1. La version du théorème de
Thalès enseignée actuellement
Journées de l’ATSM. 18-21 Décembre 2005

2. Plan
Introduction
Les trois points étudiés
 Les énoncés du théorème de Thalès
 Les applications du théorème de Thalès
 L’espace de variation des configurations de
Thalès
Le théorème de Thalès en 9ème année de base
Le théorème de Thalès en 1ère année secondaire
 La version de 2002
 La version de 2003
Remarques
Conclusion

3. Introduction
Le théorème de Thalès
• Un point fort qui a traversé toutes les réformes
• Il permet de rencontrer tôt les problèmes où le
géométrique et le numérique se rencontrent.
• Un concept auquel sont associés des énoncés
différents
• Il se place au carrefour de plusieurs concepts
enseignés actuellement.

4. Les trois points observés
• Les énoncés du théorème de Thalès :
Duperret (1995)
 L’aspect « projection » permet le passage d’une droite à
l’autre
 L’aspect « homothétie » privilégie le passage d’un
triangle à l’autre.

5. La projection (Brousseau, 1995)
La conservation des La conservation du
abscisses rapport de projection
AB AC AB AB '
= =
AB ' AC ' AC AC '

6. Jaffrot (1995)
Longueurs sur (d) OA AC OC HE …
Longueurs sur (d') OB BD OD GF …
AC BD OA OC OE OH OC OD CD
= ; = = = ; = =
OA OB OB OD OF OG OA OB AB

7. • L’espace de variation des configurations
de Thalès
J. et F. Cordier (1991)
 certaines configurations, appelées typiques,
sont les plus préférées par les élèves
 Une enquête menée en 2002 : le même phénomène est
retrouvé chez les enseignants
 le nombre de parallèles envisagées
 l’angle des deux sécantes (aigu ou obtus)
 la disposition des parallèles

8. • Les applications du théorème de Thalès
 cas de similitude de triangles
 Les relations métriques dans les triangles rectangles
 le théorème de Pythagore
 L’introduction des notions trigonométriques
 le calcul de la puissance d’un point par rapport à un
cercle
 Les applications caractérisées par un aspect
utilitaire:
- L’exemple typique de la mesure de la hauteur
d’un arbre
- la mesure d’objets inaccessibles de l’espace

9. Le théorème de Thalès en 9ème année de base
Le programme officiel (1997)
 un objectif essentiel : calculer des distances
 Le statut des énoncés est fixé: il est indiqué
d’appliquer le théorème au triangle et au trapèze.
 Diviser un segment en parties égales ou en parties
de longueurs proportionnelles à des réels donnés
Le manuel scolaire
 Le «Thalès dans un triangle » est traité comme
conséquence d’un énoncé supposé plus général.
 Il est le plus souvent mobilisé dans les applications.
 L’énoncé donné ne propose que l’égalité d’un seul
rapport.

10.  un champ d’applications assez réduit, dominé par des
questions calculatoires
Le théorème de Thalès en 1ère année secondaire
La version de 2002
Le programme de 1998
 L’arrivée du sens réciproque du théorème
 Construire le point M de la droite (AB) tel que
uuuu
r uuu
r
AM = KAB où K ∈ IR *
 Faire un retour sur l’énoncé vu dans la classe
précédente

11. Le manuel de 2002
Le sens direct
- Un unique énoncé est rappelé: la conservation des abscisses
- L’aspect «homothétie » est le plus utilisé dans les applications
Le sens réciproque
1- Difficulté d’ordre logique
- à partir de 1991, l'enseignement formel de la logique a
disparu des programmes.
- dans le cours, aucune initiation à l’apprentissage de la
réciproque d’une propriété n’apparaît.
2- l’utilisation des mesures algébriques:
 Avantage: éviter d'indiquer l’ordre des points
 Difficulté: n'attribuer à l’énoncé qu'un seul dessin
3 - l’absence d’un énoncé de la réciproque relatif à l’approche
« homothétie »

12. Les applications du théorème de Thalès:
- Construire le point M de la droite (AB) tel que
uuuu
r uuur
AM = KAB où K ∈ IR *
- Construction de la 4ème proportionnelle et partage
de segments en parties isométriques
- La fréquence élevée des applications avec les
mesures algébriques.
- Les relations Thalès-trigonométrie et Thalès-
vecteurs sont faibles

13. La version de 2003
Le programme de 2003
 Il est organisé sous forme de compétences
 Deux nouvelles orientations
- Une importance particulière est accordée aux
démonstrations à l’apprentissage de la démarche et
du raisonnement mathématique
Les élèves distinguent entre une implication et une
équivalence
- Contribution des mathématiques au développement
de la société

14. Les applications du théorème de Thalès
 Ils [les élèves] trouvent une quatrième
proportionnelle
 Ils partagent un segment en parties
isométriques
 Ils déterminent l’effet de la multiplication
d’une dimension d’un solide par un nombre
donné sur son aire et son volume
 Ils résolvent des problèmes de […]
reproduction de figures.
 Ils mesurent des longueurs et des angles en
utilisant le théorème de Thalès et sa
réciproque…

15. Le manuel de 2003
Des différences de forme
 Un nombre d’activités impressionnant
 Les différents éléments du cours sont séparés
 L’introduction de l’outil informatique, et de la
dimension historique du concept
 Des indications précisant la stratégie de résolution
 Des exercices d’auto-évaluation
La leçon sur le théorème de Thalès
Une nouvelle place: les vecteurs sont renvoyés au
chapitre 4, après la leçon sur les rapports
trigonométriques qui suit celle sur le théorème de
Thalès.

