PDS Muestreo Señales

Facultad de Ingeniería Electrónica y Mecatrónica

Procesamiento Digital de Señales
(TC61)

Sesión: 3 y 4
Señales, secuencias y muestreo de señales

Ing. José C. Benítez P.

Sesión 3 y 4. Temas

Muestreo de señales
Señales
Filtros
Secuencias
Muestreo de Señales.
Teorema de Muestreo.
Alliasing.
Error de Cuantización.
Decimación e Interpolación.
Tasa de Bits

Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 2


Objetivos
Comprender los pasos necesarios para la digitalización de
señales analógicas.
Comprender la teoría del muestreo de señales de banda
base y pasa banda.
Interpretar y aplicar correctamente el teorema fundamental
del muestreo.
Se da una visión general del tratamiento digital de señales, se
explican las diferencias fundamentales entre los distintos
tipos de señales, se presentan los dos tipos básicos de filtros
(de paso bajo y de paso alto) y se comentan las ventajas del
PDS sobre las técnicas analógicas.


Introducción
Nuestro principal objetivo es el estudio de PDS, sin
embargo muchas de las señales que se transmiten en
estos sistemas son analógicas por lo que estas señales
tienen que ser muestreadas, cuantificadas y
codificadas para ser procesadas.
Por lo tanto el muestreo y la cuantificación son
operaciones básicas en todo sistema de PDS.



PDS
El PDS (digital signal processing, DSP) trata de la:
representación,
transformación
y manipulación de señales
y de la información que contienen.



Ejemplos de aplicaciones DSP:


Señales analógicas y digitales

Señales
Una señal es una descripción de cómo un parámetro varía
con otro parámetro. p1=f(p2)
Por ejemplo, el cambio de la tensión en un circuito a lo
largo del tiempo.

Tipos de señales
Esta variable independiente puede ser continua o discreta
lo que da lugar a dos tipos de señal en función de su
distribución temporal:
Señales en tiempo continuo
Señales en tiempo discreto


Señales en tiempo continuo
Señales analógicas
Están definidas para cualquier instante del intervalo de
medición (por ejemplo, voz, audio, etc.) y
Vienen representadas por una función; que no tiene por
qué ser continua.


Señales en tiempo discreto
Señales digitales
Están definidas sólo en un conjunto particular de instantes de
tiempo (por ejemplo, temperatura al mediodía) y
Vienen representadas por una secuencia.
Además de ser discretas en dominio, lo son en rango (es decir, su
amplitud es discreta) .


Filtros de paso bajo y paso alto

Filtros
Un filtro es un dispositivo que permite el paso de un
determinado rango de frecuencias y elimina el resto.

Tipos básicos de filtros:
Filtro paso bajo (low-pass filter, LPF): sólo permite el
paso de frecuencias inferiores a una determinada
frecuencia(denominada frecuencia de corte).
Filtro paso alto (high-pass filter, HPF): sólo permite el
paso de frecuencias superiores a la frecuencia de corte.


Filtros de paso bajo y paso alto
Ejemplo:
La señal azul es el resultado de
sumar una señal de 50 Hz
(roja) y otra de 250 Hz
(verde). Un LPF con frecuencia
de corte de 100 Hz sólo dejaría
pasar la componente roja
mientras que un HPF similar
sólo dejaría pasar la verde.


Ventajas del PDS

El PDS presenta básicamente las
siguientes ventajas frente a las
técnicas analógicas:
Inmunidad frente al ruido.
Soportes de almacenamiento
universales.
Unidades de procesamiento
universales.


Secuencias

Una secuencia es una función cuyo dominio es el
conjunto de los números enteros. Su valor puede
expresarse mediante:
Enumeración: x[n] = {1; 2; 3; 4; 5}
Formulación: x[n] = n + 1, 0 <= n <= 4
El primer elemento definido corresponde a x[0] (en caso
contrario el elemento correspondiente a x[0] se subraya) y
los valores no definidos se consideran nulos:
x[n] = {1; -1; 1; -1; 1}
La longitud de una secuencia se define como el número
de muestras contenidas en el intervalo más estrecho que
recoge todas las muestras no nulas y que contiene a x[0]:
x[n] = {1; 1; 0; 2; 3; 0; 0; 1} => long(x[n]) = 8


Tipos básicos de secuencias

Muestra unitaria (MU) o delta:
d[n] = 1, n = 0
Escalón unitario:
u[n] = 1, n >= 0
Signo:
signo[n] = 1, n > 0
signo[n] = 0, n = 0
signo[n] = -1, n < 0
Pulso:
pL[n] = 1, 0 <= n < L
Exponencial:
x[n] = an
Sinusoidal:
x[n] = A sen(w0n + R)


