Este documento presenta un manual sobre el desarrollo de ecuaciones de segundo grado. Explica conceptos como ecuaciones completas e incompletas con fórmulas generales con y sin denominadores. Incluye ejemplos resueltos de ecuaciones completas utilizando la fórmula general para hallar las raíces. El objetivo es mejorar el aprendizaje de este tema a través de un video tutorial interactivo.

1. UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO
Sistema Nacional de Nivelación y
Admisión
PROYECTO DE AULA
MANUAL DE DESARROLLO DE ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
INTEGRANTES
JOHN GUALAN
JOSE HEREDIA
KEVIN JIMENEZ
FREDDY ROCANO
MAURICIO PEÑA
JOEL VALLE
PROFESORA:
ING. PAULINA VERZOSI
PERIODO ABRIL – AGOSTO 2013

2. INDICE
Contenido
INTRODUCCIÓN....................................................................................................................1
DEFINICIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO: ..................................................2
ECUACIONES COMPLETAS CON FORMULA GENERAL SIN DENOMIADORES: .......3
ECUACIONES COMPLETAS CON FORMULA GENERAL CON DENOMINADORES:....9
ECUACIONES COMPLETAS CON PRDUCTOS INDICADOS ..........................................15
ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax2
+c=0.............................................21
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS ...............................................................................24
CONCLUSION ......................................................................................................................28
BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................29

3. JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO DE AULA
La importancia que tiene el presente trabajo, radica en el hecho de que
todos quienes conformamos este equipo, nos vemos obligados a
esforzarnos al máximo para conseguir resultados satisfactorios en la
ejecución del mismo, es decir con este proyecto nosotros los estudiantes
potenciaremos nuestras habilidades y destrezas adquiridas durante el
presente curso, así como las diferentes cualidades innatas de cada uno.
Otro factor importante de este trabajo, se encuentra inmerso en el hecho de
que los jóvenes al momento de ingresar a su etapa de estudio regular en los
diferentes semestres, ya no serán novatos en el desarrollo de esta actividad,
por cuanto habrán acumulado una experiencia muy valiosa, la misma que
les servirá en su vida profesional, laboral y en todo ámbito en el cual
tengan que desenvolverse en la vida.

4. ¿QUE ES EL PROYECTO DE AULA?
Es el proceso de re-construcción de un concepto concebido como sistema y
referido a un problema del campo de la profesión, con su respectiva red de
variables y dimensiones.
¿EN QUE CONSISTE EL PROYECTO DE AULA?
Consiste en desarrollar ejercicios de Matemáticas escogidos por el
estudiante en base a cada tema aprendido, estos ejercicios deberán ser
desarrollados en clase con la tutoría del docente, una vez que se ha resuelto
y estén revisados por el docente, el estudiante ejecutará un plan de acción

5. 1
INTRODUCCIÓN
La importancia de las Matemáticas a nivel utilitario radica en que es un
instrumento de análisis, comprensión, interpretación y expresión de la
realidad, facilitando la forma de actuar en el medio donde se desenvuelven
los estudiantes para que puedan hacer frente a las necesidades que se le
plantearán en la vida adulta; también, los conocimientos Matemáticos
constituyen una herramienta indispensable para el estudio de los contenidos
de otras áreas del currículo escolar. La Matemática es también un
instrumento funcional, de aplicación a problemas y situaciones de la vida
diaria fuera del ámbito escolar; enseña a explorar, representar, explicar y
predecir la realidad; además, capacita a los escolares a enfrentarse a
situaciones imprevistas.
El estudio de las Matemáticas potencia el desarrollo global de las
capacidades mentales de los escolares y la formación de su personalidad; es
de gran utilidad en la vida diaria, y también, es un instrumento esencial en
el desarrollo de la ciencia, de la cultura y, en general, de todos los aspectos
de la actividad humana.
El presente proyecto de aula tiene como objetivo principal mejorar el
nivel de logro de Aprendizaje en el área de Matemática mediante un video
tutorial de Ecuaciones de Segundo Grado completas e incompletas
utilizando fórmula general, fórmula particular, con denominadores o sin
denominadores, y con productos indicados.

