ELE2611 Classe 4 - Filtres analogiques linéaires II

Introduction
ELE2611 - Circuits Actifs
3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5
https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756
Cours 4 - Filtres analogiques linéaires II
Synthèse en cascade de filtres actifs
Instructeur: Jerome Le Ny
jerome.le-ny@polymtl.ca
Version du 3 décembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/1

Introduction
Motivation pour ce cours
Au cours précédent, nous avons discuté certaines méthodes pour :
établir une spécification de filtre (choix de gabarit),
et obtenir une fonction de transfert satisfaisant ces spécifications.
Il reste maintenant à concevoir des circuits permettant de réaliser ces
fonctions de transfert. Nous verrons deux approches classiques :
Synthèse en cascade (ce cours) : on factorise H(s) en produit de fonctions
de transfert d’ordre 2, plus un terme d’ordre 1 si l’ordre de H est impair :
H(s) = H1(s)H2(s) . . . H n/2 (s)
On cascade alors des quadripôles de topologies standard synthétisant
chaque facteur d’ordre 1 ou 2. Des composants actifs permettent d’éviter
les couplages entre étages (Zout = 0 ou Zin = ∞). Avantages : modularité,
relative simplicité, possibilité de régler chaque étage indépendamment, etc.
Méthodes de “synthèse globale” (prochain cours) : reposent souvent sur les
méthodes classiques de synthèse de circuits passifs (R,L,C). Pour des
fréquences modérées, on peut remplacer les bobines par des composants
actifs.
Il existe d’autres approches standard pour la conception de filtres actifs
analogiques, en particulier pour réaliser des filtres en circuits intégrés
(CMOS), aux basses et hautes fréquences : filtres à capacités commutées,
filtres gm-C. Vous trouverez de nombreux livres sur le sujet.

Introduction
Approches pour la conception de filtres
Choix du
gabarit du
filtre
Normalisation en
fréquence du gabarit
(vers le passe-bas
normalisé)
Détermination d'une
fonction de transfert
satisfaisant le gabarit
normalisé
Dénormalisation
en fréquence de
la fonction de
transfert
Réalisation par un circuit
de la fonction de
transfert dénormalisée
Filtre standards tabulés
(Butterworth, Tchebyshev, etc.)
Forme dévelopée et factorisée
Dénormalisation
en impédance
Réalisation par un circuit
de la fonction de
transfert normalisée
Tables de circuits
prototypes
disponibles (passifs,
à simuler si besoin)
Dénormalisation en
fréquence du circuit
(transformation de
composants)
Plutôt
synthèse en cascade
d'un circuit actif
approche de
synthèse globale
circuit final à vérifier et tester
ce cours

Introduction
Plan pour ce cours

Introduction
Filtres actifs d’ordre 1 et 2
Filtres actifs d’ordre 1
Filtres actifs d’ordre 1
Pour la synthèse en cascade, on a besoin d’au plus un filtre d’ordre 1 (si
l’ordre de H est impair), qui termine généralement le circuit.
Au cours 2, nous avons rencontré les filtres RC passifs d’ordre 1
passe-haut et passe-bas, ainsi que l’intégrateur et le dérivateur.
Réalisations de filtres (RC) actifs d’ordre 1 (Exercice : fns de tx + Bode) :
Passe-bas :
(intégrateur modifié)
-
+
=
+Vi Vo
R1
R2
C
H(s) =
H0
1 + s/ω0
H0 = −
R2
R1
, ω0 =
1
R2C
Passe-haut :
(dérivateur modifié)
-
+
=
+Vi Vo
R1 R2C
H(s) =
H0 s/ω0
1 + s/ω0
H0 = −
R2
R1
, ω0 =
1
R1C
Passe-tout :
-
+
=
+Vi
Vo
R1 R2= R1
C
R
H(s) =
1 − RCs
1 + RCs
Déphasage
asymptotique : − 180◦