Operaciones con secuencias

Suma: consiste en sumar sus elementos de dos en dos
(tomando uno de cada secuencia). Ejemplo:

a[n] = {1; 2; 3; 4; 5}
b[n] = {1; 0; 1; -1; -2}
a[n] + b[n] = {2; 2; 4; 3; 3}

Escalado: consiste en multiplicar una secuencia a[n] por
un escalar K. Es decir, multiplicar cada elemento de a[n]
por K. Ejemplo:

a[n] = {1; 2; 3; 4; 5}
2a[n] = {2; 4; 6; 8; 10}



Producto: consiste en multiplicar sus elementos de dos
en dos (tomando uno de cada secuencia). Ejemplo:

a[n] = {1; 2; 3; 4; 5}
b[n] = {1; 0; 1; -1; -2}
a[n]b[n] = {1; 0; 3; -4; -10}

Desplazamiento: la operación de desplazamiento
(también llamada retardo) consiste en desplazar los
elementos de una secuencia a[n] un determinado número
K de muestras. Ejemplo:

a[n] = {1; 2; 3; 4; 5}
a[n − 3] = {0; 0; 0; 1; 2; 3; 4; 5}



Convolución (Suma de): se denota con un asterisco (*)
y se calcula como:
c[n] = a[n] * b[n] = Σk=-∞,∞ a[k]b[n – k]
Su longitud de la convolucion siempre es 1 menos
que la suma de las longitudes:
long(a[n] * b[n]) = long(a[n]) + long(b[n]) - 1



Propiedades de la convolución:
Conmutatividad:
a[n] * b[n] = b[n] * a[n]
Asociatividad:
(a[n] * b[n]) * c[n] = a[n] * (b[n] * c[n])
Distributividad respecto a la suma:
a[n] * (b[n] + c[n]) = a[n] * b[n] + a[n] * c[n]
Elemento neutro (d[n] es la secuencia delta):
a[n] * d[n] = a[n]



Diagrama de flujo de una convolución (c[n] = a[n] * b[n])

Técnica rápida para calcular la convolución entre a[n] =
{1; -2; 3} y b[n] = {-1; 0; 2}. Deben multiplicarse los
elementos entre sí y sumar las diagonales: a[n] * b[n] =
{-1; 2; -1; -4; 6}.


Propiedades de una secuencia

Una secuencia es causal si y sólo si todas sus
muestras anteriores a n = 0 son nulas:
causal(x[n]) <=> x[n] = 0, n < 0
En oposición a esto podemos hablar de secuencias
anticausales. Es decir, secuencias cuyas muestras
son nulas para n >= 0:
anticausal(x[n]) <=> x[n] = 0, n >= 0



Se definen como parte causal y parte anticausal de
una secuencia los conjuntos de muestras
correspondientes:
La parte causal de una secuencia x[n] es el
conjunto de muestras correspondientes a n >= 0
La parte anticausal es el conjunto de muestras
correspondientes a n < 0



Una secuencia es finita si y sólo si su longitud lo es
(en caso contrario se trataría de una secuencia
infinita):
finita(x[n]) <=> long(x[n]) < ∞
Una secuencia es acotada si y sólo si todas sus
muestras tienen un valor finito:
acotada(x[n]) <=> |x[n]| < ∞


Muestreo

El proceso de conversión analógico-digital (analog-
to-digital conversion, ADC), permite transformar una
señal analógica en otra digital equivalente.
Este proceso también se denomina digitalización.
Una señal analógica es continua tanto en dominio
(tiempo) como en rango (amplitud) por lo que en
esta conversión debe realizarse dos procesos de
discretización:
Discretización en tiempo (muestreo)
Discretización en amplitud (cuantización)


Muestreo

El proceso de muestreo (sampling) consiste en
almacenar los valores (muestras) que toma la señal
analógica en determinados instantes de tiempo.
Estos instantes son equidistantes y el tiempo que
transcurre entre uno y el siguiente se denomina
periodo de muestreo (suele denotarse como Ts).
En consecuencia, se define la frecuencia de
muestreo como la inversa de este periodo:

f s = 1 / Ts


Muestreo

Como ya se ha comentado, el proceso de digitalización
conlleva dos procesos de discretización:
discretización en tiempo (muestreo) y
discretización en amplitud (cuantización).
Si dichos procesos no se realizan de manera adecuada,
pueden producirse errores en la generación de la nueva
señal digital.
A continuación se presenta el teorema del muestreo (que
establece el criterio adecuado para realizar un muestreo
correcto), se habla del aliasing (efecto que se produce
cuando la frecuencia de muestreo no es suficientemente
elevada), el proceso de cuantización y, por último, el
concepto de tasa de bits y su influencia en la calidad de
la información digital.


