乱択データ構造の最新事情 －MinHash と HyperLogLog の最近の進歩－
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MinHash, b-bit MinHash, HyperLogLog, Odd Sketch, HIP Estimator の解説です．
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乱択データ構造の最新事情 －MinHash と HyperLogLog の最近の進歩－
- 1. 乱択データ構造の最新事情 －MinHash と HyperLogLog の最近の進歩－ 東京大学 情報理工学研究科 D2 秋葉 拓哉 (@iwiwi) 2014/05/29 @ PFI セミナー
- 2. 背景 誰もが大量の集合・特徴ベクトルを処理したい！ • 文章 → 単語の集合 (bag of words) • 商品 → 購買者 • 画像データ → 局所特徴量 (SIFT, SURF, …) • …… 色々したいが，そのまま処理するのは困難 • データが大きすぎる • 遅すぎる 1
- 3. Sketching による効率化 解決策： 集合そのものの代わりになる Sketch を使う 2 Sketch 𝑫(𝑺) 集合 𝑺 hoge piyo fuga ？？？ • 小さい！ • 効率的に処理ができる！ • ただし結果は推定になる
- 4. 3 今日の話：集合 Sketching の最新技術 1. MinHash Sketches 入門 • 基礎的かつ強力な手法である MinHash を復習 （以降の話も両方 MinHash の派生系） 2. Odd Sketches による Jaccard 係数推定の進歩 • まず，現在よく用いられている 𝒃-bit MinHash を紹介 • 類似性が高い際 𝑏-bit MinHash が劣化する問題を解消 [Mitzenmacher-Pagh-Pham, WWW’14] 3. HIP Estimator による集合異なり数推定の進歩 • まず，現在よく用いられている HyperLogLog Counter を紹介 • 要素挿入時の情報を用い精度を改善，誤差 1.08/ 𝑚 → 0.87/ 𝑚 [Cohen, PODS’14] WWW’14 Best Paper!
- 5. 1. Min-wise Hashing 入門 ※ この部分は岡野原さんの 2011 年の解説をベースにさせてもらっています http://research.preferred.jp/2011/02/minhash/ 4
- 6. Jaccard 係数 集合の類似度として Jaccard 係数を考えます 集合 𝑺 𝟏 と 𝑺 𝟐 の Jaccard 係数： 𝐽 𝑆1, 𝑆2 = 𝑆1 ∩ 𝑆2 |𝑆1 ∪ 𝑆2| 具体的な場面 • 文章の類似検索，重複検出 • 商品の推薦 集合の Jaccard 係数を推定したい気持ちになって下さい 5
- 7. MinHash Sketch 𝒌 = 𝟏 ハッシュ関数 ℎ を用意しておく 6 集合 𝑆 hoge piyo fuga ℎ 𝑎 𝑎 ∈ 𝑆} 13 85 35 min ℎ 𝑎 𝑎 ∈ 𝑆} 13 全要素にハッシュ関数を適用 最小値だけを取り出す
- 8. Jaccard 係数推定の基礎 重要な性質 Pr min ℎ 𝑎 |𝑎 ∈ 𝑆1 = min ℎ 𝑏 |𝑏 ∈ 𝑆2 = 𝐽 𝑆1, 𝑆2 2 つの集合のハッシュ値の min が一致する確率は Jaccard 係数に等しい！ ※ハッシュ関数は完全にランダムに振る舞うと仮定 7 𝑆1 の Sketch 𝑆2 の Sketch
- 9. Jaccard 係数推定の基礎 なぜ？ 具体例で考えてみます． • 𝑆1 = 2,5,7,9 , 𝑆2 = 1,2,4,7,10 𝑆1 ∩ 𝑆2 = 2,7 ．例えば 2 で一致する場合とは？ • arg min ℎ 𝑎 |𝑎 ∈ 𝑆1 = 2 ⇔ {2,5,7,9} で 2 が最強 • arg min ℎ 𝑏 |𝑏 ∈ 𝑆2 = 2 ⇔ {1,2,4,7,10} で 2 が最強 条件を合わせると， • 2 で一致 ⇔ 1,2,4,5,7,9,10 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 中で 2 が最強 一致するのは 7 でも良く，このように，要は 𝑆1 ∪ 𝑆2 中で最強のものが 𝑆1 ∩ 𝑆2 のいずれかであればよい． その確率は： S1 ∩ 𝑆2 / S1 ∪ 𝑆2 = 𝐽 𝑆1, 𝑆2 ． 8 最強＝ハッシュ値が最低