Introduction
Filtres actifs d’ordre 2 de Sallen-Key
Plan pour ce cours

Introduction
Cellules de Sallen-Key (ou KRC) : passe-bas
Nous introduisons quelques architectures possibles pour réaliser des filtres
actifs d’ordre 2 ou biquadratiques (spécifiés par leur Q et ω0)
Un filtre passe-bas de Sallen-Key (ou KRC) peut être vu comme 2 étages
RC avec une boucle de rétroaction pour booster le gain autour de la
fréquence de coupure :
=
+
K
R1 R2
C1
C2Vi
Vo
=
+
R1 R2
C1
C2
Vi
Vo
+
-
Vo/K
V1
RB
RA
(Exercice :) H(s) = K
1
s
ω0
2
+ 1
Q
s
ω0
+ 1
K = 1 +
RB
RA
, ω0 =
1
√
R1C1R2C2
,
1
Q
= (1 − K)
R1C1
R2C2
+
R1C2
R2C1
+
R2C2
R1C1
.
2 choix typiques : composants égaux (R1 = R2 = R, C1 = C2 = C) ; ou
gain unitaire (RB = 0, RA = ∞).

Introduction
Passe-bas de Sallen-Key : configuration composants égaux
On prend R1 = R2 = R, C1 = C2 = C (simplification de l’inventaire)
ω0 =
1
RC
, Q =
1
3 − K
,
et RB = RA(K − 1).
On peut régler ω0 et Q indépendemment.
Pour réaliser Q élevé, il faut K proche de 3, i.e. RB /RA proche de 2. Mais
Q devient alors très sensible à toute variation de ce rapport
Pour RB
RA
= 1.9, on a Q = 10.
Pour RB
RA
> 2, on a Q < 0, et le circuit devient instable !
En pratique, on se limite donc à Q 10.
On a la contrainte K = 3 − 1/Q, mais on peut en partie remédier à cela
(voir diapositive suivante).

Introduction
Modification du gain statique
Pour la configuration de Sallen-Key composants égaux, la spécification du
facteur de qualité fixe la valeur du gain statique K = 3 − 1/Q.
La modification suivante permet d’obtenir un gain statique |K0| < |K|
sans rajouter d’AO : remplacer R à l’entrée par R , R
=
+
R' R
C
C
Vo
+
-
RA (K-1)
RA
R''Vi=
+ViR'' / (R'+R'')
R' // R''
1
1
Equivalent Thévenin
On prend R R = R → même ω0, Q
Le gain statique de vi à vo devient K0 = R
R +R
K
Solution (exercice) :
R = R
K
K0
, R =
R
1 − K0
K

Introduction
Exemple
Concevoir un filtre passe-bas du second ordre avec f0 = 1 kHz, Q = 5, et
gain statique 0 dB. On dispose de condensateurs de 10 nF.
N.B. : Typiquement dans la conception des circuits RC, on commence par
fixer les condensateurs, pour lesquels on a généralement moins de choix
comparativement aux résistances.

Introduction
Passe-bas de Sallen-Key : configuration gain unitaire
Avec K = 1 (AO suiveur de tension)
ω0 =
1
√
R1C1R2C2
,
1
Q
=
R1C2
R2C1
+
R2C2
R1C1
.
Posons R2 = R, C2 = C, R1 = mR, C1 = nC
ω0 =
1
√
mnRC
,
1
Q
=
m
n
+
1
√
mn
⇒ Q =
√
mn
m + 1
On a nécessairement Q ≤ 1
2
√
n (atteint pour m = 1), i.e., 4Q2
≤ n.
Approche pour la conception :
Choisir d’abord 2 condensateurs disponibles C, C1 tels que n = C1/C vérifie
l’inégalité n ≥ 4Q2.
Résoudre l’équation quadratique pour
√
m étant donnés n et Q :
m −
√
n
Q
√
m + 1 = 0.
On trouve 2 solutions possibles pour
√
m, puis pour m (en rempla¸cant dans
l’équation quadratique)
m = α ± α2 − 1, avec α =
n
2Q2
− 1.
Finalement, choisir R pour ajuster ω0.

Introduction
Avantages et inconvénients de cette configuration
Agantages de la configuration gain unitaire : réduction du nombre de
composants (pas de RA, RB ), maximisation de la bande passante de l’AO
en configuration suiveur, pas de perte de stabilité . . .
Désavantages : réglage moins facile (ω0 et Q couplés), augmentation
rapide du rapport de capacitances n avec Q (et donc de la surface pour les
circuits intégrés)
→ En pratique utilisé aussi pour Q ≤ 10 (c.-à-d. n ≤ 400).
Exemple
Concevoir un filtre de Butterworth du 2nd ordre avec une fréquence de
coupure à −3 dB de 10 kHz. Pour cela, utiliser un filtre de Sallen-Key en
configuration gain unitaire.
A 20 kHz en RPS, si Vi = 10∠ − 90◦
, calculer Vo.

