analyse numérique

1. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barek
Position du problème
Nous nous intéressons ici au traitement numérique de
l’équation de la chaleur :
π2 ∂u(t,x)
∂t
−
∂2u(t,x)
∂x2
= 0
Nous allons nous placer dans des conditions initiales :
∀x ∈ [0,1] u(0,x) = sin(πx)
∀t ≥ 0 u(t,0) = u(t,1) = 0
La solution exacte du problème est :
u(t,x) = e−t
sin(πx)
En effet
∂u(t,x)
∂t
= −e−t sin(πx) et
∂2
u(t,x)
∂x2 = −π2e−t sin(πx)
Ainsi cette solution vérifie les conditions initailes.
1 Master IAD ENSA d’Agadir

2. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barek
la résolution numérique
Bien que nous connaissions ici la solution exacte
du problème, il est instructif de voir comment l’on peut
calculer numériquement, ou plus exactement l’approcher
numériquement.
Nous allons discrétiser le problème en x
et en t.
Soit h le pas de la discrétisation de x donc soient :
x0 = 0,x1 = h,x2 = 2h,...,xN = 1.
Soit k le pas de la discrétisation de t donc soient :
t0 = 0,t1 = k,t2 = 2k,... .

3. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barek
Schéma explicite
Soit n,i ∈ N tel que 0 ≤ i ≤ N avec N = 1
h .
Un développement limité d’ordre 1 de la fonction u(t,x) par
rapport à t nous donne :
u((n + 1)k,ih) = u(nk,ih) + k
∂u
∂t
(nk,ih) + ko(1)
donc
∂u
∂t
(nk,ih) ≈
u((n + 1)k,ih) − u(nk,ih)
k
de même un développement limité d’ordre 2 de la fonction
u(t,x) par rapport à x nous donne :
u(nk,(i+1)h) = u(nk,ih)+h
∂u
∂x
(nk,ih)+
h2
2
∂2u
∂x
(nk,ih)+h2
o(1)
u(nk,(i−1)h) = u(nk,ih)−h
∂u
∂x
(nk,ih)+
h2
2
∂2u
∂x2
(nk,ih)+h2
o(1)
.
3 Master IAD ENSA d’Agadir

4. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barek
Schéma explicite
Donc
u(nk,(i+1)h)+u(nk,(i−1)h) = 2u(nk,ih)+h2 ∂2u
∂x
(nk,ih)+h2
o(1)
D’où
∂2u
∂x2
(nk,ih) ≈
u(nk,(i + 1)h) + u(nk,(i − 1)h) − 2u(nk,ih)
h2
posant u(nk,ih) = un
i . Le problème devient :
π2 un+1
i − un
i
k
=
un
i+1 + un
i−1 − 2un
i
h2
D’où :
un+1
i =
k
h2π2
(un
i+1 + un
i−1) + (1 −
2k
h2π2
)un
i
4 Master IAD ENSA d’Agadir

5. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barek
Schéma explicite
si on pose α = k
h2π2 , alors
un+1
i = α(un
i+1 + un
i−1) + (1 − 2α)un
i
finalement notre problème devient :









un+1
i = α(un
i+1 + un
i−1) + (1 − 2α)un
i si 1 ≤ i ≤ N − 1
u0
i = sin(πih) si 1 ≤ i ≤ N − 1
un
0 = un
N = 0 ∀n ≥ 0
Pour résoudre ce problème il suffit de déduire les un+1
i à partir
des un
i car on connaît les u0
i , on en déduit les u1
i , puis les u2
i et
anisi de suite jusqu’aux un
i .

6. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barek
Schéma explicite























un+1
1
un+1
2
.
.
.
un+1
N−1























=





















1 − 2α α
α 1 − 2α α
...
...
...
... 1 − 2α α
α 1 − 2α





















.






















un
1
un
2
.
.
.
un
N−1






















.

7. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barek
La résolution numérique
h=input("Donner le pas h de la discrétisation de x") ;
k=input("Donner le pas k de la déscritisation de t ") ;
M = 1
h ; N = 1
k ;α = k
h2π2 ;
//création de la matrice A
A =zeros(M-1,M-1) ; x =zeros(M,1) ;
for i=1 :M-2
A(i + 1,i) = α ;A(i,i + 1) = α ; A(i,i) = 1 − 2α ;
end
A(M − 1,M − 1) = 1 − 2α ;
for i=1 :M
x(i) = ih ;
end
//condition initiale sur x
for i=1 :M
un
i = sin(πx(i)) ;
end 7 Master IAD ENSA d’Agadir

8. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barek
La résolution numérique
//Calcul de un
i
for n=0 :N-1
u(1 : M − 1,n + 1) = Au(1 : M − 1,n) ;
end
for n=0 :N-1
plot2d(x,u( :,n),n) ;
end
8 Master IAD ENSA d’Agadir

9. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barek
Schéma implicite
Discrétisons la même équation avec la même méthode mais
utilisons cette fois une approximation à gauche de la dérivée
de u par rapport à t :
∂u
∂t
(nk,ih) ≈
un
i − un−1
i
k
donc notre problème devient :
π2 un
i − un−1
i
k
=
un
i+1 + un
i−1 − 2un
i
h2
D’où
k
π2h2
(un
i+1 + un
i−1) − (
1
k
+
2k
π2h2
)un
i = −
un−1
i
k
Ce schéma nécessite la résolution d’un système d’équations :
9 Master IAD ENSA d’Agadir

10. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barek
Schéma implicite





















α β
β α β
...
...
...
... α β
β α





















.






















un
1
un
2
.
.
.
un
N−1






















=


























−
un−1
1
k
−
un−1
2
k
.
.
.
−
un−1
N−1
k


























avec β = 1
π2h2 et α = −1
k − 2β
la résolution numérique de ce problème :
la matrice A de ce système est définie positive car de
diagonale strictement dominante (|α| > |2β|) alors on peut
appliquer la méthode de Cholesky
10 Master IAD ENSA d’Agadir

11. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barek
Schéma implicite
h=input("Donner le pas h de la discrétisation de x") ;
k=input("Donner le pas k de la déscritisation de t ") ;
M = 1
h ; N = 1
k ; α = k
h2π2 ;
for i=1 :M-1
v(i) = sin(pi ∗ i ∗ h) ; u(i)=v(i) ;
end
u=u’ ;
A =zeros(M-1,M-1) ; u =zeros(M-1,1) ;
for i=1 :M-2
A(i + 1,i) = β ; A(i,i + 1) = β ; A(i,i) = α ;
end
A(M − 1,M − 1) = α ;
G=zeros(M-1) ;
for k=1 :M-1
s=0 ;
11 Master IAD ENSA d’Agadir

12. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barek
Schéma implicite
for j=1 :k-1 s = s + (G(k,j))2 ;
end
G(k,k) = sqrt(A(k,k) − s) ;
for i=k+1 :M-1
s=0 ;
for j=1 :k-1
s = s + G(i,j) ∗ G(k,j) ;
end
G(i,k) = (A(i,k) − s)/G(k,k) ;
end end
[y] = descende(G,b) ;[u] = remonter(G0,y) ;
for i=0 :N
u = A ∗ u ; y = exp(−i ∗ k) ∗ v ; y = y0 ;
erreur = norm(u − y) ;plot(u) ; axis([0 M+1 0 1]) ;
drawnow pause
end

13. La problématique de l’évaluation des options AABIDA M’barek
Bibliographie
Augros.J.C : Finance-option et obligation
convertibles.Economica, 1995.
Augros.J.C : les options sur taux d’intérêt-Dynamique des
taux et évaluation.Economica, 1995.
Augros.J.C : Les options négociables.Vuibert, 1987.
Mele.A : Dynamiques non-linéaires, Volatilité et
équilibre.Economica, 1998.
Bajeux.I et Rochet.J.C : Dynamique spanning : are options
an appropriate instrument.Mathematical Finance 6, 1996.
13 Master IAD ENSA d’Agadir