1. DEFORMACIONES Y
ESFUERZOS EN MATERIALES
Julio Vergara Aimone
ICM 2312

2. INTRODUCCION
En las clases anteriores hemos visto los tipos de
carga a las que se puede someter un elemento.
Hemos revisado el estado de esfuerzo al cual se
somete secciones relevantes de un componente
mecánico al aplicarse fuerzas externas.
Lo anterior –en todas las dimensiones posibles–
nos permite determinar los esfuerzos principales
y los planos en que estos ocurren, así como los
esfuerzos cortantes y sus planos. Estos pueden
obtenerse en forma analítica o gráficamente, por
medio del círculo de Mohr.
J.Vergara ICM2312

3. INTRODUCCIÓN
Nos queda pendiente revisar las deformaciones
que resultan de estos esfuerzos, lo que implicará
derivar relaciones entre estos tipos de variables,
en sus diferentes dimensiones.
Con tales relaciones, y utilizando teorías de falla,
se podrá determinar las formas en las cuales el
proceso de diseño mecánico adopta la informa-
ción que se obtiene de los ensayos de materiales
en ambiente controlado, y lo asocia a un estado
de esfuerzos multiaxial, y así poder dimensionar
la geometría de los componentes.
J.Vergara ICM2312

4. INTRODUCCIÓN
Nos queda pendiente revisar las deformaciones
que resultan de estos esfuerzos, lo que implicará
derivar relaciones entre estos tipos de variables,
en sus diferentes dimensiones.
Con tales relaciones, y utilizando teorías de falla,
se podrá determinar las formas en las cuales el
proceso de diseño mecánico adopta la informa-
ción que se obtiene de los ensayos de materiales
en ambiente controlado, y lo asocia a un estado
de esfuerzos multiaxial, y así poder dimensionar
la geometría de los componentes.
J.Vergara ICM2312

5. TEORÍA DE DEFORMACIÓN
En respuesta a un esfuerzo de corte
Vimos una estructura de enlaces simples:
s s
ao
J.Vergara
a ICM2312

6. TEORÍA DE DEFORMACIÓN
En respuesta a un esfuerzo de corte
Supongamos la misma estructura, < rm > rm
pero ahora con t: Si cede t, Si no cede t,
vuelve 1 queda 2
3 3 3
2 2 2
t t
1 1 1
0 0 0
ao Plano de deslizamiento
J.Vergara ICM2312

7. TEORÍA DE DEFORMACIÓN
En respuesta a un esfuerzo de corte
El cristal se ha deslizado: experimen- < rm > rm
tó deformación plástica (de 1 e.a.). Si cede t, Si cede t,
Para materiales estructurales, se ha vuelve 1 queda 2
calculado el esfuerzo cortante para
superar fuerzas de enlace de un pla- 3 3
no respecto a otro, e iniciar la d.p.: 2 2
tt = 7000-14000 MPa
1 1
Pero, experimentalmente: ¿?
0 0
te = 70 a 350 MPa
J.Vergara ICM2312

8. TEORÍA DE DEFORMACIÓN
En respuesta a un esfuerzo de corte
Lo explica la Teoría de Dislocaciones, < rm > rm
desarrollada por Taylor, Orowan y Po- Si cede t, Si cede t,
lanyi. En simple, una dislocación es vuelve 1 queda 2
un Defecto Lineal, visible en un E.M.,
que puede moverse en un cristal con 3 3
un bajo esfuerzo.
2 2
La deformación plástica ocurre por:
a) deslizamiento (slip), b) maclaje 1 1
(twinning), c) cizalle en el borde de 0 0
grano y d) creep difusional.
J.Vergara ICM2312

9. TEORÍA DE DEFORMACIÓN
En respuesta a un esfuerzo de corte
El deslizamiento, en planos preferentes, es el mecanismo más
común de deformación plástica.
t
Banda de deslizamiento
(~100 espacios atómicos).
En ciertos casos se escucha t
J.Vergara ICM2312

10. TEORÍA DE DEFORMACIÓN
En respuesta a un esfuerzo de corte
Las propiedades mecánicas clásicas (resistencia y ductilidad)
dependen de la orientación cristalina. F
Necesitamos algún modelo que señale el inicio de A
la deformación plástica. Supongamos un cristal y n
único con un plano de cizalle definido por y. SD l
A
FSD = F cos l ASP = ASP
cosy
tS = FSD = F cosy cosl
ASP A
SD = superficie de deslizamiento Factor Schmid F
SP = superficie proyectada
J.Vergara ICM2312

11. TEORÍA DE DEFORMACIÓN
En respuesta a un esfuerzo de corte
Las propiedades mecánicas clásicas (resistencia y ductilidad)
dependen de la orientación cristalina. F
La influencia del esfuerzo normal no es tan rele- A
vante para la deformación; sí lo es para fractura. y n
SD l
FN Fcosy
sn = =
ASP A/cosy ASP
F
sn = cos2y
A
F
J.Vergara ICM2312

12. TEORÍA DE DEFORMACIÓN
En respuesta a un esfuerzo de corte
El cristal único, al momento que inicia F
la deformación plástica, tendrá una F
A
evolución similar a la figura . A
En estructuras policristalinas, se po- y n
SD l
dría obtener algunas propiedades del
factor de Schmid (1/M).
ASP
F
tS = cosy cosl
A
F tS
s= = = tS M F
A cosy cosl
F
J.Vergara ICM2312

