Apostila matematica financeira

FACULDADE DE CIÊNCIAS APLICADAS DR. LEÃO SAMPAIO
CURSO: ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS E
CIÊNCIAS CONTÁBEIS
PROFESSORES: FLAVIO MENDONÇA BEZERRA e JOFLÁBET
SILVESTRE BEZERRA
JUAZEIRO DO NORTE/ CE, 2005

ÍNDICE
1. JUROS E DESCONTOS SIMPLES 03
2. JUROS COMPOSTOS 13
3. DESCONTO COMPOSTO 26
4. RENDAS 31
5. EMPRESTIMOS 43
6. FUNÇÕES FINANCEIRAS NA HP – 12C 49
7. ANÁLISE E DECISÕES DE INVESTIMENTO 57
8. BIBLIOGRAFIA 71
2

CAPITULO I
1. Juros e Descontos Simples
Noções preliminares sobre capital e juro. Ao emprestarmos certa quantia a uma pessoa, é justo
recebermos a quantia emprestada mais outra quantia que representa o aluguel pago pelo
empréstimo.
Assim trabalhando-se para outro, recebe-se o salário pelo trabalho executado; cedendo-se um
prédio para residência, recebe-se o aluguel.
Pois bem: a quantia emprestada, o trabalho executado e o prédio alugado representam
capitais; o aluguel e o salário representam juros.
Definição de juros simples
• Juro é o prêmio que se paga por um capital emprestado.
• Juro é o preço do “mercadoria” dinheiro.
• Juro é o aluguel do dinheiro.
Assim se uma pessoa empresta a outra a importância de $1000,00 e no fim de um ano recebe,
além da quantia emprestada, $120,00 como prêmio desse empréstimo, diremos que esse $120,00
representam o juro do capital emprestado.
Observamos que $120,00 correspondem a 12% de seu valor em um ano, ou seja a cada
$100,00 temos $12,00 como prêmio ou remuneração do capital
Desse modo, o juro produzido na unidade de tempo representa uma certa percentagem do
capital, cuja taxa se chama taxa de juro.
No problema proposto, temos o capital $1000,00, que foi a quantia emprestada; $120,00,
rendimento do capital emprestado, são os juros; a taxa, representada pêlos 12%; o tempo durante o
qual o capital rendeu juros é 1 ano.
As taxas de juro geralmente são apresentadas de dois modos:
Forma porcentual
Neste caso a taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtém após dividir-se
o capital por 100.
EXEMPLO:
Qual o juro que rende um capital de $1.000,00 aplicado por 1 ano à taxa de juros de 10% ao ano?
Resolução:
3
00,100$11000,10110
100
1000
=××=⇒××





= jurosjuros

1.1. Forma unitária
Agora a taxa refere-se à unidade de capital, ou seja, estamos calculando o que rende a aplicação de
uma unidade de capital no intervalo de tempo referido pela taxa.
Se tivermos uma taxa de 0,12 ao ano, então a aplicação de $1,00 por um ano gera juro de $0,12.
EXEMPLO:
O exercício anterior, com a taxa na forma unitária (0,10 a.a.).
Resolução:
00,100$110,000,1000 =⇒××= jurosjuros
Para transformar a forma porcentual em unitária basta dividir-se a taxa expressa na porcentual por
100
FORMA PORCENTUAL TRANSFORMAÇÃO FORMA UNITÁRIA
34 % 34:100 0,34
6% 6:100 0,06
432% 432:100 4,32
0,7% 0,7:100 0,007
40% 40:100 0,4
1.2. Calculo do Juro
Quando o regime é juros simples, a remuneração pelo capital aplicado (também chamado de
principal) é diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. O fator de
proporcionalidade é a taxa de juros.
EXEMPLOS:
1. Suponhamos que se tome emprestado a quantia de $1.000,00 pelo prazo de 4 anos e a taxa de
10% a.a. Qual será o valor a ser pago de juros?
Resolução:
Capital inicial (P) = 1.000,00
Taxa de juros (i) = 10% = 0,1 (taxa unitária)
Numero de períodos (n) = 4 anos
Juros (J) = ?
Período Calculo de juros numérico Cálculo de juros literal
1 º J1 = 1.000,00 x 0,1 = $100,00 J1 = Pi
2 º J2 = 1.000,00 x 0,1 = $100,00 J2 = Pi
3 º J3 = 1.000,00 x 0,1 = $100,00 J3 = Pi
4 º J4 = 1.000,00 x 0,1 = $100,00 J4 = Pi
soma J = J1+ J2+ J3+ J4 = $400,00 J = J1+ J2+ J3+ J4 = 4xPi
PinJ =
Esta é a formula básica para o cálculo de juros em um regime de capitalização simples. Observe
que, dados 3 valores da formula, podemos obter o quarto, por simples transformação algébrica:
4










=
=
=
⇒=
Pi
J
n
Pn
J
i
in
J
P
PinJ
2. Quanto rende um capital de $100,00, aplicado à juros de 5% ao semestre por um prazo de 2 anos?
Dados: P = 100,00; i = 5% a.s. = 0,05; n = 2 anos = 4 semestres
J = Pin ⇒ J = 100 x 0,05 x 4 ⇒ J = $20,00
1.3. Montante
Define-se como montante de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n períodos, como sendo a
soma do capital inicial mais o juro.
Sendo P o capital inicial, aplicado por n períodos à uma taxa i, temos o montante (F) como sendo:
F = P + J
F = P + Pin
F = P(1+in)
De modo análogo ao visto para o juro, dados 3 valores da fórmula podemos obter o quarto valor:











−
=
−
=
+
=
⇒+=
i
P
F
n
n
P
F
i
in
F
P
inPF
1
1
1
)1(
EXEMPLO:
Qual é o montante de um capital de R$1.000,00 aplicado à taxa de 10% a.a. pelo prazo de dois
anos?
Resolução:
P = 1.000,00 i = 0,10 n = 2
F = P (1+in) ⇒ F = 1.000,00( 1+ 0,1 x 2 ) ⇒ F = 1,000 x 1,2 ⇒ F = $1.200,00
É possível resolver o problema seguindo-se a definição para o montante:
a) Calculando o juro devido:
J = Pin ⇒ J = 1.000,00 x 0.1 x 2 ⇒ J = $200,00
b) Somando-se o juro ao principal (capital)
F = P+ J ⇒ F = 1.000,00 + 200,00 ⇒F = $1.200,00
5

1.4. Juro Exato e Juro Comercial
Nas aplicações correntes, muito embora as taxas sejam expressa em termos anuais, os prazos são
fixados em dias. Como a curto prazo o regime geralmente adotado é o juros simples, torna-se
necessário calcular a taxa proporcional referente a 1 dia.
Neste caso, podemos ter dois enfoques, dependendo do numero de dias adotado para o ano:
a) ano civil: 365 dias;
b) ano comercial: 360 dias;
nas aplicações práticas, onde é adotada a convenção de ano comercial, o mês comercial tem 30
dias. Por outro lado, como a contagem de dias deve ser exata, é necessário levar em conta também a
existência de anos bissextos.
EXEMPLO:
Dada a taxa de 72% ao ano, qual a taxa proporcional ao dia para convenção do ano civil e do ano
comercial?
Resolução:
Pelo ano civil: i365 = =
365
%72
0,197% ao dia
Pelo ano comercial: i360 = =
360
%72
0,2% ao dia
Juro Exato
Chama-se juro exato aquele que é obtido quando o período (n) está expresso em dias e é adotada a
convenção de ano civil:
Je =
365
Pin
EXEMPLO:
Qual é o juro exato de um capital de $10.000,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% ao ano?
Je =
365
Pin
⇒
365
4036,0000.10 ××
⇒ Je = $394,52
Juro Comercial
Denomina-se juro comercial (ou ordinário) o juro que é calculado quando se adota como base o ano
comercial:
Jc =
360
Pin
Analogamente, neste caso o período (n) deverá ser expresso em números de dias.
EXEMPLO:
Calcular o juro comercial correspondente ao exercício anterior?
Jc =
360
Pin
⇒
360
4036,0000.10 ××
⇒ Jc = $400,00
EXERCÍCIOS
1. Calcular os juros anuais de $100,00, a 6% a.a..
Resp.: $6,00
6

2. Calcular o juro mensal de $8.000,00, a taxa de 10% a.a..
Resp.: $66,67
3. Qual o rendimento de $600,00, a 5% a.a., em 2 anos e 6 meses?
Resp.: $75,00
4. $28,80 renderam durante certo tempo $6,00, a taxa de 5% a.a. Determine esse tempo.
Resp.: 4anos e 2meses
5. Calcular os juros de $14.400,00, a 6% a.a., de 16 de março a 3 de agosto do mesmo ano (ano
civil).
Resp.: $331,40
6. Quais os juros de $122,00, a 8% a.a. de 10 de janeiro a 9 de maio (ano civil bissesto)?
Resp.:$3,20
7. Qual o capital que a taxa de 9% a.a. produz $10,80, em dois anos?
Resp.: $60,00
8. Qual o capital que a taxa de 4% a.a. em 40 dias produz um montante $72,32?
Resp.: $72,00
9. A que taxa anual o capital de $144,00, em 2 meses e 15 dias renderia $3,30 de juros?
Resp.: 11%aa
10. A que taxa anual um capital qualquer renderia em 2a, 1/5 do seu valor?
Resp.: 10%aa
11. Uma pessoa coloca 2/5 do seu capital a taxa de 6% a.a. e o restante a 5% a.a., recebendo um
juro anual de $324,00. Qual o capital?
Resp.: $6.000,00
12. A que taxa devemos colocar um certo capital para que em 8 anos ele dobre?
Resp.: 12,5% a.a.
13. Durante quanto tempo se deve emprestar certa quantia para que, a 12% a.a., ela triplique?
Resp.: 16 anos e 8 meses
1.5. Generalidades sobre a operação de desconto.
Como veremos mais adiante, a expressão máxima do progresso comercial é o crédito garantido por
instrumentos jurídicos denominados títulos de crédito. Entre eles destacaremos a letra de câmbio, a
nota promissória e a duplicata. Não vamos, neste trabalho, estudar estes títulos; apenas os
mencionamos para justificar essas denominações no enunciado de nossos problemas, e sobre eles
adiantar que gozam de todas as garantias de lei, podendo, portanto, ser transferidos e, com isto,
facilitando de modo extraordinário a circulação da riqueza.
Assim sendo, originam esses títulos as operações de desconto.
Com efeito: suponhamos que o possuidor de uma letra de câmbio, com vencimento para alguns dias
mais tarde, necessite de dinheiro. Que deve fazer? Procurar um que lhe adiante a importância do
título deduzida de uma certa quantia, que é o desconto.
Devemos, então, considerar o valor indicado no título, que é a importância que deverá ser paga no
dia do vencimento: valor nominal; o líquido recebido pelo possuidor do título, antes do vencimento:
valor atual.
Então, desconto é o abatimento que se faz em uma dívida, quando ela é paga antes do vencimento.
Assim, se devêssemos uma certa quantia, $500,00. Por exemplo, a ser paga em uma determinada
data, e a pagássemos antes, teríamos uma redução na nossa dívida. Em vez de $ 500,00 pagaríamos,
por exemplo $460,00. O desconto seria de $40,00.
7

Nessa operação temos dois valores: $500,00, valor que deveria ser pago no dia do vencimento:
valor nominal; $460,00, valor pago no dia em que se efetua o desconto: valor atual.
Os problemas de descontos se resolvem do mesmo modo que os de juros simples, conhecido dos
três elementos: valor nominal(F), valor atual (P), taxa (r), tempo (n), desconto (d) e (i) taxa
unitária.
Desconto por fora, comercial ou bancário.
O desconto comercial equivale ao juro simples do valor nominal.
As fórmulas de desconto comercial são, pois, análogas às de juros simples, dadas anteriormente,
bastando substituir P por F e j por d.
Onde,
F = Valor Nominal
d = desconto
r = taxa
n = tempo
P = Valor Atual
Cálculo do Valor Atual:
EXERCÍCIOS
1. Qual é o desconto, a 6% a.a., sobre uma letra de $70,00, paga 2 meses antes do vencimento?
2. Uma letra de $500,00, paga 6 meses antes do vencimento, se reduziu a $488,75. Qual foi a taxa
de desconto?
3. Devia paga uma certa quantia no dia 16 de outubro. Paguei-a no dia 17 de agosto do mesmo ano
e obtive $0,14 de desconto, à taxa de 7% a.a. Qual é o valor nominal da letra? n = o número de
dias de 17 de agosto a 16 de outubro = 60 dias
4. Uma letra de $500,00, descontada a 6% a.a., se reduz a $440,00. Por quanto tempo foi
descontada?
Desconto por dentro ou racional.
O desconto por dentro ou racional equivale aos juros simples do valor atual.
Esta espécie de desconto não é usada na prática.
8
100
r
i = Find =
( )
in
P
F
inFP
FinFP
dFP
−
=
−=
−=
−=
1
1

EXERCÍCIOS
1. Calcular o desconto por dentro de uma letra de $250,00, a 6% a.a., que se vence em 18 de
outubro de e é negociada em 7 de agosto do mesmo ano.
2. Uma nota promissória foi descontada 3 meses antes de seu vencimento sendo pago por ela o
valor de $3.500,00. Se a taxa de desconto usada foi de 9% a.m., qual o valor nominal dessa
N.P? (D.R.S.).
3. Uma duplicata de $15.800,00 foi descontada 5 meses antes de seu vencimento, com uma taxa de
desconto de 7% a.m. Qual o valor líquido recebido? (D.C.S.).
4. Um lojista está precisando de capital de giro no valor de $20.000,00. Para tanto, deseja fazer
uma operação de desconto usando os cheques pré-datados de seus clientes, os quais vencerão
dentro de 2 meses. Se a taxa de desconto encontrada por ele foi de 14% a.m., qual o valor total
dos cheques que ele deve apresentar para obter o capital desejado? (D.C.S).
5. Uma nota promissória de $18.500,00 foi descontada 4 meses antes de seu vencimento, gerando
um valor líquido de $12.500,00. Qual a taxa de desconto percentual mensal usando na
operação? (D.R.S.)
1.6. Equivalência de capitais diferidos
Dois ou mais capitais são diferidos quando são exigíveis em datas diferentes.
Dessa forma, títulos de créditos que têm vencimentos distintos são capitais diferidos
Dois ou mais capitais diferidos são equivalentes em certa época se, nessa época, seus valores atuais
forem iguais.
EXEMPLO:
Um título de valor nominal $100,00 tem vencimento para 3 meses e outro título de valor nominal
$109,31 tem vencimento para 7 meses. Verificar se esses títulos são equivalentes, considerando a
taxa de juros de 2% a.m.?
Pn = F(1-in)
P3 = 100(1-0,02x3) = $94,00
P7 = 109,31(1-0,02x7) = $94,00
EXERCICIO
1. Um título de valor nominal $1.000,00, vencível em 3 meses, vai ser substituído por outro, com
vencimento para 5 meses. Admitindo-se à taxa 1% ao mês. Qual o valor nominal do novo
título?
2. Uma empresa deve pagar dois títulos: um de $720,00 para 2 meses e outro de $960,00 para 3
meses. Entretanto, não podendo resgatá-lo no vencimento, propõe ao credor substituí-los por
um único título para 4 meses. Calcular o valor nominal do novo título empregando a taxa de
1,2% ao mês?
3. Um título de valor nominal $70,40 com vencimento para 5 meses, vai ser substituído por outro
de valor nominal $66,00 vencível em 2 meses. Qual a taxa dessa transação?
9

