Un percorso con studenti del liceo ISSEL di Finale Ligure. Un infinito può essere più grande di un altro? Una parte di infinito è finita o infinita?

1. festa
dellÊinquietudine
III edizione
14 – 15 –16 maggio 2010
Finale Ligure SV, Riviera delle Palme
L'infinito nella cultura occidentale
Un percorso con studenti del liceo ISSEL di Finale Ligure
Domingo Paola, ISSEL

2. Executive Summary
La Festa dell'Inquietudine è un evento performativo di Cultura
& Intrattenimento dedicato alla “Inquietudine”.
La Festa è strutturata su 5 gruppi di eventi:
Dibattiti & Incontri Mostre & Spettacoli Inquieto
InquietaMente Inquietus Celebration dell’Anno
Agli eventi partecipano personalità di primo piano del mondo
Culturale, Scientifico e dello Spettacolo italiano e mondiale.
Filo conduttore del 2010: “Inquietudine & Limite” in
Filosofia Matematica Scienza & Specie Sport
Economia Tecnologia & Organizzazioni & Vita, Aldilà,
& Risorse Ingegneria Leadership Altri Mondi
Sede: Complesso Monumentale di Santa Caterina a Finalborgo e
Fortezza di Castelfranco a Finalmarina
Periodo: 14 - 15 -16 Maggio 2010. 2

3. Contenuti
Festa dell’Inquietudine
• Festa dell’Inquietudine 2010
• Inquietudine & Limite in …
• Andare oltre …
L’infinito nella Cultura Occidentale
Immagini dell’infinito
Paradossi dell’infinito
Confronto di insiemi infiniti
Luoghi della Festa dell’Inquietudine 2010
Organizzazione della Festa dell’Inquietudine 2010
• Eventi
• Inquieto dell’anno
Citazioni & Links
Inquieti Channels
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4. Evento performativo di Cultura e
Intrattenimento dedicato alla “Inquietudine”
4

5. inquietudine è conoscenza e crescita
culturale e sentimentale
inquietudine non caratterizza solo chi vive stati
d’angoscia o d’ansia
inquietudine avvolge e pervade chi ama,
chi è tormentato dalla creatività artistica,
chi ha desiderio di conoscenza,
chi è pervaso dal dubbio,
chi è affascinato dal mistero,
chi è sedotto dalla vita,
chi partecipa ai drammi dell’umanità contemporanea e,
ancor più, chi ne è afflitto direttamente.
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6. Festa dell’Inquietudine 2010
Limite
1. Linea che divide
2. Punto estremo a cui può arrivare qualcosa
3. Termine che non si può o non si deve superare
[anche in senso figurato] *
Nella III edizione della Festa dell’Inquietudine
si lavora sulla relazione:
«inquietudine e limite»
* fonte: www.dizionario-italiano.it 6

7. Inquietudine & Limite in …
Filosofia Sport
MATEMATICA Tecnologia &
Ingegneria
Economia, Risorse, Organizzazioni &
Ambiente, Situazioni Leadership
Vita, Aldilà, Altri
Scienza & Specie
Mondi
7

8. “PLVS VLTRA”, andare oltre …
«Viviamo in un’epoca in cui tutto sembra
“superabile”: dalle prestazioni sportive alle
acquisizioni scientifiche, fino alla stessa “specie
umana” ».
«Per noi, del Circolo degli Inquieti, è ovvio pensare
che sia l’inquietudine a spingere l’uomo al limite e,
magari, oltre ».
“PLVS VLTRA” (Plus Ultra) in latino significa
“andare oltre”, superare i propri limiti, in
contrapposizione all'altro motto latino “NEC PLVS
VLTRA” (Nec Plus Ultra), "non più avanti“, che
indica il limite estremo.
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9. Sono andati oltre …
Della mitologia di Eracle-Ercole ci piace quel
sentenzioso “Nec plus ultra” scolpito sulle
Colonne omonime.
Veniva dopo imprese
straordinarie in cui l’Eroe aveva
sfidato e vinto divinità e mostri;
e indicava un limite.
Ma ancor più ci affascinano
coloro che quelle Colonne
hanno superato!
Ulisse, Cristoforo Colombo
ma anche Platone che “oltre” vi
colloca la perduta Atlantide.
9

