ou deux
résistances (on peut avoir Rs = 0 ou Rl = ∞ sur le schéma).
Si Rs = 0 et Rl = ∞, on obtient une plus faible sensibilité de la fonction
de transfert aux variations de composants, en comparaison avec les cas Rs
ou Rl absent.
Ces méthodes touchent à des notions fondamentales de théorie des
systèmes. Nous en donnerons juste un petit aper¸cu.

Introduction
Prototypes de filtres approximant le passe-bas normalisé
En pratique des tables (ou logiciels) donnent des prototypes de filtres
passifs approximant le passe-bas normalisé (Butterworth, Tchebychev,
etc.), comme pour les fonctions de transfert. Typiquement des circuits de
Darlington (LC en échelle avec deux résistances).

Introduction
Prototypes de filtres approximant le passe-bas normalisé (suite)
N.B. : Les filtres de Butterworth et Tchebychev ont tous leurs zéros à
l’infini, mais les prototypes de filtres elliptiques ont des sections LC
résonnantes produisant les zéros finis nécessaires.

Introduction
Exemple de filtre elliptique
Les sections LC des branches série produisent les zéros finis dans la bande
d’arret (fz = 1/(2π
√
LC)).
Les sections C des branches parallèles produisent des zéros à l’infini
(augmentation du degré relatif entre dénominateur et numérateur).
Ce filtre passe-bas a déjà été dénormalisé pour avoir fp = 1 MHz.

Introduction
Dénormalisation de filtres prototypes
A partir des circuits prototypes, approximant le passe-bas normalisé pour
lequel ωp = 1 rad/s, on peut effectuer
Une dénormalisation en fréquence, sans repasser par la fonction de
transfert.
Une dénormalisation en impédance (cf. cours 4), par exemple pour ajuster
la résistance de charge Rl à la valeur désirée.
La dénormalisation en fréquence s’effectue directement par substitution de
composants dans les branches du circuit en échelle :
Remplacer les bobines Z(˜s) = L˜s et les condensateurs Y (˜s) = C˜s du
prototype normalisé par des composants Z(s) = Lf (s) et Y (s) = Cf (s), où
˜s = f (s) est une des tranformations du cours 3
Les résistances restent inchangées.
Exemple : pour la transformation passe-bas → passe-bande ˜s =
s2
+ω2
0
Bs
une
bobine d’impédance L˜s est remplacée par un circuit d’impédance
Z(s) = L
B
s +
Lω2
0
Bs
, i.e., une bobine d’inductance L/B en série avec un
condensateur de capacité B/(ω2
0L).

Introduction
Récapitulatif sur la dénormalisation de prototypes de filtres
Dénormalization en fréquence (exercice : retrouver ce tableau)
L
C
Prototype
passe-bas
normalisé
˜s
Passe-bas
˜s = s/!p
L/!p
C/!p
Passe-haut
˜s = !p/s
1
L!p
1
C!p
Passe-bande
˜s =
s2
+ !2
0
Bs
C
B
B
!2
0C
Coupe-bande
˜s =
Bs
s2 + !2
0
BL
!2
0
1
BL
1
BC
BC
!2
0
B
!2
0L
L
B
Dénormalization en impédance par un facteur α :
Utile pour changer les composants passifs vers des valeurs plus commodes.
Multiplier toutes les résistances par α.
Multiplier toutes les inductances par α.
Diviser toutes les capacités par α (afin de multiplier 1
Cs
par α).

Introduction
Exemple
Concevoir un filtre passif passe-bande en échelle avec les spécifications
suivantes
Résistance de source et de charge : 50 Ω.
Augmentation d’atténuation aux hautes fréquences : 60 dB/decade
Fréquence centrale de la bande passante : 230 kHz
Bande passante ”optimalement plate” avec une largeur de bande de 28 kHz
Atténuation maximale de 0.5 dB dans la bande passante

Introduction
Outline

Introduction
Synthèse de circuits en échelle
Comment les circuits prototypes en échelle donnés dans les tables ou
logiciels sont-ils con¸cus ?
Il existe plusieurs techniques de synthèse de fonctions de transfert par des
circuits passifs en échelle, développées jusque dans les années 70-80.
Variations suivant la topologie utilisée. Le plus souvent une ou deux
terminaisons avec résistance, et un quadripôle LC au milieu.
Quadripôle LC1 2
Rs
Rl
+
-
Vi
+
-
Vo
I1 I2
Zin(s)
La configuration de Darlington avec deux résistances entourant un
quadripôle LC résulte en une réalisation de fonction de transfert peu
sensible aux variations des composants.
Vous seriez amené à utiliser ces méthodes (ou leur impémentation
logicielle) si la topologie que vous recherchez n’est pas tabulée, par
exemple si Rs = Rl .
Nous allons survoler une de ces méthodes, peut-être la plus importante.