4. Dois títulos $100,00 cada e vencíveis em 3 e 4 meses, respectivamente, serão substituídos por
dois novos títulos, de mesmo valor nominal, para 5 e 6 meses, respectivamente. Sendo de 9%
ao ano a taxa do desconto, calcular o valor nominal dos novos títulos?
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. Calcular o juro simples referente a um capital de $1.000,00 aplicado conforme hipóteses
abaixo:
Taxa de juros Prazo Resposta
a) 15% a.a. 1 ano $150,00
b) 17% a.a. 4 anos $680,00
c) 21% a.a. 5 meses $87,50
d) 26,8% a.a. 30 meses $670,00
e) 30,8% a.a. 5 anos e meio $1.694,00
f) 38% a.a. 4 anos e 8 meses $1.773,33
2. Que montante receberá um aplicador que tenha investido $5.000,00, se as hipóteses de taxas
de aplicação e respectivos prazos forem:
a) 18% a.a. 6 meses $5.450,00
b
)
31,8% a.a. 2 anos e 7 meses $9.107,50
c) 42% a.a. 4 anos e 3 meses $13.925,00
3. Qual é a taxa de juros anual cobrada em cada um dos casos abaixo, se uma pessoa aplicou o
capital de $1.000,00 e recebeu:
Montante Prazo Resposta
a) $1.420,00 2 anos 21% a.a.
b
)
$1.150,00 10 meses 18% a.a.
c) $1.350,00 1 ano e 9 meses 20% a.a.
4. Quanto tempo deve ficar aplicado um capital para que as hipóteses abaixo sejam
verdadeiras?
Capital Inicial Montante Taxa de juros Resposta
10

a) $800,00 $832,00 16% a.a. 3 meses
b
)
$1.200,00 $2.366,00 22% a.a. 4 anos e cinco meses
5. Uma loja vende um gravador por $1.500,00 a vista. A prazo, vende por $1.800,00, sendo
$200,00 de entrada e o restante após 1 ano. Qual é a taxa de juros anual cobrada?
Resp.: 23,07% a.a.
6. Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a 5 vezes o
capital, se a taxa de juros for de 25% a.a.?
Resp.: 20 anos.
7. Em quanto tempo o montante produzido por um capital de $1.920,00 aplicado a 25% a.a. se
iguala ao montante de um capital de $2.400,00 aplicado a 15% a.a.? Admitir que ambos
sejam investidos na mesma data.
Resp.: 1 ano, 6 meses e 14 dias.
8. Se um capital de $2.000,00 rendeu $840,00 de juros em 2 anos, qual é a taxa de juros
trimestral?
Resp.: 5,25% a.t.
9. Uma pessoa aplicou $1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de
$3.000,00. Que taxa semestral recebeu?
Resp.: 10% a.s.
10. A quantia de $1.500,00 foi aplicada à taxa de juros de 42% a.a. pelo prazo de 100 dias. Qual
será o juro desta aplicação se for considerado:
a) Juro comercial?
Resp.: $175,00
b) Juro exato?
Resp.: $172,60
11. Qual é o valor nominal de uma Nota Promissória de $7.575,76, assinada hoje com
vencimento daqui a 10 meses, se a taxa de aplicação for de 38,4% a.a.?
Resp.: $11.140,82
12. O valor nominal de uma Nota Promissória é de $4.770,00. Qual é seu valor atual 3 meses
antes do vencimento, considerando-se a taxa de juros de 24% a.a.?
Resp.: $4.483,80
11

13. Certa pessoa aplicou $10.000,00 à taxa de 29% a.a. pelo prazo de 9 meses. Dois meses antes
da data de vencimento, esta pessoa propôs a transferência da aplicação a um amigo. Quanto
deverá ser pago pelo título, se a taxa de juros de mercado for de 32% a.a. na ocasião da
transferência?
Resp.: $11.558,54
12

CAPÍTULO II
2. JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são
acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. Este montante, por sua
vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante (constituído do capital
inicial , dos juros acumulados e dos juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.
Este processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros simples, onde
unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros em períodos anteriores.
Tecnicamente, o regime de juros compostos é superior ao juros simples, principalmente pela
possibilidade de fracionamento dos prazos. No critério composto, a equivalência entre capitais
pode ser apurada em qualquer data, retratando melhor a realidade das operações que o regime de
juro simples.
2.1 FORMULA DE JUROS COMPOSTOS
No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, juros sobre juros periodicamente.
Para desenvolver este conceito e definir suas formulas de cálculo, admita ilustrativamente
uma aplicação de $1.000,00 a taxa composta de 10% ao mês. Indentificando-se por P o valor
presente (capital) e F o valor futuro (montante), têm-se os seguintes resultados ao final de cada
período:
♦ Final do 1o
mês:capital de $1.000,00 produz juros de $100,00 (0,1 x $1.000,00) e um
montante de $1.100,00 ($1.000,00 + $100,00), ou seja:
F = 1.000,00 x ( 1 + 0,1 ) = 1.000,00 x (1,1) = $1.100,00
F = P ( 1 + i)
♦ Final do 2o
mês: o montante do mês anterior ($1.100,00) é o capital deste 2o
mês, servindo
como base para o cálculo dos juros deste período. Assim:
F = 1.100,00 x (1,1) ⇒1.000,00 x (1,1 ) x (1,1 ) ⇒ 1.000,00 (1,1)2
F = 1.000,00 x (1,21) = $1.210,00
F = P (1 + i)2
♦ Final do 30
mês: dando seqüência ao raciocínio de juros compostos:
F = 1.210,00 x (1,1 ) ⇒ 1.000,00 x (1,1)x(1,1)x(1,1) ⇒ 1.000,00 (1,1)3
F = 1.000,00 x (1,331) = $1.331,00
F = P (1 + i)3
♦ Final do 4o
mês: dando seqüência ao raciocínio de juros compostos:
F = 1.331,00 x (1,1 ) ⇒ 1.000,00 x (1,1)x(1,1)x(1,1)x(1,1) ⇒ 1.000,00 (1,1)4
F = 1.000,00 x (1,4641) = $1.464,10
F = P (1 + i)4
♦ Final do enésimo mês: aplicando-se a evolução dos juros compostos exposta para cada um
dos meses, o montante (valor futuro) acumulado ao final do período atinge:
F = 1.000,00 x (1,1)x(1,1)x(1,1)x(1,1).. ( n vezes )
F = 1.000,00 x (1,1)n
F = P (1 + i)n
(1 + i )n
= F/P(i,n) Resultado da tábua I
(1 + i )n
Fator de capitalização para um único capital
13

EXEMPLOS
1. Calcular o montante de um capital de $ 5.000,00 aplicado a juros de 6% ao mês durante dois
anos.
P = 5.000,00 i = 0,06 n = 24 F = ?
F = 5.000 x (1 + 0,06)24
F = 5.000 x (1,06)24
(1,06)24
= F/P(6%,24) = 4,048935
F= 5.000 x 4,048935
F = 20.244,67
2. Que capital gera um montante $ 193,26 em 2anos e seis meses, capitalizados semestralmente a
juros de 20% ao ano.?
P = ? i = 20% a .a. = 10% a .s. = 0,01 n = 2a 6m = 5 semestres
193,26 = P (1,1)5
⇒ 5
)1,1(
26,193
=P (1,1)5
= F/P(10%,5) = 1,610510
00,120
610510,1
26,193
==P
3. Um capital de $3.000,00 foi emprestado durante 1 ano e 8 meses, capitalizados mensalmente,
rendendo um montante de $ 4.457,84. Qual a taxa de juros anual?
P = $3.000,00 F = $4.457,84 n = 1anos 8 meses = 20 meses i = ?
4.457,84 = 3.000,00(1+i)20
485947,1
00,000.3
84,457.4
)1( 20
==+i
Para n igual a 20 na tábua I temos F/P(i,20)=1,485947
O termo correspondente é taxa de 2% a.m. proporcional a 24% ao ano.
4. Em quanto tempo um capital $10.000,00 a 10% a.a. rende um montante de $13.310,00?
P = $10.000,00 F = $13.310,00 i = 10% = 0,1 n = ?
13.310,00 = 10.000,00 (1,1)n
331,1
00,000.10
00,310.13
)1,1( ==n
Para i = 10% na tábua I o valor de n correspondente ao termo é 3 anos.
14

2.2. Cálculo do valor de (1 + i)n
não tabelado
Quando o valor da expressão (1 + i)n
não for fornecido diretamente pela tábua financeira,
isto é, a tábua não tiver a taxa do problema ou o n for um numero que não consta na tábua, pode-se
achar o valor dessa expressão com auxilio de logaritmos ou fazendo interpolação dos valores
tabelados. Obviamente, se não dispuser de uma calculadora que faça potenciação.
Calculo de (1 + i)n
com emprego de logaritmos
X = (1 + i)n
LogX = (1 + i)n
LogX = n log(1 + i)
X= antilog[n log(1 + i)]
EXEMPLO
Qual o montante de um capital de $1.000,00 a taxa de 5,5% a .t. durante dois anos ?
F = ? P = 1.000,00 n = 2 anos = 8 trimestres i = 0,055
F = 1.000,00 x (1,055)8
X = (1,055)8
Log X = log(1,055)8
Log X = 8 x log(1,055)
Log X = 8 x 0,0232525
Log X = 0,18602
X = antilog 0,18602
X = 1,534687
Portanto (1,055)8
= 1,534687
F = 1.000,00 x 1,534687
F = $1.534,69
Interpolação de valores tabelados
(dados do exemplo anterior)
O valor procurado está entre 5% e 6% para n igual a 8 temos:
5% 1,477455 1% 0,116393
6% 1,593848 0,5% X
X = 0,5 x 0,116393
15

X = 0,058196
(1,055)8
= 1,477455 + 0,058196
(1,055)8
= 1,535652
F = 1.000,00 x 1,535652
F = 1.535,65
EXEMPLO (com n não tabelado)
Um capital de $2.000,00 é colocado por dois anos e dois meses a juros de 20% a . a capitalizados
semestralmente .Qual o montante
F = ? P = 2.000,00 i = 10% n = 4s 2m = ss
3
1
4
6
2
4 =
4 1,46410
5 1,610510
1 0,14641
1/3 X
X =
3
1
x 0,14641
X = 0,048803
portanto 512903,1048803,04641,1)1,1( 3
1
4
=+=
Logo F = 2.000,00 x 1,512903 =3.025,81
Capitalização mista
Calcula-se o montante a juros composto da parte inteira de n e,em seguida, calcula-se os juros
simples desse montante da parte fracionaria de n.
F = 2.000,00 x (1 + i )n
x (1 + in )
F = 2.000,00 x (1,1)4
x ( 1+0,1x2/6 )
F = 2.000,00 x 1,4641 x 1,033333 = 3.025,81
2.3. TAXAS
16

Taxas proporcionais
Quando entre duas taxas existe a mesma relação dos períodos de tempo a que se referem.
Exemplo: a) A taxa de 12% ao ano é proporcional á 6% ao semestre.
b) A taxa de 5% ao trimestre é proporcional á 20% ao ano
Taxas equivalentes
Duas taxas são equivalentes quando, referindo-se a períodos de tempos diferentes, fazem com que o
capital produza o mesmo montante, em mesmo intervalo de tempo.
Por exemplo, a taxa de 1,39% ao mês é equivalente á taxa de 18% ao ano, pois um capital colocado
a 1,39% ao mês produz o mesmo montante que produz quando colocado a 18% ao ano.
Calculo da taxa equivalente
Seja: i = taxa anual
k = numero de períodos de capitalização por ano
ik = taxa equivalente a i
Considerando um capital P, aplicados durante um ano, os montantes às taxas i e ik são,
respectivamente:
F1 = P (1 + i) e Fk = P (1 + ik)k
F1 = Fk temos que P (1 + i) = P (1 + ik)k
Logo
(1 + i) = (1 + ik)k
i = (1 + ik)k
–1
ou k
k ii +=+ 11
11 −+= k
k ii
EXEMPLOS
1- Qual a taxa semestral equivalente a 20% ao ano ?
i = 0,2
k = 2 (duas capitalizações por ano)
i2 = ?
i2 = 12,01 −+
17

i2 = 12,1 −
i2 =1,0954-1
i2 = 0,0954 ou 9,54% ao semestre
2- Qual a taxa anual equivalente a 6% ao trimestre?
ik = 0,06
k = 4
i = (1,06 )4
–1
( 1,06 )4
= F/P(6%,4) = 1,262477
i = 1,262477-1
i = 0,2625 ou 26,25%
Taxa nominal e taxa efetiva
Quando uma taxa de juros anual é paga em parcelas proporcionais, os juros obtidos no fim do ano
são maiores do que a taxa oferecida.
Por exemplo, se um capital de $100,00 for colocado a 20% a.a. capitalizado semestralmente por um
ano, temos:
F = ? P = 100,00 i = 0,1 (10%) n = 2
F = 100 x (1,1)2
(1,1)2
= F/P(10%,2) = 1,21
F = 100 x 1,21 = $121,00
Que eqüivale á 21%
EXEMPLO
Sabendo-se que a caderneta de poupança paga 6%a.a. com capitalização mensal. Qual a taxa efetiva
paga?
ik = 0,005
k = 12
i = (1 + 0,005)12
–1
i = (1,005)12
–1 (1,005)12
= F/P(0,5%,12) = 1,061678
i = 1,061678 – 1
i = 0,061678 ou 6,168%
18

EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Qual o montante de um capital $6.000,00 aplicados a juros de 36% a.a. capitalizados
mensalmente durante 2 anos e 6 meses?
Resp.: $14.563,57
2. Que capital gera um montante de $2.143,59 aplicado por 4 anos a juros de 20% a.a., com
capitalização semestral?
Resp.: $1.000,00
3. Emprestei $30,00 a juro composto de 6% aa. Quanto receberei no final de oito anos?
Resp.: $47,82
4. Calcular o montante de $40.000,00, a juro composto de 10% aa com capitalização semestral
durante 8 anos e 6 meses?
Resp.: $91.680,73
5. A que taxa devo colocar $4.000,00, para em 12 anos ter um montante de $5.703,04?
Resp.: 3% a.a.
6. Que capital gera o montante de $5.000,00, em 5 meses a taxa de 2% ao mês?
Resp.: $4.528,65
7. Calcular os juros de $5.000,00, aplicado a 4% a.m. durante 9 meses?
Resp.: $2.116,56
8. Quanto terei que depositar hoje para daqui a 15 meses a juros de 4% a.m., ter um capital de
$3.601,89?
Resp.: $2.000,00
9. A que taxa mensal devo colocar $1.000,00 para em 3 anos ter um capital de $1.430,77?
Resp.: 1% a.m.
10. Em quanto tempo um capital de $2.500,00 a 6% a.a. produz juros de $1.723,70?
Resp.: 9 anos
11. Sendo capitalizado semestralmente, a que taxa anual devo colocar $2.000,00, para em 5anos ter
um capital de $2.687,83?
Resp.: 6% a.a.
12. Qual o tempo que um capital de $1.200,00 a juro de 2% a.m. gera um montante de $1.968,73?
Resp.: 25 meses
13. Sendo capitalizado semestralmente, qual o tempo que levará um capital qualquer, para que à
juros de 14% a.a. duplique?
Resp.: 5 anos , 1 mês e 15 dias
14. Qual o montante de $5.000,00 a juros de 0,5% a.m. durante 5anos?
Resp.: $ 6.744,25
15. Quanto deverei depositar em uma poupança que paga 8% a.a. para em 18 anos ter um capital de
$1.198,81?
Resp.: $ 300,00
16. Depositei em um banco certa quantia a juros de 6%a.a. com capitalização semestral e recebi no
final de 4 anos a quantia de $4.500,00. Qual a quantia depositada?
Resp.: $3.552,34
17. Em quanto tempo um capital de $600,00 a juro de 7% a.a. gera um montante de $900,44?
Resp.: 6 anos
18. Em quanto tempo um capital dobrará de valor há 16% a.a., capitalizado trimestralmente?
Resp.: 4anos e 5 meses e 1 dia
19. Um capital de $1.000,00, produziu um montante de $1.695,88, em 3 anos. Qual a taxa trimestral
de juros?
Resp.: 4,5 % a.t.
19

20. Qual a taxa anual de juros que capitalizado semestralmente, faz com que um capital de
$2.500,00 produza $2.000,00 em 3 anos e 6 meses?
Resp.: 17,52 % a.a.
Exemplos de calculo do tempo e da taxa para dados não tabelados:
1. Durante quanto tempo devo aplicar um capital de $2.000,00 para que a 8% a.a, produza um
montante de $3.350,00?
F = 3.350,00 P = 2.000,00 i = 8% = 0,08 n = ?
n
iPF )1( +=
n
)08.1(000.2350.3 = ⇒
000.2
350.3
)08.1( =n
⇒ 675,1)08.1( =n
Na tábua I, o número 1,675 a taxa de 8% está compreendido entre 6 e 7
6 anos ⇒ 1,586874 1ano ⇒ (1,713824 – 1,586874) = 0,12695
7 anos ⇒ 1,713824 X ⇒ (1,675000 – 1,586874) = 0,088126
X 12695,0
088126,0
= ⇒ 0,694179
O tempo é 6 anos + 0,694179 ano⇒ 6 anos + 360 x 0,694170 = 6 anos e 250 dias
Como 250 dias são 8 meses e 10 dias a resposta é 6 anos, 8 meses e 10 dias.
2. A que taxa devo emprestar um capital qualquer para em 8 meses, com capitalização mensal,
para se ter um montante 80% a mais que o capital inicial?
P = 100 F = 180 n = 8 i = ?
F = P(1 + i)n
⇒ 180 = 100(1 + i)8
⇒ (1 + i)8
100
180
= ⇒ (1 + i)8
= 1,8
Na tábua I, para n = 8, o numero 1,8 está compreendido entre 7% e 8%.
7% ⇒ 1,718186 1% ⇒ (1,850930 – 1,718186) = 0,132744
8% ⇒ 1,850930 X% ⇒ (1,800000 - 1,718186) = 0,081814
X = 132744,0
081814,0
= ⇒ X = 0,616329 ⇒ A taxa será 7 + 0,616329 = 7,62% a.m.
TAXA NOMINAL, TAXA REAL E TAXA DE INFLAÇÃO
A taxa nominal(i) de juros é aquela adotada normalmente nas operações correntes de mercado,
incluindo os efeitos inflacionários.
20

A taxa real(r) de juros é aquela paga realmente na operação financeira.
A taxa de inflação(t) é a correção monetária, ou seja a recuperação do poder aquisitivo do dinheiro
envolvido na operação financeira.
Seja P um capital aplicado a uma taxa real(r) de juros, em um período que teve uma inflação(t)
Para haver uma compensação da inflação ou seja para que o aplicador não tenha prejuízo, será
necessário que seja feita uma correção monetária do valor aplicado antes da aplicação da taxa real
de juros.
P = capital aplicado i = taxa nominal r = taxa real t = taxa de inflação
Valor corrigido = P (1 + t)
Valor corrigido + taxa real = P (1 + t) (1 + r)
Valor nominal = P (1 + i)
Como o valor nominal é igual ao valor corrigido aplicado à taxa real temos que:
P(1 + i) = P(1 + t)(1 + r) (dividindo ambos os termos por P) temos:
(1 + i) = (1 + t)(1 + r)
i = (1 + t)(1 + r) - 1 (TAXA NOMINAL)
)1(
)1(
)1(
r
i
t
+
+
=+ ⇒ 1
)1(
)1(
−
+
+
=
r
i
t (TAXA DE INFLAÇÃO)
)1(
)1(
)1(
t
i
r
+
+
=+ ⇒ 1
)1(
)1(
−
+
+
=
t
i
r (TAXA REAL)
EXEMPLOS:
1- Se a poupança paga 0,5% a.m. e neste mês a inflação foi de 2%. Qual deve ser a taxa nominal
paga pela instituição financeira?
i = ? r = 0,5% = 0,005 t = 2% = 0,02
i = (1 + 0,02)(1 + 0,005) –1 ⇒ i = (1,02)(1,005) –1 ⇒ i = 1,0251 – 1 ⇒ i = 0,0251
i =2,51%
2- Qual a taxa real paga por uma aplicação que tem uma taxa nominal de 24% a.a, sabendo-se que
neste ano a inflação de 10% ?
i = 24% =0,24 t = 10% r = ?
21

)10,01(
)24,01(
)1(
+
+
=+ r ⇒ 1
)10,1(
)24,1(
−=r ⇒ r = 1,127273-1 ⇒ r = 0,127273
r = 12,73% a.a.
3- Uma instituição financeira paga 9% a. s. de taxa real, sabendo-se que a mesma pagou 11% de
taxa nominal.Qual a taxa de inflação do período considerado?
i = 11% = 0,11 r = 9% = 0,09 t = ?
)09,01(
)11,01(
)1(
+
+
=+t ⇒ 1
)09,1(
)11,1(
−=t ⇒ t = 1,018349-1 ⇒ t = 0,018349
t = 1,83%
EXERCÍCIOS :
1 – Qual a taxa anual equivalente:
a) 3% a.t. b) 7% a.s. c) 5% a.b. d) 2% a.m.
Resp.: a) 12,55%; b) 14,49%; c) 34,01%; d) 26,82%
2 – Sendo a taxa mensal 4% quais a taxas equivalentes:
a) anual b) trimestral c) semestral d) bimestral
Resp.: a) 60,1; b) 12,49; c) 26,53; d)
8,16
3 – Complete o quadro abaixo:
NOMINAL INFLAÇÃO REAL
12% 4% - Resp.: 7,69%
- 2% 8% Resp.: 10,16%
8% - 3% Resp.: 4,85%
- 10% 7% Resp.:17,7%
- 3% 9% Resp.: 12,27%
6% - 4% Resp.: 1,92%
22

18% 8% - Resp.:9,26%
21% - 3% Resp.: 17,48%
13% 5% - Resp.: 7,62%
4 – Qual montante de uma aplicação de $ 1.000,00?
a) 2,34% a.a. em 4 anos. Resp.: $ 1.096,94
b) 4,6% a.s. em 3 anos. Resp.: $ 1.309,76
c) 6,25% a.t. em 5anos. Resp.: $ 3.361,85
d) 1,3% a.m. em 1 ano e 5 meses Resp.: $ 1.245,55
EXERCICIOS PROPOSTOS:
1. Calcular o montante de uma aplicação de $10.000,00 sob as hipóteses abaixo:
Taxa Prazo Resposta
a) 20% a.a. 5 anos $24.883,20
b) 5% a.s. 3 anos e meio $14.071,00
c) 2,5% a.m. 1 ano $13.448,89
2. Qual é o juro auferido de um capital de $1.500,00, aplicado segundo as hipóteses abaixo:
Taxa Prazo Resposta
a) 10% a.a. 10 anos $2.390,61
b) 8% a.t. 18 meses $880,31
c) 1% à semana 2 meses $124,29
3. Se eu quiser comprar um carro no valor de $60.000,00, quanto devo aplicar hoje para que
daqui a 2 anos possua tal valor? Considerar as seguintes taxas de aplicação:
a) 2,5% a.m. Resp.: $33.172,52
b) 10% a.s. Resp.: $40.980,81
c) 20% a.a. Resp.: $41.666,67
23

4. Quanto deve ser aplicado hoje para que se aufiram $10.000,00 de juros ao fim de 5 anos, se
a taxa de juros for de:
a) 4% a.t. Resp.: $8.395,44
b
)
20% a.quad. Resp.: $694,11
c) 30% a.a. Resp.: $3.686,05
5. Qual é a taxa de juros mensal recebida por um investidor que aplica $1.000,00 e resgata os
montantes, segundo as hipóteses abaixo:
a) $ 1.076,89 3 meses Resp.: 2,5% a.m.
b
)
$ 1.125,51 4 meses Resp.: 3% a.m.
c) $ 1.340,10 6 meses Resp.: 5% a.m.
6. Uma pessoa aplicou $15.000,00 e após um ano recebeu $18.782,87 de juros. Qual foi a taxa
de juros mensal paga pela financeira onde o dinheiro foi aplicado?
Resp.: 7% a.m.
7. Qual é a taxa de juros mensal paga por uma instituição onde o aplicador recebeu, após 2
anos, o montante de $45.666,57, sendo $25.666,57 referente a juros?
Resp.: 3,5% a.m.
8. Um investidor aplicou $25.000,00 em uma instituição que paga 3% a.m. Após certo período
de tempo, ele recebeu $35.644,02, estando neste valor incluídos os juros creditados e o
capital investido. Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado?
Resp.: 12 meses
9. Um apartamento é vendido, a vista, por $220.000,00. Caso o comprador opte por pagar em
uma única parcela após certo período de tempo, o vendedor exige $61.618,59 como juros,
pois quer ganhar 2,5% a.m. Qual é o prazo de financiamento na hipótese acima?
Resp.: 10 meses
24

10. Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40% a.a.
Se o investidor souber de outra alternativa onde possa ganhar 9% a.t., qual será sua escolha?
Resp.: A segunda alternativa
25

CAPÍTULO III
3. DESCONTO COMPOSTO
Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um titulo em sua
data de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação ou seja, o
valor futuro ( F ).
A operação de se liquidar um titulo antes do seu vencimento envolve geralmente uma recompensa,
ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido como a
diferença entre o valor nominal (valor futuro) de um titulo e seu valor atualizado (valor presente)
apurando n períodos antes de seu vencimento.
Tendo: F = Valor nominal P = Valor atual d = Desconto d = F – P
F = P (1+i)n
⇒ P = n
i
F
)1( +
EXEMPLO
1 - Calcular o valor atual de um titulo de valor nominal igual a $1.000,00, resgatado 4 anos antes do
vencimento, a 10% a.a..
F = 1.000,00 i = 0,1 n = 4 P = ?
P = n
i
F
)1( +
⇒ P = 4
)1,01(
000.1
+
⇒ P = 4
)1,1(
000.1
(1,1)4
= F/P(10%,4) = 1,464100
F =
4641,1
000.1
⇒ P = $683,01
2 – A que taxa devo descontar uma letra de valor nominal $ 300,00, com vencimento para 6 meses
e receber um valor liquido de $ 189,05 ?
F = 300,00 i = ? n = 6 P = 189,05
P = n
i
F
)1( +
⇒ 189,05 = 6
)1(
300
i+
⇒ ( 1 + i )6
= 05,189
300
⇒ ( 1 + i )6
= 1,586882
Na tábua I F/P(i,6) = 1,586882 para n = 6 i = 8% a . m
3 – Um banco libera a um cliente $ 6.800,00 provenientes do desconto de um titulo de valor
nominal de $ 9.000,00 descontado à taxa de 4% a . m. Calcular o prazo de antecipação que foi
descontado neste titulo.
F = 9.000,00 P = 6.800,00 i = 0,04 n = ?
26

F = P (1 + i)n
⇒ 9.000,00 = 6.800,00 (1 + 0,04)n
⇒ 6.800 x (1,04)n
= 9.000 ⇒
(1,04)n
=
800.6
000.9
⇒ 1,323529 F/P(4%,n) = 1,323529
Para 4% na tábua I, temos n entre os valores 7 e 8 respectivamente.
7 ⇒ 1,315932 (8 – 7) = 1 ⇒ (1,368569 – 1,315932) = 0,052637
8 ⇒ 1,368569 X⇒ (1,323529 - 1,315932) = 0,007597
X = 0,007598 : 0,052638 = 0,144328 x 30 =4,333 equivalente a 4 dias.
Logo o tempo de antecipação foi de 7 meses e 4 dias
4 – Comprei um titulo de valor $ 1.200,00 vencível daqui a 5 meses, por $ 1.000,00, se a taxa de
juros do mercado e 3% a . m,. Será que fiz um bom negócio ?
F = 1.200,00 i = 0,03 n = 5 P = ?
P = n
i
F
)1( +
⇒ P = 5
)03.1(
200.1
F/P(3%,5) = 1,159274
P =
159274,1
200.1
⇒ P = 1.035,13
O valor atual do titulo a juros de mercado é $ 1.035,13 como comprei o titulo por $ 1.000,00 isto
significa que ganhei $ 35,13.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS
Ao estudar juros e desconto simples, viu-se que dois ou mais capitais, realizáveis em datas distintas,
são equivalentes se, na época, seus valores atuais forem iguais.
Entretanto, pelo sistema de capitalização composta usual (juros compostos e desconto composto
real), a equivalência dos capitais diferidos pode ser feita na data zero (valor atual) ou em qualquer
outra data, pois os juros compostos são equivalentes aos descontos compostos.
EXEMPLOS:
1. No fluxo abaixo determine o valor de X à uma taxa i nas datas focais 0,2,6,7 e 10.
X0 = 5
)1( i
X
+
X2 = 3
)1( i
X
+
X6 = )1( iX +
X7 = 2
)1( iX +
X10 = 5
)1( iX +
2. Uma pessoa devedora de um titulo de valor nominal de $ 1.000,00 para 3 anos, deseja resgatar
esta divida com dois pagamentos anuais iguais um no fim de um ano e o outro no fim de dois anos.
27
1 74
X
0 632 8 9 1 0
5