Introduction
Filtres de Sallen-Key : passe-haut
=
+
R1
R2
C1
C2
Vi
Vo
+
-
Vo/K
V1
RB
RA
Echanger les composants R1 et C1, R2 et C2 donne un passe-haut.
Exercice : échanger Gi et sCi dans la fonction de tx précédente donne :
H(s) = K
s
ω0
2
s
ω0
2
+ 1
Q
s
ω0
+ 1
, K = 1 +
RB
RA
,
ω0 =
1
√
R1C1R2C2
,
1
Q
= (1 − K)
R2C2
R1C1
+
R1C2
R2C1
+
R1C1
R2C2
.
Configurations composants égaux et gain unitaire possibles.

Introduction
Filtres de Sallen-Key : passe-bande
=
+
R3
R2
C1
C2
Vi
Vo
+
-
Vo/K
RB
RA
R1
Etages RC + CR pour passe-bande, et r´etroaction positive comme avant.
(Exercice :) H(s) = H0
1
Q
s
ω0
s
ω0
2
+ 1
Q
s
ω0
+ 1
Parmi les conﬁgurations typiques, on peut prendre R1 = R3 = R, R2 = 2R,
C1 = C2 = C, et dans ce cas
ω0 =
1
RC
, Q =
1
3 − K
, H0 = KQ,
avec K = 1 + RB
RA
.

Introduction
Filtres de Sallen-Key : coupe-bande (symmétrique)
=
+
R
Vi
Vo
+
-
Vo/K
RB
RA
R
R/2
C C
2C
Deux chemins pour atteindre l’entrée de l’AO, RR à basses fréquences,
CC à hautes fréquences.
A fréquences intermédiaires, les phases sur ces deux chemins sont
opposées et les signaux tendent donc à s’annuler.
(Exercice :) H(s) = K
1 + s
ω0
2
s
ω0
2
+ 1
Q
s
ω0
+ 1
ω0 =
1
RC
, Q =
1
4 − 2K
Ce coupe-bande est symmétrique, son gain s’annule à ω = ω0

Introduction
Filtres actifs d’ordre 2 `a variable d’´etat
Plan pour ce cours

Introduction
Filtres (universels) à variable d’état
A cause des inconvénients mentionnés ci-dessus, les filtres de Sallen-Key
sont typiquement utilisés pour Q ≤ 10.
Ces filtres KRC utilisent 1 seul AO. Mais ajouter des AO a un faible coût
et peut offrir une flexibilité intéressante.
Le circuit suivant réalise les 3 fonctions passe-bas (LP), passe-bande (BP)
et passe-haut (HP) directement à l’aide de 3 AO (filtre universel)
-
+=
+Vi
R3
R3
VHP
R3
-
+
-
+
R C CR
R1 R2
VBP
VLP
On verra qu’un quatrième AO permet de réaliser aussi un coupe-bande.
Implémentation possible avec modules de 4 AO sur un seul circuit intégré.
Nous allons décomposer ce circuit dans les diapositives suivantes.

Introduction
Filtres à variable d’état
Représentation du circuit précédent sous forme de schéma bloc
1/Q
-
+
+ s
!0
Vo
s2
!2
0
Vo
Vo
Vi
!0
s
!0
s
Passe-bas d’ordre 2 :
Vo(s)
Vi (s)
=
1
s
ω0
2
+ 1
Q
s
ω0
+ 1
⇔
s
ω0
2
Vo = Vi − Vo −
1
Q
s
ω0
Vo
On peut lire le schéma bloc ci-contre à reculons, à partir de Vo. L’égalité
ci-dessus est réalisée à la sortie du bloc sommateur.
On utilisera 2 A.O. pour les intégrateurs inverseurs, 1 A.O. pour la
combinaison linéaire à l’entrée.

