Productos notables y factorización de expresiones algebraicas

1. AL ALGEBRA
 PRODUCTOS NOTABLES
 FACTORIZACIÓN

2. Cuadrado del Binomio
(a + b) = a + 2ab + b
2 2 2
(a − b) = a − 2ab + b
2 2 2

3. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
b a
(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a
a
b b
b a

4. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
b a
(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a
a
b b
b a

5. (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a - b)2 = a2 - [b2 + (ab – b2) + (ab – b2) ]
(a - b)2 = a2 – [2ab – b2]
(a – b2) = a2 – 2ab + b2
a
a-b
b
b2
b ab – b2
a-b a
(a – b)2

6. Diferencia de Cuadrados
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
a-b
b
a-b
a+b
a

7. Multiplicación de binomios con un término común
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
x a
x
x2 ax x
b bx ab b
x a
(x + a) (x + b) = x2 + ax + bx + ab
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

8. Cubo del Binomio
(a + b) = a + 3a b + 3ab + b
3 3 2 2 3
(a − b) = a − 3a b + 3ab − b
3 3 2 2 3

9. Cubo del Binomio (a + b)3
b
a

10. Cubo del Binomio (a - b)3
b a-b
a
a (a – b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3
a
b
b a-b
b a-b
b(a –b)2
b(a2 -2ab + b2)
a2 b – 2ab2 + b3
ab(a-b)
a2b
a2b – ab2

11. FACTORIZACIÓN

12. Para aprender a Factorizar se necesita:
Saber multiplicar polinomios
( 2x + 3y2 ) • ( ax -4y +x3 )
• • • • • •
2ax2 - 8xy + 2x4 +3axy2 -12y3 +3x3y2
2ax2 - 8xy + 2x4 + 3axy2 - 12y3 + 3x3y2
Se sugiere visitar la siguiente página para realizar más
ejercicios: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/

13. Debes saber Potencias:
¿Qué significa cada número en la Potencia?
Pn = P• P• P• P• P• P• P … • P
n Veces
Multiplicar Potencias
2ax2 • 6bx7 = 2 • 6 • ax2 •
bx7 = 12abx9
Dividir Potencias
2ax
2
a
2ax : 6bx =
2 7
7 = 5
6bx 3bx

14. ¿Qué significa Factorizar?
Escribir una expresión Algebraica como
multiplicación de factores Simples.
FACTOR COMÚN MONOMIO:
• Factorizar Números:
4ay2 + 6bx7 = 2 ( 2 ay2 + 3bx7 )
! Para Verificar la
!
M.C.D.
Factorización se deben
Divisores del 4: 1, 2, 4 multiplicar los polinomios
Divisores del 6: 1, 2, 3, 6

15. FACTOR COMÚN MONOMIO:
• Factorizar Números: Fracciones
4ay2
__
+ 6bx7 =
__
2 ( 2 ay2 + 3bx7 )
__
15 25 5
! Para Verificar la
M.C.D. Factorización se deben
multiplicar los polinomios !
Divisores del 4: 1, 2, 4
Numeradores
Divisores del 6: 1, 2, 3, 6
Divisores del 15: 1, 3, 5,15
Denominadores
Divisores del 25: 1, 5, 25

16. FACTOR COMÚN MONOMIO:
• Factorizar letras:
x3y2 + yx7 = ( y + x4 )
x3 y ! Para Verificar la
Factorización se deben
multiplicar los polinomios !
M.C.D.: Corresponde al de menor exponente

17. FACTOR COMÚN POLINOMIO:
Muy parecido al anterior pero ahora factorizaremos por un polinomio
(x + 2y)3y2 + y(x + 2y)7 = y + (x + 2y)4
(x + 2y)3 y
! Para Verificar la
Factorización se deben
multiplicar los polinomios !
M.C.D.: Corresponde al de menor exponente
Puedes resolver más problemas con
manipuladores virtuales: http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html

18. COMBINEMOS LO QUE HEMOS VISTO
Ejemplo 1:
Otra Forma de entender lo mismo
18a3x4 + 24a5x2 + 12x3a7 =
También
significa 18 aa a xx xx 24aaaaaxx 12 xxxaaaaaaa
6 a3 x2
Un Número que
divida a todos De los términos De los términos
m.c.d sacamos a3 sacamos x2
El Más Grande
3x2 + 4a2 + 2xa4
Observa que la expresión del paréntesis no se puede seguir FACTORIZANDO