Introduction
Méthode de synthèse de Darlington : circuit LC entre deux résistances
Quadripôle LC1 2
Rs
Rl
+
-
Vi
+
-
Vo
I1 I2
Zin(s)
Idée : ramener le problème de réalisation de H(s) = Vo (s)
Vi (s)
à celui de la
réalisation d’une impédance Zin(s) de circuit LC terminé par Rl , pour
lequel des méthodes sont disponibles.
Puissance moyenne (en R.P.S.) dissipée dans la charge : P0(jω) = |Vo (jω)|2
Rl
En R.P.S., la puissance moyenne fournie au port 1 est égale a Po, car le
circuit LC ne dissipe pas d’énergie
P1(jω) = Re[Zin(jω)]|I1(jω)|2
= Re[Zin(jω)]|
|Vi (jω)|2
|Rs + Zin(jω)|2
= Po(jω) =
|Vo(jω)|2
Rl
⇒|H(jω)|2
=
Vo(jω)
Vi (jω)
2
=
Re[Zin(jω)]Rl
|Rs + Zin(jω)|2
.

Introduction
Méthode de synthèse de Darlington (3)
Finalement on doit réaliser l’impédance suivante avec le circuit LC + Rs :
Zin(s) = Rs
1 − ρ(s)
1 + ρ(s)
ou Zin(s) = Rs
1 + ρ(s)
1 − ρ(s)
.
avec ρ(s) une fonction déterminée à partir des H(s), Rs et Rl spécifés.
Reste à réaliser un de ces Zin(s) par un quadripôle LC terminé par Rl .
Nous n’étudierons pas cette question formellement, mais illustrons les
possibilités par un exemple.
Supposons que la fonction de transfert à réaliser est H(s) = 1/D(s), où
D(s) est un polynômes dont les racines sont à gauche du plan complexe
(ex : Butterworth, Tchebychev, . . . ).
Tous les zéros de H(s) sont à l’infini, et la fonction de transfert peut être
réalisée par un circuit de Cauer (première forme)
+
-
Vi
+
-
Vo ou
+
-
Vi
+
-
Vo
Rl
C1
L2 L1
C2 Rl
Rs Rs

Introduction
Méthode de synthèse de Darlington (4) : réalisation de Cauer
La méthode de Cauer pour synthétiser le circuit précédent repose sur
l’expression de Zin(s) en fraction continue
Zin(s) = k1s +
1
k2s +
1
k3s + · · ·
ou Zin(s) =
1
k1s +
1
k2s +
1
k3s + · · ·
, ki > 0
Par exemple pour le premier cas Zin(s) = k1s + 1
Y2(s)
, Y2(s) = k2s + 1
Z3(s)
,
. . . , a l’interprétation
k1 H
Y2
k1 H
k2 F
Z3

Introduction
Méthode de synthèse de Darlington (5) : Exemple
Réaliser H(s) = K
s3+2s2+2s+1
= K
D(s)
, filtre de Butterworth d’ordre 3, à l’aide
d’un circuit LC de Darlington, avec Rl = Rs = 1Ω.
On a nécessairement K = 1/2 : gain statique qui se lit immédiatement sur
le circuit de Darlington.
D’autre part
|ρ(jω)|2
= 1 −
4Rs
Rl
|H(jω)|2
= 1 −
1
1 + ω6
=
ω6
1 + ω6
=
(−s2
)3
|s2=−ω2
D(s)D(−s)|s=jω
=
s3
(−s)3
|s=jω
D(s)D(−s)|s=jω
implique ρ(s) = s3
D(s)
.
Après calcul, une des deux solutions pour Zin(s) est
Zin(s) =
2s2
+ 2s + 1
2s3 + 2s2 + 2s + 1

Introduction
Méthode de synthèse de Darlington (5) : Exemple (suite)
Comme lims→∞ Zin(s) = 0, on cherche la deuxième forme de fraction
continue
Zin(s) =
1
k1s +
1
k2s +
1
k3s + · · ·
, ki > 0
Calculs par divisions successives (inverser la fraction restante chaque fois) :
Yin(s) =
2s3
+ 2s2
+ 2s + 1
2s2 + 2s + 1
= s +
s + 1
2s2 + 2s + 1
,
2s2
+ 2s + 1
s + 1
= 2s +
1
s + 1
⇒Zin(s) =
1
s +
1
2s +
1
s + 1
⇒ C1 = 1F, L2 = 2H, C3 = 1F, Yl = 1S
N.B. : Ici on obtient Yl = 1 = 1/Rl , compatible avec notre spécification.
En général, pour Rl = Rs , il se peut qu’une des deux solutions pour Zin(s)
ne fonctionne pas.