Estabelecendo a taxa de 18% a . a. com capitalizações semestrais para o desconto, calcular o valor
desses pagamentos.
a) Resolução pela equivalência dos valores atuais:
P6 = valor atual do titulo para 3 anos
P2 = valor atual do titulo para 1 ano
P4 = valor atual do titulo para 2 anos
P6 = P2 + P4
P6 = 6
)09.1(
000.1
⇒ P6 =
677100,1
000.1
⇒ P6 = 596,2673666 F/P(9%,6) = 1,677100
P2 = 2
)09.1(
X
⇒ P2 = 188100,1
X
⇒ P4 = X 0,841680 F/P(9%,2) = 1,188100
P4 = 4
)09.1(
X
⇒ P4 = 411581,1
X
⇒ P4 = X 0,708425 F/P(9%,4) = 1,411581
X 0,841680 + X 0,708425 = 596,2673666
X (0,841680 + 0,708425) = 596,2673666
X (1,550105) = 596,2673666
X =
550105,1
2673666,596
⇒ X = 384,66
b) Resolução pela equivalência dos montantes:
F6 = F2 + F4
F6 = 1000,00
F2 = X (1,09 )2
⇒ F2 = X (1,188100) F/P(9%,2) = 1,188100
F4 = X (1,09 )4
⇒ F4 = X (1,411581) F/P(9%,4) = 1,411581
X (1,188100) + X (1,411581) = 1000,00
X (1,188100 + 1,411581) = 1000,00
X (2,599681) = 1000,00
X = 599681,2
1000
⇒ X = 384,66
3. Uma pessoa compra uma mercadoria no valor de $ 300,00 para pagar em 3 prestações mensais
(1+2) à taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor das prestações?
P0 = 300,00
X0 = X
X1 = 1
)06.1(
X
⇒ X1 = 06,1
X
⇒ X1 = X 0,943396
X2 = 2
)06.1(
X
⇒ X2 = 1236,1
X
⇒ X2 = X 0,889996
28
2
XX
0
1 0 0 0
64
1
XXX
3 0 0
0 2

X0 + X1 + X2 = 300
X + X(0,943396) + X(0,889996) = 300
X (1+0,943396 +0,889996 = 300
X . 2,833392 = 300
X = 300 : 2,833392
X = $ 105,88
EXERCICIOS PROPOSTOS
1. Calcular o desconto concedido a uma letra de $ 200,00 paga, a 8%a.a., 3 anos antes do
vencimento.
Resp.: $ 41,23
2. Calcular o valor atual de um título de $ 500,00, pago, com 5%a.a. de desconto, 4 anos antes do
vencimento.
Resp.: $ 411,35
3. Devo R$ 50.000,00 com vencimento para 5 anos. Quanto pagarei hoje com um desconto de 6%
a.a.?
Resp.: $ 37.362,91
4. Uma dívida de R$ 60.000,00 foi descontada 3 anos antes do vencimento, a 5% a.a. Em quanto
importou o desconto?
Resp.: $ 8.169,74
5. Um título de R$ 20.000,00, disponível no fim de 4 anos, foi pago e se reduziu a R$ 16.454,00.
Qual será a taxa?
Resp.: 5% a.a.
6. De quanto tempo foi antecipado o pagamento de R$ 28.466,24, sabendo que, descontado a 4%
a.a., o seu valor se reduziu a R$ 20.000,00?
Resp.: 9 anos
7. A que taxa devo descontar uma duplicata de valor nominal $3.000,00 para que a mesma sofra
um desconto de $631,77 com 8 meses de antecedência?
Resp.: 3% a .m
8. Um título de $ 500,00 foi resgatado antes do vencimento por $ 400,00. Calcular o tempo de
antecipação do resgate, sabendo-se que o desconto foi de 20% a..a. capitalizados
trimestralmente.
Resp.: 1 ano 1 mês e 21 dias.
9. Um titulo de $300,00, foi resgatado 1 ano e 6 meses antes do vencimento por $180,00.qual foi a
taxa trimestral de desconto?
Resp.: .8,89%
10. Uma empresa contraiu um empréstimo hoje de $ 25.000,00 por 5 anos, com juros de 20% a.a.
capitalizados trimestralmente. Passados 3 anos, a empresa decide resgatar a dívida; o desconto
concedido é de 20% a.a. capitalizados semestralmente. Qual o valor do resgate?
Resp.: $ 45.305,91
11. Um proprietário, ao vender um imóvel, recebeu as seguintes propostas:
A - $1.000,00 à vista, $300,00 em 6 meses e $500,00 em 1 ano.
B - $500,00 à vista, $800,00 em 6 meses e $700,00 em 1 ano.
Qual a proposta mais vantajosa para o proprietário, admitindo-se que os títulos podem ser
descontados à taxa de 2% a.m?
Resp.: Proposta B
29

12. Um título de valor nominal $ 1.000,00, com vencimento para 2 anos será substituído por outro
para 3 anos. Calcular o valor do novo título, empregando a taxa de 16% a.a. com capitalizações
semestrais.
Resp.: $1.166,40
13. Um título de valor nominal de $20.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo
sido contratada a taxa de 2,5% a.m. Qual foi o desconto comercial concedido?
Resp.: $1.428,01
14. Ao descontar uma Nota Promissória no valor de $5.000,00 no vencimento, a financeira
informou que sua taxa de desconto comercial era de 30% a.a. Se o desconto fosse efetuado 2
meses antes do vencimento, qual seria o valor líquido (valor de resgate) recebido pelo possuidor
do título?
Resp.: $4.786,07
15. Numa operação de desconto, o possuidor do título recebeu $10.000,00 como valor de resgate.
Sabendo-se que a antecipação fora de 6 meses e o desconto de $1.401,75, pergunta-se qual foi a
taxa de juros anual adotada.
Resp.: 30% a.a.
16. Em um título no valor nominal de $6.500,00, o desconto sofrido foi de $835,63. Se a taxa de
juros de mercado for de 3,5% a.m., qual deverá ser o prazo de antecipação?
Resp.: 4 meses
17. Um título de valor nominal de $2.000,00 foi descontado num estabelecimento financeiro onde é
adotado o desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de juros considerada foi de 1%
a.m. e que a antecipação foi de 2 meses, qual foi o valor do desconto?
Resp.: $39,41
18. Qual é o valor descontado de um título com vencimento para 6 meses, cujo valor nominal é de
$4.500,00, se a taxa de desconto comercial for de 2% a.m.?
Resp.: $504,13
19. O desconto comercial de um compromisso com vencimento para 4 meses é de $2.102,63. Qual é
a taxa de desconto comercial adotada, se o valor do resgate for de $10.397,37?
Resp.: 4,71% a.m.
20. O valor líquido recebido em uma operação de desconto comercial foi de $2.477,26. Sabendo-se
que o valor no vencimento seria de $2.800,00 e que a taxa de juros adotada foi de 4% a.m., qual
o prazo de antecipação?
Resp.: 3 meses
21. Um título no valor de $15.000,00, em seu vencimento, foi resgatado com 3 meses de
antecedência. A financeira tem como norma aplicar o desconto comercial, sendo que neste caso
adotou-se a taxa de juros de 2,5%a.m. Quanto recebeu o possuidor do título e qual foi a taxa de
juros efetivamente cobrada pela financeira?
Resp.: $13.902,89 e 2,56% a.m.
22. O desconto comercial cobrado sobre um título foi de $2.167,29, numa antecipação de 6 meses.
Sabendo-se que o valor nominal é de $25.000,00 e que a taxa de desconto comercial empregada
foi de 1,5% a.m., qual foi a taxa efetiva anual cobrada?
Resp.: 19,89% a.a.
30

CAPÍTULO IV
4. RENDAS
4.1. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA IMEDIATAS
Seja um processo de capitalização em que são aplicadas n parcelas iguais a A, periódicas e
imediatas, a uma taxa i, referida ao mesmo período dos termos. O problema é determinar o
montante ( F ) na data focal n, que resulta deste processo de capitalização.
A representação gráfica deste modelo é a seguinte:
O montante ( F ) é o resultado da soma dos montantes de cada um dos termos, à uma taxa i, na data
focal n. Vamos admitir que estejamos fazendo esta soma a partir do termo de n-ésima ordem (ou
seja, o último termo) e até o termo de 1a
ordem (que é o primeiro termo):
F = A + A(1 + i)1
+ A(1 + i)2
+ A(1 + i)3
+ ........ + A(1 + i)n-1
Colocando A em evidência:
F = A[1 + (1 + i)1
+ (1 + i)2
+ (1 + i)3
+ ........ + (1 + i)n-1
]
Seja a seguinte notação para o valor da soma entre colchetes:
Sn =1 + (1 + i) + (1 + i)2
+ (1 + i)3
+ ........ + (1 + i)n-1
A expressão acima representa a soma dos termos de uma progressão geométrica onde:
1o
termo é 1; 2o
é (1 + i); 3o
é (1 + i)2
, a razão é (1 + i) e o ultimo termo é (1 + i)n-1
Sn =
1
1
−
−
q
aqan
F = A x Sn
Sn =
1)1(
1)1()1( 1
−+
−++ −
i
ixi n
F = A
i
i n
1)1( −+
Sn=
i
i n
1)1( −+
i
i n
1)1( −+
= F/A(i,n) (TABUA II)
31
10
A A A A A
F
2 3 N - 1 N

EXEMPLOS:
1. Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mensalmente. Sabendo-se que a taxa é de 2% a.m., com
capitalização mensal quanto possuirá no final de 2 anos?
F = ?, A = 1000,00; n = 24; i = 0,02; F = A x F/A(i,n)
F =1000 x
02,0
1)02,1( 24
−
02,0
1)02,1( 24
−
= F/A(2%,24) = 30,421862
F = 1.000 x 30,421862 ⇒ F = $ 30.421,86
2. Qual o montante de 12 depósitos trimestrais, de $1000,00 à taxa de 28% a.a?
F = ?, A = 1.000,00, n = 12, i = 7% a.t.
F =1.000 x
07,0
1)07,1( 12
−
⇒
07,0
1)07,1( 12
−
= F/A(7%,12) = 17,888451
F = 1.000 x 17,888451 ⇒ F = $ 17.888,45
3. Quanto uma pessoa deve depositar em um banco, no fim de cada trimestre, a 20% a.a., para no
fim de 2 anos, possuir $ 10.000,00?
F = 10.000,00 A = ? n = 8, i = 5% a.a.
10.000 =A x
05,0
1)05,1( 8
−
⇒
05,0
1)05,1( 8
−
= F/A(5%,8) = 9,549109
10.000 = A x 9,549109 ⇒ A = 10.000 : 9,549109 ⇒ A = $ 1.047,22
4. Realizando depósitos imediatos bimestrais de $ 200,00, obteve-se, no fim de 3 anos a quantia de
$ 4.282,46. Qual a taxa de juro bimestral?
F = 4.282,46 A = 200,00 n = 18, i = ?
4.242,46 = 200 x
i
i 1)1( 18
−+
⇒
i
i 1)1( 18
−+
=
200
46,282.4
= 21,4123
F/A(i,18) =21,4123 na TÁBUA II PARA n = 18 temos uma taxa de 2% a.b.
5. Quantas mensalidades de $150,00 serão necessárias aplicar todo fim de mês em uma poupança
que paga 5% a.m., para constituir um capital de $ 5.357,89?
F = 5.357,89 A = 150 n = ?, i = 5%
5.357,89 = 150 x
05,0
1)05,1( −n
⇒
05,0
1)05,1( −n
=
150
89,5357
= 35,719252
F/A(5%,n) =35,719252 na TÁBUA II PARA i = 5% temos n = 21 meses
32

4.2 CAPITALIZAÇÃO DE RENDAS ANTECIPADAS
O montante de uma renda antecipada é dado por FA
e apresenta o seguinte esquema:
FA
= A x F/A(i,n+1) - A ⇒ FA
= A ( F/A(i,n+1) - 1 )
EXEMPLOS:
1. Calcular o montante de uma renda antecipada de 18 termos iguais a $ 100,00, à taxa de 1%a.m.?
FA
= ? A = 100,00, i = 1% n = 19 (antecipada)
FA
= 100 x (F/A(1%,19) -1) ⇒ FA
= 100 x (20,810895 – 1) ⇒ FA
= 100 x 19,810895
FA
= $ 1.981,09
2. Quanto se deve depositar no inicio de cada semestre, numa instituição financeira que paga 18%
a.a., para constituir o montante de $ 5.000,00 no fim de 3 anos?
FA
= 5.000,00 A = ? i = 9% n = 7 (antecipada)
5.000 = A x (F/A(9%,7) -1) ⇒ 5.000 = A x (9,200435 – 1) ⇒ 5.000 = A x 8,200435
A = 200435,8
000.5
⇒ A = $ 609,72
3. Uma pessoa deposita 20 mensalidades antecipadas de $300,00 e retira no final um montante de $
8.302,95. Qual a taxa de juro?
FA
= 8.302,95 A = 300,00 i = ? n = 21 (antecipada)
8.302,95 = 300 x (F/A(i,21) -1) ⇒ (F/A(i,21) -1) =
300
95,302.8
⇒ (F/A(i,21) -1) = 27,676486
F/A(i,21) = 27,676486 + 1 ⇒ F/A(i,21) = 28,676486
Na TÁBUA II para n = 21 temos que a taxa correspondente é 3% a.m.
33
10
A A A AA
F
2 3 N - 1 N