6. 2
DEFINICIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:
Las ecuaciones de segundo grado son todas aquellas en las cuales una vez
simplificado, el mayor exponente de la incógnita es dos. Ejemplo:
4x2
+7x+6=0
PUEDEN SER:
COMPLETAS INCOMPLETAS
También pueden ser:
EJEMPLO
EJEMPLO
Se encuentra de la Forma:
ax2
+bx+c=0
Tiene que tener un término
en x2
, un término en x y un
término independiente de x
1) 2x2
+7x+15=0
2) X2
-8x=-15
X2
-8x+15=0
Son ecuaciones de la forma:
ax2
+c=0
Es decir carecen del
término en x
De la forma ax2
+b=0, ósea
carece del término
independiente.
1) x2
-16=0
2) 3X2
+5x=0

7. 3
ECUACIONES COMPLETAS CON FORMULA GENERAL
SIN DENOMIADORES:
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación que
tiene la forma de una suma de término cuyo grado máximo es el 2, una
ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo
grado o polinomio cuadrático. La expresión canoníca general de una
ecuación cuadrática es: “𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0”
Donde x representa la variable y a, b y c son constante; a es un coeficiente
cuadrático, b es el coeficiente literal y c es el termino independiente.
“a” es el termino cuadrático
“b” es coeficiente literal
“c” termino independiente
Para resolver esta ecuación se aplica la siguiente fórmula
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎

8. 4
Ejercicio #1
3𝑥2
− 5𝑥 + 2 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑋 =
−(−5) ± (−5)2 − 4 3 (2)
2(3)
𝑥 =
5 ± 25 − 24
6
𝑥 =
5 ± 1
6
𝑥 =
5 ± 1
6
𝑥₁=
5+1
2𝑎
=
6
6
= 1R// 𝑥₂ =
5−1
6
=
4
6
2
3
R//

9. 5
Ejercicio # 2
12𝑥 − 4 − 9𝑥2
= 0
−9𝑥2
+ 12𝑥 − 4 = 0
9𝑥2
− 12𝑥 + 4 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(−12) ± (−12)2 − 4 9 (4)
2 9
𝑥 =
12 ± 144 − 144
18
𝑥 =
12 ± 0
18
𝑥 =
12 ± 0
18
𝑥₁ =
12+0
18
=
12
18
=
2
3
R// 𝑥₂ =
12−0
18
=
12
18
=
2
3
R//

10. 6
Ejercicio #3
4𝑥2
+ 3𝑥 − 22 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(3) ± (3)2 − 4(4)(−22)
2(4)
𝑥 =
−3 ± 9 + 352)
8
𝑥 =
−3 ± 361
8
𝑥 =
−3 ± 19
8
𝑥₁ =
−3+19
8
=
16
8
= 𝑥₁ = 2 𝑥₂ =
−3−19
8
=
−22
8
= 𝑥₂ −
11
4

11. 7
Ejercicio #4
6𝑥2
= 𝑥 + 222
6𝑥2
− 𝑥 − 222 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(−1) ± (−1)2 − 4(6)(−222)
2(6)
𝑥 =
1 ± 1 + 5328
18
𝑥 =
1 ± 5329
12
𝑥 =
1 ± 73
12
𝑥1
=
1+73
12
=
74
12
𝑥1 37
6
= −6
1
6
𝑥2
=
1−73
12
= −
72
12
𝑥2
=
−6

12. 8
Ejercicio# 5
176𝑥 = 121 + 64𝑥2
−64𝑥2
+ 176𝑥 − 121 = 0
64𝑥2
− 176𝑥 + 121 = 0
𝑥 =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(−176) ± (−176)2 − 4(64)(121)
2 64
𝑥 =
176 ± 30976 − 30976
128
𝑥 =
176 ± 0
128
𝑥 =
176 ± 0
128
𝑥₁ =
176+0
128
=
176
128
𝑥₁
11
8
= 1
3
8
𝑥2
=
176−0
128
=
176
128
𝑥2
=
11
8
=
1
3
8

13. 9
ECUACIONES COMPLETAS CON FORMULA GENERAL
CON DENOMINADORES:
EJERCICIO 1
5x − 8
x − 1
=
7x − 4
x + 2
aqui el m. c. m. es x − 1 x − 2
x + 2 5x − 8 x − 1 7x −
4 luego resolvemos estos productos indicados
5x2
− 8x + 10x − 16
= 7x2
− 4x − 7x + 4 igualamos la ecuacion a cero
−2x2
+ 13x − 20 = 0 le cambiamos los signos
2x2
− 13x + 20 = 0
x =
−b ± b2 − 4ac
2a
aplicamos la formula general
x =
− −13 ± −13 2 − 4 2 20
2 2
reemplazamos los valores
x =
13 ± 169 − 160
4
obtenemos
x =
13 ± 9
4
calculamos la raiz
x =
13 ± 3
4
obtenemos
x1 =
13 + 3
4
procedemos a encontrar el valor de x1
x1 =
16
4
x1 = 4 R//
x2 =
13 − 3
4
luego encontramos el valor de x2
x2 =
10
4