10. Plus Ultra
Ci piace, persino, Carlo V del Sacro Romano Impero
(Carlos I de España ) che trasforma il divieto in
incoraggiamento ad andare oltre; e “Plus ultra” diventa
il suo motto».
Fonte: wikipedia 10

11. L'infinito nella cultura occidentale
Un percorso con studenti del liceo ISSEL di Finale Ligure
Immagini dell’infinito
Paradossi dell’infinito
Confronto di insiemi infiniti
Domingo Paola, ISSEL
11

12. Domingo Paola
Insegnante di matematica e fisica presso il Liceo Issel di
Finale Ligure, si occupa da quasi trent’anni di ricerca in
educazione matematica collaborando con Nuclei di
Ricerca Didattica dei Dipartimenti di Matematica delle
Università di Genova e Torino .
Particolarmente attivo nella formazione iniziale e in servizio degli
insegnanti, ha fatto parte di commissioni ministeriali e tecniche per la
costruzione delle indicazioni curricolari nazionali.
È stato relatore in diversi convegni nazionali e internazionali di
didattica della matematica. Da quattro anni ricopre il ruolo di
vicepresidente della CIEAEM (Commission Internationl pour l’Etude et
l’Amélioration de l’Enseignement des Mathématiques).
Ha pubblicato numerosi lavori su riviste nazionali e internazionali di
didattica della matematica e diversi libri di testo.
Recentemente ha curato un libro di riflessione sulla scuola (Fasce -
Paola, Pensieri Sottobanco, Erickson) nella cui prefazione, Nando
Dalla Chiesa, ha scritto: “Se si dovesse scegliere quale è il pregio
maggiore del libro, verrebbe di rispondere d’istinto l’inquietudine.”
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13. Liceo Scientifico Statale,
Linguistico e delle Scienze
Umane Arturo Issel
Via Fiume 42, 17024 Finale Ligure Borgo SV
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14. Immagini dell’infinito
È stato detto che gli uomini incontrano molto presto,
nella loro vita, l’idea dell’infinito: probabilmente ancora
bambini, nel momento in cui si accorgono che si può
andare avanti a contare, finché si vuole.
E quando ciò accade, quando l’idea dell’infinito sfiora
per la prima volta il bambino, questi la carpisce e non
l’abbandona più.
Anche l’uomo, nella sua storia, ha incontrato molto
presto l’idea dell’infinito e non l’ha più abbandonata,
venendone a volte attratto, a volte respinto, facendone,
talvolta, oggetto di semplice desiderio, altre volte di
studio e sistematica ricerca.
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15. L’immenso mare dell’Infinito
Gli antichi avevano come confine del mondo le
Colonne d’Ercole e si chiedevano che cosa ci fosse
oltre.
Noi abbiamo ormai superato le Colonne d’Ercole, ci
siamo appropriati delle terre e dei mari che stanno al
di là dello stretto di Gibilterra,
Ma le domande su che cosa c’è
oltre il nostro sistema solare, la
nostra galassia, il nostro universo
sono dello stesso tipo di quelle che
si ponevano gli antichi.
E, come è sempre accaduto, può
anche bastare una siepe che
nasconda l’orizzonte per farci
naufragare nell’immenso mare
dell’infinito. 15

16. Immagini dell’infinito … dagli studenti
“Una delle prime volte in cui sono entrata in
contatto con il concetto di infinito è stato a
scuola, quando si è iniziato a parlare dei
numeri; l’infinito, come dice la parola è un
qualcosa di non finito …” (Angelica);
“Infinito è qualcosa che non si può
rappresentare e che non finisce” (Filippo);
“Sono entrato in contatto con il concetto di
infinito con i numeri periodici … L’infinito è
qualcosa di indefinito e inimmaginabile …”
(Jacopo);
“Per infinito intendo una cosa continua, che ha
un inizio, ma non una fine. Spesso lo vedo
come un limite, il non sapere oltre un limite
che cosa ci sia, allora immagino …” (Monica).
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17. … e dalla cultura Occidentale
Si tratta di immagini molto simili alle caratterizzazioni che
dell’infinito sono state date, per più di duemila anni, nella cultura
Occidentale: infinito come non finito, indefinito, non terminato,
illimitato.
Caratterizzazioni in negativo del concetto: si esprime l’infinito nei
termini dei suoi opposti e, cioè, di ciò che non è infinito.
Quest’approccio, tipico della cultura Occidentale, accomuna sia chi
ha nei confronti dell’infinito un atteggiamento di tipo classico, sia
chi ha, invece, un atteggiamento di tipo romantico.
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18. I paradossi dell’infinito
Queste sono di quelle difficoltà che derivano dal
discorrere che noi facciamo col nostro intelletto finito
intorno a gl’infiniti, dandogli quegli attributi che noi
diamo alle cose finite e terminate, il che penso che sia
inconveniente … Galileo Galilei
18