13. TEORÍA DE DEFORMACIÓN
En respuesta a un esfuerzo de corte
Nuestro interés es que no se genere una deformación irre-
versible, confinándola dentro del rango elástico (< rm).
Esto implica que el átomo vuelve a
su posición original (1) y no se 3 3
produce el deslizamiento.
2 2
El diseño mecánico clásico se limi-
ta a este rango, de modo de evitar 1 1
fallas (lo que aún deja algún margen
antes de una falla catastrófica). 0 0
J.Vergara ICM2312

14. TEORÍA DE DEFORMACIÓN
En un ensayo de laboratorio
Sometimos a una tracción y medimos la elongación. F
inicio de Una teoría general
F kE
fluencia es el deslizamiento
l A
F de dislocaciones
F F
(defectos lineales)
A0 que facilitan el co- A0 l0
u
rrimiento de planos
F cristalinos.
u
F=0 F=0
l0 A0
J.Vergara F ICM2312

15. TEORÍA DE DEFORMACIÓN
En un ensayo de laboratorio
Pudimos relacionar el esfuerzo con la deformación.
F F
F
F kE s=
A0
E
F
F l A F F F
A0
u
Esta es la dimensión
F
que interera ahora 
u u
F=0 F=0 F=0 F=0 e=
l0
l0 A0
J.Vergara ICM2312

16. TEORÍA DE DEFORMACIÓN
En un ensayo de laboratorio
El esfuerzo posibilita la falla de una pieza.
La deformación también F
implicará fallas en meca-
s=
A0
E
nismos muy ajustados.
F u lf - l0
s= e= =
A0 l0 l0
Interesa limitarnos al área
amarilla. Veremos que las
teorías de falla clásicas se u
limitan a ese campo. e=
l0
J.Vergara ICM2312

17. TEORÍA DE DEFORMACIÓN
En un ensayo de laboratorio
Notamos que podemos tener un ensayo similar de torsión.
t≈
Ft
G ut s=
F
E u
A0 ft A0
f
yt ?
y F
et e  et e
?
y  yt
T T ?
u  ut
g
?
f f  ft
?
EG F
g e
J.Vergara ICM2312

18. TEORÍA DE DEFORMACIÓN
En el ensayo de laboratorio pasado
Los puntos corresponden, aunque aún es elástico en c.
t≈
Ft
G ut s=
F
E u
A0 ft A0
f
yt y F
et e
T T
g
f
t = G·g F s = E·e
g e
J.Vergara ICM2312

19. TEORÍA DE DEFORMACIÓN
Hasta ahora hemos podido establecer esfuerzos
debido a fuerzas de tensión y compresión, y en
términos simples, los esfuerzos cortantes.
Asimismo, se sabe la energía que puede absorber
una pieza (elástico-resiliencia o último-tenacidad).
En esta clase estableceremos las relaciones cons-
titutivas que asocian los esfuerzos y las deforma-
ciones, y estableceremos la relación entre E y G.
Más adelante veremos los esfuerzos que producen
la torsión y la flexión de ciertos componentes.
J.Vergara ICM2312

20. DEFORMACIÓN LINEAL
El análisis de las deformaciones en diseño mecá-
nico es importante por varias razones:
Permite conocer el cambio dimensional que puede
tolerar un componente sin trabar algún mecanis-
mo en movimiento.
Permite estimar, usando relaciones de esfuerzo vs
deformación, los esfuerzos que estaría experimen-
tando un componente. En la mayoría de los casos
no es posible medir las cargas, sí las deformacio-
nes y ello puede llevarnos a determinar las cargas
reales, incluso en operación.
J.Vergara ICM2312

21. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica
Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión uniaxial pura:
Z
Teoría de Robert Hooke (S.XVII)
Y
Demuestra en forma experimental
X que esta condición de tensión no
produce distorsión angular, y la
sY elongación en Y contrae en las
s direcciones X y Z.
Y
Lo opuesto sucede en caso de
dZ
compresión uniaxial pura.
J.Vergara ICM2312

22. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica
Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión uniaxial pura:
Z
El cambio de longitud D(dY) en
la dirección Y será:
Y
X dY D(dY) s
D(dY) = sY E  eYY = dy = EY
sY eYY es la deformación
sY en la dirección Y (1er
subíndice) debido a
un esfuerzo en la di-
dZ
rección Y
J.Vergara ICM2312

23. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica
Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión uniaxial pura:
Z
El cambio de longitud D(dY) en
la dirección Y será:
Y
X dY D(dY) s
D(dY) = sY E  eYY = dy = EY
sY sX
eXX =
E
sY s
Luego eYY = Y
E
sZ
dZ
eZZ =
E
J.Vergara ICM2312

24. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica
Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión uniaxial pura:
Z
La contracción en las direccio-
nes X e Z por el esfuerzo sY y
X
Y
deformación en Y, se conoce
como razón de Poisson (n):
sY
eXY = -neYY = -n sY
sY E
eZY = -neYY = -n sY
E
dZ
J.Vergara ICM2312

25. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica
Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión multiaxial:
sZ Lo mismo sucede en las otras
Z
direcciones (X y Z).
X
Y
Para pequeñas deformaciones
sX se puede aplicar el principio de
sY superposición:
eX = eXX + eXY + eXZ
s Y
eY = eYX + eYY + eYZ
sX
dZ
eZ = eZX + eZY + eZZ
J.Vergara
sZ ICM2312

26. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica
Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión multiaxial:
Componentes de deformación por esfuerzo normal en X, Y, Z
Dirección de la Esfuerzos que causa la deformación
deformación sX sY sZ
sX 1 s s
eX = eXX + eXY + eXZ  e= = eX = eXY X – n·(sY + sZ) = -n Z
s = -n Y eXZ
XX
E E + E + E
s 1 sY s
eY = eYX + eYY + eYZ  e= = -n Y =
e X s= eYZ
eYY Y – n·(sX + sZ) = -n Z
YX
E E + E + E
eZ = eZX + eZY + eZZ  e= = -n ZsX 1 eZY Z – n·(sX + sY) =
ZX e = +s = -n Y
s eZZ
+
sZ
E E E E
J.Vergara ICM2312

27. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica
Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión multiaxial:
Ecuaciones de Hooke:
Caso Triaxial
1 E
eX = s – n·(sY + sZ) sX = (1 + n)·eX + n·(eY + eZ)
E X (1 + n)·(1 - 2n)
1 E
eY = s – n·(sX + sZ) sY = (1 + n)·eY + n·(eX + eZ)
E Y (1 + n)·(1 - 2n)
1 E
eZ = s – n·(sX + sY) sZ = (1 + n)·eZ + n·(eX + eY)
E Z (1 + n)·(1 - 2n)
J.Vergara ICM2312

28. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica
Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión multiaxial:
Ecuaciones de Hooke:
Caso Biaxial (sZ = 0 )
1 E
eX = sX – n·sY sX = eX + n·eY
E 1 - n2
1 E
eY = sY – n·sX sY = eY + n·eX
E 1 - n2
–n
eZ = sX + sY sZ = 0
E
J.Vergara ICM2312

29. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica
Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión multiaxial:
Ecuaciones de Hooke:
Comprobando el caso Uniaxial (sZ, sY = 0 )
1 E·eX
eX = sX sX = 1 - n2 = E·eX
E 1 - n2
–n E
eY = sX sY = 0 =0
E 1 - n2
–n
eZ = sX sZ = 0
E
J.Vergara ICM2312

30. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica
Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión multiaxial:
Ecuaciones de Hooke:
Para deformaciones principales (e1, e2, e3), se usa s1, s2, s3.
Caso Triaxial
1 E
e1 = s – n·(s2 + s3) s1 = (1 + n)·e1 + n·(e2 + e3)
E 1 (1 + n)·(1 - 2n)
1 E
e2 = s – n·(s1 + s3) s2 = (1 + n)·e2 + n·(e1 + e3)
E 2 (1 + n)·(1 - 2n)
1 E
e3 = s – n·(s1 + s2) s3 = (1 + n)·e3 + n·(e1 + e2)
E 3 (1 + n)·(1 - 2n)
J.Vergara ICM2312

31. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica
Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión multiaxial:
Ecuaciones de Hooke:
Para deformaciones principales (e1, e2, e3), se usa s1, s2, s3.
Caso Biaxial (s3 = 0 )
1 E
e1 = s1 – n·s2 s1 = e1 + n·e2
E 1 - n2
1 E
e2 = s2 – n·s1 s2 = e2 + n·e1
E 1 - n2
–n
e3 = s1 + s2 s3 = 0
E
J.Vergara ICM2312

32. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones Esfuerzo vs Deformación Elástica
Cuerpo isotrópico/homogéneo sujeto a tensión multiaxial:
Ecuaciones de Hooke:
Para deformaciones principales (e1, e2, e3), se usa s1, s2, s3.
Caso Uniaxial (s2, s3 = 0 )
1 E·e1
e1 = s1 s1 = 1 - n2 = E·e1
E 1 - n2
–n E
e2 = s1 s2 = 0 =0
E 1 - n2
–n
e3 = s1 s3 = 0
E
J.Vergara ICM2312

33. DEFORMACIÓN LINEAL
Z sZ
Deformaciones Elásticas X
Y
tXY
tYX
sX
tYZ
sY tYX tXY
Estado general de deformaciones:
tXZ
tXZ sY
tYZ tXY tYX
sX tYX tXY
vX = eXX eX + eXY eY + eXZ eZ sZ
vY = eYX eX + eXZeY + eYZ eZ
vZ = eZX eX + eZY eY + eZZeZ
eXX eXY eXZ
V = eYX eYY eYZ V = eij ej Tensor de
deformaciones
eZX eZY eZZ
J.Vergara ICM2312

34. DEFORMACIÓN LINEAL
Z sZ
Deformaciones Elásticas X
Y
tXY
tYX
sX
tYZ
sY tYX tXY
En este caso: l·(e - eXX) - m·eYX - n·eXZ = 0
tXZ
tXZ sY
tYZ tXY tYX
sX tYX tXY
l = cos a - l·eXY + m·(e - eYY) - n·eZY = 0 sZ
m = cos b
n = cos g - l·tXZ - m·eYZ + n·(e - eZZ) = 0
Cosenos Directores
Si e es una deformación principal, debe satisfacer las ecua-
ciones, que no son independendientes pues l, m, y n se vin-
culan por la ecuación de compatibilidad : l2 + m2 + n2 = 1
Esta señala que los cosenos directores no pueden cero en
forma simultánea y la definición de dos determina el tercero.
J.Vergara ICM2312