Muestreo

El resultado del proceso de muestreo es una señal en
tiempo discreto.
Considerando:
x(t) como la señal analógica original,
x[n] como la señal en tiempo discreto (secuencia)
resultante y Ts como el periodo de muestreo, esta recogida
de muestras puede expresarse formalmente como:
x[n] = x(nTs)
De esta ecuación se deduce que cualquier proceso de
muestreo lleva asociado un determinado periodo de
muestreo. Es decir, para que la información que contienen
las muestras tenga sentido, es imprescindible conocer qué
periodo de muestreo se ha utilizado en su obtención.


Teorema de Muestreo

El teorema del muestreo fue formulado como
conjetura por Harry Nyquist en 1928 y, más tarde,
fue probado formalmente por Claude E. Shannon en
1949.
Este teorema establece el criterio que debe seguirse
para no perder información durante el proceso de
muestreo.
Para comprender este teorema es necesario pensar
que una señal, al igual que en el tiempo está formada
por infinitos puntos, en la frecuencia podemos
considerar que está formada por infinitas señales
sinusoidales de diferentes frecuencias. Cada una de
estas señales sinusoidales se conoce como una
componente frecuencial.


Teorema de Muestreo
La señal que se representa (magenta) está formada por
tres componentes frecuenciales de; 50 Hz (azul), 500 Hz
(roja) y 1000 Hz (verde).


Teorema de Muestreo
De esta manera, podemos enunciar el teorema
del muestreo de la siguiente forma:
« Sea x(t) una señal analógica y sea fmax la
frecuencia de su componente de mayor
frecuencia. Dicha señal x(t) estará determinada
de forma única por sus muestras x[n] = x(nTs),
siendo n entero, si se cumple que : fs >= 2fmax ,
siendo fs = 1/Ts.»
Además, aunque no todos lo autores coinciden
en esto, en general se denomina frecuencia
de Nyquist a la mitad de la frecuencia de
muestreo:
fNyq = fs / 2


Teorema de Muestreo
Ejemplo de muestreo: la fmax de la señal original
es 110 Hz y la frecuencia de muestreo se ha
establecido en 250 Hz.


Aliasing
Cuando se digitaliza una señal sinusoidal x(t) sin
respetar el teorema del muestreo, puede ocurrir
que se obtengan las mismas muestras que se
obtendrían de una señal también sinusoidal pero
de menor frecuencia.
Si la frecuencia de x(t) es fx, las muestras
resultantes serían compatibles con una sinusoide
de frecuencia fs - fx. En este caso, cada una de las
señales se convierte en un alias de la otra. En
consecuencia, si se muestrea a esa frecuencia fs
una señal que contenga ambas componentes, la
señal no podría ser reconstruida con exactitud.


Aliasing
Ejemplo de aliasing: la señal x(t) de 50 Hz (roja)
se muestrea a una frecuencia de 60 Hz por lo que
se confunde con la señal y(t) de 10 Hz (verde).
Según el teorema del muestreo el proceso debería
haberse realizado al menos con fs = 100 Hz.


Cuantización
La cuantización consiste en la aproximación de
un rango continuo de valores mediante un
conjunto relativamente pequeño de valores
enteros.
Ejemplo: en los discos compactos, la señal de
audio se muestrea a una frecuencia de 44100 Hz
y se cuantiza utilizando 16 bits; lo que permite
aproximar los valores originales mediante una
gama de 65536 (216) posibles valores enteros.
Error de cuantización (EQ): error que se comete
al aproximar el valor continuo original mediante el
nuevo valor entero.
EQ depende directamente del número de bits
utilizados en el proceso (bits por muestra).