19. Achille e la tartaruga
Nelle batterie dei 100 metri piani, Achille
piè veloce si trova a gareggiare con la
lenta tartaruga che può muoversi alla
velocità massima di 1 cm /s.
Poiché Achille è molto più veloce, ha deciso di correre con due
handicap: lascerà alla tartaruga 1 metro di vantaggio; correrà con una
velocità che sarà solo di 10 volte quella della tartaruga.
Riuscirà Achille a raggiungere la tartaruga?
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20. Riuscirà Achille a
raggiungere la tartaruga?
Secondo Zenone no; ecco il suo ragionamento.
Nel tempo t1 necessario ad Achille per percorrere 1 metro, la
tartaruga si sarà spostata di 1 decimetro e si troverà nella
posizione 1,1.
Quando Achille avrà raggiunto, nel tempo t2, la posizione 1,1, la
tartaruga si troverà nella posizione 1,11 e così via …
Quindi la tartaruga sarà sempre in vantaggio rispetto ad Achille
che, infatti, impiegherà un tempo infinito, perché dato da una
somma di un numero infinito di tempi (t1 + t2 + … + tn + …) per
cercare di raggiungere la tartaruga.
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21. Il ragionamento di Zenone
Zenone ha anche capito che il suo ragionamento porta alla
conclusione che il movimento è solo apparenza.
Infatti prima di percorrere 1 metro, Achille dovrà aver percorso mezzo
metro e, prima ancora, ¼ di metro e così via, all’infinito.
Achille, quindi, come la tartaruga e come tutti noi è vittima
dell’illusione del movimento, mentre i filosofi sanno che la vera realtà
è quella dell’assenza del movimento e dell’immutabilità dell’essere.
Nonostante le argomentazioni di Zenone
siano molto argute, esse sembrano poco
convincenti a chi attribuisca una certa
importanza all’osservazione e ai dati
sperimentali.
Tutti noi sappiamo che, nonostante gli
handicap scelti, Achille raggiungerà la
tartaruga …
21