14. 10
𝑥2 =
5
2
𝑥2 = 22
1
𝑅//
EJERCICIO 2
4𝑥2
𝑥 − 1
−
1 − 3𝑥
4
=
20𝑥
3
12 4𝑥2
− 3 𝑥 − 1 1 − 3𝑥 = 4 𝑥 − 1 20𝑥
48𝑥2
− 3 𝑥 − 3𝑥2
− 1 + 3𝑥 = 4𝑥 − 4 20𝑥
48𝑥2
− 3𝑥 + 9𝑥2
+ 3 − 9𝑥 = 80𝑥2
− 80𝑥
48𝑥2
− 3𝑥 + 9𝑥2
+ 3 − 9𝑥 − 80𝑥2
+ 80𝑥 = 0
−23𝑥2
+ 68𝑥 + 3 = 0
23𝑥2
− 68𝑥 − 3 = 0
𝑥 =
68 ± 68 2 − 4 23 −3
2 23
𝑥 =
68 ± 4624 + 276
46
𝑥 =
68 ± 4900
46
𝑥 =
68 ± 70
46
𝑥1 =
68 + 70
46
𝑥1 =
138
46
𝑥1
= 3 𝑅//
𝑥2 =
68 − 70
46

15. 11
𝑥2 = −
2
46
𝑥2 = −
1
23
𝑅//
EJERCICIO 3
1
4
𝑥 − 4 +
2
5
𝑥 − 5 =
1
5
𝑥2
− 53
5 𝑥 − 4 + 8 𝑥 − 5 = 4 𝑥2
− 53
5𝑥 − 20 + 8𝑥 − 40 = 4𝑥2
− 212
5𝑥 − 20 + 8𝑥 − 40 − 4𝑥2
+ 212 = 0
−4𝑥2
+ 13𝑥 + 152 = 0
4𝑥2
− 13𝑥 − 152 = 0
𝑥 =
13 ± 13 2 − 4 4 −152
2 4
𝑥 =
13 ± 169 + 2432
8
𝑥 =
13 ± 2601
8
𝑥 =
13 ± 51
8
𝑥1 =
13 + 51
8
𝑥1 =
64
8
𝑥1 = 8 𝑅//
𝑥2 =
13 − 51
8
𝑥2 = −
38
8

16. 12
𝑥2 = −
19
4
𝑥2 = −44
3
𝑅//
EJERCICIO 4
𝑥 − 1
𝑥 + 1
+
𝑥 + 1
𝑥 − 1
=
2𝑥 + 9
𝑥 + 3
𝑥 − 1 𝑥 − 1 𝑥 + 3 + 𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 + 3
= 2𝑥 + 9 𝑥 + 1 𝑥 − 1
𝑥 + 3 𝑥2
− 𝑥 − 𝑥 + 1 + 𝑥 + 3 𝑥2
+ 𝑥 + 𝑥 + 1
= 2𝑥 + 9 𝑥2
− 𝑥 + 𝑥 − 1
𝑥3
− 𝑥2
− 𝑥2
+ 𝑥 + 3𝑥2
− 3𝑥 − 3𝑥 + 3 + 𝑥3
+ 𝑥2
+ 𝑥2
+ 𝑥 + 3𝑥2
+ 3𝑥
+ 3𝑥 + 3
= 2𝑥3
− 2𝑥2
+ 2𝑥2
− 2𝑥 + 9𝑥2
− 9𝑥 + 9𝑥 − 9
2𝑥3
+ 6𝑥2
+ 2𝑥 + 6 − 2𝑥3
+ 2𝑥2
− 2𝑥2
+ 2𝑥 − 9𝑥2
+ 9𝑥 − 9𝑥 + 9
= 0
−3𝑥2
+ 4𝑥 + 15 = 0
3𝑥2
− 4𝑥 − 15 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
4 ± 4 2 − 4 3 −15
2 3
𝑥 =
4 ± 16 + 180
6
𝑥 =
4 ± 196
6
𝑥 =
4 ± 14
6