Cuantización
Ejemplo de cuantización utilizando 4 bits por
muestra


Cuantización
muestra


Tasa de bits
La tasa de bits (bitrate) es el número de bits por
segundo que se utilizan para almacenar o transmitir una
determinada señal digital. Se mide por tanto utilizando
la unidad "bits por segundo" (bit/s o bps) y a menudo
incorpora un prefijo del sistema internacional:


Tasa de bits
Para calcular la tasa de bits es necesario tener en cuenta tanto
la frecuencia de muestreo como el número de bits por
muestra. De esta forma podemos expresarla como:
bitrate = fs B
donde :
fs es la frecuencia de muestreo (es decir, el número de
muestras por segundo) y
B es el número de bits por muestra (es decir, la cantidad
de bits que ocupa cada muestra).
Por ejemplo, en el caso de los discos compactos, la tasa de bits
sería:
bitrate = 44100 x 16 x 2 = 1411,2 kbit/s
(El factor 2 aparece debido a que el sonido es estéreo.)


Muestreo
Como se muestra en la figura, una señal digital se obtiene de una
señal analógica después de muestrearla, cuantificarla y codificarla.
La señal analógica que se denota por x(t) es una señal continua
tanto en el tiempo como en amplitud.
El resultado de muestrear una señal es otra señal que es discreta en
el tiempo pero que todavía es continua en amplitud.
Una señal digital se obtiene al cuantificar los valores de una señal
muestreada en el tiempo en un intervalo finito de valores. Como se
verá más adelante, se introduce error en cada paso de este proceso.


Teorema del Muestreo en Banda Base
El primer paso para formar una señal digital a partir de una señal
analógica x(t) consiste en muestrear la señal x(t) a intervalos de tiempo
uniformemente espaciados para producir xs(t) = x(kTs) = x[Ts ], la notación
que emplea corchetes significa que se trata de una señal discreta por lo
que no es necesario acompañar el índice k de Ts. El parámetro Ts se
conoce como el periodo de muestreo y es la inversa de la frecuencia de
muestreo fs.


Función de Muestreo
Un modelo para realizar la operación de muestreo se ilustra en la Figura.
La señal x(t) es multiplicada por una señal periódica de pulsos p(t) para
formar la señal discreta xs(t), en otras palabras: xs(t) = x(t) p(t)
La señal p(t) se conoce como la función de muestro.
La función de muestreo es un impulso de corta duración de tiempo, el
cual puede tomar los valores de cero o uno.
De esta manera xs(t) = x(t) cuando p(t) = 1, y xs(t) = 0 cuando p(t) = 0.
Más adelante en nuestra discusión veremos que sólo el periodo de la
función de muestreo p(t) es significativo y que la forma de p(t) es
arbitraria.


Función de Muestreo
Puesto que p(t) es una señal periódica, puede ser representada en series
de Fourier:

en donde los coeficientes de Fourier están dados por:

Reemplazando tenemos:


Deducción…
Con el fin de deducir el teorema del muestreo y por lo tanto demostrar que
bajo condiciones apropiadas x(t) está totalmente representada por las
muestras de x(kTs), debemos pues determinar el espectro de xs (t) y
demostrar que x(t) puede ser reconstruida a partir de xs (t).
La transformada de Fourier de la señal muestreada es:

lo cual, después de intercambiar el orden de la integral por el de la suma
vendría a ser:

Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier de la señal continua
en el tiempo x(t) es:


Teorema de Muestreo
Se puede deducir que la transformada de Fourier de la señal muestreada
puede ser escrita de la siguiente manera:

Por lo tanto podemos ver que el efecto de muestrear una señal de tiempo
continuo es repetir el espectro de la señal en f = 0 en todas los
harmónicos de la frecuencia de muestreo f = nfs.
Los espectros trasladados están ponderados por los coeficientes de
Fourier que resultan de la expansión en series de la función p(t).
El siguiente y último paso en nuestra discusión y desarrollo del teorema
de muestreo es definir p(t).
Considerando que las muestras son tomadas instantáneamente una
definición apropiada para p(t) es:


Cual es la función de muestreo?
La cual se conoce como función impulso de muestreo, en donde los
coeficientes de Fourier están dados por:

Aplicando la propiedad del desplazamiento de la función delta obtenemos:

Usando los resultados obtenidos anteriormente, tenemos que la
transformada de Fourier de la función p(t) está representada por:

Así usando esta expresión, el espectro de la señal muestreada vendría a
ser:


Convolucion?
Debe de hacerse notar que este resultado también pudo haberse obtenido
de la expresión:

La generación de Xs(f) empleando la convolución para una señal con un
ancho de banda limitado.
El teorema del muestreo puede ser deducido a partir de la sigiente figura 3.
Con el fin de que las muestras de x(nTs) contengan toda la información de la
señal continua en el tiempo x(t), de tal manera que no se pierda información
en el proceso de muestreo, las muestras deben ser tomadas tal que x(t)
pueda ser reconstruida sin error a partir de las muestras x(nTs).