22. Come si spiega il paradosso?
Il punto debole del ragionamento di Zenone è dare per scontato che
una somma di infiniti termini sia necessariamente infinita.
Consideriamo, per esempio, la somma 1 1 1
s = 1+ + + ... +
2 4 2n
Con alcuni artifici relativamente semplici è possibile 1
n
dimostrare che: 1−  
s=  
2
1
Passando al limite per n che tende a infinito 1−  
otteniamo: 1 2
s= =2
1
1−  
2
Quindi la somma di infiniti termini dà il numero finito 2; l’aporia di
Zenone non è sufficiente a rifiutare quanto suggerisce l’esperienza
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23. Numeri naturali e quadrati perfetti
È noto che non tutti i numeri naturali sono quadrati perfetti (per
esempio 5, 7, 11 non sono quadrati perfetti), mentre tutti i quadrati
perfetti sono numeri naturali.
Da ciò segue, per il principio che la parte è sempre minore del
tutto, che:
A: “ci sono più numeri naturali che quadrati perfetti”.
D’altra parte, sia n un qualunque numero naturale. La funzione
f(n) = n2 associa a ogni numero n uno e un solo quadrato e a
ogni quadrato uno e un solo numero naturale.
Poiché la funzione è biunivoca, possiamo concludere che:
B: “ ci sono tanti numeri naturali quanti sono i quadrati perfetti”
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24. Confronto di insiemi infiniti
Il paradosso relativo alla numerosità dell’insieme dei numeri naturali e
dei quadrati perfetti non può essere risolto in modo soddisfacente se
prima non ci si accorda su che cosa voglia dire contare infiniti
elementi.
Tutti noi sappiamo che cosa voglia dire contare un numero finito di
oggetti e lo sappiamo talmente bene che dimentichiamo, forse, il
processo logico su cui si fonda la possibilità di confrontare la
numerosità di due insiemi quando non si sappia (o non si sia in grado
di) contare: individuare corrispondenze biunivoche … come si diceva
facesse un tempo il pastore con le sue pecore e i sassi del suo
terreno …
Diciamo innanzitutto che due insiemi hanno lo stesso numero di
elementi (o come si dice anche, la stessa cardinalità) se e solo se è
possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i loro elementi.
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25. Conclusioni di Dedekind
L’insieme dei numeri naturali e quello dei quadrati perfetti hanno la
stessa cardinalità (ossia lo stesso numero di elementi);
Mentre nel finito l’affermazione “la parte è sempre minore del tutto”
è un principio indiscutibile, quando si passa a considerare insiemi
infiniti essa non è più vera, almeno relativamente alla cardinalità.
Infatti nonostante quello dei quadrati perfetti sia un sottoinsieme
proprio dei numeri naturali, i due insiemi hanno la stessa cardinalità,
perché i loro elementi possono essere messi in corrispondenza
biunivoca;
Partendo da queste considerazioni il matematico
tedesco Richard Dedekind definì che cosa si debba
intendere con insieme infinito:
“si dice infinito ogni insieme che può essere
messo in corrispondenza biunivoca con una
sua parte propria”.
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26. L’insieme dei numeri pari ha la stessa cardinalità
dell’insieme dei numeri naturali
È sufficiente considerare la corrispondenza biunivoca dall’insieme N
dei numeri naturali all’insieme P dei numeri pari definita da f(n) = 2n
L’insieme dei numeri interi ha la stessa
cardinalità dell’insieme dei numeri naturali
È sufficiente considerare la corrispondenza biunivoca dall’insieme
N dei numeri naturali all’insieme Z dei numeri interi definita da
n, n = 2h con h numero naturale.
f ( n) = 
−n, n = 2h + 1
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27. Un infinito può essere più
grande di un altro?
Una parte di infinito è finita o
infinita?
Nel decennio 1880, il matematico tedesco Georg
Cantor (1845-1918) scoprì il fatto straordinario
che ci sono differenti gradi di infinito.
Foto da: www.gap-system.org/.../PictDisplay/Cantor.html
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28. L’insieme dei numeri razionali positivi
ha la stessa cardinalità dell’insieme
dei numeri naturali
Riuscire a trovare in questo caso una
corrispondenza biunivoca non è semplice
e richiede creatività.
Georg Cantor ordinò le frazioni come
nella tabella (nella prima riga tutte le
frazioni con numeratore uguale a 1, nella
seconda quella con il numeratore uguale
a 2 …) e poi iniziò a contarle come
suggerito in figura, esaurendo prima
quelle per cui la somma tra numeratore e
denominatore è 2, poi quelle per cui è 3
… e così via, all’infinito …
28

29. L’insieme dei numeri reali ha
cardinalità maggiore di quella dei
numeri naturali
La geniale dimostrazione si deve a Cantor (1881) e rivela la
presenza di un infinito diverso da quello dei numeri che servono per
contare: un infinito più inquietante, che sembra talvolta inafferrabile
anche dopo anni di studi di matematica.
Un piccolo esempio che apre su altri territori e problemi: è possibile
dimostrare che l’insieme dei punti di un segmento unitario e quello
dei punti di un quadrato di lato unitario hanno la stessa cardinalità.
Infatti un qualunque punto di un segmento di lunghezza 1 privato
dei suoi estremi può rappresentarsi con un numero reale n del tipo
0, a1a2a3 … an … Un qualunque punto di un quadrato di lato 1 può
rappresentarsi con una coppia ordinata di numeri reali (0, b1b2b3 …
bn …; 0, c1c2c3 … cn …).
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30. segue …
Basta allora associare all’ascissa di ogni punto del quadrato il
numero avente per cifre decimali le cifre di posto pari di n e
all’ordinata del punto del quadrato il numero formato dalle le cifre di
posto dispari di n.
In questo modo a ogni punto del segmento è associato uno e un solo
punto del quadrato e, viceversa, a ogni punto del quadrato è
associato uno e un solo punto del segmento
La corrispondenza è biunivoca,
anche se non continua, nel senso
che se si considerano due punti
infinitamente vicini sul segmento,
non è detto che a essi
corrispondano due punti
infinitamente vicini del quadrato.
30