35. DEFORMACIÓN LINEAL
Z sZ
Deformaciones Elásticas X
Y
tXY
tYX
sX
tYZ
sY tYX tXY
Como las ecuaciones no son independientes,
tXZ
tXZ sY
tYZ tXY tYX
sX tYX tXY
el determinante de coeficientes debe anularse.
sZ
(e - eXX) - eYX - eZX
Ecuación
- eXY (e - eYY) - eYZ = 0 Cúbica General
de Defo 3D
- eXZ - eZY (e - eZZ)
e3 - e2·(eXX +eYY +eZZ)+e·(eXX·eYY + eYY·eZZ +eXX·eZZ -eXY -e2 -eYZ)
2
XZ
2
-(eXX·eYY·eZZ + 2eXY eYZ eXZ - eXX·e2 - eYY·eXZ - eZZ·eXY) = 0
YZ
2 2
J.Vergara ICM2312

36. DEFORMACIÓN LINEAL
Z sZ
Deformaciones Elásticas X
Y
tXY
tYX
sX
tYZ
sY tYX tXY
De la Ecuación Cúbica General de Deformación
tXZ
tXZ sY
tYZ tXY tYX
sX tYX tXY
3D, al menos una solución debe ser real. Por
sZ
realidad física todas son reales.
Las deformaciones principales son independientes de la orien-
tación del sistema de coordenadas. Luego, los coeficientes de
la Ecuación Cúbica General de Deformación 3D son invariantes.
Inv. 1: (eXX + eYY + eZZ) = k1
Inv. 2: (eXX·eYY + eYY·eZZ + eXX·eZZ - eXY - eXZ - eYZ) = k2
2 2 2
Inv. 3: (eXX·eYY·eZZ + 2eXY eXZ eXZ -eXX·eYZ -eYY·eXZ -eZZ·eXY) = k3
2 2 2
J.Vergara ICM2312

37. DEFORMACIÓN LINEAL
Z sZ
Deformaciones Elásticas X
Y
tXY
tYX
sX
tYZ
sY tYX tXY
Las tres soluciones de la Ecuación Cúbica
tXZ
tXZ sY
tYZ tXY tYX
sX tYX tXY
General de Deformación 3D deben satisfacer:
sZ
l·(e - eXX) - m·eYX - n·eXZ = 0
- l·eXY + m·(e - eYY) - n·eZY = 0
- l·eXZ - m·eYZ + n·(e - eZZ) = 0
además: l2 + m2 + n2 = 1
Y que determinarán los cosenos directores que definen los
planos principales; que son mutuamente perpendiculares.
J.Vergara ICM2312

38. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones de Rotación Elástica
Todo cuerpo elástico P del cubo (dX,dY,dZ)
se deforma –lineal e se desplaza a P´, con
y angular g– debido a f = ueX+veY+weZ , de
la acción de fuerzas: componentes u,v,w.
P´
Al mismo tiempo que
dZ
f es estirado, las esqui-
nas rotan.
P
Z r
w
Y
X
J.Vergara ICM2312

39. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones de Rotación Elástica
Todo cuerpo elástico ∂v
∂w
dZ
dY
dY´-dY ∂Y ∂v
se deforma –lineal e ∂Z
eY = = =
dY dY ∂Y
y angular g– debido a ∂w
la acción de fuerzas: dY
g3 dZ ∂Y ∂w
dZ´ g2 = =
∂v
dY+ dY ∂Y
P´ g2 ∂w ∂Y
dZ dY
f ∂Y ∂v
dZ
∂Z ∂v
g3 = =
∂w
dZ+ dZ ∂Z
P
Z r
∂Z
w ∂w ∂v
gYZ = g2 + g3 = +
X
Y ∂Y ∂Z
J.Vergara ICM2312

40. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones de Rotación Elástica
Todo cuerpo elástico ∂w
∂w
dZ
dZ
dZ´-dZ ∂Z ∂w
se deforma –lineal e ∂Z
eZ = = =
dZ dZ ∂Z
y angular g– debido a g4 ∂u
la acción de fuerzas: dZ
∂Z ∂u
dZ´ g4 = =
∂w
dZ+ dZ ∂Z
g5 P´ ∂Y
dZ
f ∂w
dX
∂w ∂X ∂w
∂X
dX g5 = =
∂u
dX+ dX ∂X
P
Z r
∂X
w ∂u ∂w
gXZ = g4 + g5 = +
X
Y ∂Z ∂X
J.Vergara ICM2312

41. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones de Rotación Elástica
Todo cuerpo elástico ∂u
dX
dX´-dX ∂X ∂u
se deforma –lineal e eX = = =
dX dX ∂X
y angular g– debido a ∂v
la acción de fuerzas: dX
∂X ∂v
g6 = =
∂u
dX+ dX ∂X
P´
∂X
dZ
f ∂u
g6 g1 dY
∂Y ∂u
g1 = =
∂v
dY+ dY ∂Y
P
Z r
∂Y
w ∂u ∂v
gXY = g1 + g6 = +
X
Y ∂Y ∂X
J.Vergara ICM2312