4.3 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA DE RENDAS DIFERIDAS
Denomina-se montante diferido de uma renda aquele que, depois de constituído, só se torna exigível
após certo números de períodos.
No esquema acima, a renda (imediata ou antecipada) de n termos tem o seu montante constituído no
fim de n períodos, mas este deverá permanecer capitalizando juros durante m períodos. O montante
torna-se disponível no fim de n+m períodos.
4.3.1. Desta forma, o montante diferido de uma renda imediata pode ser obtido na Tábua II com a
fórmula de transformação:
F = A x m/F/A(i,n) F = A(F/A(i,n+m) – F/A(i,m))
EXEMPLOS:
1. Qual o montante de uma renda imediata de $ 100,00, depositada mensalmente durante um ano
com 6 meses de diferimento, a juros de 2% a.m.?
F = ? A = 100,00, i = 2%, n = 12, m = 6, n + m = 18,
F = 100 x 6/F/A(2%,12) ⇒ F = 100 x (F/A(2%,18) – F/A(2%,6))
F = 100 x (21,412312 – 6,308121) ⇒ F = 100 x 15,104191
F = $ 1.510,42
2. Uma pessoa deposita, durante dois anos, $500,00 no fim de cada mês, a 3% a.m. O capital
constituído no fim desse tempo ficará depositado por mais um ano. Qual será o montante?
F = ? A = 500,00, i = 3%, n = 24, m = 12, n + m = 36,
F = 500 x 12/F/A(3%,24) ⇒ F = 500 x (F/A(3%,36) – F/A(3%,12))
F = 500 x (63,275944 – 14,192029) ⇒ F = 500 x 49,083915
F = $ 24.541,96
Outra maneira de resolver problemas de “capitalização composta diferida” poderá ser:
F = A x F/A(i,n) x F/P(i,n)
34
1
AAA A
F
0
P R A Z O D E R E N D A P E R ÍO D O S D E D E F E R IM E N TO
M -10 2 M
NN - 12
1

3. Uma pessoa deposita, durante dois anos, $500,00 no fim de cada mês, a 3% a.m. O capital
constituído no fim desse tempo ficará depositado por mais um ano. Qual será o montante?
F = ? A = 500,00, i = 3%, n = 24, m = 12,
F = 500 x F/A(3%,24) x F/P(3%,12)
F = 500 x 34,426470 x 1,425760
F = $ 24.541,95
4.3.2. Portanto, o montante diferido de uma renda antecipada pode ser obtido na Tábua II, com a
fórmula de transformação:
FA
= A x m/F/A(i,n) FA
= A(F/A(i,n+m+1) – F/A(i,m+1))
EXEMPLOS:
1. Calcular o montante de uma renda antecipada de 12 termos trimestrais de $2.000,00, à 5% a.t.,
com uno de diferimento.
FA
= ? A = 2.000,00, i = 5%, n = 12, m + 1 = 5, n + m + 1 = 17
FA
= 2.000 x 5/F/A(5%,12) ⇒ F = 2.000 x (F/A(5%,17) – F/A(5%,5))
FA
= 2.000 x (25,840366 – 5,525631) ⇒ F = 2.000 x 20,314735
FA
= $ 40.629,47
2. Uma pessoa deposita $300,00, no inicio de cada mês, durante 1 ano e 2 meses, numa instituição
que paga juros de 1,5% a.m.. Depois desse tempo, deixa seu capital depositado por mais seis
meses. Qual o montante?
FA
= ? A = 300,00, i = 1,5%, n = 14, m + 1 = 7, n + m + 1 = 21
FA
= 300 x 6/F/A(1,5%,14) ⇒ F = 300 x (F/A(1,5%,21) – F/A(1,5%,7))
FA
= 300 x (24,470522 – 7,322994) ⇒ F = 300 x 17,147528
FA
= $ 5.144,26
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. Qual o montante de uma anuidade periódica e imediata de $ 250,00, nas hipóteses abaixo:
Taxa Prazo
a) 2% a.m. 2 anos
b) 5% a.b 2 anos
c) 6% a.t 2 anos
d) 9% a.s. 10 anos
Resp.: a) $7.605,47 b) $3.979,28 c) $2.474,37 d) $12.790,03
2. Qual o montante do exercício anterior no caso de rendas antecipadas?
Resp.: a) $7.757,56 b) $4.178,25 c) $2.622,83 d) $13.941,13
35

3. Qual é o depósito antecipado durante 4 anos consecutivos que produz o montante de
$200.000,00? Considerar as taxas de juros abaixo:
a) 4% a.m.
b) 5% a.b.
c) 3% a.t.
d) 8% a.s.
e) 12% a.a.
Resp.: a) $1.380,89 b) $4.280,17 c) $9.633,17 d) $17.410,14 e) $37.363,29
4. Qual o depósito imediato para o exercício anterior?
Resp.: a) $1.436,13 b) $4.494,18 c) $9.922,17 d) $18.802,95 e) $41.846,89
5. Qual o montante de uma renda mensal imediata de $600,00 durante 1 ano a taxa de 4%a.m. para
o casos de permanência de aplicação por mais:
a) 2 meses.
b) 3 meses.
c) 4 meses.
d) 5 meses.
Resp.: a) $9.751,14 b) $10.141,19 c) $10.546,84 d) $10.968,71
6. Qual o montante de renda antecipada do exercício anterior?
Resp.: a) $10.141,19 b) $10.546,84 c) $10.968,71 d) $11.407,46
4.4. VALOR ATUAL DE UMA RENDA IMEDIATA
O valor atual (P) (ou valor presente) de uma renda imediata equivale ao valor de uma dívida
(empréstimo, valor a vista de uma mercadoria) que será paga com prestações constantes e
periódicas (A).
O valor atual da renda é igual à soma dos valores atuais de seus termos, calculados com desconto
composto real a determinada taxa (i).
Considere o fluxo abaixo com n termos iguais a A a uma taxa i.
Considere as formulas estudadas até agora:
n
i
F
P
)1( +
= (I) (valor atual de uma renda)
i
i
AF
n
1)1( −+
= (II) (valor futuro de n rendas)
Substituindo F da equação (II) na equação (I) temos:
n
n
i
i
i
A
P
)1(
1)1(
+
−+
= ⇒ n
n
i
x
i
i
AP
)1(
11)1(
+
−+
= ⇒ n
n
ii
i
AP
)1(
1)1(
+
−+
=
O termo n
n
ii
i
)1(
1)1(
+
−+
é P/A(i,n) é o resultado da Tábua III
36
1
A
0
A A A A
P
2 3 N -1 N

EXEMPLOS:
1.Qual o valor atual de uma renda de 10 termos iguais a $100,00, à taxa de 1% a.m.?
P = ?; A = 100,00; n = 10; i = 0,01
10
10
)01,1(01,0
1)01,1(
100
−
=P 10
10
)01,1(01,0
1)01,1( −
= P/A(1%,10) = 9,471304 (Tábua III)
P = 100 x 9,471304 ⇒ P = $ 947,13
2. Que divida pode ser amortizada com 20 prestações trimestrais de $5.000,00, com juros de
20%a.a.?
P = ?; A = 5.000,00; n = 20; i =20%a.a. = 5%a.t.
20
20
)05,1(05,0
1)05,1(
5000
−
=P 20
20
)05,1(05,0
1)05,1( −
= P/A(5%,20) = 12,462210 (Tábua III)
P = 5000 x 12,462210 ⇒ P = $ 62.311,05
3. Calcular o valor da prestação mensal para amortizar, com 12 pagamentos, um empréstimo de $
60.000,00 com juros de 4% ao mês.
P = 60.000,00; A = ?; n = 12; i =4%a.m..
12
12
)04,1(04,0
1)04,1( −
= P/A(4%,12) = 9,385074 (Tábua III)
60.000 = A x 9,385074 ⇒ A = 60.000 : 9,385074 ⇒ A = $ 6.393,13
4. para resgatar um empréstimo de $ 26.930,98, serão necessários 8 pagamentos trimestrais de $
4.000,00. Qual a taxa anual de juros?
P = 26.930,98; A = 4.000,00; n = 8; i =?
8
8
)1(
1)1(
400098,26930
ii
i
+
−+
= 8
8
)1(
1)1(
ii
i
+
−+
= P/A(i,8) = 6,732745 (Tábua III)
4000
98,26930
)1(
1)1(
8
8
=
+
−+
ii
i
= 6,732745 temos i = 4% a.t = 16% a.a.
5. Qual o valor da prestação de um empréstimo de $ 5.000.00, a ser pago em 10 meses sem entrada
à juros de 8,36% ao mês?
P = 5.000,00; n = 10; A = ? i = 8,36% (não tabelado)
P/A(8,36%,10)
8,36% encontra-se entre 8% e 9% em n = 10
8% ⇒ 6,710081
8,36%{ } P/A(8,36%,10) = 6,710081 -X
9% ⇒ 6,417658
1% ⇒ -0,292423
0,36%⇒ X
X = 0,36 x (-0.292423) ⇒ X = -0,105272
P/A(8,36%,10) = 6,710081 – 0,105272 ⇒ P/A(8,36%,10) = 6,604809
A = 5.000 : 6,604809
37

A = $ 757,02
4.5. VALOR ATUAL DE UMA RENDA ANTECIPADA
A representação do valor atual de uma renda antecipada é PA
O esquema de uma renda antecipada
(A) de n termos a uma taxa i tem o fluxo de caixa abaixo:
Partindo do principio que a primeira prestação é paga no ato do empréstimo ou da compra,
teoricamente ficará um débito de (n-1) prestações, ficando a seguinte formula:
PA
= A + A x P/A(i,n-1) ⇒ PA
= A(1 + P/A(i,n-1))
EXEMPLOS:
1. Qual o valor atual de uma renda antecipada de 20 termos iguais a $ 100,00,à taxa 5% ao
trimestre.
PA
= ?; A = 100,00; i = 5%; n -1 = 19
PA
= 100(1 + P/A(5%,19)) ⇒ PA
= 100(1 +12,085321) ⇒ PA
= 100(13,085321) ⇒ PA
= 1308,53
PA
=$ 1308,53
2. Calcular o valor à vista de um bem que é vendido em 10 prestações mensais de $ 1.000,00, a
juros de 2% ao mês sendo a primeira prestação paga no ato da compra?
PA
= ?; A = 1.000,00; i = 2%; n -1 = 9
PA
= 1000(1 + P/A(2%,9)) ⇒ PA
= 1000(1 +8,162237) ⇒ PA
= 1000(9,162237) ⇒ PA
= 9.162,24
PA
=$ 9.162,24
3. Qual o valor da prestação de uma mercadoria que é vendida em 6 prestações mensais
antecipada, sabendo-se que a mesma é vendida à vista por $ 5.782,65, com taxa de 1,5% a.m.?
PA
= 5.782,65; A = ?; i = 1,5%; n -1 = 5
5.782,65 = A(1 + P/A(1,5%,5)) ⇒ 5.782,65 = A(1 +4,782645) ⇒ 5.782,64 = A x 5,782645
⇒ A = 5.782,65 : 5,782645 ⇒ A = $ 1.000,00
4. Uma dívida de $ 1.000,00 deverá ser paga com 8 prestações mensais antecipadas de $133,00,
qual a taxa de juros?
PA
= 1.000,00; A = 133,00; i = ? n -1 = 7
1000 = 133(1 + P/A(i,7)) ⇒ 1 + P/A(i,7) = 1000 : 133 ⇒ P/A(i,7) + 1 = 7,518797 ⇒
P/A(i,7) = 7,518797 – 1 ⇒ P/A(i,7) = 6,518797
na tábua III para n = 7, temos que a taxa está entre 1,5% e 2%
1,5% ⇒ 6,598214
2% ⇒ 6,471991
0,5% ⇒ - 0,126223 (6,471991-6,598214)
X% ⇒ - 0,079417 (6,471991-6,518797)
38
1
A A A AA
P
2 3 N -1 N

X = 126223,0
079417,05,0 x
⇒ X = 0,31 logo i = 1,5 + 0,31 = 1,81% a.m.
4.6 VALOR ATUAL DE RENDAS DIFERIDAS
A representação do valor atual de renda A de n termos com m períodos de carência a uma taxa i é
m/P. Com o fluxo de caixa abaixo:
Os valores de m/P/A(i,n) não são tabelados, mas podem ser obtidos em função de P/A(i.n)
(Tábua III)
Portanto m/P/A(i,n) = P/A(i,n+m) – P/A(i,m) , pois P/A(i,m) é o período sem pagamentos.
EXEMPLOS:
1. Calcular o valor atual de uma renda de 10 termos trimestrais de $ 200,00, com 9 meses de
carência, à taxa de 20% a.a.?
P = ?; A = 200,00 i = 20%a.a. = 5%a.t.; n = 10; n + m = 13
P = 200 x 3/P/A(5%,10)
P = 200 x ( P/A(5%,13) – P/A(5%,3) )
P = 200 x ( 9,393573 – 2,723248 )
P = 200 x 6,670325
P = $1.334,07
2. Um empréstimo de $100.000,00 vai ser amortizado com 12 prestações mensais com 6 meses de
carência e juros de 5% a.m. Calcular o valor da prestação?
P = 100.000; A = ?; i = 5% a.m.; n = 12; n + m = 18
100.000 = A x 6/P/A(5%,12)
100.000 = A x ( P/A(5%,18) – P/A(5%,6) )
100.000 = A x (11,689587 – 5,075692)
100.000 = A x 6,613895
A = 100.000 : 6,613895
A = $ 15.119,68
O mesmo exercício pode ser resolvido da seguinte maneira:
1a
etapa: F6 = 100.000 x F/P(5%,6) ( tábua I )
F6 = 100.000 x 1,340096
F6 = 134.009,60 ( calculo do montante no período de carência )
F6 = P (Valor no inicio dos pagamentos após o período de carência)
2a
etapa P = A x P/A(5%,12) ( tábua III )
134.009,60 = A x 8,863252
A = 134.009,60 : 8,863252
A = $ 15.119,69
4.7. VALOR ATUAL DE RENDAS PERPÉTUAS IMEDIATAS
39
1
1
A AA A
P
0
P R A Z O D E D E F E R IM E N TO P E R ÍO D O S D E PA G A M E N TO
M - 1
N - 10
2 M
N2

n
n
ii
i
AP
)1(
1)1(
+
−+
= (Quando n tente para infinito temos:) P/A(i,∞)
ii
i
i
ii
ii
i
Lim
ii
i
Lim
n
n
nn
n
n
n
n
n
01)1(
1
1
)1(
)1(
)1(
1
)1(
)1(
)1(
1)1( −
=
+
−
⇒
+
+
+
−
+
+
⇒
+
−+ ∞
∞→∞→
i
AP i
1
/ ),( =∞
i
AP
1
=⇒
EXEMPLOS:
1.Se a mensalidade de um clube é $12,00. Calcular o preço de uma ação remido sabendo-se que a
taxa de juros de mercado é de 3% ao mês?
P = ?; A = 12,00; i = 3% = 0,03
03,0
1
12=P
03,0
12
=⇒P ⇒ P = $ 400,00
2. Qual o valor atual de uma renda mensal perpétua antecipada de $300,00, à taxa de 2% ao mês.
P = ?; A = 300,00; i = 2% = 0,02; Como a renda é antecipada temos:
P = A + A x P/A(2%,∞)
02,0
1
300300 +=P
02,0
300
300 +=⇒ P ⇒ P = 300+15.000 ⇒ P = $ 15.300,00
EXERCICIOS PROPOSTOS:
1. Qual a anuidade capaz de, a 6% a.m., e 15 prestações mensais, saldar uma divida $30.884,95,
sendo a primeira prestação paga no ato do empréstimo?
Resp:. $ 3.000,00
2. Determine o valor da prestação mensal que se deve pagar para, a 8% a.m., saldar uma dívida de
$ 19.630,60 com 20 mensalidades?
Resp:. $ 1.999,42
3. Qual o valor atual de uma renda anual antecipada de 15 termos iguais a $ 30,00, a 6% a.a.?
Resp:. $ 308,85
4. Calcular o valor da anuidade que se deve pagar para liquidar um empréstimo de $ 6.636,00,
com 18 anuidades e juros de 5% a.a., diferida de 7 anos?
Resp:. $ 798,79
5. Quantas mensalidades de $ 200,00 se devem pagar para, a 5% a.m., saldar uma dívida de $
2.000,00?
Resp:. 14 de $ 200,00 e a 15a
de $ 42,16
6. Uma dívida de $ 129.264,30 foi saldada com 8 anuidades imediatas de $ 20.000,00. Determine
a taxa anual de juros?
Resp:.5% a.a.
7. Calcular o valor de cada prestação que se deve pagar para a 9% a.a., em 10 anos, resgatar uma
dívida de $ 20.000,00, sendo a primeira prestação paga 6 anos depois de contraído o
empréstimo.
Resp:. $ 5.226,51
8. Uma máquina foi comprada com $ 2.000,00, de entrada e 12 prestações trimestrais de $ 800,00,
diferidas de um ano. Sendo os juros de 8% ao trimestre, qual o preço a vista da máquina?
Resp:. $ 6.431,39
40