- 10. 𝒌-min MinHash Sketch あとはこれを 𝑘 個並べると……！ 𝒌-min MinHash Sketch • 異なる 𝑘 個のハッシュ関数 ℎ1, ℎ2, … , ℎ 𝑘 を用意 • それぞれについてさっきの min を計算＆保存 Jaccard 係数の推定 • 「一致した数 / 𝑘」により 𝐽 𝑆1, 𝑆2 を推定 推定値は unbiased (不偏) また分散は 𝐽 1 − 𝐽 / 𝑘 になることが示せる 9
- 11. MinHash Family こんな感じでハッシュ関数の最小値に注目する Sketching の手法が一般に MinHash と呼ばれる． （Jaccard 係数推定以外のことも色々できる．） MinHash のバリエーション • 𝑘 個の並べ方 – 𝑘-min Sketch (OddSketch はコレ) – 𝑘-partition Sketch (HyperLogLog はコレ) – Bottom-𝑘 Sketch (最近の All-Distances Sketches はコレ) • ハッシュ値の使い方 – Full Ranks (さっきのやつはコレ) – 𝑏-bit MinHash (Jaccard 係数でよく使われているヤツ) – Base-𝑏 Ranks (HyperLogLog は Base-2 Ranks) – …… 10
- 12. 2. Odd Sketches による Jaccard 係数推定の進歩 [Mitzenmacher-Pagh-Pham, WWW’14] 11
- 13. 𝒃-bit MinHash MinHash の改善できそうなところ • さっきの MinHash ではハッシュ値をそのまま保存 • 各々に 32bit (or 64bit) も使うと個数 𝑘 をあまり増やせない • 衝突を覚悟してもハッシュ値を小さくして，その分 𝑘 を 増やしてはどうか？ 𝒃-bit MinHash [Li-König, WWW’10] • 異なる 𝑘 個のハッシュ関数 ℎ1, ℎ2, … , ℎ 𝑘 を用意 • それぞれについてさっきの min を計算 • ハッシュ値の下位 𝑏 bit のみを保存 (データサイズは 𝑘𝑏 bit になる) 12 𝑏 = 1 という極端な場合が 実は一番性能が良かったり
- 14. 𝒃-bit MinHash による Jaccard 係数推定 Jaccard 係数の推定： 𝐽 = 𝑛/𝑘 − 2−𝑏 1 −2−𝑏 と推定すれば良い （𝑛＝一致箇所数） 一致確率にハッシュ値の衝突を加味して解析 • 各箇所の一致確率は 𝐽 + 1 − 𝐽 2−𝑏 • 𝐽 + 1 − 𝐽 2−𝑏 × 𝑘 = 𝑛 として解くと上が得られる 推定値は unbiased (不偏) また分散は 1−𝐽 𝑘 𝐽 + 1 2 𝑏−1 になることが示せる 13
- 15. 𝒃-bit MinHash が微妙な時 特に高い類似度の推定に興味がある時 𝒃-bit MinHash は実は微妙 なぜ？ • 類似度 𝐽 が 1 に近い時，2 つのスケッチはほぼ同じ • 異なっている若干のビット数で，1 との差を見積もる • つまり，1 との差を表現するのは全体のごく一部 そのような状況は少なくない • 類似度 Top-10 を表示したい（→ 高い類似度のアイテムの精度が重要） • Web ページの重複検出等で 𝐽 > 0.9 かを判定したい 14
- 16. 𝒃-bit MinHash が微妙な時 • 類似度 𝐽 が 1 に近い時，2 つのスケッチはほぼ同じ • 異なっている若干のビット数で，1 との差を見積もる • つまり，1 との差を表現するのは全体のごく一部 15 [Figure 1, Mitzenmacher+, WWW’14]
- 17. Odd Sketches そこで高い類似度での精度を重視し改善するのが Odd Sketches [Mitzenmacher-Pagh-Pham, WWW’14] 着想 • XOR を活用する • 共通部分を打ち消させる • 異なっている部分の情報だけを綺麗に得る