16. Le sens direct
 Le nouveau manuel redonne la vie à l’approche
« homothétie »
 L’approche « projection » est totalement absente
Le sens réciproque
 L’approche « homothétie » est encore dominante
 L’absence des mesures algébriques
 Nécessité de préciser que, sur les deux côtés, les
points sont choisis dans le même ordre
 l’existence de trois énoncés relatifs au sens
réciproque du théorème

17. Les applications du théorème de Thalès
 la construction d’un point M de (AB) tel que
uuuu
r uuu
r
AM = KAB où K ∈IR *
limitée au cas où k est un réel positif
 le partage d’un segment en parties isométriques
disparaît et est remplacé par le partage d’un
segment dans une proportion donnée.
 Un nouveau champ d’applications:
les problèmes d’agrandissement et de réduction
La propriété des (k ; k2) : "dans un phénomène
d' « agrandissement-réduction », quand les
longueurs sont multipliées par un réel k, les aires
le sont par k2"
 un apprentissage de reproduction de figures et de
comparaison des aires

18. Dans les trois manuels
 L’un des deux aspect est dominant
 Les applications du théorème de Thalès sont limitées
au contexte mathématique (3 sur 28 en 9ème, 1 sur 21
en 2002 et 1 sur 15 en 2003)
 Les variables de la figure sont peu mobilisées
 Le nombre de parallèles est au plus 3
 La dominance des cas où:
 L’angle des sécantes est aigu
 Le point d’intersection des sécantes est
du même côté par rapport aux parallèles

19. Quelques remarques :
1. Une réelle « hésitation » entre les deux approches
du théorème de Thalès
 L’approche « homothétie »
 passage des figures semblables aux proportions
 plus proche de l’environnement de l’enfant et du
sens historique du théorème
 dans la majorité des applications on a recours
rapidement au triangle
 l’aspect projectif du théorème : l’exemple des « petits
bouts » (Duperret ,1995)

20. x b
la « projection » : =
a c
L’« homothétie »: un calcul plus compliqué
Un Thalès dynamique
Situation A, l'invariant : la "projection » ,le variant : l"homothétie".
Situation B, l'invariant : l'"homothétie",le variant : la "projection".

21. 2. Le phénomène d’agrandissement-réduction: un
rôle plus important (A. et C. Massot, 1995)
- Dans un agrandissement ou une réduction les
angles sont conservés
- En général, la réciproque est fausse
- La réciproque est vraie dans le cas des triangles
- Dans les triangles ABC et ADE , les angles sont
respectivement égaux
- Ces triangles sont agrandis ou réduits l’un de l’autre.
- Leurs côtés sont donc proportionnels (approche
«homothétie »)

22. (Monfront, 1995)
- Les deux triangles rectangles ont un angle aigu
égal, donc ils sont agrandis ou réduits l’un de l’autre
- Leurs côtés sont donc proportionnels
- Ces rapports sont indépendants des triangles
- Introduction du cosinus, sinus et tangente d’un
angle aigu
3. La nouvelle place de la leçon sur les vecteurs:
un rétrécissement de la niche écologique du théorème
de Thalès

23. Relation Thalès-vecteur
- Introduction du théorème de Thalès
Brousseau (1995)
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuur
si AB ' = α AB alors AC ' = α AC (conservation des abscisses)
uuuuur uuu
r uuuu
r uuu
r
si B ' C ' =αBC alors AB ' =α AB (homothétie)
r u r r u
r
- Etablir la relation λ (U + V ) = λ U + λ V
- Préparer le terrain pour l’avènement de l’homothétie
et du barycentre.

24. 4- Les limites des configurations typiques
(J. et F. Cordier, 1991)
Les configurations typiques: une source de biais cognitif
 Elles permettent d’économiser le temps et les
erreurs dans le repérage des éléments
caractéristiques d’une figure
 Elles sont des points de référence caractérisés par
un temps de traitement de l’information rapide
Illusion: la catégorie logique est visible à travers
sont objet prototypique
 L’élève peut fonder son raisonnement sur des
propriétés figuratives inutiles au problème
 Il peut rejeter des situations pertinentes à cause
de leur non adéquation avec ses représentations
Connaissance prototypique
Connaissance conceptuelle

25. Conclusion
Le nouveau manuel: des lacunes comblées
- Par la réapparition de l’approche « homothétie »
- Par l’introduction de nouveaux champs d’applications
- Par des exercices plus variés (calcul et comparaison
d’aires et de périmètres, recherche d’un ensemble de
points)
La nouvelle place des vecteurs a réduit l’environnement
du théorème de Thalès.
Quel est l’impact de l’arrivée des transformations et du
calcul vectoriel sur l’application du théorème de Thalès?