9. Qual o termo trimestral antecipado, à taxa de 20% a.a.,de uma renda perpétua cujo valor atual é
de $ 2.500,00?
Resp:. $119,05
10. Para resgatar um empréstimo de $26.930,98, serão necessárias 8 pagamentos trimestrais de
$4.000,00. Qual a taxa de juros?
Resp:. 4% ao trimestre
11. Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de $1.000,00, nas hipóteses abaixo:
a) 1% a.m. 24 meses $21.243,39
b
)
5% a.b. 12 bimestres $8.863,25
c) 8% a.t. 10 trimestres $6.710,08
d
)
10% a.s. 20 semestres $8.513,56
e) 30% a.a. 30 anos $3.332,06
12. Qual é o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de $300,00, se as taxas e
prazos abaixo forem considerados:
a) 3% a.m. 24 meses Resposta
b
)
3% a.m. 36 meses $5.080,66
c) 4% a.m. 24 meses $6.549,68
d
)
5% a.m. 12 meses $4.574,09
13. Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de $97,49 ou em 24 prestações mensais de
$61,50. Nos dois casos, o cliente não dará entrada alguma. Sabendo-se que a taxa de juros do
crédito pessoal é de 2,5% a.m., pergunta-se: Qual é o melhor sistema para o comprador?
Resp.: primeira alternativa ($1.000,03)
14. Um carro está à venda por $10.000,00 de entrada mais 24 prestações mensais de $2.236,51.
Como opção, a agência vende em 36 prestações mensais de $1.613,16, sendo neste caso exigida
uma entrada de $12.000,00. Qual é a melhor alternativa, se a taxa de mercado for de 3%a.m.?
Resp.: segunda alternativa ($47.218,92)
15. A Imobiliária Barracão S/A vende um pequeno apartamento usado por $150.000,00 a vista.
Como alternativas a seus clientes, oferece dois planos de financiamento:
Plano A: Entrada de $50.000,00 mais 4 prestações trimestrais de $31.600,00.
Plano B: Entrada de $30.000,00 mais 8 prestações trimestrais de $23.000,00.
Resp.: Melhor opção a vista.
16. Qual é a anuidade periódica equivalente a um valor de $10.000,00, se forem observadas as taxas
a prazos abaixo:
a) 2,5% a.m. 24 meses $559,13
b
)
4,0% a.m. 12 meses $1.065,52
c) 30,0% a.a. 5 anos $4.105,85
17. Uma loja vende a geladeira X por $2.000,00 a vista ou financiada em 18 meses, a juros de 3,5%
a.m. Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada alguma e a primeira prestação vencer
após um mês?
Resp.: $151,63
41

18. Numa agência de automóveis o preço de um carro, a vista, é de $50.000,00. Qual é o valor da
prestação mensal, se o carro for financiado em 24 meses, sem entrada, e a taxa de juros
contratada for de 3% a.m.
Resp.: $2.952,37
19. A loja de confecções Roupa Certa Ltda vende um terno por $3.000,00. No crediário é exigida
uma entrada de 40% do valor da mercadoria e são cobrados juros de 5% a.m. Qual será o valor
das prestações, se um cliente optar por 6 prestações mensais?
Resp.: $354,63
20. O gerente financeiro de uma loja deseja estabelecer coeficientes de financiamento por unidade
de capital emprestado. O resultado da multiplicação do coeficiente pelo valor financiado é igual
à prestação mensal. Sabendo-se que a taxa de juros da loja é de 4% a.m., quais são os
coeficientes unitários nas hipóteses de prazos abaixo?
a) 6 meses Resp.: 0,190762
b
)
12 meses Resp.: 0,106552
c) 18 meses Resp.: 0,078993
d
)
24 meses Resp.: 0,065587
42

CAPÍTULO V
5. Empréstimos
5.1. Amortização de empréstimo
Existem vários sistemas para fazer o resgate de um empréstimo. Os principais são:
a) pagar, no vencimento, o capital e seus juros acumulados - Sistema do Montante (SM);
b) pagar, periodicamente, os juros e, no vencimento, o capital - Sistema Americano (SAm);
c) pagar, periodicamente, os juros sobre o saldo devedor e uma quota de amortização do capital -
Sistema Francês (SF);
d) pagar, periodicamente, os juros antecipados e uma quota de amortização do capital - Sistema
Alemão (SAI);
e) pagar, periodicamente, uma quota de amortização constante e os juros sobre o saldo devedor -
Sistema de Amortização Constante (SAC); e
f) Sistema de Amortização Misto (SAM), utilizado pelo BNH, cujos pagamentos constituem a
média aritmética dos pagamentos pêlos Sistemas Francês (Price) e de Amortização Constante
(SAC).
Assim, são conhecidos diversos sistemas de amortização, dos quais destacamos, em razão de serem
mais utilizados, o SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTES - SAC e o SISTEMA DE
PRESTAÇÕES CONTANTES - PRICE.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTES - (SAC)
Nesse sistema o pagamento é feito de prestações que amortizam capital e juros simultaneamente. O
valor da amortização do capital é constante em todas as prestações. Porem os juros vão diminuindo
a cada parcela, uma vez que são aplicados sobre o saldo devedor do capital. O valor das prestações
decresce a cada período.
EXERCÍCIOS:
1. Uma composição de dívida de $ 70.000,00 a ser paga em quatro prestações anuais, com taxa de
juros de 6% a.a..
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - 70.000,00
1
2
3
4
Divide-se o valor da composição pelo número de parcelas e tem-se o valor das amortizações.
Os juros do período são calculados sobre o saldo devedor do período anterior .
À prestação é a soma das parcelas de amortização e juros.
43

SISTEMAS OU TABELAS DE PRICE
As prestações, neste sistema também amortizam capital mais juros. A diferença é que as prestações
são iguais em todos em períodos e a parte referente à amortização do capital aumenta a cada
pagamento, ao passo que a referente aos juros diminui na mesma proporção.
EXEMPLO
Usaremos a mesma composição de dívida do SAC, para que se possa fazer uma comparação com o
Sistema Price.
EXERCÍCIOS
1. Uma composição de dívida de $ 70.000,00 a ser paga em quatro prestações anuais, com taxa de
juros de 6% a.a.
Cálculo da prestação
A = P : P/A(i,n) (TÁBUA III)
A = 70.000,00 : P/A(6%,4)
A = 70.000,00 : 3,465105
A= 20.201,40
0 - - - 70.000,00
1 20.201,40
2 20.201,40
3 20.201,40
4 20.201,40
No sistema SAC as prestações são decrescente, pois a parcela de amortização de capital é constante,
mas a parcela de juros vai diminuindo.
No sistema PRICE as prestações são constantes: as amortizações crescem e os juros decrescem.
Este sistema de amortização é um dos mais usados, pois o fato das prestações terem valores
constantes, permitem ao mutuário um planejamento para a efetivação dos pagamentos. É muito
usado nos CDC (Crédito Direto ao Consumidor) para compra de automóveis, aquisição de
eletrodomésticos e etc).
Os dois são equivalentes, pois:
a) reembolsam ao financiador o principal;
b) remuneram, a uma taxa contratada, todo o capital, pelo tempo que permanecer nas mãos do
financiado.
Matematicamente não é possível afirmar qual o melhor plano, pois são equivalentes. Deve-se
observar as condições que envolvem o negócio tais como: capacidade de pagamento, necessidade
de caixa, etc.
44

OUTROS EXERCÍCIOS:
1. Complete a planilha de amortização abaixo, pelo SISTEMA PRICE referente a um financiamento
de $ 15.000,00, à taxa 4% a.m., pago em 3 parcelas mensais.
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 - - - 15.000,00
1
2
3
2. Complete a planilha de amortização abaixo, pelo SAC referente a um financiamento de $
15.000,00, à taxa de 4% a.m., pago em 3 parcelas mensais.
0 - - - 15.000,00
1
2
3
3. Complete a planilha de amortização abaixo, pelo SISTEMA PRICE referente a um
financiamento de $ 39.000,00, à taxa de 7% a.m., pago em 4 parcelas mensais, com 2 meses de
carência?
0
1
2
3
4
5.2. PLANOS DE REEMBOLSO
O plano de reembolso é um plano analítico que apresenta, no fim de cada período, o dispêndio do
devedor, os juros devedor e credor, a quota de amortização e o futuro constituindo para amortização
da dívida.
45

EXEMPLO
Uma empresa contraiu um empréstimo de $ 20.000,00 para ser resgatado no fim de 4 anos com
juros de 10% a.a. (sistema de montante). Desejando construir um fundo de amortzação, a empresa
faz depósitos anuais a 8% a.a. Elaborar o plano de reembolso.
Cálculo do montante
F = P x F/P(i,n)
F = 20.000,00 x F/P(10%,4) (TÁBUA I)
F = 20.000,00 x 1,464100
F = 29.282,00
Cálculo do dispêndio anual (depósitos)
A = F : F/A(i,n)
A = 29.282,00 : F/A(8%,4) (TABUA II)
A = 29.282:4,506112
A = 6.498,285
Plano de reembolso:
n Disp6endio Juro credor Quota de
Amortiza
ção
Fundo de
Amortização
1 6.498,285 - 6.498,285 6.498,285
2 6.498,285 519,863 7.018 148 13.516,433
3 6.498,285 1.081,315 7.579,600 21.096,033
4 6.498,285 1.687,683 8.185,968 29.282,001
5.3. DEPRECIAÇÃO
Conceito
Os bens que constituem o ativo de uma empresa estão sujeitos a constantes desvalorizações, devido,
principalmente, ao desgaste e ao envelhecimento. A diferença entre o preço de compra de um bem e
seu valor de troca (valor residual) no fim de certo tempo, chama-se depreciação.
Por exemplo, uma máquina que foi comprada por $ 4.000 e, após 10 anos, pode ser revendida por $
500,00, teve uma depreciação de $3.500,00.
Existem ainda, bens que sofrem desvalorização total após certo tempo, isto é, não possuem valor
residual, geralmente são os bens imateriais: marca de fábrica, patentes, royalties, etc.
A legislação brasileira estabelece limites mínimos para o cálculo do tempo de depreciação dos bens
do ativo das empresas. Por exemplo, para móveis e máquinas, em geral, a depreciação anual pode
ser calculada à taxa máxima de 10% a.a. (tempo mínimo de dez anos), anquanto os veículos podem
ser depreciados em até 20 % a.a. A tabela a seguir apresenta alguns bens e as respectivas vidas úteis
e taxas anuais de depreciação admitidas pela legislação.
46

A depreciação pode ser real ou teórica. A depreciação real é aquela que corresponde à diferença
entre os valores do bem no início e no fim de um período (ano). A depreciação teórica é baseada em
previsões do tempo de vida útil do bem e de seu valor residual.
É praticamente impossível calcular a depreciação real, pois seria necessário que, ao cabo de cada
período, se fizesse uma avaliação total do patrimônio da empresa e preços constantes, isto é,
descontada a inflação. Seria um trabalho bastante oneroso e, portanto, antieconômico. Por isso, na
prática, faz-se a depreciação de conformidade com a tabela admitida pela legislação, ou seja, usa-se
a depreciação teórica.
BEM VIDA ÚTIL (anos) TAXA ANUAL (%)
1. Aparelhos cinematográficos
 Comuns
 Som e projeção
10
6,6
10
15
2. Bibliotecas 10 10
3. Botes 20 5
4. Caminhões
 A diesel até 5 toneladas
 A diesel acima de 5 toneladas
 A gasolina
 Frigoríficos
5
6,6
4
4
20
15
25
25
5. Chatas e rebocadores 20 5
6. Construções e edifícios 25 4
7. Edificações
 De aço
 De madeira
20
10
5
10
8. Ferramentas 5 20
9. Máquinas operatrizes
 1 turno de 8 horas
 2 turnos de 8 horas
 3 turnos de 8 horas
10
6,6
5
10
15
20
10. Motores em geral 10 10
11. Navios
 de aço
 de madeira
20
10
5
10
12. Ônibus 5 20
13. Semoventes 5 20
14. Tratores 4 25
15. Veículos em geral 5 20
47