Introduction
Variation sur le sommateur inverseur
-
+
=
+
=
+
=
+v1
v2
v3
R1
R2
RF
vo
(v3)
i1
i2
iF
A l’entrée, on n’utilise pas exactement le sommateur inverseur standard à
cause des signes différents. Considérons à la place le circuit ci-dessus. On
montre en exercice (immédiat par le principe de superposition) :
vo = −
RF
R1
v1 −
RF
R2
v2 + 1 +
RF
R1||R2
v3.

Introduction
Filtres à variable d’état : implémentation
-
+=
+Vi
R3
R3
VHP
R3
-
+
-
+
R C CR
R1 R2
VBP
VLP
2 intégrateurs : ω0 =
1
RC
→VBP = −
s
ω0
VLP , VHP =
s2
ω2
0
VLP
AO d’entrée : VHP = −Vi − VLP + 1 +
R3
R3/2
R1
R1 + R2
VBP
Q =
1
3
1 +
R2
R1
→
s2
ω2
0
VLP = −Vi − VLP −
1
Q
s
ω0
VLP
VLP
Vi
passe-bas (inverseur), VBP
Vi
passe-bande (avec facteur de gain Q), VHP
Vi
passe-haut (inverseur).

Introduction
Avantages des filtres à variable d’état
Q ne dépend que de R2/R1 → sensibilité faible aux variations en circuit
intégré.
ω0 et Q réglables indépendamment.
Pas de problème de stabilité.
Pas de problème de composants de taille très différente (cf. Sallen-Key
gain unitaire).
Les filtres d’ordre 2 utilisant cette d’architecture peuvent être utilisés pour
obtenir Q de plusieurs centaines.

Introduction
Variables d’état
Il nous reste à expliquer le nom de ce filtre. L’architecture précédente a en
fait une signification théorique importante et permet de réaliser une
fonction de transfert d’ordre quelconque (cf. prochain cours).
La fonction de transert Vo
Vi
= 1
s
ω0
2
+ 1
Q
s
ω0
+1
correspond à l’EDO du second
degré et au système d’EDO (avec x1 = vo, x2 = ˙vo ⇒ ˙x2 = ¨vo)
1
ω2
0
¨vo +
1
Qω0
˙vo + vo = vi ↔
˙x1 = x2
1
ω2
0
˙x2 = − 1
Qω0
x2 − x1 + vi
Les variables x1 = vo et x2 = ˙vo sont dites variables d’état du système :
connaitre x1(τ), x2(τ) et vi (t) pour t ≥ τ est suffisant pour connaˆıtre
l’évolution du système pour t ≥ τ (par intégration du système d’EDO)
1/Q
-
+
+
s
!0
x1 =
1
!0
x2
s2
!2
0
Vo
x1 = vo
Vi
!0
s
!0
s
s
!0
vo
1
!0
x2 =
1
!0
˙vo
s
!0
x2
!0
=
s
!2
0
x2 =
s2
!2
0
vo

Introduction
Exemple
Choisir des valeurs de composants pour que le filtre passe-bande du filtre à
variable d’état précédent soit centré à 1 kHz et ait une bande passante (à
−3 dB) de 10 Hz. Quel est le gain de ce filtre à la fréquence de résonance ?

Introduction
Autres r´ealisations de biquads
Plan pour ce cours

Introduction
Les filtres de Sallen-Key ou à variable d’état ne sont que deux exemples de
topologies possibles pour la réalisation de filtres actifs d’ordre 2.
Parmis les autres filtres du second-ordre, citons les filtres de
˚Ackerbeg-Mossberg, de Delyiannis-Friend, de Rauch, à convertisseur
d’impédance généralisé, etc. (consulter les références pour plus
d’informations).
On utilisera généralement des circuits de topologie standard, car ceux-cis
ont été retenus avec le temps pour leurs bonnes propriétés, par exemple
leur faible sensibilité aux variations de composants.
Les circuits avec un seul AO peuvent coûter moins cher et sont valables
tant que le Q demandé est faible. Ceux avec plus d’AO ont des avantages
en général en termes de plus faible sensibilité, plus grand robustesse et
plage de stabilité, facilité de réglage, etc. Ils sont préférable ou même
nécessaires pour des Q plus élevés.