42. DEFORMACIÓN LINEAL
Relaciones de Rotación Elástica
Todo cuerpo elástico ∂w
dZ eXY = ½ (eX + eY)
se deforma –lineal e ∂Z
∂u ∂v
=½( + )
y angular g– debido a g4
∂X ∂Y
la acción de fuerzas: = ½ gXY
g3 dZ
dZ´
eXZ = ½ (eX + eZ)
g5 P´ g2 ∂w ∂u ∂w
dZ
f ∂Y
dY =½( + )
g6 ∂X ∂Z
g1
∂w
dX = ½ gXZ
P ∂X
eYZ = ½ (eY + eZ)
Z r
∂v ∂w
w =½( + )
Y
∂Y ∂Z
X = ½ gYZ
J.Vergara ICM2312

43. DEFORMACIÓN LINEAL
Z sZ
Relaciones de Rotación Elástica X
Y
tXY
tYX
sX
tYZ
sY tYX tXY
Con las relaciones de rotación elástica también
tXZ
tXZ sY
tYZ tXY tYX
sX tYX tXY
es posible derivar la Ecuación Cúbica General sZ
de Deformación sustituyendo las deformacio-
nes cortantes por los ángulos respectivos, y
con ellos encontrar las deformaciones en los
planos principales (eP).
Ecuación Cúbica General de Defo 3D En función de g
2 2 2
e3 - e2·(eXX +eYY +eZZ)+e·(eXX·eYY + eYY·eZZ +eXX·eZZ -¼(gXY +gXZ +gYZ))
2 2 2
-(eXX·eYY·eZZ +¼(gXY gYZ gXZ - eXX·gYZ - eYY·gXZ - eZZ·gXY)) = 0
J.Vergara ICM2312

44. DEFORMACIÓN LINEAL
Z sZ
Relaciones de Rotación Elástica X
Y
tXY
tYX
sX
tYZ
sY tYX tXY
De igual modo, con las relaciones de rotación
tXZ
tXZ sY
tYZ tXY tYX
sX tYX tXY
elástica se pueden expresar los coeficientes o sZ
invariantes de la Ecuación Cúbica General de
Deformación con los ángulos de rotación (g).
Invariantes de la Ecuación Cúbica General
de Deformación. En función de g:
Inv. 1: (eXX + eYY + eZZ) = k1
Inv. 2: (eXX·eYY + eYY·eZZ + eXX·eZZ - ¼(gXY - gXZ - gYZ)) = k2
2 2 2
Inv. 3: (eXX·eYY·eZZ + ¼(gXY gYZ gXZ -eXX·gYZ -eYY·gXZ - eZZ·gXY)) = k3
2 2 2
J.Vergara ICM2312

45. DEFORMACIÓN ANGULAR
Así como los esfuerzos normales se relacionan
con las defomaciones elásticas por medio de
dos constantes de materiales (E,n), esperamos
establecer alguna relación entre los esfuerzos
cortantes y las defomaciones cortantes por me-
dio de similares constantes.
Sabemos que la deformación cortante gXY es la
variación angular en un plano XY respecto al
elemento original sin deformación, la que es
producida por el esfuerzo cortante tXY : a .
J.Vergara ICM2312

46. DEFORMACIÓN ANGULAR
Para desarrollar las relaciones entre G vs E, se
iniciará el análisis en el plano XY.
La aplicación de torque T
T
en el cilindro de la figura Z
produce una rotación, en
Y
este caso en plano XY. X
Los resultados pueden T
extenderse a los demás g
planos o a otras formas f
de rotación.
J.Vergara ICM2312

47. DEFORMACIÓN ANGULAR
Módulo de Rigidez G
De la Ecuación Cúbica General de Esfuerzos 3D, para el caso
de esfuerzo cortante puro en el plano XY, tenemos:
sP - sP·(sX + sY + sZ) + sP·(sX·sY + sY·sZ + sX·sZ - t2 - tXZ - tYZ)
3 2
XY
2 2
- (sX·sY·sZ + 2tXY tYZ tXZ - sX·t2 - sY·tXZ - sZ·tXY) = 0
YZ
2 2
3 2
sP - sP·tXY = 0
sP1 = tXY
2 2
sP ·(sP - tXY) = 0 Raíces sP2 = 0
sP3 = - tXY
J.Vergara ICM2312

48. DEFORMACIÓN ANGULAR
Módulo de Rigidez G
Las 3 soluciones de la Ecuación Cúbica General de Esfuerzos
sP1 = tXY sP2 = 0 sP3 = - tXY
Deben satisfacer cada una:
l·(sP - sX) - m·tYX - n·tXZ = 0  l·sP - m·tYX = 0
- l·tXY + m·(sP - sY) - n·tZY = 0  - l·tXY + m·sP = 0
- l·tXZ - m·tYZ + n·(sP - sZ) = 0  n·sP = 0
l2 + m2 + n2 = 1  l2 + m2 + n2 = 1
J.Vergara ICM2312