Métodos
A depreciação teórica representa uma estimativa da depreciação real. Vários são os métodos
utilizados para o seu cálculo, os principais são:
a) Método Linear
b) Método da taxa constante
c) Método das taxas variáveis
d) Método de Cole
e) Método de capitalização
f) Método de anuidades
A aplicação de um outro desses métodos depende do administrador da empresa, do bem que se esta
depreciando e de outros fatores particulares
.
a) Método linear
Este é o mais utilizado na prática devido a sua simplicidade. Consiste em dividir o total a depreciar
pelo número de anos de vida útil do bem.
Seja, por exemplo, o cálculo de depreciação de uma máquina que custa $4.000,00 e tem vida útil de
10 anos, com $500,00 de valor residual.
A quota anual de depreciação é:
T = 4.000,00 – 500,00 = 300
10
EXERCIOS PROPOSTOS
1- Construa planilhas pelo sistema SAC para os casos abaixo:
a) empréstimo de $4.000,00, 8 meses e taxa de 5% a.m.
b) empréstimo de $6.600,00, 6 meses e taxa de 9% a.m.
c) empréstimo de $21.000,00, 7 meses e taxa de 3% a.m.
2- Construa planilhas pelo sistema francês (Price) dos exercício anterior?
3- Construa planilhas pelo sistema francês do exercício 1 com 4 meses de carência?
4- Construa planilha de Reembolso para os casos abaixo:
a) empréstimo de $3.000,00, 5 meses e taxa de 8% a.m.
b)empréstimo de $6.000,00, 6 meses e taxa de 4% a.m.
c)empréstimo de $4.000,00, 7 meses e taxa de 3% a.m.
48

CAPITULO VI
6. Funções Financeiras na HP 12C
n i PV PMT FV
n Numero de períodos
i Taxa de juros do período
PV Valor presente
PMT Valor das prestações constantes
FV Valor futuro
Através das funções financeiras explicitadas podem ser resolvidos, no regime de capitalização
composta, quaisquer problemas financeiros que impliquem um só pagamento ou uma série de
pagamentos iguais. Os valores dos pagamentos, ou recebimentos, introduzidos na calculadora
devem estar de acordo com a convenção de sinais estabelecida para fluxo de caixa, ou seja, sinal +
para entradas e sinal – para as saídas.
EXEMPLO 1
Quando deverá receber uma pessoa que empresta $ 500.000,00 por 8 meses, à taxa de 10% ao mês?
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
f CLEAR FIN 0,00 Limpa registradores financeiros
500000 CHS
PV
-500.000,00 Introduz o valor do empréstimo
8 n 8,00 Introduz o prazo
10 i 10,00 Introduz a taxa
FV 1.071.794,41 Valor de resgate (valor futuro)
EXEMPLO 2
Determine a taxa de juros correspondente a uma aplicação de $ 200.000,00, por 6 meses e recebeu
um montante de $ 325.000,00.
f CLEAR FIN 0,00 Limpa registradores financeiros
200000 CHS
PV
-200.000,00 Introduz o valor da aplicação
325000 FV 325.000,00 Introduz o valor do resgate
6 n 6,00 Introduz o prazo
i 8,43 Taxa mensal de juros
49

EXEMPLO 3
Uma pessoa emprestou a um amigo a importância de $ 1.000.000,00, à taxa se 120% ao ano,(mui
amigo) pelo prazo de 3anos e meio. Determine o valor do resgate.
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE:
Para que a calculadora HP-12C faça o cálculo que se deseja, é necessário que o visor, embaixo e a
direita, esteja aparecendo a letra “C”. Caso contrário, deve-se introduzi-lo pressionando as teclas
STO EXX .
E para retirar essa instrução, basta pressionar essas mesmas teclas.
Inicialmente, vamos resolver nosso problema de maneira indevida, como segue:
f CLEAR
FIN
0,00 Limpa registradores financeiros
1000000 CHS
PV
-1.000.000,00 Introduz o valor aplicado
120 i 120,00 Introduz a taxa anual
3,5 n 3,50 Introduz o prazo
FV 17.036.800,00 Valor do resgate indevido
O valor que se deseja é o resultado da equação:
F = P (1+i)n
⇒ 1.000.000,00(2,2)3,5
⇒ 15.793.536,30, que não coincide com o valor obtido das
funções financeiras.
Para o cálculo desejado, aproveita os dados contidos na calculadora e proceder como segue:
STO EXX 17.036.800,00 Introduz o “C” no visor
FV FV 15.793.536,30 Valor do resgate desejado
EXEMPLO 4
Uma letra de câmbio foi emitida por $ 100.000,00 e resgatada por $ 200.000,00, Sabendo-se que a
taxa de juros é de 210% ao ano, calcular o prazo.
f CLEAR
FIN
0,00 Limpa registradores financeiros
100000 CHS
PV
-100.000,00 Introduz o valor de emissão
200000 FV 200.000,00 Introduz o valor de resgate
210 i 210,00 Introduz a taxa anual
n 1,00 Prazo do titulo
Evidentemente, é fácil perceber que essa resposta está errada. Se o prazo fosse um ano, o valor do
resgate seria de $ 310.000,00.
A resposta exata obtida através de logaritmo é 0,612639 ano ou 220,55 dias.
Vamos agora resolver o problema a partir da taxa diária equivalente (utilizando os dados contidos
na calculadora)
50

3.1 ENTER 3,10 1+ a taxa anual unitária
360 1/x yx
1,00 1+ a taxa diária unitária
1 - 100 x i 0,31 Taxa diária (em % )
n 221,00 Prazo (em numero de dias)
6.1. Valores presentes e futuros para uma série de pagamentos
Antes de começar a operar a calculadora HP-12C para resolver problemas de pagamentos iguais e
periódicos, deve-se posicioná-la adequadamente pois os pagamentos regulares podem ser feitos no
fim de cada período (imediato ou postecipado) g END ou no início de cada período
(antecipado) g BEG o que fará aparecer no visor a expressão BEGIN, que significa “início”.
EXEMPLO 5
Calcular o montante produzido pela aplicação de 10 parcelas mensais de $ 5.000,00 cada, sabendo-
se que a taxa é de 8% ao mês e essas aplicações são feitas no final de cada período.
f CLEAR FIN 0,00 Limpa registrador financeiro
10 n 10,00 Introduz no
de pagamentos
5000 CHS
PMT
-5000,00 Introduz o valor dos pagamentos
8 i 8,00 Introduz taxa
g END 8,00 Introduz forma de pagamento
FV 72.432,81 Valor do montante
Utilizando os mesmos dados do exemplo acima, calcular o montante admitindo que as aplicações
sejam efetuadas no início de cada período.
Para a solução deste caso não há necessidade de se introduzir os dados novamente, visto que os
mesmos estão nas teclas financeiras. Basta proceder como segue:
g BEG 72.432,81
BEGIN
Posiciona a calculadora para pagamentos
antecipados
FV 78.227,44
BEGIN
Valor do montante
EXEMPLO 6
Um banco empresta $ 1.800.000,00 para ser liquidado em 12 prestações mensais iguais . Sabendo-
se que a taxa cobrada pela instituição é de 10,5% ao mês e que a primeira prestação vence um mês
após a data da operação, calcular o valor das prestações?
F CLEAR REG 0,00 Limpa registradores
g END 0,00 Posiciona a calculadora para pagamentos
imediatos
1800000 CHS
PV
-1.800.000,00 Introduz valor do empréstimo
51

de prestações
10,5 i 10,50 Introduz taxa de juros
PMT 270.678,14 Valor das prestações
EXEMPLO 7
Uma empresa pagará $ 500,00 por mês correspondente a uma operação de leasing. O contrato foi
firmado por 3 anos, sendo a primeira paga no ato da assinatura do contrato e um valor residual de $
320,00, sabendo-se que a taxa cobrada é de 2,5 % ao mês, calcular o valor do equipamento?
f CLEAR REG 0,00 Limpa registradores
g BEG 0,00
BEGIN
Posiciona a calculadora para pagamentos
antecipados
500 CHS PMT -500,00
BEGIN
Introduz valor da prestação
36 n 36,00
BEGIN
Introduz no
de prestações
2,5 i 2,50
BEGIN
Introduz taxa de juros
320 CHS FV -320,00
BEGIN
Introduz valor residual
PV 12.204,13
BEGIN
Valor do equipamento
5.2. Sistema Price de amortização
EXEMPLO 8
Um empréstimo de $ 300.000,00 deve ser pago em 4 prestações mensais e consecutivas e imediatas
com taxa de juros de 10% ao mês, construa uma tabela de amortização?
imediatos
300000 CHS
PV
-300.000,00 Introduz valor do empréstimo
de prestações
10 i 10,00 Introduz taxa de juros
PMT 94.641 24 Valor das prestações
1 f AMORT 30.000,00 Parcela de juros correspondente a 1a
prestação
X >< Y 64.641,24 Parcela de amortização correspondente a 1a
prestação
RCL PV -235.358,76 Saldo devedor após a 1a
prestação
prestação
prestação
prestação
1 f AMORT 16425,34 Parcela de juros correspondente a 3a
prestação
52

prestação
prestação
prestação
prestação
RCL PV -0,00 Saldo devedor
EXEMPLO 9
Um imóvel é adquirido para pagamento em 72 prestações mensais iguais, imediatas e consecutivas.
Sabendo-se que o valor do financiamento corresponde a $ 3.500,00, determinar o valor da parcela
de juros, o valor da parcela de amortização e o saldo devedor correspondente a prestação de número
47, sendo a taxa de juros de 1% ao mês?
imediatos
3500 CHS PV -3500,00 Introduz valor do empréstimo
de prestações
1 i 1,00 Introduz taxa de juros
PMT 68,43 Valor das prestações
46 f AMORT 1.207,31 Valor dos juros correspondente a 46 primeiras
prestações
1 f AMORT 15,16 Valor dos juros correspondente a 47a
prestação
X >< Y 52,83 Parcela de amortização correspondente a 47a
prestação
RCL PV -1.506,70 Saldo devedor após o pagamento da 47a
prestação
5.3. ANÁLISE DE FLUXO DE CAIXA
Taxa Interna de Retorno
A taxa interna de retorno é a taxa que equaliza o valor atual de um ou mais pagamentos com o valor
atual de um ou mais recebimentos. O exemplo a seguir deixa bem claro esse conceito.
Determinar a taxa interna de retorno correspondente a um investimento $100.000,00 com três
recebimentos mensais de $30.000,00, $50.000,00, e $40.000,00.
53
1
0
5 0 .0 0 0
1 0 0 .0 0 0
2 3

100000 CHS g CFo -100.000,00 Valor do investimento
300000 g CFj 30.000,00 Valor do 1o
. pagamento
500000 g CFj 500.000,00 Valor do 2o
. pagamento
400000 g CFj 400.000,00 Valor do 3o
. pagamento
f IRR 9,26 Taxa interna de retorno mensal
EXEMPLO:
Um equipamento no valor de $70.000 é integralmente financiado, para pagamento em 7 parcelas
mensais, sendo as 3 primeiras de $10.000,00, as 2 seguintes de $15.000,00, a 6a
. de $20.000,00 e a
7a
. de $30.000,00.
Determinar a taxa interna de retorno da operação.
70000 CHS g CFo -70.000,00 Valor do financiamento
10000 g CFj 10.000,00 Valor do fluxo do 1o
. grupo
3 g Nj 3,00 No
de vazes que este valor se repete
. grupo
3 g Nj 2,00 No
. grupo
. grupo
EXEMPLO:
54
4
1 5 .0 0 0
0
7 0 .0 0 0
2
1 0 .0 0 0
6
2 0 .0 0 0
1
1 0 .0 0 0
3
1 0 .0 0 0
7
3 0 .0 0 0
5
1 5 .0 0 0

Uma industria adquire um equipamento em 6 prestações mensais de $73.570,00. Sabendo-se que o
valor financiado foi de $245.000,00 e que a 1a
. prestação será paga no final do 5o
. mês, determinar a
taxa de juros cobrada?
0 g CFj 0,00 Valor do fluxo do 1o
. grupo
4 g Nj 4,00 No
. grupo
6 g Nj 6,00 No
VALOR PRESENTE LÍQUIDO
O valor presente liquido é uma técnica de analise de fluxo de caixa que consiste em calcular o valor
presente de uma série de pagamentos, a uma taxa conhecida, e deduzir deste valor o valor do fluxo
inicial (valor do empréstimo,do financiamento ou do investimento).
EXEMPLO:
Um empréstimo de $22.000,00 será liquidado em 3 prestações mensais e sucessivas de $12.000,00,
$5.000,00 $8.000,00. Considerando umma taxa de juros de 7% ao mês, calcular o valor presente
líquido.
55
4
0
2 4 5 .0 0 0
2
7 3 .5 7 0 7 3 .5 7 0
61
7 3 .5 7 0 7 3 .5 7 0
3
7 3 .5 7 0 7 3 .5 7 0
7 8 9 1 05
1
0
5 .0 0 0
2 2 .0 0 0
2 3

. pagamento
. pagamento
. pagamento
7 i 7,00 Taxa de juros mensal
f NPV 112,53 Valor presente líquido
56