Introduction
Outline

Introduction
Techniques de synthèse globale de filtre actifs
Parmi les techniques de synthèse directe de filtres actifs, nous allons couvrir les
deux suivantes :
Simulation de circuits passifs en échelle
On part des circuits synthétisés dans la section précédente, puis on cherche
à supprimer les bobines à l’aide de composants actifs
Surtout utile pour les filtres à fréquences modérées, où les bobines seraient
grosses et les composants actifs se comportent bien
Synthèse globale par filtre à variable d’état
Généralise le filtre d’ordre 2 à variable d’état rencontré au cours 4
Avantage : méthode complètement générale pour synthétiser n’importe
qu’elle fonction de transfert, et applicable sans difficultés. Grande liberté
dans le réglage des paramètres.
Désavantage : nombre de composants nécessaires relativement grand
(jusqu’à n + 2 AO pour un filtre d’ordre n)

Introduction
Outline

Introduction
Convertisseur d’impédance généralisé
+
-
+
-
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
A
Z
A
Z =
Z1Z3Z5
Z2Z4
1
2
3
4
Bobine mise
à la terre
Applications
Résistance négative
dépendant de la
fréquence (FDNR)
VA = V2 = V4 =: V , I =
V − V1
Z1
V1 − V
Z2
+
V3 − V
Z3
= 0,
V3 − V
Z4
+
−V
Z5
= 0
⇒ Z =
V
I
=
Z1Z3Z5
Z2Z4
2 cas importants :
Tous les Zi résistances, sauf Z2 (ou Z4)
condensateur → bobine simulée
Z =
R1R3R5
R4(1/jωC2)
= jωL, L =
R1R3R5C2
R4
Tous les Zi résistances, sauf Z1 et Z5
condensateurs → FDNR
Z =
(1/jωC1)R3(1/jωC5)
R2R4
= −
1
ω2D
,
avec D =
R2R4C1C5
R3

Introduction
Bobines flottantes et FDNR
Le CIG permet donc de simuler, entre autres, des bobine Z(s) = Ls et des
FDNR Z(s) = 1
Ds2 , dans les deux cas avec un des terminaux mis à la terre.
Les bobines dont aucun terminal n’est mis à la terre peuvent aussi être
simulées par des circuits RC actifs, mais ces derniers sont plus complexes
et moins performants.
En présence de telles bobines flottantes, et si les condensateurs sont mis à
la terre, on peut contourner le problème grâce à la transformation
suivante :
Diviser toutes les impédances par jω (ou par s) ne change pas une fonction
de transfert qui est un rapport de tensions ou de courant (sans unité).
Par cette division : les résistances deviennent des capacitances, les bobines
de résistances, et les condensateurs des FDNRs
R →
R
jω
=
1
jωR−1
, L →
jωL
jω
= L ,
1
jωC
→
1/jωC
jω
= −
1
ω2C

Introduction
Suppression d’une bobine flottante à l’aide d’un FDNR : illustration
R →
R
jω
=
1
jωR−1
, L →
jωL
jω
= L ,
1
jωC
→
1/jωC
jω
= −
1
ω2C
=
+
C
LR
=
+ C
LR
-1
+
-
Vi
Vi Vo
+
-
Vo
Les deux circuits ci-dessus ont la même fonction de transfert Vo (s)
Vi (s)
Dans certains cas, cette transformation ne suffit pas (ex : passe-bande), et
il faudra vous reporter à la littérature sur la simulation de circuits en
échelle.

Introduction
Exemple
Le circuit suivant est un prototype passe-bas normalisé (i.e., avec ωp = 1)
de filtre elliptique d’ordre 5.
=
+
+
-
1 Ω
1 Ω 1.02789 H
L1
L2
C2
L3
L4
C4
L5R
R VoVi
0.15134 H
1.21517 F
0.44083 H
1.63179 H 0.81549 H
0.93525 F
Dénormaliser ce circuit pour obtenir un passe-haut avec ωp = 2π × 300 Hz
et R = 100 kΩ.
Donner une implémentation active de ce circuit n’utilisant pas de bobine.