17. 13
𝑥1 =
4 + 14
6
𝑥1 =
18
6
𝑥1 = 3 𝑅//
𝑥2 =
4 − 14
6
𝑥2 = −
10
6
𝑥2 = −
5
3
𝑥2 = −13
2
𝑅//
EJERCICIO 5
𝑥 + 3
2𝑥 − 1
−
5𝑥 − 1
4𝑥 + 7
= 0
𝑥 + 3 4𝑥 + 7 − 2𝑥 − 1 5𝑥 − 1 = 0
4𝑥2
+ 7𝑥 + 12𝑥 + 21 − 10𝑥2
− 2𝑥 − 5𝑥 + 1 = 0
4𝑥2
+ 7𝑥 + 12𝑥 + 21 − 10𝑥2
+ 2𝑥 + 5𝑥 − 1 = 0
−6𝑥2
+ 26𝑥 + 20 = 0
6𝑥2
− 26𝑥 − 20 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
26 ± −26 2 − 4 6 −20
12
𝑥 =
26 ± 676 + 480
12
𝑥 =
26 ± 1156
12
𝑥 =
26 ± 34
12

18. 14
𝑥1 =
26 + 34
12
𝑥1 =
60
12
𝑥1 = 5 𝑅//
𝑥2 =
26 − 34
12
𝑥2 = −
8
12
𝑥2 = −
2
3
𝑅//

19. 15
ECUACIONES COMPLETAS CON PRDUCTOS INDICADOS
Ejercicio# 1
7(𝒙 − 𝟑) − 𝟓 𝒙 𝟐
− 𝟏 = 𝒙 𝟐
− 𝟓(𝒙 + 𝟐)
Primero realizamos la multiplicación correspondiente en la ecuación:
7𝒙 − 𝟐𝟏 − 𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟓 = 𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 − 𝟏𝟎
Después de hacer la multiplicación hacemos la trasposición de
términos y lo igualamos a cero, en el momento de cambiar del
segundo miembro al primero cambiamos el signo.
𝟕𝒙 − 𝟐𝟏 − 𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟓 − 𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎
Hacemos suma y resta de términos semejantes:
−𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟐𝒙 − 𝟔 = 𝟎
Se cambia el signo a toda la ecuación multiplicando por menos uno:
𝟔𝒙 𝟐
− 𝟏𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟎
Al obtener la ecuación remplazamos en la formula general:
𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
𝑥 =
− −12 ± − 12 2 − 4 6 6
2 6
𝑥 =
12 ± 144 − 144
12
𝑥 =
12 ± 0
12
𝑥 =
12 ± 0
12
𝑥 =
12
12
X=1

20. 16
Ejercicio# 2
(5x-4 )2
-(3x+5)(2x-1)=20x(x-2)+27
25𝑥2
− 40𝑥 + 16 − 6𝑥2
− 7𝑥 + 5 = 20𝑥2
− 40𝑥 + 27
25𝑥2
− 40𝑥 + 16 − 6𝑥2
− 2𝑥 + 5 − 20𝑥2
+ 40𝑥 − 27 = 0
−𝑥2
− 7𝑥 − 6 = 0
𝑥2
+ 7𝑥 + 6 = 0
𝑥 =
−7 ± (7)2 − 4 1 (6)
2(1)
𝑥 =
−7 ± 49 − 24
2
𝑥 =
−7 ± 25
2
𝑥 =
−7 ± 5
2
𝑥1=
−7+5
2
𝑥1=
−2
2
𝒙 𝟏=−𝟏
𝑥2=
−7−5
2
𝑥2=
−12
2
𝒙 𝟐=−𝟔

21. 17
𝒙 𝒙 + 𝟑 = 𝟓𝒙 + 𝟑
𝑥2
+ 3𝑥 = 5𝑥 + 3
𝑥2
+ 3𝑥 − 5𝑥 − 3 = 0
𝑥2
− 2𝑥 − 3 = 0
𝑥 =
−(−2) ± (−2)2 − 4 1 (−3)
2𝑎
𝑥 =
2 ± 4 + 12
2
𝑥 =
2 ± 16
2
𝑥 =
2 ± 4
2
𝑥1=
2+4
2
𝒙 𝟏=
𝟔
𝟐
𝑥1=3
𝑥2=
2−4
2
𝑥2=
−2
2
𝒙 𝟐=−𝟏