- 18. Odd Sketches Odd Sketches [Mitzenmacher-Pagh-Pham, WWW’14] • まず集合の要素を 𝑘-min MinHash で 𝑘 個選ぶ • 𝑛 bit のビットベクトル 𝑠 を用意，最初は全箇所 0 • 選ばれてる各要素 𝑎 について，𝑠 ℎ′ 𝑎 を反転する 𝑘 と 𝑛 がパラメータ．ℎ′: 値域 [1, 𝑛] のハッシュ関数を別途用意 17 集合 𝑆 hoge piyo fuga 1 piyo 2 hoge 𝑘-min MinHash 𝑘 = 2 0 1 0 0 1 0 Odd Sketch 𝑛 = 6
- 19. Odd Sketches ※注意：実際には元の集合からいきなり Odd Sketches を計算するので はなく，集合の 𝑘-min MinHash Sketch の Odd Skech を計算します． （擬似コードの 𝑆 は既に 𝑘-min MinHash Sketch） 18
- 20. Odd Sketches による Jaccard 係数の推定 𝐽 = 1 + 𝑛 4𝑘 ln 1 − 2 × Popcount odd 𝑆1 ⨂odd 𝑆2 𝑛 導出 • E MinHash 𝑘 𝑆1 Δ MinHash 𝑘 𝑆2 = 2𝑘 1 − 𝐽 • ポアソン分布への近似により E 𝑠𝑖 = 1−𝑒−2𝑚/𝑛 2 , E[Popcount] = 𝑛 1−𝑒−2𝑚/𝑛 2 • これを適当に解くと上が得られる 精度保証 • 実は Biased (だけど bias は 1 以下) • この式自体の分散等のカッチリした bound は今のところ無い 論文中では良いパラメータ仮定の元で精度が良さそうな根拠を並べている． 実際にはパラメータも実験により決めており，このへんは若干イケてない． 19 XOR 1 の数 S1の Odd Sketch 対称差 𝑚 = MinHash 𝑘 𝑆1 Δ MinHash 𝑘 𝑆2
- 21. Odd Sketches が得をする感覚的説明 20 [Figure 1-2, Mitzenmacher+, WWW’14]
- 23. 3. HyperLogLog による 集合異なり数推定の進歩 [Cohen, PODS’14] 22
- 24. 集合異なり数の計算 集合異なり数 (distinct counting) • 重複を取り除き，異なるものの数を数えたい • 例：[1, 3, 5, 1, 2, 3, 2] → {1, 2, 3, 5} → 4 具体的な場面 • ウェブページのユニークビジター数 • 単語の DF (document frequency) の計算 (tf-idf) 23
- 25. 集合異なり数の計算 計算が “意外と” 難しい • 既に全データある (batch) → sort して unique かける • 少しずつ来る (stream) → set を用意して放り込む どちらも線形のメモリを使ってしまう． ユニークビジター数を監視したいとすると…… • 各ページについて set を用意？ • 各ページに線形のメモリは，メモリを使いすぎでは？ そこでやはり Sketching の出番！ 現在最もよく使われているのが HyperLogLog Counter！ [Flajolet+, AOFA’07] 24
- 26. HyperLogLog のインパクト Google • PowerDrill (data analysis platform) にて使われている [Hall+, VLDB’12] • その際行った改良についての論文も出ている [Heule+, EDBT’13] Twitter • Algebird (Abstract algebra library for Scala) に入っている https://github.com/twitter/algebird/search?q=hyperloglog&ref=cmdform Redis (open source key-value store) • データタイプとして HyperLogLog が選べる http://antirez.com/news/75 25
- 27. HyperLogLog (𝒌 = 𝟏) HyperLogLog も MinHash の一種，ただし ハッシュ値を Base-2 Ranks で扱う Base-2 Ranks • 𝑎 ∈ 𝑆 の Base-2 rank 𝜚ℎ 𝑎 ≔ ℎ 𝑎 の先頭の 0 の数 • 例：ℎ 𝑎 = 00010101010 ⋯ → 𝜚ℎ 𝑎 = 3 HyperLogLog 𝒌 = 𝟏 • 𝑝 = max 𝜚ℎ 𝑎 | 𝑎 ∈ 𝑆 を計算 • 2 𝑝 として推定 26 3個 一般に base-𝑏 rank は − log 𝑏 ℎ(𝑎) 𝑛 (ℎ の値域を [1, n] として) 大きいヤツが珍しいので max を覚える 𝑝 以上になるのは 確率 2−𝑝 なので的な