Introduction
Exemple : biquad passe-bande de Delyiannis-Friend
-
+
C
CR1
R2
=
+Vi
VoV1
Vo = −sR2C V1 (derivateur)
LKC à V1 →
Vo
Vi
= −
sR2C
s2R1R2C2 + 2sR1C + 1
ω0 =
1
C
√
R1R2
, Q =
1
2
R2
R1
, gain central − 2Q2
.
Pour des Q élevés, il faut des résistances très différentes. On peut diminuer le
gain de résonnance par la méthode de la diapositive 9.

Introduction
Exemple : filtre biquadratique de Tow-Thomas
-
+
-
+
-
+
=
+
R1
R2
R4
R5
R3 R3C1 C2
VBP VLP -VLP
Vi
LKC au premier noeud :
Vi
R1
=
VLP
R5
−
VBP
R2
− sC1VBP
VLP = −
1
R4C2s
VBP (intégrateur)
⇒
VLP
Vi
=
R5
R1
HLP (s),
VBP
Vi
= −
R2
R1
HBP (s)
où HLP , HBP sont les fonctions de transfert normalisées du passe-bas et
passe-bande du 2nd ordre, avec (généralement R4 = R5 = R, C1 = C2 = C)
ω0 =
1
√
R4R5C1C2
, Q =
R2
√
C1
√
R4R5C2
.

Introduction
Exemple
Concevoir un biquad de Tow-Thomas pour obtenir un filtre passe-bande de
fréquence de résonnance f0 = 8 kHz, de largeur de bande B = 200 Hz, et
de gain à la résonnace de 20 dB.

Introduction
Filtres coupe-bande (notch) d’ordre 2
Plan pour ce cours

Introduction
Les filtres coupe-bande d’ordre 2 ont une pulsation ωz ou le gain s’annule
dans leur bande d’arrêt (zéros à s = ±jωz sur l’axe des imaginaires).
Appelés aussi filtre notch (à encoche).
Ces filtres (dénotés ici HN (s)) peuvent être obtenus par combinaison
linéaire d’un passe-bande HBP (s) et d’un passe-bas HLP (s).
Supposant HBP =
1
Q
s
ω0
s2
ω2
0
+ 1
Q
s
ω0
+1
et HLP = 1
s2
ω2
0
+ 1
Q
s
ω0
+1
normalisés, avec les
mêmes ω0 et Q
HN (s) = α(1 − HBP (s)) + βHLP (s) =
α s2
ω2
0
+ α + β
s2
ω2
0
+ 1
Q
s
ω0
+ 1
HN (s) = (α + β)
s2
ω2
z
+ 1
s2
ω2
0
+ 1
Q
s
ω0
+ 1
, ω2
z = ω2
0(1 + β/α)
Ces filtres peuvent donc être réalisés par exemple à l’aide d’un 4ème AO
implémentant une combinaison linéaire des sorties BP et LP d’un filtre
universel

Introduction
Filtres coupe-bande (notch) d’ordre 2 : classification
HN (s) = (α + β)
s2
ω2
z
+ 1
s2
ω2
0
+ 1
Q
s
ω0
+ 1
, ω2
z = ω2
0(1 + β/α)
β = 0 : coupe-bande symmétrique, notch à ωz = ω0
β > 0 : coupe-bande “passe-bas”, notch à ωz > ω0
β < 0 : coupe-bande “passe-haut”, notch à ωz < ω0
Coupe-bande non-symmétriques utiles par ex. pour la réalisation des filtres
elliptiques, qui ont des zéros dans leur bande d’arrêt.

Introduction
Filtres coupe-bande (notch) d’ordre 2 : exemple de réalisation
Le circuit suivant réalise un filtre notch par combinaison linéaire d’un filtre
biquadratique de Tow-Thomas

Introduction
Synth`ese en cascade
Plan pour ce cours

Introduction
On factorise la fonction de transfert du filtre H à réaliser (cf. cours 3)
H(s) = H1(s)H2(s) . . . H n/2 (s),
où chaque Hi est d’ordre 2 (sauf peut-être l’un deux d’ordre 1). On réalise
cette multiplication par une cascade de filtres
H1 H2 Hk
+
-
+
-
vi vo
en utilisant comme cellules élémentaires les montages précédents par
exemple.
Pour que la cascade réalise exactement le produit des fonctions de
transfert (rapports de tensions), il faut qu’à chaque connection, la
résistance de sortie de l’étage précédent soit très petite (idéalement 0) par
rapport à la résistance d’entrée de l’étage suivant (idéalement ∞).

