Ingenieria Sistemas

1. FUNCIONES
RACIONALES

2. INTEGRANTES
KAREN GIRALDO
JAIRO LOPEZ
JAIRO BOADA
JOSE LASTRA
CALCULO II
MARIA EUGENIA MONTERO
CORPORACION UNIVERSITARIA REMINGTON
2015

3. INDICE
1.INTRODUCCION
2.OBJETIVOS
3.FUNCION RACIONAL
3.1 ECUACION DE UNA FUNCION RACIONAL
4.CARACTERISTICAS
5. DOMINIO Y RANGO
6.GRAFICA
6.1 ASINTOTAS
6.1.1 ASINTOTA VERTICAL
6.1.2ASINTOTA HORIZONTAL
6.2 INTERCEPTOS
6.2.1 INTERCEPTO CON EL EJE X
6.2.2 INTERCEPTO CON EL EJE Y
6.3 TABLA DE VALORES
6.4 HACIENDO LA GRAFICA
7. EJERCICIO PRACTICO

4. INTRODUCCION
Esta exposición esta realizada con el propósito de
aprender sobre las funciones racionales; Que son?, Como
se expresan?, Como se grafican?. Pretendemos dar a
conocer todos los pasos posibles para graficar una
función, al igual que dejar en claro todos los conceptos
que definen la función racional

5. 2.OBJETIVOS
Al concluir esta breve exposición, debemos ser
capaces de:
 Identificar la ecuación de la función racional.
 Definir cada uno de los conceptos de la función
racional.
 Graficar una función racional.
 Reconocer como y donde estamos aplicando las
funciones racionales.

6. 3.FUNCION RACIONAL
Es una expresión que tiene forma parecida a
un numero racional o fraccionario. Cuentan
con un numerador y un denominador, siendo
estos polinomios.
Podemos decir entonces que la función
racional esta formada por el cociente de dos
polinomios.

7. 3.1 ECUACION DE LA FUNCION RACIONAL
La función racional se expresa de la siguiente manera:
Ejemplos
xx
x
xg
x
x
xf
x
xf
9
4
)(
3
2
)(
2
1
)(
3
2







Donde
)(
)(
)(
xg
xf
xp  )(xf )(xgY
Son funciones polinomicas

8. Basados en la función:
1. El dominio de las funciones racionales son los números
reales menos las raíces del denominador.
2. Son discontinuas en los valores de x que son raíces del
denominador.
3. Tienen asíntotas verticales en cada raíz del denominador que
no lo sea del numerador, y pueden tener asíntotas
horizontales y oblicuas.
4. Su gráfica es una hipérbola.
4.CARACTERISTICAS
RxRfDom  {)( }0)( xQtales que
)(
)(
)(
xg
xf
xp 

9. 5. DOMINIO &
RANGO

10. 5.1 DOMINIO DE LA FUNCION RACIONAL
El dominio de la función racional, son todos los
números reales excepto los valores para los cuales
el denominador se hace 0.
Como la división por cero no está definida, se
excluyen del dominio los valores de “x” que
anulan el denominador.
En el ejemplo:
32
1
)(



x
x
xf

11. Vamos a igualar el denominador a 0 para
determinar las raíces:
Dominio: R-{-1.5}
(-∞,1/2) U (1/2 + ∞)
032 x
32
1
)(



x
x
xf
5.1
2
3
32




x
x
x

12. 5.2 RANGO DE LA FUNCION RACIONAL
Para hallar el rango de la función racional se
despeja la variable “x” en función de “y” y se
hace el mismo procedimiento que para hallar
el dominio.
En el ejemplo:
32
1
)(



x
x
xf

13. Despejamos x
32
1
)(



x
x
xf
12
31
31)12(
312
132
1)32(
32
1










y
y
x
yyx
yxxy
xyxy
xxy
x
x
y
2
1
12
012



y
y
y
Rango f(x): R-{1/2}
(-∞,1/2) U (1/2 + ∞)

14. 6. GRAFICA DE LA FUNCION RACIONAL
Para trazar gráficas de funciones racionales
podemos seguir los siguientes pasos:
 Determinar las asíntotas verticales.
 Determinar las asíntotas horizontales.
 Determinar los interceptos con el eje.
 Determinar comportamiento alrededor de las asíntotas.

15. Para buscar las asíntotas, los interceptos y graficar,
vamos a usar la función:
3
2
)(


x
xf

16. 6.1.ASINTOTAS
Las asíntotas son líneas que nunca tocan a la
función pero se encuentran muy cercanas a
ella.
Encontraremos asíntotas verticales y
asíntotas horizontales

17. 6.1.1 ASINTOTA VERTICAL
Son rectas verticales asociadas a la
función. Las encontramos únicamente en
funciones racionales de la forma:
Se determina encontrando las raíces del
denominador h(x).
)(
)(
)(
xh
xg
xf 

18. Sea el ejemplo:
Igualamos el denominador a 0:
La recta x = -3 es la única asíntota vertical de la
función.
3
2
)(


x
xf
3
03


x
x

19. 6.1.2 ASINTOTA HORIZONTAL
Como su nombre lo indica son rectas
horizontales asociadas a la función.
Se determinan haciendo que la variable
independiente ʺxʺ tienda al infinito.

20. Sea el ejemplo:
La recta y = 0 es la única asíntota horizontal
de la función.
3
2
)(


x
xf
0
4
0
31
0
3
2





x
x
xy

21. 6.2 INTERCEPTOS
Es un punto donde la grafica de la función
corta cada uno de los ejes.

22. 6.2.1 INTERCEPTO CON EL EJE X
Las intersecciones con el eje x (si las hay) se
obtienen haciendo y=0 y despejando la x.
Este intercepto corresponde al punto donde la
grafica corta al eje X.

23. Sea el ejemplo:
No hay intercepto con el eje x.
3
2
)(


x
xf

24. 6.2.2 INTERCEPTO CON EL EJE Y
Las intersecciones con el eje Y se obtienen
haciendo x=0 .
Estas intersecciones con el eje y son los puntos
donde la grafica corta el eje y.

25. Sea el ejemplo:
Hacemos x=0
El punto tiene las coordenadas (0,0.6)
3
2
)(


x
xf
6.0
3
2
30
2
)0( 

f

26. 6.3 TABLA DE VALORES
Escogimos unos valores al asar para reemplazar a
x y hallar a y.
Procedemos a reemplazar a x con cada valor escogido de la
siguiente manera:
X 3
3
2
)(


x
xf
33.0
6
2
3)3(
2


y

27. X Y
3 0.33
1 0.5
-2 2
-2.9 20
-3.5 -4
-4 -2
-6 -0.6

28. ASINTOTA VERTICAL:
-3
ASINTOTA
HORIZONTAL:
0
INTERCEPTO EJE X:
NO HAY
INTERCEPTO EJE Y:
(0,0.6)

29. X Y
3 0.33
1 0.5
-2 2
-2.9 20
-3.5 -4
-4 -2
-6 -0.6