- 28. HyperLogLog (𝒌 > 𝟏) Jaccard 係数の時同様, 𝑘 個並べて推定を強化する． ただし，今回は入力を 𝒌 個に分割する． HyperLogLog [Flajolet+, AOFA’07] • 𝑘 = 2 𝑏 個のバケット 𝑀 𝑖 を用意 • ハッシュ値 ℎ 𝑎 の先頭 𝑏 bit でバケットに振り分け • 各バケットで，Base-2 rank の max を保存 集合異なり数の推定 • 各バケットで推定値を計算 • それらの normalized bias corrected harmonic mean を取る (式は若干大変なので論文を見て下さい) 27 ハッシュ値は勿論先頭 𝑏 bit を 捨てたものを使う
- 29. HyperLogLog 28 [Figure 2, Flajolet+, AOFA’07]
- 30. HyperLogLog の理論的な性能 精度 • 相対誤差は 1.04/ 𝑘，CV (NRMSE) は 1.08/ 𝑘 • 定数確率で 1 ± 𝜀 近似するために必要な空間は 𝑂 𝜀−2 log log 𝑛 + log 𝑛 スペース • 各 𝑀 𝑖 の保存は 5 bit とかそんなもので良い → 5𝑘 bit これは near-optimal であるらしい． （漸近的性能はこれ以上の大幅な改善はできなさそう，ということ） 29 LogLog の名前を冠する所以
- 31. HyperLogLog の問題点 実は，値が大きくならないと滅茶苦茶 30 [Figure 2, Heule+, EDBT’13]
- 32. 値が小さい時の対策 アルゴリズムを組み合わせる • Linear Counting [Whang+, TODS’09] など 無理やり直す [Heule+, EDBT’13] • 右図のような巨大な表を前計算 (Google PowerDrill にはこれが組み込まれている) 美しくない！ 31
- 33. HIP Estimator Historic Inverse Probability Estimator [Cohen, PODS’14] • 値が小さい時も推定が正確になる • 漸近的な精度も大きく向上 着想 • HyperLogLog は near-optimal だったのでは？ • データ構造の最終状態から直接推定値を得るという仮定 • 最終状態だけでなく，計算途中の全ての状態を加味する とどうか？ 32 素晴らしい！
- 34. HyperLogLog with HIP Estimator 33 [Figure 4, Cohen, PODS’14] データ構造に集合を流しこみつつ 最初から数の集計も進める バケットを更新する度に 「この状況でここが更新される確率」 を使って集計値に加算する
- 35. HIP Estimator 仕組み＆理論値 動作原理はシンプル • 一般論：確率 𝑝 で発生 → 発生までの回数の期待値は 1/𝑝 • これに基づき，スケッチ値がそこで更新される条件付き 確率を考え，その逆数を足していけば良い 理論的解析 • CV (NRMSE) 3/4𝑘 ≈ 0.866/ 𝑘 （← HLL は 1.08/ 𝑘） • 0.56 倍のレジスタ数で同じ精度 – カウンタ 𝑐 も新しく覚えておくことを加味しても優れている HyperLogLog 以外でも，MinHash の変化を用いる時は常に適用可能 （例：All-Distances Sketches） 34 Historic Inverse Probability と呼ばれる所以
- 36. 実験結果 35 [Figure 3, Cohen, PODS’14]
- 37. まとめ 背景 • 大量の集合を皆が扱いたい時代 • そのための基礎技術としての集合 Sketching を紹介 基礎 • 全ての基本：MinHash • Jaccard 係数推定： 𝒃-bit MinHash • 集合異なり数推定：HyperLogLog 最新 • Jaccard 係数推定（高類似度）：Odd Sketches • 集合異なり数推定：HIP Estimator 36