Introduction
Exemple : Impédance de sortie des cellules de Sallen-Key
Exercice : les cellules de Sallen-Key ont une impédance de sortie nulle (en
supposant l’AO idéal) et peuvent donc être mises en cascade sans
atténuation de gain.
R3
R2
C1
C2
Vo+
-
Vo/K
RB
RA
R1
Rg
Io

Introduction
Considérations pour l’agencement des blocs
Choix de conception pour l’agencement des blocs
En ignorant l’étage d’ordre 1 éventuel, on a les factorisations
H(s) =
b2ns2n
+ . . . + b0
s2n + . . . + a0
=
n
i=1
ki
α2,i s2
+ α1,i s + α0,i
s2 +
sω0,i
Qi
+ ω2
0,i
Choix de conception
associations pôles-zéros pour chaque étage (jusqu’à n! possibilités).
ordre des étages (n! possibilités).
répartition des gains ki entre les étages (avec contrainte sur n
i=1 ki ).
Ces choix n’ont pas d’importance du point de vue mathématique avec les
modèles idéaux utilisés jusqu’ici. Mais en pratique peuvent avoir une
influence critique sur la performance.

Introduction
Influence de l’agencement des blocs
Impact des choix précédents sur la performance :
La sortie |Vo(jω)|, pour tout j et tout ω, doit être inférieure à un maximum
toléré pour maintenir la linéarité du circuit (par ex., en raison de la
saturation des AO). Sinon on introduit de la distorsion. Cela peut-être un
problème en particulier à la sortie des étages à Q élevé.
Dans la bande passante du circuit, |Vo(jω)| à toute sortie d’étage j ne doit
pas être trop atténué par rapport au niveau de bruit, c’est-à-dire que le
rapport signal-sur-bruit doit rester suffisamment élevé. Sinon, le signal peut
devenir irrécupérable, les étages suivant réamplifiant le bruit de la même
fa¸con que le signal utile.
Les choix de conception précédents permettent d’optimiser la plage
dynamique du circuit, i.e., le rapport entre plus grand et plus petit signal
qui peut être traité avec un niveau de distorsion acceptable.
Pour minimiser la distortion, maintenir un équilibre entre les étages.
Exemple trivial : réaliser un gain statique de 1 avec deux étages de gain
1000 et 1/1000 est clairement une mauvaise idée. L’amplitude des signaux
d’entrée devra être beaucoup plus petite pour maintenir les AO hors
saturation que si on avait seulement des étages de gain égal à 1.

Introduction
Considérations pour l’agencement des blocs (suite)
Optimiser au mieux les choix de conceptions précédents donne lieu à des
problèmes de calcul difficiles.
En l’absence d’outils spécialisés, on utilisera des heuristiques comme :
Associer chaque pôle au zéro le plus proche (approximativement, sinon
“Euclidean matching”). But : avoir une réponse fréquentielle d’amplitude la
plus plate possible pour chaque étage.
Ordonner les étages du Q le plus petit à celui le plus grand. But : avoir la
réponse la plus plate possible le plus longtemps possible entre l’entrée et la
sortie de chaque étage.
Répartition des gains : on désire que les amplitudes max à la sortie de
chaque étage soient égales :
Avec H(s) =
n
i=1
ki
n
i=1
ti (s), définissons Ml := max
ω
l
i=1
|ti (jω)|, K :=
n
i=1
ki .
Alors k1M1 = KMn ⇒ k1 = KMn/M1
k1 . . . kl Ml = k1 . . . kl−1Ml−1 ⇒ kl = Ml−1/Ml , l = 2, . . . , n.
Autres condidérations possibles. Par exemple, on désire souvent
commencer par un passe-bas (pour le filtrage du bruit haute fréquence) et
finir par un passe-haut (pour diminuer un offset indésirable éventuel).