49. DEFORMACIÓN ANGULAR
Módulo de Rigidez G
Dado que sP1 = tYX ≠ 0, entonces n1 = 0.
Dado que l1·sP1 = m1·tYX, entonces l1 = m1.
Dado que l21 + m21 + n21 = 1, entonces l1 = m1 = ± ½ .
l1·sP1 - m1·tYX = 0
- l1·tXY + m1·sP1 = 0
n1·sP1 = 0
l12 + m12 + n12 = 1
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50. DEFORMACIÓN ANGULAR
Módulo de Rigidez G
Dado que sP2 = 0, y tYX ≠ 0  l2·sP2 = -m2·tYX , m2 = 0.
Dado que l2·sP2 = -m2·tYX, entonces l2 = 0.
Dado que l22 + m22 + n22 = 1, entonces n2 = ± 1.
l2·sP2 - m2·tYX = 0
- l2·tXY + m2·sP2 = 0
n2·sP2 = 0
l22 + m22 + n22 = 1
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51. DEFORMACIÓN ANGULAR
Módulo de Rigidez G
Dado que sP3 = -tYX ≠ 0, entonces n3 = 0.
Dado que l3·sP3 = -m3·tYX, entonces l3 = -m3.
Dado que l23 + m23 + n23 = 1, entonces l3 = ± ½ y m3 = ½.
±
l3·sP3 - m3·tYX = 0
- l3·tXY + m3·sP3 = 0
n3·sP3 = 0
l32 + m32 + n32 = 1
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52. DEFORMACIÓN ANGULAR
Módulo de Rigidez G
Por lo tanto, se verifica que un torque puro (i.e. tXY) induce
esfuerzos principales:
sP1 = tXY Tensión
Raíces sP2 = 0
sP3 = - tXY Compresión
En una dirección a 45° del plano X-Y
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53. DEFORMACIÓN ANGULAR
Módulo de Rigidez G
Un elemento sujeto a un esfuerzo cortante puro tXY, encuentra
esfuerzos principales (de magnitud tXY y -tXY) en planos a 45°
de los ejes x-y. En este caso, está a 45° en el plano ppal 3-1.
2
s3 c
tXY 1 tXY tXY
3 c´
s1 tXY
d´ d b b´
tXY s1 o
tXY tXY a´
tXY s1
s3 a
1
s3 3
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54. DEFORMACIÓN ANGULAR
c
Módulo de Rigidez G c´
Juntando los vértices b-b´ de los rombos: o´ o b b´
p gXY oa·(1 - e3) 1 - e3
45°
o´a´ gXY
= tan ( 4 - 2 ) = = (oa=ob) a´
o´b´ ob·(1 + e1) 1 + e1 a 2
Por Hooke:
c
tXY tXY
Como s1 = -s3 entonces e1 = -e3 c´
d´ d b b´
Por trigonometría: o
p gXY gXY a´
p gXY tan 4 - tan 2 1- 2 tXY tXY s1
tan ( 4 - 2 ) = p gXY =
a
1 + tan 4 tan 2 1 + g2 XY 1
s3 3
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55. DEFORMACIÓN ANGULAR
c
Módulo de Rigidez G c´
Luego: gXY b b´
1- 2 1 - e1
o´ o
= 45°
gXY
1 + g2
XY 1 + e1 a´
a 2
Por lo tanto: gXY = 2·e1
c
tXY tXY
c´
1
Hooke: e1 = s1 - n·(s2 + s3)
E d´ d
o
b b´
2
Entonces: gXY = s - n·(s2 + s3) tXY a´
tXY s1
E 1 a
1
s3 3
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56. DEFORMACIÓN ANGULAR
c
Módulo de Rigidez G c´
Como s1 = -s3 y s2 = 0 o´ o b b´
45°
2 2 (1 + n) gXY
gXY = s - n·(s2 + s3) = s1 a´
E 1 E a 2
En este caso s1 = tXY
c
tXY tXY
2 (1 + n) tXY c´
gXY = tXY =
E G d´ d b b´
o
a´
G se conoce como Módulo de Rigidez tXY tXY s1
a
o Módulo Cortante de Elasticidad. 1
s3 3
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57. DEFORMACIÓN ANGULAR
Módulo de Rigidez G Equivalente torsional de E
E
G=
2 (1 + n)
Ft G ut F E u
t≈ ft s=
A0 A0 f
yt y F
et e
T T
g
f
t = G·g F s = E·e
g e
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58. DEFORMACIÓN ANGULAR
Módulo de Rigidez G
t t t
Por analogía a este desarrollo: gXY = G gYZ = G gXZ = G
XY YZ XZ
Definiendo deformaciones cortantes principales gi en función
de esfuerzos principales si y de deformaciones principales ei:
t1 = ± ½ (s2 – s3) t2 = ± ½ (s1 – s3) t3 = ± ½ (s1 – s2)
3
s3 3
s3 3
s3
s1 s1 s1
2 2 2
1
s2 1
s2 1
s2
s2 s2 s2
s1 s1 s1
s3 s3 s3
t1 s – s3 t s – s3 t s – s2
g1 = ± =± 2 g2 = ± 2 = ± 1 g3 = ± 3 = ± 1
G 2G G 2G G 2G
= e2 – e3 = e1 – e3 = e1 – e2
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59. DEFORMACIÓN ANGULAR
Esfuerzos y Deformaciones principales
1 1
e1 = s1 – n·(s2 + s3) g1 = ± (s – s3) g 1 = e2 – e3
E 2G 2
1 1
e2 = s2 – n·(s1 + s3) g2 = ± (s – s3) g 2 = e1 – e3
E 2G 1
1 1
e3 = s3 – n·(s1 + s2) g3 = ± (s – s2) g 3 = e1 – e2
E 2G 1
Es importante reconocer que las deformaciones normales
son independientes de las deformaciones cortantes y vice
versa. Por ende, el estado triaxial de deformación resultan-
te se logra superponiendo ambos tipos de deformación.
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60. DEFORMACIÓN ANGULAR
Ley de Hooke tridimensional
Dirección Esfuerzos que causa la deformación
de la defo. sX sY sZ tXY tYZ tZX
sX -n sY -n sZ
eX
E E E 0 0 0
eY -n sX sY -n sZ 0 0 0
E E E
eZ -n sX -n sY sZ
0 0 0
E E E
tXY
gXY 0 0 0 G
0 0
tYZ
gYZ 0 0 0 0 G
0
tZX
gZX 0 0 0 0 0 G
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61. DEFORMACIÓN ANGULAR
Ley de Hooke tridimensional
En el caso de materiales ortotrópicos (propiedades disímiles
en direcciones opuestas), es posible utilizar relaciones simi-
lares a las que hemos visto acá, con algunas variantes.
En principio, se podría reemplazar E por EX, EY, EZ en cada
caso, G por GXY, GYZ, GZX y n por nXY, nYZ, nZX.
Además, se puede usar herramientas gráficas, i.e. círculo de
Mohr. Recordemos que este círculo representa la Ecuación
Cúbica General de Esfuerzos (en dos planos) y en este caso
tenemos una similar referida a deformaciones.
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62. DEFORMACIÓN ANGULAR
Y
Círculo de Mohr para deformación eY
½(eX-eY) H gYX X
g/2 t s gXY
(eY, gYX/2) eX eX
H
gXY V
eY gYX f
eY
Usamos: C en
en por sn 2f
g/2 por tnt gXY/2
V
½(eX+eY) (eX, gXY/2)
eX
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63. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
Medición de la Deformación
No es fácil medir los esfuerzos en una estructura.
Como una fuerza produce un desplazamiento, se
puede medir el esfuerzo (al ser conocida A0) y la
deformación, con la ayuda de “extensómetros”
(entre dos puntos), i.e. para ensayos de tracción,
fractura y fatiga, incluso en diferentes ambientes.
REF: Catálogo Material testing Systems
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64. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
Medición de la Deformación
El uso de rosetas de deformación es más simple y
barato para puntos de medición de difícil acceso
y para estructuras complejas. También se aprecia
en aplicaciones domésticas, i.e. baño y cocina:
Ref: www.michsci.com/
J.Vergara ICM2312

65. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
¿Por qué extensómetros o rosetas?
La medición directa de la deformación de una pro-
beta a partir del desplazamiento entre las morza-
zas (dividido por la longitud inicial del tramo bajo
prueba) suele ser imprecisa, con formas no linea-
les como la “S” siguiente:
Deformación vía
s
extensometría
MPa Deformación vía
desplazamiento
E ≈ 120 GPa E ≈ 80 GPa
Grip
slip Duraluminio (ref: U. of Cambridge)
e
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66. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
Medición de la Deformación
La roseta está construida de un set de calibres
de deformación (galgas entensiométricas), con
una grilla de conductores cuya resistencia varía
si crece. La forma de la galga es la siguiente:
Guías
el Conectores
Grilla Base
Resistencia eléctrica
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67. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
Medición de la Deformación
Implica medir el cambio de resistencia (R) por la
elongación de un metal conductor:
r : resistividad
Sin tracción rl
R= A l : longitud metal
A : área del conductor
A, l, r, r 1 dR
el =
S R
Con tracción r l rl
dR = A dl + A dr – A2 dA
dR dl dr – dA
A2, l2, r2, r2 = +
R l r A
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68. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
Medición de la Deformación
Implica determinar un coeficiente del sensor:
dl dA
= el = (er + 1)2 – 1 = er + 2er ≈ 2er = -2nel
2
l A
dR dr
= (1+2n)el +
R r
1 dR dr (calibración
S = = (1+2n) +
el R elr del sensor)
1 dR 1 dR
el = S R ≈
2 R
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69. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
Teoría de Rosetas de Deformación
Deformación en 2D: eZ, eXZ , eYZ = 0 y eXY = gXY
2
e3 - e2·(eX + eY + eZ) + e·(eX·eY + eY·eZ + eX·eZ - e2XY - e2XZ - e2YZ)
- (eX·eY·eZ +2eXY eXZ eXZ - eX·e2YZ - eY·e2XZ - eZ·e2XY) = 0
e3 - s2·(eX + eY) + e·(eX·eY - e2XY) = 0
eX+eY eX-eY 2 gXY
2
eP1 = 2
+ + 2
2
e·(e2 - e·(eX + eY) + (eX·eY - e2XY)) = 0 eP2 = 0
eX+eY eX-eY 2 gXY
2
eP3 = 2 - + 2
2
Luego, debemos conocer: eX, eY y gXY.
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70. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
Teoría de Rosetas de Deformación
Cada calibre de deformación da información en
una sola dimensión. Luego, para determinar las
deformaciones eX y eY se debe usar dos calibres.
No hay galgas capaces de medir la deformación
angular gXY, pero un arreglo de 3 unidades (roseta)
en diferentes orientaciones, en un mismo punto
permite inferir tal deformación..
Recordando que cualquier deformación (en 2D)
dependerá de los componentes eX, eY y gXY. Si se
rotan, tendremos 3 ecuaciones y 3 incógnitas.
J.Vergara ICM2312

71. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
Teoría de Rosetas de Deformación
La roseta está construida de tres o más calibres
de deformación, que se adhiere al material que
está sometido a las cargas:
(eX+eY) (eX-eY) gXY
eA = + cos2fA+ sen2fA
2 2 2
(eX+eY) (eX-eY) gXY
Y eB = + cos2fB+ sen2fB
fC
fB
2 2 2
fA
X (eX+eY) (eX-eY) g
eC = + cos2fC+ XY sen2fC
2 2 2
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72. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
Teoría de Rosetas de Deformación
La roseta puede tener orientaciones que simplifi-
can la obtención de los planos principales. D 45°:
(eX+eY) (eX-eY) gXY
eA = + cos0° + sen0°
2 2 2
(eX+eY) (eX-eY) gXY
Y eB = + cos90° + sen90°
90°
2 2 2
45°
X (eX+eY) (eX-eY) g
eC = + cos180°+ XY sen180°
2 2 2
J.Vergara ICM2312

73. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
Teoría de Rosetas de Deformación
La roseta puede tener orientaciones que simplifi-
can la obtención de los planos principales. D 60°:
(eX+eY) (eX-eY) gXY
eA = + cos0° + sen0°
2 2 2
(eX+eY) (eX-eY) gXY
Y eB = + cos120°+ sen120°
120°
2 2 2
60°
X (eX+eY) (eX-eY) g
eC = + cos240°+ XY sen240°
2 2 2
J.Vergara ICM2312

74. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
Teoría de Rosetas de Deformación
La roseta puede tener orientaciones que simplifi-
can la obtención de los planos principales. D 120°:
(eX+eY) (eX-eY) gXY
eA = + cos0° + sen0°
Y 120° 2 2 2
(eX+eY) (eX-eY) gXY
eB = + cos240°+ sen240°
X 2 2 2
240°
(eX+eY) (eX-eY) g
eC = + cos480°+ XY sen480°
2 2 2
J.Vergara ICM2312

75. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
Rosetas Comunes
La roseta puede tener orientaciones que simplifi-
can la obtención de los planos principales.
B
120°
Y Y Y
45° 60° 120° 240°
90° 120°
X 45° X 60° X
C
eX+eY eX-eY eX+eY + eX-eY eX = eA eX+eY + eX-eY e = e
eA = eX = eA eA = eA =
2 + 2
X A
2 2 2 2
eX+eY gXY eX - 3eY gXY 2eB -2eC eX 3eY gXY -2eB +2eC
eB = + gXY = 2eB-eA-eC eB =
4 4
+
4 3 gXY = eB = + -
4 4 4 3 gXY =
2 2 3 3
eX+eY eX-eY eX 3eY gXY 2(e +e )-e e 3e g 2(e +e )-e
eC = - eY = eC eC = - - 3 eY = B C A eC = X + Y+ XY 3 eY = B C A
2 2 4 4 4 3 4 4 4 3
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76. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
base Roseta pegamento
Aplicación de Rosetas
Las rosetas modernas son hechas de materiales
que muestran respuesta a la deformación y baja
sensibilidad a la temperatura (bajo coeficiente de
expansión). Se espera que el conductor y la placa
aislante tengan similar comportamiento. Los más
comunes son: Constantan, Karma y NichromeV.
Las primeras rosetas se apernaban. Hoy se usan
pegamentos aislantes (basados en cianoacrílicos
(CA) y en resinas adhesivas).
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77. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
Ejemplos de Rosetas
La medida de la galga es pequeña (unidades de
10-6) y adimensional, por lo que se requiere un
circuito para convertir el cambio de resistencia
en un voltaje (puente Wheatstone u otros).
J.Vergara ICM2312

78. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
Lectura de Rosetas
El cambio de resistencia en la
VOUT
galga es pequeño, por lo cual
se requiere de excitación exter-
na y de un indicador de voltaje.
El puente de Wheatstone es un
método amplificador simple, en VIN
el que una de las resistencias
R R –R R
es la galga. Otras formas impli- VOUT = 1 2 2 4 VIN
(R1+R2)–(R2+R4)
can puentes de 3 y 2 alambres,
con galgas por resistencias.
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79. ROSETAS DE DEFORMACIÓN
Rosetas de Deformación a Distancia
La medición puede ser realizada a distancia, así
como la gestión de los sistemas bajo medición,
por ejemplo, este riel distante de las estaciones
de mantenimiento.
www.isirail.com
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80. CONCLUSIONES
Hemos revisado las deformaciones que resultan
de los esfuerzos, lo que vemos a través de rela-
ciones entre las diferentes variables, en todas
sus dimensiones.
Hemos asociado todas las derfomaciones y rota-
ciones con los esfuerzos normales y cortantes a
través de las relaciones de Hooke.
Vimos que no es posible medir los esfuerzos en
forma directa y que las deformaciones nos dan
señales de lo que ocurre en un componente, por
ejemplo a través de galgas extensiométricas.
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81. CONCLUSIONES
Si conocemos cómo actúan las cargas mecánicas
en un componente, y que se pueden superponer
dentro del límite elástico, estaremos en condicio-
nes de dimensionar cualquier componente mecá-
nico a través de su estado de esfuerzos multiaxial.
Con estas relaciones, y utilizando teorías de falla,
estamos en condiciones de determinar la técnica
mediante la cual el proceso de diseño mecánico
usa la información de los ensayos de materiales,
en ambiente controlado, los cuales, asociados al
estado de esfuerzos, nos definen la geometría.
J.Vergara ICM2312