31. Applicazioni del teorema di Cantor
Che dire del fatto che quel teorema così lontano da ogni possibile
interpretazione reale venne utilizzato nella seconda metà del secolo
scorso per studiare i limiti delle trasmissioni in modulazione di
frequenza?
31

32. Il Gruppo di Progetto
La classe IIC e Domingo Paola. Il progetto si è avvalso
anche del contributo del prof. Giovanni Capelli 32

33. Festa dell’Inquietudine_luoghi
Finale Ligure, “locus finalis”
Finalborgo
Finalmarina
Ci piace pensare
che, per tre
giorni, le Colonne
della Conoscenza
segneranno lì il
luogo di confine.
www.festainquietudine.it
33

34. Complesso monumentale di
Santa Caterina a Finalborgo
Chiuso tra mura medievali ancora ben conservate, intervallate da torri semi-
circolari e interrotte solo in corrispondenza delle porte, il Borgo di Finale
(Finalborgo da Burgum Finarii, terra di confine (ad fines) ai tempi dei
Romani) offre al visitatore una sensazione di protezione e raccoglimento.
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35. Fortezza di Castelfranco
a Finalmarina
www.scalo.org/images/finaliu.jpg
Il complesso fortilizio, che risale alla seconda metà del XIV secolo, si
articola in una pianta a forma stellata, a stretto contatto con l'abitato del
centro di Finale. Castelfranco fu attivo come fortezza ancora nel 1745,
quando respinse l'attacco di quattordici navi inglesi. Dal 1938 è di
proprietà del Comune di Finale Ligure.
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36. Organizzazione della Festa
Comitato promotore:
Comune di Finale Ligure
Fondazione A. De Mari -
Cassa di Risparmio di Savona
Provincia di Savona
Ideazione e organizzazione:
Circolo degli Inquieti di Savona
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37. Eventi
Dibattiti e Incontri: promozione dell’Inquietudine come
condizione dell'essere umano e sinonimo di conoscenza e
crescita culturale.
Mostre & Spettacoli: proposizione di aspetti difformi di creatività
artistica.
InquietaMente: progetti innovativi e inquieti dedicati ai giovani e
alle imprese.
Inquietus Celebration (IV edizione): “celebrazione” di
personalità inquiete che si sono distinte per l'elevata vivacità
intellettuale e sentimentale in ambiti specifici dell'attività umana.
Inquieto dell'Anno (XIII edizione): “celebrazione” della
personalità che si è contraddistinta per il suo essere inquieto.
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38. Inquieto dell’anno
“Anno” Edizione Celebrazione Inquieto dell’Anno
2009 XIII 2010 ?
2008 XII 2009 Don Luigi Ciotti
2007 XI 2008 Milly & Massimo Moratti
2006 X 2007 Raffaella Carrà
2005 IX 2006 Règis Debray
2004 VIII 2005 Costa Gavras
2003 VII 2004 Oliviero Toscani
2002 VI 2003 Barbara Spinelli
2001 V 2002 Antonio Ricci
2000 IV 2001 Gino Paoli
1998 III 1999 Francesco Biamonti
1997 II 1998 Gad Lerner
1996 I 1997 Carmen Llera Moravia 38

39. Citazioni & Link
Il logo del Circolo è di Ugo Nespolo
www.nespolo.com
Il logo della Festa è di Oliviero Toscani - La
Sterpaia www.lasterpaia.it
Le foto della Festa sono di Emilio Rescigno
www.emiliorescigno.it
Il logo “inquietudine e limite” è di Marco Prato
www.manolab.it
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40. Arrivederci alla Festa …
L’atmosfera unica di Finale Ligure, del suo
storico Borgo e di Varigotti, nonché della
Riviera di Ponente, la curiosità degli
eventi proposti durante la festa e i sapori
della cucina e del buon vino ligure
renderanno i tre giorni della festa davvero
indimenticabili.
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