Introduction
D´enormalisation en imp´edance
Plan pour ce cours

Introduction
Theorem
Multiplier toutes les impédances des composants d’un circuit linéaire par un
même facteur ne change pas une fonction de transfert qui est un rapport de
tensions ou un rapport de courants (c’est-à-dire, sans dimension).
Une dénormalisation en impédance par un facteur α veut dire :
Multiplier toutes les résistances par α.
Multiplier toutes les inductances par α.
Diviser toutes les capacités par α (afin de multiplier 1
Cs
par α).
La dénormalisation en impédance est utile pour passer de circuits
prototypes avec des valeurs de composants (R, C, L) donnés, à des circuits
pour lesquels ces valeurs sont plus commodes pour une application
donnée. On l’utilisera surtout pour les prototypes de circuits passifs
(prochain cours).
N.B. : pour les circuits RC actifs, les fréquences critiques sont contrôlées
par des produits RC, qui restent bien inchangés par cette dénormalisation
en impédance. Celle-ci permet certains ajustements, mais pour des
fréquences faibles, i.e., RC grands, on doit avoir soit R soit C grand, et les
deux cas sont indésirables pour les circuits intégrés en particulier.

Introduction
Exemple
Plan pour ce cours

Introduction
Exemple
Exemple : filtre de lissage
DACComputer
k
Smoothing
filter
t t
40 kHz fa=20 kHz
Concevoir un filtre passe-bas de Tchebychev pour lisser la sortie d’un
convertisseur analogique digital travaillant à 40 kHz.
On veut une atténuation de 40 dB à la fréquence de Nyquist (20 kHz).
Bande passante : fp = 13 kHz, atténuation maximale de 1 dB.
Table (avec fp = 1 Hz au lieu de ωp = 1 rad/s) :

Introduction
Exemple
Exemple : fonction de transfert
fa = 20 kHz. Facteur de transition k = .
Ordre du filtre de Tchebychev :
D’après la table, et après dénormalisation
H(s) =
Réalisation possible : cellules de Sallen-Key en
configuration gain unitaire, ordonnées selon les Q croissants
ω3 = 2π × 13 × 103
× 0.353 = 28.8 × 103
rad/s, Q3 = 0.753
ω2 = 2π × 13 × 103
× 0.747 = 61 × 103
rad/s, Q2 = 2.198
ω1 = 2π × 13 × 103
× 0.995 = 81.3 × 103
rad/s, Q1 = 8
On pourrait aussi tenter d’utiliser la configuration composants égaux à la
place, et essayer de répartir les gains ki différemment.

Introduction
Exemple
Exemple : circuit
AC 1
V1
R1
10.69k
R2
10.02k
C1
2.2nF
C2
5.1nF U1
R3
8.191k
R4
6.434k
C3
510pF
C4
10nF U2
R5
4.554k
R6
2.438k
C5
220pF
C6
62nF U3
Vout
niV
.ac dec 100 1kHz 100kHz
.lib opamp.sub

Introduction
Exemple
Conclusion
Nous avons discutés quelques exemples d’architectures réalisant les
fonctions de transfert d’ordre 1 et 2. Il existe bien sûr beaucoup d’autres
prototypes de circuits permettant de réaliser ces fonctions de transfert
élémentaires.
Le choix de cellules élémentaires pour réaliser une synthèse en cascade
repose sur diverses considération pratiques déjà évoquées, par exemple de
sensibilité, coût, etc.
Avec plus de temps pour résoudre un problème de conception, vous pourrez
vous reporter à la littérature pour obtenir plus de détails et faire ce choix.
Ces cellules élémentaires peuvent ensuite être mises en cascades pour
réaliser des filtres d’ordre plus élevés tels que ceux décrits au cours 3.
Ici on utilise les caractéristiques des cellules actives qui présentent une
impédance de sortie très petite et une impédance d’entrée très grande → les
phénomènes de charge entre étages peuvent être négligés pour la
conception (il faut quand même vérifier le design par simulation et
expérimentalement . . . ).

Introduction
Exemple
Références
Les références suivantes peuvent être utilisées pour approfondir.
S. Franco, “Design with Operational Amplifiers and Analog Integrated
Circuits”, 3ème édition, chapitre 3.
J. A. Svoboda and R. C. Dorf, “Introduction to Electric Circuits”, 9ème
édition, chapitre 16.
R. Schaumann, H. Xiao, M. Van Valkenburg, “Design of Analog Filters”,
2ème édition.
Wikipedia, “Sallen-Key Topology”
http://en.wikipedia.org/wiki/Sallen%E2%80%93Key_topology

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