1. NÚMEROS COMPLEXOS

2.  Introdução
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de ∆ ( b² - 4ac) na
resolução de equação de 2º grau, nos deparamos com
um valor negativo (∆<0). Neste caso, sempre dizemos
que não existe solução no campo dos números reais.
Uma equação que tirou o sono de muitos matemáticos do
século XV, foi a equação x² +1 = 0, uma vez que não
existe no campo dos reais raiz quadrada de número
negativo (x = √-1).
Para que as equações sempre fosse possíveis, houve a
necessidade de ampliar o universo dos números.
Criou-se, então, um número cujo quadrado é -1.

3. Esse número, representado pela letra i, denominado
unidade imaginária, é definido por:
i² = -1
A partir dessa definição, surge um novo conjunto de
números, denominado conjunto dos números
complexos, que indicamos por C.

4. Dados dois números reais a e b , define-se o
número complexo z como sendo:
•
z = a + bi
•
onde
i = √-1 é a unidade imaginária .

6. Potencias de i
i 0 = 1 , pois todo número ou letra elevando
à zero é um.
i 1 = i , pois todo número elevado a 1 é ele
mesmo.
i 2 = -1
i 3 = i2 . i = -1 . i = - i
i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1
i 5 = i4 . i = 1 . i = i
i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1.
i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i.
• Quando o expoente do “i” for maior do que 4, podemos
dividir esse expoente por 4 e tomar o resto como expoente

7. Exemplo:
5 i³ - 9 i² - 3 i 0
5. (-i) – 9.(-1) – 3
-5 i + 9 – 3
6- 5i

8. Conjugado:

9. Adição e subtração :
Basta somar a parte real de um com a parte real do outro
e proceder da mesma forma com a parte imaginária.
Exemplo: Dados os números complexos z1 = 5 + 8i, z2 = 1
+ 2i e z3 = 2 – 3i, calcule:
a)
z1 + z 2 =
(5 + 8i) + (1 + 2i)
(5 + 1) + (8 + 2)i =
6 + 10i

10. b)
z2 + z 3 =
(1 + 2i) + (2 – 3i)
(1 + 2) + (2 – 3)i
3–i

11. Multiplicação:
A multiplicação de dois números complexos se dá de
acordo com a regra de multiplicação de binômios e
lembrando que i²=1,temos:
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci – bd
(a+bi)(c+di)=(ac – bd)+(ad+bc)i
Ex:
(2+4i)(1+3i)=2+6i+4i+12i²
(2+4i)(1+3i)=2+6i+4i - 12
(2+4i)(1+3i)=(2-12)+(6+4)i
(2+4i)(1+3i)= -10+10i

12. Divisão :
A divisão de dois números complexos pode ser
obtida escrevendo-se o quociente sob a forma de
fração; a seguir, procedendo-se de modo análogo
ao utilizado na racionalização do denominador de
uma fração, multiplicam-se ambos os termos da
fração pelo número complexo conjugado do
denominador.
Exemplo:
=
=

13. Nomes :
Isabela Garcia
Luana Cristina
Victor Ramos
Jack Pontes