22. 18
Ejercicio# 3
𝟑𝒙 𝒙 − 𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟐𝟑(𝒙 − 𝟑)
3𝑥2
− 6𝑥 − 𝑥 + 6 = 23 − 69
3𝑥2
− 6𝑥 − 𝑥 + 6𝑥 − 23 + 69 = 0
3𝑥2
− 30𝑥 + 75 = 0
𝑥 =
−(−30) ± (−30)2 − 4(3)(75)
2(3)
𝑥 =
30 ± 900 − 900
6
𝑥 =
30 ± 0
6
𝑥 =
30 ± 0
6
𝑥 =
30
6
𝑥 = 5

23. 19
Ejercicio# 4
𝟐𝟓(𝒙 + 𝟐) 𝟐
= (𝒙 − 𝟕) 𝟐
− 𝟖𝟏
25(𝑥2
+ 4𝑥 + 4) = 𝑥2
− 14𝑥 + 49 − 81
25𝑥2
+ 100𝑥 + 100 − 𝑥2
+ 14 − 49 + 81 = 0
24𝑥2
+ 114𝑥 + 132 = 0
𝑥 =
−114 ± (114)2 − 4 24 (132)
2(24)
𝑥 =
−114 ± 12996 − 12672
48
𝑥 =
−114 ± 324
48
𝑥 =
−114 ± 18
48
𝑥1=
−114 +18
48
𝑥1=
−96
48
𝒙 𝟏=−𝟐
𝑥2=
−114 −18
48
𝑥2=
−132
48
𝒙 𝟐=−𝟐
𝟑
𝟒

24. 20
Ejercicio# 5
𝟐𝟓(𝒙 + 𝟐) 𝟐
= (𝒙 − 𝟕) 𝟐
− 𝟖𝟏
25(𝑥2
+ 4𝑥 + 4) = 𝑥2
− 14𝑥 + 49 − 81
25𝑥2
+ 100𝑥 + 100 − 𝑥2
+ 14 − 49 + 81 = 0
24𝑥2
+ 114𝑥 + 132 = 0
𝑥 =
−114 ± (114)2 − 4 24 (132)
2(24)
𝑥 =
−114 ± 12996 − 12672
48
𝑥 =
−114 ± 324
48
𝑥 =
−114 ± 18
48
𝑥1=
−114 +18
48
𝑥1=
−96
48
𝒙 𝟏=−𝟐
𝑥2=
−114 −18
48
𝑥2=
−132
48
𝒙 𝟐=−𝟐
𝟑
𝟒

25. 21
ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax2
+c=0
Ejercicio# 1
4𝒙 𝟐
-2=0
Despejamos la x para poder resolver la ecuación:
4𝑥2
=-2
𝑥2
= -
2
4
Luego simplificamos la fracción si se puede
𝑥2
= -
1
2
Para poder eliminar la potencia les colocamos raíz cuadrada a los dos
miembros así:
𝑥2=± −
1
2
Procedemos a resolver:
X=± −
1
2
no tiene solución

26. 22
Ejercicio# 2
5𝒙 𝟐
-9= 46
5𝑥2
= 46+9
5𝑥2
= 55
𝑥2
=
55
5
𝑥2= 11
X= ± 11𝑖
Ejercicio# 3
(2x-3) (2x+3) – 135= 0
4𝑥2
+6x-6x-9-135=0
4𝑥2
-9-135=0
4𝑥2
=135+9
4𝑥2
=144
𝑥2
=
144
4
𝑥2
=36
𝑥2 = 36
x= ± 6

27. 23
Ejercicio# 4
9𝒙 𝟐
-𝒂 𝟐
=0
9𝑥2
=𝑎2
𝑥2
=
𝑎2
9
𝑥2=
𝑎2
9
X= ±
𝑎
3
Ejercicio# 5
3 (x+2) (x-2)=(𝒙 − 𝟒) 𝟐
+8x
3(𝑥2
+2x-2x-4)= 𝑥2
-8x+16+8x
3𝑥2
-12=𝑥2
-8x+16+8x
3𝑥2
-𝑥2
= -8x+16+8x+12
2𝑥2
=28
𝑥2
=
28
2
𝑥2= 14
X= ± 14𝑖