Comprobación
Podemos pues observar que la reconstrucción de x(t) a partir de xs(t) se
logra extrayendo el término para n = 0 de Xs(t) empleando para ello un filtro
pasa bajo.
Por lo tanto para lograr la reconstrucción sin errores se requiere que la
porción del espectro de Xs(f) para f = ±fs no traslape la porción del espectro
para f = 0.
Esto requiere que fs - fh > fh o fs > 2 fh, lo cual comprueba el teorema del
muestreo para señales de banda base.


Teorema del Muestreo en Banda Base
Teorema Una señal con un ancho de banda finito puede ser reconstruida
sin error a partir de sus muestras si la frecuencia de muestreo fs es
mayor que 2 fh, donde fh es la frecuencia más alta presente en la señal
muestreada.


Teorema del Muestreo de Señales Pasa Banda
Hay diversas estrategias que pueden emplearse para representar
señales pasa banda como un conjunto de muestras.
Consideraremos los dos métodos más comunes.
Teorema 2 Si una señal pasa banda tiene un ancho de banda B, con
frecuencia máxima fh, la señal puede ser muestreada y reconstruida
usando una frecuencia fs = 2 fh/m, donde m es el mayor entero que no
exceda a fh/B. Todas las frecuencias mayores no son necesarias a
menos que excedan a 2fh , que es el valor de fs que indica el teorema del
muestreo para señales en banda base.


Vamos a suponer que tenemos una señal pasa banda expresada de la
siguiente forma:

La función A(t) es conocida como la envolvente de la señal pasa banda y
la función φ(t) se conoce como la desviación de fase de la señal pasa
banda.
En la mayor cantidad de aplicaciones de comunicaciones tanto A(t) como
φ(t) son señales en banda base y tienen un ancho de banda en el orden
del ancho de banda de la información que representan. Usando
transformaciones trigonométricas esta señal la podemos escribir de esta
manera:


En esta representación:
se conoce como la componente directa o en fase y
es la componente en cuadratura.
Debido a que A(t) y cos φ(t) son señales en banda base, podemos
deducir que xd(t) y xq(t) son también señales en banda base por lo que
deben de muestrearse con el criterio del teorema del muestreo de
señales en banda base.
Hay que notar que si se conoce xd(t) , xq(t) y la frecuencia de la
portadora , entonces la señal pasa banda puede reconstruirse sin error.
La representación de señales pasa banda usando sus componentes
directa y en cuadratura se estudiará en detalle más adelante.


La representación de una señal pasa banda en el dominio de la
frecuencia se ilustra en la Figura 2.4(a). La envolvente compleja de esta
señal se define como:
Puesto que xd(t) y xq(t) son señales en banda base entonces

es también una señal en banda base como se ilustra en la Figura 2.4(b).
En la Figura 2.4 vemos que X(f), y por consiguiente xd(t) y xq(t) son
señales en banda base por lo que deben de muestrearse de acuerdo al
teorema de muestreo de señales en banda base.
Como la mayor frecuencia presente en xd(t) y xq(t) es B/2, la mínima
tasa de muestreo para cada una es B. Sin embargo se debe de
muestrear dos señales en lugar de una señal. Como resultado, se debe
emplear una tasa superior a 2B. Observamos que muestrear la
envolvente compleja empleando el teorema del muestreo para señales
en banda base, llega al mismo requerimiento de muestrear una señal
pasa banda usando el teorema del muestreo para señales pasa banda.

Tarea 3

1. Realizar los mapas semántico y/o mapas conceptuales de
todo el contenido de la Diapositiva de la Sesión 5 y 6.-
Sistemas LIT.
2. Adjuntar fuentes que le han ayudado a consolidar la tarea.

Presentación:
• Impreso y en USB el desarrollo de la tarea.
• Los mapas semánticos se deben hacer en PowerPoint y los mapas
conceptuales en CMapTools.
• En USB adjuntar las fuentes (05 PDFs, 05 PPTs y 01 Video.).
• La fuente debe provenir de una universidad.


Presentación

Todas las fuentes deben presentarse en formato digital
(USB), dentro de una carpeta que lleve las iniciales del curso,
sus Apellidos, guion bajo y luego el numero de la Tarea.
Ejemplo:
PDS_BenitezPalacios_T3

La fuente debe conservar el nombre original y agregar
_tema.

Las Tareas que no cumplan las indicaciones
no serán recepcionados por el profesor.


Sesión 3 y 4. Señales, secuencias y Muestreo

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