Introduction
Outline

Introduction
Variables d’état
Problème : synthétiser une fonction de transfert (sans zéro pour l’instant)
H(s) =
Y (s)
U(s)
=
1
sn + an−1sn−1 + . . . + a0
D’après MTH1115, cette fonction de transfert correspond à l’EDO linéaire
y(n)
+ an−1y(n−1)
+ . . . + a1 ˙y + a0y = u
qui se transforme en système d’EDO suivant (prendre
x0 = y, x1 = ˙y, . . . , xn−1 = y(n−1)
)
˙x0 = x1
˙x1 = x2
...
˙xn−1 = −an−1xn−1 − . . . − a1x1 − a0x0 + u
x0, x1, . . . , xn−1 sont n variables d’état du système

Introduction
Réalisation en schéma bloc
Le système précédent
˙x0 = x1, ˙x1 = x2, . . . ˙xn−2 = xn−1
˙xn−1 = −an−1xn−1 − . . . − a1x1 − a0x0 + u
se réalise immédiatement à l’aide de n intégrateurs et une combinaison
linéaire supplémentaire
1
s
1
s
1
s
x0 = y
1
s
x1 = ˙x0x2xn 2xn 1+u ˙xn 1
a0an 1 a1
- -
-
Pour une implémentation, on réalise plus facilement des intégrateurs
inverseurs Vo = − 1
RCs
Vi , ce qui nous oblige à une petite variation

Introduction
Réalisation par circuit actif (cas n impair)
1
RCs
1
RCs
1
RCs
1
RCs
Vo
V1
= sRCVo
V2
V3
V4
Vi
-
+
-
+
Va
(0 V )
Ri
Ra
Ra R1
R2
R3
R4
C4
R0
Va = −
Ra
R1
V1 +
Ra
R3
V3
Somme à l’AO d’entrée :
Vi
Ri
+
Va
Ra
+ sC4V4 +
V4
R4
+
V2
R2
+
Vo
R0
= 0
Vi
Ri
+
1
R0
+
RC
R1
s +
(RC)2
R2
s2
+
(RC)3
R3
s3
+
(RC)4
R4
s4
+ (RC)4
C4s5
Vo = 0
On peut donc ajuster tous les coefficients de la fonction de transfert

Introduction
Filtres à variable d’état : forme générale
Dans le cas général (avec numérateur pas nécessairement constant)
H(s) =
Y (s)
U(s)
=
cn−1sn−1
+ . . . c1s + c0
sn + an−1sn−1 + . . . + a0
On réalise X0 comme avant X0(s)
U(s)
= 1
sn+an−1sn−1+...+a0
, puis
Y (s) = cn−1sn−1
X0 + . . . c0X0 = cn−1Xn−1 + . . . + c0X0
1
s
1
s
1
s
1
s
x1 = ˙x0x2xn 2xn 1+u ˙xn 1
a0an 1 a1
- -
-
c0
x0
c1cn 1
y
+
+
+
Un AO supplémentaire pour la combinaison linéaire en sortie
Forme canonique commandable d’une fonction de transfert

Introduction
Exemple
Concevoir un filtre de Tchebychev à l’aide d’un circuit à variable d’état,
avec les spécifications suivantes
Bande passante 1000 rad/s
Amax = 0.1 dB
Amin = 40 dB pour ω ≥ 6000 rad/s

Introduction
Conclusion
Nous avons présenté dans cette série de cours quelques démarches
classiques pour la conception de circuits analogiques (actifs ou passifs)
réalisant des fonctions de filtrage de base : depuis le choix d’un gabarit,
jusqu’à l’utilisation de méthodes de synthèse.
Récapitulatif sur les choix technologiques :
L’utilisation des AO est possible pour des fréquences pas trop élevées. Nous
verrons au prochain cours la raison de cette limite, qui est la chute du gain
en boucle ouverte quand la fréquence augmente.
Les méthodes couvertes ici sont assez générales mais ont certaines limites,
en particulier pour la fabrication de circuits intégrés monolithiques (par
exemple en raison de la trop grande précision requise pour les produits RC).
D’autres techniques (filtres gm-C, à capacités commutées, . . . ) sont
utilisées dans ce cas (application par exemple aux systèmes de
communication). Il y a encore de la recherche dans ce domaine.
A très hautes fréquences (ou pour un faible bruit), on doit utiliser des
bobines, mais elles peuvent alors être de petite taille et posent donc moins
de problèmes.
Les choix de conception pratiques sont aussi généralement dictés par des
considérations de coût, de complexité, et surtout de robustesse aux
variations des paramètres des composants. Le prochain cours nous donnera
un aper¸cu des aspects non idéaux des composants utilisés jusqu’ici.

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