28. 24
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1) Una encuesta realizada a un grupo de empleados reveló que 277 tenían
casa propia; 233 poseían automóvil; 405 televisor; 165 automóvil y
televisor; 120 automóvil y casa; 190 casa y televisor; 105 casa, automóvil y
televisor.
¿Cuántas personas tienen solamente casa y televisor?
Pasos:
1.) Primero encontramos la intersección entre las tres gráficas.
2.) Utilizando los valores que nos dan en el problema encontraremos el
resto de las intersecciones.
3.) Una vez que encontramos el valor de cada intersección podremos
conocer cuantas personas tienen casa propia, automóvil, y cuantas
tienen televisor.
2) Si (C) es el conjunto de los estudiantes de cierta sesión que pertenece al
coro del colegio y (R) el conjunto de los estudiantes del gobierno escolar,
se desea escoger de estos 2 grupos a aquellos estudiantes que formen parte
en el acto por aniversario de la institución. En la siguiente información
represente la respuesta utilizando signos de agrupación y mediante
diagramas de benz.
C= {Carmen, Dayana, Joel, Marlene, Carolina}
R= {David, Antonio, Carmen, Joel}

29. 25
C U R= {Carmen, Dayana, Joel, Marlene, Carolina, David, Antonio}
3 )En un aula hay cierto número de estudiantes que hemos de determinar.
Se sabe que cada uno de ellos estudian al menos una de las 3 asignaturas
siguientes: Matemáticas, Física, Química. Pues bien en sucesivas veces se
pide que levanten la mano los que estudian:
A.) Matemáticas, y levantan la mano 48.
B.)Física, y levantan la mano 45.
C.)Química, y levantan la mano 49.
D.) Matemáticas y Física, y levantan la mano 28.
E.)Matemáticas y Química, y levantan la mano 26.
F.) Física y Química, y levantan la mano 28.
G.) Las 3 asignaturas, y levantan la mano18.
¿Cuántos alumnos hay en el aula?
¿Cuántos estudian Matemáticas y Física, pero no Química?

30. 26
4) Una empresa de servicios de medios ambientales va a ampliar su red
comercial y por ello necesita incorporar a 25 comerciales. La empresa
requiere fundamentalmente personas que posean al menos una de las
siguientes características.
A.) Alguna experiencia en el área de venta.
B.) Formación técnica.
C.) Conocimiento de inglés.
En concreto la empresa ofrece 12 plazas para los de la característica a, 14
para los de la característica b, 11 para los de la característica c.
Ahora bien la empresa quiere que 5 comerciales posean las características
A y B, que 3 comerciales posean A y C, y que 6 comerciales posean B y C.
¿Cuántos de esos 25 comerciales quiere la empresa que posean las 3
características citadas?
¿A cuántos comerciales se les exigen nada más que la característica: tener
conocimiento en inglés?
¿Cuántos tienen alguna experiencia en venta y tienen conocimiento de
inglés, pero no tienen formación técnica?
¿Cuántos comerciales tienen nada más que una de las características
pedidas?

31. 27
5.) De 100 televidentes se obtiene la siguiente información:
391 ven programas deportivos.
230 ven programas cómicos.
545 ven programas sobre el mundo animal.
98 ven programas cómicos y deportivos.
152 ven programas cómicos y mundo animal.
88 ven programas deportivos y mundo animal.
90 no ven nada.
¿Cuántos entrevistados ven los 3 tipos de programas?
¿Cuántos entrevistados ven solo 1 de los 3 tipos?

32. CONCLUSION
La aplicación de las ecuaciones de de segundo grado y operaciones
entre conjuntos , es una forma de que los estudiante puedan desarrollar
las diferentes habilidades que por naturaleza cada uno lleva dentro de
sí.
 El trabajo en grupo fue importante por la posibilidad de compartir y
apoyarse el uno con el otro así mismo, la socialización del trabajo
realizado fue clave para establecer comparaciones y llegar a acuerdos entre
todos, al momento de realizar la grabación cada uno de los compañeros
procedió dar lo mejor de cada uno, para de esta manera generar un
material que sea de ayuda para las personas que lo vean.
El trabajo en equipo fue clave ya que de esta manera logramos socializar
las debilidades y las destrezas que cada uno de los integrantes.

33. BIBLIOGRAFIA
Algebra de Baldor
Videos tutoriales en www.youtube.com.ec
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaci
on_segundo_grado_pav/Ecuacion_segundo_grado_pav.htm
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/gemacuad.htm
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html