CAPITULO VII
7. Análise de Investimentos
7.1. Introdução
Qualquer tipo de empresa, seja ela industrial, comercial ou de prestação de serviços, há uma
contínua necessidade de que sejam tomadas decisões. Tais decisões são tomadas com a finalidade
de que um determinado objetivo seja alcançado. Mesmo empresas sem finalidades lucrativas
também tomam decisões, obviamente, o enfoque deste texto é a tomada de decisão com o objetivo
de se alcançar retorno financeiro.
7.2. Decisões Financeiras Básicas
As decisões financeiras são, tradicionalmente, classificadas em três grupos:
a. Investimento - corresponde às decisões de composição ideal dos ativos (fixos e de giro).
Investimento em máquinas, equipamentos, estoques, etc.
b. Financiamento - são as decisões ligadas a composição da estrutura de capitais da empresa
(passivo). Financiar-se com recursos próprios ou de terceiros, de longo ou de curto prazo, etc.
c. Distribuição de dividendos - preocupa-se com a destinação dos resultados gerados pela
empresa. Reter ou distribuir os lucros.
7.3. Objetivo da Administração Financeira
As decisões financeiras devem procurar maximizar o valor do patrimônio (riqueza) do acionista. O
conceito difere ligeiramente do objetivo de maximização do lucro. Além do objetivo de
rentabilidade, as decisões financeiras devem observar a necessidade de manter a continuidade
(sobrevivência) da empresa, isto é, sua “liquidez”.
7.4. As Decisões de Investimento em Ativos Fixos
A importância das decisões de investimento em ativos fixos decorre do fato de que tais decisões
além de envolver um grande volume de recursos produzem efeitos sobre a empresa durante um
longo período de tempo.
Quando uma empresa investe um volume desnecessário de recursos em ativos fixos,
inevitavelmente incorrerá em um grande volume de despesas, na pios das hipóteses de despesas
financeiras. Por outro ledo, pequenos volumes investidos podem ocasionar perda de
competitividade, atraso tecnológico, etc.
É, portanto, necessário e claramente admissível que toda empresa possua um conjunto de
alternativas de investimento, genericamente denominados projetos de investimento.
Tais projetos de investimento podem ser classificados em cinco categorias distintas:
a) Reposição - são gastos realizados para manter atualizado o conjunto de ativos da empresa,
necessários à fabricação de produtos lucrativos;
b) Redução de Custos - incluem os gastos realizados com o objetivo de incorrer em menores custos
de produção, através da substituição de equipamentos econômica ou tecnologicamente obsoletos;
c) Expansão para Produtos Existentes - gastos incorridos para aumentar a capacidade de produção
de produtos existentes ou para atender novos mercados. São decisões complexas, pois envolvem
considerações sobre a demanda dos produtos;
57

d) Expansão Através de Novos Produtos - são dispêndios necessários para a fabricação de novos
produtos. Envolvem decisões ainda mais complexas de natureza estratégica, podendo alterar a
característica dos negócios da empresa;
e) Projetos Ambientais e de Segurança - dispêndios realizados normalmente por imposição legal,
que sendo obrigatórios não envolvem grandes decisões.
7.5. O Planejamento de Estudos Econômicos
As decisões de investimentos de uma empresa qualquer pode ser baseada apenas no sentimento
pessoal (“feeling”) de um administrador responsável pela gestão de uma área da empresa.
Outra alternativa é decidir pelo investimento através de um conjunto de estudos sistemáticos que
procura avaliar se é compensador para a empresa desembolsar um certo montante de capital hoje na
expectativa de receber um fluxo financeiro de benefícios no futuro.
Decisões como:
− compra de uma nova máquina;
− substituição de um equipamento;
− aluguel ou compra de um depósito;
− lançamento de um novo produto;
− ampliação de uma planta industrial;
Envolvem a elaboração, avaliação e seleção de alternativas de aplicação de recursos financeiros
(capital) com o objetivo de produzir retorno (remuneração do capital). Trata-se, portanto de uma
decisão econômico-financeira.
Muito embora as decisões de investimento também levam em consideração aspectos não
monetários, as técnicas de avaliação de alternativas de investimentos tem como princípio o fluxo de
caixa do projeto, isto é entradas e saídas relevantes de recursos financeiros. Contrariamente, aos
tradicionais princípios contábeis, a análise de investimento baseia-se em movimentação prospectiva
incremental de “dinheiro”. Isto é, só deve ser considerado no estudo as movimentações de recursos
monetários que serão afetados pela decisão.
7.6. Dado Relevante: O Fluxo de Caixa
Como fora mencionado anteriormente, toda as técnicas de avaliação de alternativas de investimento
baseia-se no movimento de recursos financeiros, ou, simplesmente, fluxo de caixa.
a) Investimento Inicial - dispêndio realizado para produzir retorno. Envolve a aquisição de
equipamentos, edifícios, terrenos, despesas pré-operacionais, etc. E, quando for o caso, os
recursos necessários para capital de giro (estoques, financiamento de clientes, etc.).
b) Fluxo de Caixa Gerado - os investimentos realizados em ativos deverão, obviamente produzir
receitas decorrentes da venda do produto ou serviço a ser fornecido aos clientes. Tais receitas
produzem entradas de caixa. Por outro lado, a produção de um produto ou serviço exige que a
empresa incorra em custo de fabricação, despesas administrativas, despesas de distribuição,
impostos, etc., que determinarão as saídas de caixa.
A diferença entre as entradas e saídas de caixa é o fluxo líquido de benefícios esperados pelo
projeto de investimento.
Um investimento realizado para redução de custos tem como benefício, obviamente, o
montante de redução dos citados custos. A redução de custo, neste caso é uma “entrada” de
caixa.
c) Fluxo de Caixa Incremental - fluxos passados não interessam. Só devem ser consideradas as
entradas e saídas de caixa que ocorrerão em função da decisão tomada pelo novo
investimento. Por exemplo, se uma determinada empresa vier produzir um novo produto
aproveitando-se da capacidade ociosa de um equipamento já instalado, não deverá computar,
ainda que por rateio, o custo de aquisição do citado equipamento.
d) Taxa Mínima da Atratividade (TMA) - todo projeto de investimento baseia-se no princípio de
que a empresa fará um investimento hoje na expectativa de receber um fluxo de benefícios
58

monetários no futuro. Isto é, o projeto em estudo deve apresentar uma taxa de atratividade
mínima. É, portanto, necessário considerar o custo de oportunidade do capital que a empresa
incorre pois poderia aplicar em investimentos alternativos. Em avaliação de projetos de
investimento assume diversos nomes: taxa mínima da atratividade, custo do capital, custo de
oportunidade do capital, taxa de corte, etc.
e) Valor Residual - o valor residual refere-se a uma possível entrada final de caixa que pode ser
obtido ao final da vida útil do projeto. Por exemplo, a venda dos equipamentos como sucata, o
valor de venda do terreno de um projeto de mineração já exaurida, a venda de caminhões de
um projeto de criação de uma frota de distribuição, etc.
Projetos com vida útil infinita, por exemplo hotéis, costumam considerar o valor residual
como um possível valor de revenda do próprio hotel.
7.7. O Problema da Vida Útil
Todo projeto deve ter um horizonte de avaliação, denominado vida útil. A literatura de avaliação de
projetos não tem dedicado muita atenção ao assunto, devido principalmente ao fato de que cada
projeto tem peculiaridades próprias que dificultam a sua fixação por critérios quantificáveis.
Diversos são os aspectos considerados na fixação da vida útil de um projeto:
a) Contábil/Fiscal - para determinação da depreciação dos bens físicos de uma empresa, o fisco
considera que tais bens apresentem uma certa vida útil. Por exemplo,
Veículos - 5 anos
Construção civil - 25 anos
Máquinas e equipamentos - 10 anos
b) Desgaste Físico - todo equipamento está sujeito a apresentar desgaste físico pela sua
utilização. Por exemplo, uma frota de caminhões do setor açucareiro, equipamentos que
processam ácidos, etc.
c) Obsolescência Tecnológica do Equipamento - em função do desenvolvimento de novas
tecnologias associadas à produção de certos produtos, determinados equipamentos tornam-se
obsoletos rapidamente. Por exemplo, uma escola de ensino de computação.
d) Ciclo de Vida do Produto - todo produto/serviço tem um ciclo de vida, isto é, um período
após o qual será substituído por outro ou não mais consumido. Por exemplo, equipamentos
conversores de UHF, restaurantes de modismo (danceterias, lambaterias, etc.).
e) Incerteza - em um panorama econômico instável, torna-se mais difícil fazer projeções sobre o
futuro. A instalação de uma fábrica de automóveis de uma multinacional em dois países
alternativos.
Todos estes aspectos tornam a questão da fixação da vida útil de um projeto de investimento
extremamente complexo. Por outro lado, como alternativa à minimização do problema, é
importante observar que à medida que a vida útil estimada de um projeto vai se ampliando, os
novos fluxos vão perdendo importância na análise.
7.8. Métodos de Avaliação (Engenharia Econômica)
As denominadas técnicas de avaliação de investimentos destinam-se a estudar a viabilidade
econômico-financeira de um projeto de inversão de recursos financeiros na expectativa de obtenção
de um fluxo de benefícios monetários.
Muito embora critérios qualitativos, estratégicos, etc. são considerados na decisão de investimentos,
as técnicas tradicionais de análise de investimentos se baseiam exclusivamente no fluxo de caixa e
no princípio do valor do dinheiro no tempo.
7.8.1. Método do Valor Atual Líquido (VAL)
É a diferença entre o Valor Atual das entradas de caixa (retornos) e o Valor Atual das saídas de
caixa (dispêndios), descontados a uma taxa mínima de atratividade.
59

7.8.2. Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)
Consiste em calcular (obter) a taxa de juros (taxa de remuneração do capital) que torna o Valor
Atual da entrada de caixa igual ao Valor Atual das saídas de caixa. Portanto o VAL, para Taxa
Interna de Retorno, é igual a zero.
EXEMPLO: A Diretoria de Desenvolvimento de Novos Negócios da CIA. FINANCEIRA
NACIONAL é responsável pela avaliação de novos negócios para o grupo. A empresa tem
trabalhado com uma taxa mínima da atratividade (TMA) de 10% a.a., decorrente de seus atuais
negócios. No momento 4 projetos estão em fase final de avaliação.
ANO
PROJETO A
MINÉRIO
PROJETO B
AGRÍCOLA
PROJETO C
INDÚSTRIA
PROJETO D
COMÉRCIO
0 (130.000) (250.000) (190.000) (1.000.000)
1 40.000 75.000 48.000 263.500
2 40.000 75.000 48.000 152.750
3 40.000 75.000 48.000 442.080
4 40.000 75.000 48.000 278.200
5 40.000 75.000 48.000 180.473
Quais projetos devem ser realizados?
R. Projeto VAL ($) TIR (%)
A 21.631 16,3
B 34.309 15,2
C (8.042) 8,3
D 0 10,0
7.8.3. Critérios de Decisão
A primeira abordagem às decisões de investimento é tradicionalmente denominada de abordagem
da aceitação/rejeição, ou simplesmente estudo de viabilidade.
a) Critério de decisão:
Pelo VAL:
Pela TIR:
60

7.8.4. Seleção de Alternativas
Por vezes, em decorrências de restrições de ordem técnica ou orçamentária, há necessidade de se
escolher o(s) melhor(es) projeto(s).
Admitamos, que por qualquer razão, apenas um projeto deve ser realizado. Qual deveria ser o
escolhido?
7.8.5. Método do “Pay-back”
Apesar de muito criticado o Método do “Pay-back” é largamente utilizado pelas empresas devido a
sua associação com risco do empreendimento. Consiste em calcular o prazo de retorno do capital
investido.
EXEMPLO: Para os quatro empreendimentos apresentados anteriormente, quais os respectivos
“pay-back”?
R. A - 3,25 anos
B - 3,33 anos
C - 3,96 anos
D - 3,51 anos
7.8.6. “Pay-Back”Descontado
Uma das principais críticas ao Método do “Pay-back” decorre de sua não consideração do valor do
dinheiro no tempo. Uma alternativa que vem sendo utilizada é o cálculo do chamado “Pay-back”
descontado.
EXEMPLO: Para os exemplos acima teríamos os seguintes prazos de retorno:
R. A - 4,13 anos
B - 4,26 anos
C - não retorna
D - 5 anos
7.9. Análise de Situações Específicas
7.9.1. Restrições ao Uso da Taxa Interna de Retorno
Apesar se sua notória preferência como método de avaliação de investimento, o uso da Taxa Interna
de Retorno exige alguns cuidados especiais.
a. Problemas na Dimensão dos Projetos - como fora visto anteriormente a maior TIR não
necessariamente levaria a decisão correta na seleção da melhor alternativa de investimento. A
TIR não leva em consideração o volume de recursos investidos.
b. Ocorrência de Múltiplas TIR’s - conceitualmente, a TIR é a taxa de juros que torna o Valor
Atual das entradas igual ao Valor Atual das saídas de caixa, isto é, o VAL é zero. Determinados
fluxos financeiros podem apresentar mais de uma taxa de juros (solução) que torna o VAL igual
a zero. Evidentemente não são situações comumente encontradas.
EXEMPLO: A compra de um guindaste pode ser efetuada de duas formas alternativas:
Alternativa A: $ 300.000 em 30 dias
Alternativa B: entrada de $ 80.000 e três pagamentos mensais consecutivos de $
75.000.
Qual a taxa de juros embutida na operação? (Há problemas de cálculo).
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c. A Hipótese do Reinvestimento - o cálculo da TIR pressupõe que todo fluxo de caixa gerado está
sendo reinvestido (ou captado, se for o caso) à própria TIR. Isto equivale a dizer que a empresa
sempre terá novos projetos onde poderão ser reinvestidos recursos gerados (ou novas fontes de
captação).
EXEMPLO: A Cia. de Embalagens Embal, tradicionalmente tem aplicado recursos no mercado
financeiro a uma taxa de 8% a.a.. Atualmente, dispondo de $ 100.000, dois bancos estão propondo
uma aplicação pelo prazo de 5 anos, nas condições abaixo:
a. Banco de Fomento Industrial, com uma taxa de 10% a.a. propõe amortizar a aplicação pelo
Sistema Americano;
b. Banco de Crédito, que adota a amortização pelo Sistema Francês em parcelas anuais iguais de $
26.700.
Em qual banco os recursos disponíveis devem ser aplicados?
7.9.2. Financiamento com Recursos de Terceiros
Os chamados investimentos de capital devem produzir um retorno que remunere os recursos do
acionista (empreendedor) e os recursos de terceiros (financiadores). Nestes casos em que há
recursos de terceiros e de acionistas, a viabilidade do empreendimento deve ser considerada
separadamente da viabilidade dos recursos investidos pelo acionista.
EXEMPLO: Admita que o Projeto C - Indústria da CIA. FINANCEIRA NACIONAL, considerado
inviável pode ser financiado com recursos do BNDES na proporção de 50%. Avalie o retorno para
o acionista se a taxa de juros cobrada pelo BNDES é de 5% a.a. e o financiamento e amortizado no
mesmo período da vida útil do empreendimento.
7.10. Projetos com Vidas Úteis Diferentes
Quando dois projetos apresentam vidas úteis diferentes, os métodos mais tradicionais, como o VAL
e a TIR, não podem ser utilizados diretamente. Uma solução alternativa é o Método do Valor Anual
Uniforme Equivalente. Partindo do Princípio da equivalência de capitais o método transforma o
valor Atual Líquido em uma série uniforme.
EXEMPLO: Um fazendeiro tendo decidido cercar sua fazenda pode fazê-lo com mourão de
concreto ou mourão de madeira. Os respectivos custos associados a cada alternativa são:
CONCRETO MADEIRA
Compra dos mourões 12.500 6.200
Manutenção/ano 1.250 2.100
vida útil (anos) 20 5
A uma taxa de custo de capital de 18% a.a., qual o tipo de cerca mais conveniente. (Obs.: todos os
fluxos são saída de caixa).
R. VAUE - $ 3.583 e $ 4.049.
Uma situação comum para utilização do Método do Valor Anual Uniforme Equivalente é a decisão
de substituição de equipamentos.
EXEMPLO: A Usina Açucareira Norte-Sul dispõe de uma frota de caminhões para transporte de
cana-de-açúcar até a usina e está sendo considerada a possibilidade de substituição da atual frota
por caminhões novos. Estão disponíveis as seguintes informações:
NOVO VELHO
Valor da Aquisição (US$) 4.000.000 -
Custo de Operação/Ano (US$) 200.000 500.000
Valor Atual de Revenda (US$) - 1.000.000
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